2013年状元360一轮复习理科数学8 (7)
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2013年状元360一轮复习理科数学(人教版A)7.4等比数列(一)
②÷①得qn＝81，
∴q＞1，故前n项中an最大． 将qn＝81代入式①，得a1＝q－1. 由an＝a1qn－1＝54，得81a1＝54q，
由此a1＝2，q＝3.
【点评】本题主要是运用方程思想求解．
展示1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3 ＝30，求an和Sn.
【分析】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于首 项a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公 式及前n项和公式求解即可．
Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也是等比数列吗？
【解析】(1)猜答案可用前3项即可．
因数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是
等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a
2 n＋1
＋2an＋1＝anan＋2
＋an＋an＋2，即(2qn)2＋2×2qn＝2qn－1·2qn＋1＋2qn－1＋2qn＋1.解得q
求证：数列{an}是等比数列．
【证明】3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，① 3tSn＋1－(2t＋3)Sn＝3t，② ②－①，得3t(Sn＋1－Sn)－(2t＋3)(Sn－Sn－1)＝0， 即3tan＋1－(2t＋3)an＝0.∴aan＋n 1＝2t3＋t 3(n≥2)． ∵3tS2－(2t＋3)S1＝3t，∴3t(a1＋a2)－(2t＋3)a1＝3t.
A．26 B．29 C．212 D．215
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新 意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．考虑 到求导中，含有x项均取0，则f′(0)只与函数f(x)的一次项有 关，得f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝212.
2013年状元360一轮复习课件(10-13,理数)10 (6)
【解析】法一 如右下图所示，建立空间直角坐标系，点 A为原点．设AB＝1，依题意，得D(0,2,0)，F(1,2,1)， 3 A1(0,0,4)，E1，2，0.
→ 1 → → 0， ，1 ，A1D ＝(0,2，－4)．于是cos〈EF ， (1)易得EF ＝ 2
(2)作 H′H⊥平面 ACD，垂足为 H，连 BH，HO′1， 则 H′H∥B′B 且 H′H＝B′B.∴HB∥H′B′且 HB＝ H′B′.而 H′B′∥O′1O′2 且 H′B′＝O′1O′2， ∴HB∥O′1O′2 且 HB＝O′1O′2.∴HO′1∥BO′2. H′O′1 1 在 Rt△H′O′1H 中，tan∠H′HO′1＝ ＝ ， 2 H′H A′G 1 在 Rt△H′GA′中，tan∠GH′A′＝ ＝ . A′H′ 2 ∴∠H′HO′1＝∠GH′A′.∴H′G⊥HO′1. ∵HH′⊥平面 A′C′D′，H′B′⊥H′O′1， ∴H′B′⊥HO′1.∵H′G∩H′B′＝H′， ∴HO′1⊥平 面 H′B′G. ∵HO′1∥BO′2，∴BO′2⊥平面 H′B′G.
考点三 异面直线所成的角 示范3 已知在棱长都是 a 的四面体 A－BCD 中，E，F 分别 为 AD，BC 的中点， (1)求异面直线 AF 和 CE 所成的角的余弦值； (2)求证：EF 为 AD，BC 的公垂线．
解析 (1)连结 FD，过 E 作 EG∥AF 交 FD 于 G，则∠CEG 是异面直线 AF 与 CE 所成的角(或补角)． 连结 CG，在△CEG 中， 1 EG 綊 AF， 2 3 3 7 ∵AF＝ a，CE＝ a，CG＝ a， 2 2 4 3 2 ∴EG＝ a，由余弦定理得 cos∠CEG＝ . 4 3
(2)连接AC，设AC与DE交于点N. 1 CD EC 因为 BC ＝ AB ＝ 2 ，所以Rt△DCE～Rt△CBA.从而∠CDE＝∠ BCA.又∠CDE＋∠CED＝90° ，所以∠BCA＋∠CED＝90° .故AC⊥DE. 又因为CC1⊥DE且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE. 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF，从而AF⊥B1C，所以AF⊥ A1D.因为DE∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED.又CC1⊥DE且CC1∩AC ＝C，所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.
2013年状元360一轮复习理科数学8 (14)
【答案】8
【解析】∵随机变量X的平均值为1且P(X≤0)＝P(X＞A－ 0＋a－6 6)，由对称性，知 ＝1，即A＝8. 2
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x 1 x2 „ xi „ xN P P1 P2 „ Pi „ PN 则称E(X)＝ x1P1＋x2P2＋„＋xiPi＋„＋xNPN 为随机变量X的 均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
若Y＝AX＋B，其中A，B为常数，则Y也是随机变量． 因为P(Y＝Axi＋B)＝P(X＝xi)(i＝1,2，„，N)， 所以Y的分布列如下表所示. Y Ax1＋B Ax2＋B „ Axi＋B „ AxN＋B P1 P2 P Pi PN „ „ E(Y)＝ (Ax1＋B)P1＋(Ax2＋B)P2＋„＋(Axi＋B)Pi＋„＋(AxN＋
3．(2010山东)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( ) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
【答案】C
4．(2011深圳一模)设随机变量X～N(1,32)且P(X≤0)＝P(X ＞A－6)，则实数A的值为________．
考点三 正态分布 示范3 某地农民的年平均收入服从μ＝500元，σ＝20元的 正态分布， (1)求此地农民的平均年收入在500～520元之间的人数的百 分比； (2)求此地农民年平均收入超过540元的人数的百分比． 参考数据：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋ 2σ)＝0.954 4.
方法点拨：在计算期望与方差时，应首先考察其分布是否 为常见分布，如是常见分布如两点分布、二项分布等，其期望 和方差可直接利用公式求，否则应先求分布列，再用定义计算.
2013年状元360一轮复习课件理科数学8.1
解析 (1)“取出的球是黄球”是不可能事件，它的概率是 0. (2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是49. (3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1.
【点评】弄清必然事件，不可能事件，随机事件的概率．
展示1 一盒内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码 的 3 个黑球，从中摸出 2 个球，
【解析】(1)设该厂本月生产轿车为 n 辆，由题意，得5n0＝ 1001＋0300.所以 n＝2 000，z＝2 000－100－300－150－450－600 ＝400.
(2)设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方
法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，所以1400000＝m5 .解得 m＝2.也就是抽取了 2 辆舒适型轿车、3 辆标准型轿车，分别记 作 S1，S2；B1，B2，B3.则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1， B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1， S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)共 10 个，其中至少有 1 辆舒 适型轿车的基本事件有 7 个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2， B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取 2 辆，至少有 1 辆舒适型轿车的概率为170.
【解析】(1)同时抛掷两骰子，共有 6×6＝36(种)结果， 其中朝上的一面的数相同结果是(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)， (5,5)，(6,6)共 6 种，∴概率 P1＝366＝16. (2)向上的数之积为偶数与向上的数之积为奇数是对立事 件，向上的数之积为奇数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)， (5,1)，(5,3)，(5,5)共 9 种， ∴概率 P2＝1－396＝1－14＝34.
2013年状元360一轮复习理科数学9 (6)
相交、相切、相离 1．直线与圆的位置关系有____________________三种，它
们的代数等价条件和几何等价条件如下： 记直线 l：Ax＋By＋c＝0 及圆 O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
Ax＋By＋c＝0， 由 2 2 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0，
联立得 f(x)＝0，则 直线 l 与圆相交⇔________； Δ＞0 直线 l 与圆相切⇔________； Δ＝0
【点评】已知条件较多时，应明确解题方向.待定系数法的 关键是要列出方程组.
展示3 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y＝7m＋4， (1)求证：不论 m 取何值，直线 l 总是与圆 C 相交； (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦的最短长度及此时直线 l 的方 程．
(2)法一 联立后，用两点距离公式，计算量大． 法二 (1)中 d＝ 5时， 3 有(3m＋1) ＝5(5m ＋6m＋2)．解得 m＝－ . 4
2 2
此时直线 l 的方程为 2x－y－5＝0， 弦长取最小值为 2 r2－d2＝4 5.
法三 如(1)法三，当 l⊥CA 时，弦长 2 r2－CA2＝4 5为最 短． 此时，由 k·CA＝－1，得 k＝2. k 由点斜式得 l 的方程为 y－1＝2(x－3)，即 2x－y－5＝0.
展示1 (1)已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都相切， 圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为( A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 ) B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)如果直线 x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2y＝0 有公共点，则 实数 a 的取值范围是______________．
们的代数等价条件和几何等价条件如下： 记直线 l：Ax＋By＋c＝0 及圆 O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
Ax＋By＋c＝0， 由 2 2 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0，
联立得 f(x)＝0，则 直线 l 与圆相交⇔________； Δ＞0 直线 l 与圆相切⇔________； Δ＝0
【点评】已知条件较多时，应明确解题方向.待定系数法的 关键是要列出方程组.
展示3 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y＝7m＋4， (1)求证：不论 m 取何值，直线 l 总是与圆 C 相交； (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦的最短长度及此时直线 l 的方 程．
(2)法一 联立后，用两点距离公式，计算量大． 法二 (1)中 d＝ 5时， 3 有(3m＋1) ＝5(5m ＋6m＋2)．解得 m＝－ . 4
2 2
此时直线 l 的方程为 2x－y－5＝0， 弦长取最小值为 2 r2－d2＝4 5.
法三 如(1)法三，当 l⊥CA 时，弦长 2 r2－CA2＝4 5为最 短． 此时，由 k·CA＝－1，得 k＝2. k 由点斜式得 l 的方程为 y－1＝2(x－3)，即 2x－y－5＝0.
展示1 (1)已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都相切， 圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为( A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 ) B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)如果直线 x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2y＝0 有公共点，则 实数 a 的取值范围是______________．
2013年状元360数学(人教A版必修1)一轮复习课件(理科)1.3集合的概念及集合间相互关系
分析 －3 是集合 A 中的元素，说明集合 A 中的三个元素中 有一个为－3.
解析 ∵－3∈A，∴a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3. 解得 a＝－1 或 a＝－32. 当 a＝－1 时，a－2＝2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的 互异性．
当 a＝－32时，A＝－72，－3，12适合． 故 a＝－32. 答案 －32
②当 B≠∅时，m 满足mm＋＋11≥≤－2m2－，1， 2m－1≤5，
即 2≤m≤3 时，
B⊆A. ∴当 m≤3 时，B⊆A.
方法点拨：判断集合与集合的关系，基本方法归纳为判断 元素与集合的关系，若∀x∈A⇒x∈B，则 A⊆B；若 A⊆B 且∃x ∈B 使得 x∉A，则 A B.若 A∩B＝A，则 A⊆B；若 A∪B＝A，则 B⊆A.
示范3 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x||x|≥a}，全集 U ＝R，当 a 为何值时，A B 成立？
分析 解决本题的关键是对集合 B 进行分类讨论化简，再根 据集合 A 与 B 的关系结合数轴进行求解．
解析 A＝{x|1<x<2}． 对集合 B ①当 a≤0 时，|x|≥a，知 B＝R，此时 A B； ②当 a>0 时，由|x|≥a，得 x≤－a 或 x≥a，
解得ba＝ ＝01， 或ba＝ ＝0－，1.
经检验，b＝0，a＝1 不合题意. ∴b＝0，a＝－1. ∴a2 013＋b2 012＝－1.
方法点拨：求解集合问题的关键：①确定集合中的元素是 什么；②明确集合中元素的三个性质：确定性、无序性和互异 性，尤其是互异性；③明确元素与集合的关系；④明确集合的 三种表示；⑤两个集合相等当且仅当所有元素相同．
元素与集合之间是_属___于__(或___不__属__于__)关系，用∈___或__∉_表示．
解析 ∵－3∈A，∴a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3. 解得 a＝－1 或 a＝－32. 当 a＝－1 时，a－2＝2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的 互异性．
当 a＝－32时，A＝－72，－3，12适合． 故 a＝－32. 答案 －32
②当 B≠∅时，m 满足mm＋＋11≥≤－2m2－，1， 2m－1≤5，
即 2≤m≤3 时，
B⊆A. ∴当 m≤3 时，B⊆A.
方法点拨：判断集合与集合的关系，基本方法归纳为判断 元素与集合的关系，若∀x∈A⇒x∈B，则 A⊆B；若 A⊆B 且∃x ∈B 使得 x∉A，则 A B.若 A∩B＝A，则 A⊆B；若 A∪B＝A，则 B⊆A.
示范3 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x||x|≥a}，全集 U ＝R，当 a 为何值时，A B 成立？
分析 解决本题的关键是对集合 B 进行分类讨论化简，再根 据集合 A 与 B 的关系结合数轴进行求解．
解析 A＝{x|1<x<2}． 对集合 B ①当 a≤0 时，|x|≥a，知 B＝R，此时 A B； ②当 a>0 时，由|x|≥a，得 x≤－a 或 x≥a，
解得ba＝ ＝01， 或ba＝ ＝0－，1.
经检验，b＝0，a＝1 不合题意. ∴b＝0，a＝－1. ∴a2 013＋b2 012＝－1.
方法点拨：求解集合问题的关键：①确定集合中的元素是 什么；②明确集合中元素的三个性质：确定性、无序性和互异 性，尤其是互异性；③明确元素与集合的关系；④明确集合的 三种表示；⑤两个集合相等当且仅当所有元素相同．
元素与集合之间是_属___于__(或___不__属__于__)关系，用∈___或__∉_表示．
2013年状元360数学(人教A版.理科)一轮复习复习课件8.5几何概型的计算
【点评】解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公 式分别求得几何概率，然后通过解方程求得圆面积的近似值， 再求 π 的近似值.
展示3 已知如下图所示的矩形，其长为 12，宽为 5.在矩形 内随机地撒 1 000 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 550 颗， 则可以估计出阴影部分的面积约为________．
(2)同(1)中图形，利用随机模拟的方法近似计算正方形内切 圆的面积，并估计 π 的近似值．
分析 由几何概型及随机模拟试验过程求解．
解析 (1)这是一个面积型几何概率问题，圆与正方形面积之
比为所求概率为π4. (2)① 利 用 计 算 机 产 生 两 组 [0,1] 上 的 均 匀 随 机 数 ， a1 ＝
展示1 在棱长为 3 cm 的正方体内任取一点，求这点到各面 的距离大于 1 cm 的概率．
【解析】设事件 A：{点到各面的距离大于 1 cm}，在正方 体内作一小正方体，使其六个面与原正方体的六个面平行且距 离为 1.则 P(A)＝小正正方方体体的的体体积积＝1333＝217.
方法点拨：抓住几何概型的两特征：无限性与等可能性， 选用体积作度量，从而可求出事件的概率.
RAND，b1＝RAND； ②进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)×2，b＝(b1－0.5)×2，
得到两组[－1,1]上的均匀随机数； ③统计试验总次数 N 和落在圆内的点数 N1；
④计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值； ⑤设圆的面积为 S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概 率为 P＝S4.∴S4＝NN1.∴S≈4NN1. 又 S 圆＝πr2＝π，∴π＝S≈4NN1，即为圆周率的近似值．
对于一个具体问题，能否应用几何概型公式计算事件的概 率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况， 选取适当的平面直角坐标系，将试验的每一结果一一对应于该平 面直角坐标系中的点，使得全积有关的几何概型 示范1 用橡皮泥做成一个直径为 6 cm 的小球，假设橡皮泥 中混入了一颗很小的沙粒，求这个沙粒距离球心不小于 1 cm 的 概率．
2013年状元360数学(人教A版.理科)一轮复习复习课件9.5圆的方程
|4a＋3a5－1＋14|＝r， r2＝9＋3a＋4a5－1＋102.
解得 a＝2，r＝5.
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
方法点拨：直接确定圆心(a，b)和半径 r 或者先假设圆的方 程，将条件代入得方程组，解出 a，b，r 或 D，E，F 即可．当 已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单．当 已知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式较易．
考点三 与圆有关的轨迹问题 示范3 已知长为 2a 的线段 AB 的两端点 A 和 B，分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求线段 AB 的中点的轨迹方程．
分析 由已知条件求点的轨迹，先写出点满足的几何条件， 若由几何意义可确定曲线类型即可直接写出方程，否则可将几 何条件坐标化后再化简．
解析 法一 设线段 AB 的中点坐标为 M(x，y)，则点 A(2x,0)， B(0,2y)．
4．求圆的方程的常用方法 代数思路：待定系数法． 几何思路：利用几何关系确定圆心和半径．
考点一 求圆的方程 示范1 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2，－2)且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，求该圆的标准方程．
分析 圆心 C 在直线 l 上，也在线段 AB 的垂直平分线上， 可先求点 C 的坐标，再求出半径；或者利用待定系数法求解．
【点评】法一是由条件找到圆心和半径，是先找几何等价 条件；法二是用待定系数法直接确定系数，为纯解析法.
展示1 已知一圆的圆心在直线 x－y－1＝0 上，与直线 4x＋ 3y＋14＝0 相切，在直线 3x＋4y＋10＝0 上截得的弦长为 6，求 圆的方程．
【解析】由圆心在直线 x－y－1＝0 上，可设圆心为(a，a －1)，半径为 r，由题意，可得
2013年状元360一轮复习课件理科数学8.10
【解析】2人从事司机工作有C
2 3
A
3 3
种，1人从事司机工作有
C13C24A33种，所求为C23A33＋C13C24A33＝126(种)．
2．(2010江西)将6名志愿者分成4组，其中两个组各2个， 另2组各1人，分赴世博会的四个场馆服务，不同的分配方案有 ________种．
【答案】1 080
共有A34A13(A11A11＋A12A11)＝216(种)． 方法点拨2：等价转化要选好切入点进行转换．
考点三 分组问题及插值法在排列组合的应用 示范3 (1)有6本不同的书，甲、乙、丙3人每人2本，有 ______种不同的分配方法；平均分成3组有__________种不同 的方法；摆在3层书架上，每层2本，有________种不同的摆 法． (2)把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、 丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张且分得的两张票必须 是连号，那么不同的分法总数为______．
分析 (1)中先要找到有哪些数字的组合，把三个数的和为 偶数分成两类，必须这三个数都是偶数，或两个是奇数，一个 是偶数．
解析
(1)个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：C
2 3
A
3 3
C
1 4
＋A
3 3
C
1 3
＝90种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇
数的有：C
2 3
A
3 3
C
1 4
＋C
分析 分组问题要注意是否平均分组．
解析 (1)甲、乙、丙每人2本，共有C26C24C22＝90种． 平均分成3组有C26CA3324C22＝15种． 摆放在书架上，有A66＝720种． (2)把五张票分成4组，且2张连号在同一组． 其分法有4种，∴所求＝4A44＝4×4×3×2×1＝96.
2013年状元360一轮复习课件理科数学10.12
考点一 求法向量与求距离
示范1 已知在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正 三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2 3，M，N分别为 AB，SB的中点，建立空间直角坐标系如右图所示，求面 CMN的一个法向量．
解析
法一 可得C→M＝(3， 3，0)，M→N＝(－1,0， 2)．设n ＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．
∴d＝
3 ＝3 2
2
2.故点P到平面ABD1的距离为3
2
2 .
法二 (法向量与投影法)建立如图所示的空间直角坐标
系，则 A→B ＝(0,4,0)， A→D1 ＝(－4,0,4). P→A ＝(4，－4，－1)．设 平面ABD1的法向量n＝(x，y,1)，
∵n⊥平面ABD1，∴n⊥A→B，n⊥A→D1.
∴d＝|P→|An·|n|＝|4×1－4×120＋＋112×－1|＝
3 ＝3 2
2
2 .
故点P到平面的ABD1的距离为3
2
2 .
方法点拨：
在平面内任取两不共线向量a，b，设法向量为n＝x， y，z则n·a＝0，n·b＝0，可求出一组x，y，z的值，事实上为 比例值.求距离参见知识要点28.
(1)求证：CD＝C1D； (2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值； (3)求点C到平面B1DP的距离．
解析 解法一：
(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD. ∵PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面 BDA1＝OD， ∴OD∥PB1. 又AO＝B1O，∴AD＝PD. 又AC∥C1P，∴CD＝C1D.
考点二 求线面所成的角
示范2 如图所示，已知在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1 的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1 于点E，交B1C于点F， (1)求证：A1C⊥平面BED； (2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦 值．
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【答案】B
4＋2＋3＋5 7 49＋26＋39＋54 【解析】 x ＝ ＝2， y ＝ ＝42， 4 4 7 ^ ^ ∴y＝bx＋a 过点2，42.∴a＝9.1，方程y＝9.4x＋9.1. 当 x＝6 时，y＝65.5.
1．两个变量间的相关关系：变量间确实存在关系，但又不
随机性 具备函数所要求的________，它们的关系是带有________的． 确定性
2．散点图：将 n 个数据点(xj，yj)(j＝1,2，„，n)描在平面直
相关关系 角坐标系中，以表示具有__________的两个变量的一组数据的图
形．
3．正(负)相关：从散点图可以看到点散布的位置是从
xiyi－n x y
i＝1
n
参考公式：b＝
，a＝ y －b x .
xi2－n x
i＝1
n
2
分析 直接由公式求出回归直线方程的系数即可．
解析 (1)散点图如下图所示：
(2)由题中数据，算出
5 2 x ＝5， y ＝50， xi ＝145， y2＝13 i ＝1 ＝1 i i
5
500， xiyi＝1 390，
7．独立性检验：假设两个分类变量 x 和 y，它们的值域分 别是{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表) 为 x1 x2 总计 y1 a c a＋c ______ y2 b d b＋d ______ 总计 a＋b ______ ______ c＋d a＋b＋c＋d ________
解析 由 K2≈7.8＞6.635，可知有 99%以上的把握认为“爱 好该项运动与性别无关”，故选 C.
答案 C
【点评】经过统计量分布的研究，已得两临界值：3.841 与 6.635， k≤3.841 时， 当 认为事件是无关的.当 k>6.635 时， 99% 有 把握说事件有关.
展示2 某医院因患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是患心脏病而住院的男病人中有 175 人秃顶， 利用独立性检验方法判断秃顶与心脏病是否有关？
nad－bc2 2 2 由K ＝ ，算得K ≈7.8 a＋bc＋da＋cb＋d
附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得正确结论是(
)
A．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该 项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“该项运 动与性别无关”
5．回归方程：如果具有相关关系的两个变量的回归方程是
xiyi－n x y
^＝bx＋a y __________，其中 bx
i＝1
n
2
6． 相关系数的性质：|r|≤1 且|r|越接近 1， 相关程度______； 越大
越小 |r|越接近 0，相关程度______．
a＝－－b－＝67.8－0.624×73.2≈22.05， y x ^ 所以 y 对 x 的回归直线方程为y＝0.624x＋22.05.
方法点拨：对一组数据进行分析，应先画出散点图，看是 否呈直线形，只有线性相关的两个变量之间才存在回归方程.
考点二 独立性检验 示范2 (2011 湖南)随机询问 110 名性别不同的大学生是否 爱好某项运动，得到如下列联表， 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110
nad－bc2 K2＝ a＋bc＋da＋cb＋d
考点一 变量间的线性关系 示范1 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位：百万元) 之间有如下表的对应数据， x y 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 ^ 线性回归方程y＝bx＋a； (3)要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元)， 则广告费 支出至少为多少百万元？(精确到 0.1)
1．(2011 陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点通过最小二乘法得到回归直线(如下图所示)， 以下结论正确的是( )
A．直线过点( x ， y ) B．x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C．x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D．当 n 为偶数时，分布在直线 l 两侧的样本点的个数一定 相同
x2 7 744 5 776 5 329 4 356 3 969 27 174
xy 6 864 4 940 5 183 4 224 3 843 25 054
xiyi－n x y
i ＝1
n
b＝ xi2－n x
i＝1 n 2
25 054－5×73.2×67.8 ＝ ≈0.624， 2 27 174－5×73.2
【答案】A
【解析】回归直线方程一定经过样本中心点．
2．(2011 山东)某产品广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如 下表， 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 2 3 5 49 26 39 54 ^ 根据上表可得回归方程y＝bx＋a 中的 b 为 9.4， 据此模型预 报广告费用为 6 万元时，销售额为( A．63.6 万元 C．67.7 万元 ) B．65.5 万元 D．72.0 万元
【解析】数据如下表所示， 患心脏病 秃顶 不秃顶 总计 214 451 665 患其他病 175 597 772 总计 389 1 048 1 437
nad－bc2 k＝ ≈16.375>6.635， a＋ba＋cb＋dc＋d ∴有 99%的把握认为秃顶与患心脏病有关．
线性回归直线方程、独立性检验，难度按课本要求即可．主 要考查基本概念、原理，注意实际应用．
【点评】要明确公式中字母应代入的数据，就能顺利求解.
展示1 某 5 名学生的数学和化学成绩如下表，
(1)画出散点图； (2)求化学成绩 y 对数学成绩 x 的回归直线方程．
【解析】(1)
(2) 序号 1 2 3 4 5 z
x 88 76 73 66 63 366
y 78 65 71 64 61 339
右上角 ________到________，这种相关称为正相关；反之，如果两个 左下角 左上角 右下角 变量的散点图点散布的位置是从________到________的区域，
则为负相关． 4．回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布 在一条直线的附近 ________________，这条直线叫回归直线．
i＝1
5
y xiyi－5 x ·
i＝1
5
∴b＝
xi2－n x
i＝1
5
2
1 390－5×5×50 ＝ ＝7.0， 145－5×52
a＝ y －b x ＝50－7×5＝15， ^ ∴所求的回归直线方程是y＝7x＋15.
(3)依题意有 7x＋15≥100，∴x≥12.2，∴广告费投入至少 需要 12.2 百万元．