高中数学苏教版必修2同步课件：2.1.6点到直线的距离

规律总结：(1)待定系数法是本题用到的主要方法， 但不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程 后才可用公式．
(2)待定系数法设方程时，要考虑到直线的适用范围， 关键是考虑斜率是否存在．
(3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的 直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍 的作用．
零，距离公式仍然适用”．
平行线间的距离 若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C2－C1| A ＋B
2
＋C2＝0，则它们之间的距离为 d＝
2.
两条平行线间的距离公式的结构特征是：两平行线方 程皆为一般式时，分子是两式中常数项的差的绝对值；分母 为两系数平方和的算术平方根，这一结构特征更有助于同学 理解和记忆公式．但是同学们在使用公式时谨记：①若两直 线的方程不是一般式，要先把直线方程化为一般式，然后再 利用公式求距离；②若两直线中x，y的系数成比例时要先把 它们化为系数一致才能用公式，如l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋ 3y＋9＝0，须把l2：3x＋3y＋9＝0化为l2：x＋y＋3＝0，然后 再用公式求距离．
①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化 为一般式，然后再利用公式求距离．
②灵活应用点P(x0，y0)到几种特殊直线的距离公式，
即①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴 的距离d＝|x0|；③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； ④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|，同学们要谨 记“若点P(x0，y0)在直线上，点P(x0，y0)到直线的距离为
d＝
|C－－1|
2
2 ＋－1
2，
|C＋1| ∴ ＝2，∴|C＋1|＝2 5. 5 ∴C＝－1± 2 5， 所求直线方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝0.
解法二：设所求的直线上任意一点 P(x，y)， 则 P 到直线 2x－y－1＝0 |2x－y－1| 的距离为 d＝ 2 2， 2 ＋－1 |2x－y－1| ∴ ＝2，∴2x－y－1＝± 2 5. 5 ∴所求的直线方程为 2x－y＋2 5－1＝0， 或 2x－y－2 5－1＝0.
两条平行线间的距离问题 求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1 ＝0的距离为2的直线方程． 分析：(1)根据直线平行的性质特点设出所求直 线方程，进而利用公式求解；

(2)设出所求直线上任意一点P(x，y)，利用条件 和距离公式即可求解．
解法：解法一：由已知可设要求的直线方程 为2x－y＋C＝0，则两条平行直线间的距离为
点到直线的距离问题 求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两
点距离相等的直线方程．
分析：先利用点M确定直线(含参数)，再利用点到直 线的距离公式求解．
解析：解法一：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝ k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
|－k－2＋2k＋1| |3k＋2k＋1| 由条件得 ＝ ， 2 2 k ＋1 k ＋1 1 解得 k＝0 或 k＝－ . 2
平面解析几何初步
2．1 2．1.6
直线与方程 点到直线的距离
有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且 AB＝AC＝a，BC＝2a，今计划合建一个中心医院，为 同时方便三个城镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点 处，若希望点P到三个城镇距离平方和为最小，点P应 位于何处？
1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为_____， 特别地： ①点P(x0，y0)到x轴的距离__________； ②点P(x0，y0)到y轴的距离__________； ③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离__________； ④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离__________．
|Ax0＋By0＋C| 1．d＝ A2＋B2 d＝|y0| d＝|x0| d＝|y0－a| d＝|x0－b| |C2－C1| 2．d＝ 2 2 x＋y＋3＝0 A ＋B
2．我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度 称为两条平行线间的距离”．若两条平行线分别为l1：Ax ＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为 __________． 特别地，若两直线中x，y的系数成比例时要先把它 们化为系数一致才能用公式，如 |Ax0＋By0＋C| l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋ 1． d＝ l ：3 3y＋9＝ 0，须把 ＋ 32 y＋9＝0化为l2：__________，然 2 A2x ＋ B 后再用公式求距离．
d＝|y0| d＝|x0| d＝|y0－a| d＝|x0－b| |C2－C1| 2．d＝ 2 2 x＋y＋3＝0 A ＋B
点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为
|Ax0＋By0＋C| d＝ . 2 2 A ＋B 点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式， 它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距 离问题，此方法也可以用来判断点与直线的位置关系— —点在直线外或是点在直线上，在学习中应当特别注意 以下两点：
故所求的直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0. 当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线． 解法二：由平面几何知识，l∥AB 或 l 过 AB 中点， 1 若 l∥AB，则 kAB＝－ ，设直线方程为 2 1 y＝－ x＋b，代入 M(－2,1)，得 b＝0. 2 则直线 l 的方程为 x＋2y＝0. 若 l 过 AB 的中点 N(1,1)，则直线 l 的方程为 y＝1. ∴所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
变式训练
1．(1)已知点A(a,2)到直线3x－4y－2＝0的距离 等于4，求a的值；
(2)在x轴上求与直线3x＋4y－5＝0的距离等于5的 点的坐标．
|3a－4×2－2| 解析：(1)由 d＝ 2 2 ＝4， 3 ＋－4 10 解得 a＝10 或 a＝－ . 3 |3x＋4×0－5| (2)设点为(x,0)，依题意有 5＝ . 2 2 3 ＋4 ∴25＝|3x－5|，即 3x－5＝25 或 3x－5＝－25， 20 ∴x＝10，或 x＝－ . 3 20 ∴点的坐标为(10,0)或 － 3 ，0 .