关于轮换对称性的一个注记
数学奥林匹克竞赛轮换与对称
因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。
一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。
(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。
(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。
2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：)(b a L +；二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。
(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。
利用轮换对称性计算多元函数积分
利用轮换对称性计算多元函数积分
冯佳宾
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2015(18)2
【摘要】本文通过介绍如何判断积分区域是否具有轮换对称性,以及如何利用轮换对称性来简化一些定积分的计算,并给出2个实例说明在运用轮换对称性时应该注意的一些问题.
【总页数】2页(P51-52)
【作者】冯佳宾
【作者单位】郑州大学力学与工程科学学院,河南郑州450001
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.巧妙利用对称性计算多元函数积分 [J], 程涛;
2.应用多元函数轮换对称性简化计算偏微分示例 [J], 陈秋杏
3.利用变量轮换对称性计算积分 [J], 李曼生;霍锦霞
4.利用对称性计算多元函数积分 [J], 刘卫江
5.利用轮换对称性简化积分计算 [J], 谢兴武
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重积分积分的轮换对称性
若f ( x, y) f ( x, y)
则 f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D1
其 中D1为D的 上 半 部 分 （ 或 右 半 部分 ） 区 域
例 计算 e y2 dxdy，其中D为直线y x，与曲线
D
1
y x 3所围有界区域
轮换对称性
定 义1 设 Rn , ( x1 , x2 ,, xn ) , , 都 有 ( x2 , x3 ,, xn , x1 ) ，( xn , x1 ,, xn1 ) ， 则 称 区 域关 于 变 量x1 , x2 ,, xn具 有 轮 换 对 称 性
定 义2 若 函 数 F ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) F ( x2 , x3 ,, xn , x1 ) F ( xn , x1 ,, xn1 ) 则 称 函 数F关 于 变 量x1 , x2 ,, xn具 有 轮 换 对 称 性
命 题 设 区 域D关 于x, y具 有 轮 换 对 称 性 ， 则 ( x, y) D， 有( y, x) D。 而( x, y)与( y, x) 关 于 直 线y x对 称 ， 由( x, y)任 意 性 知 ， 区 域D 关 于y x是 对 称 的
命 题 若 积 分区 域D关 于x, y具 有 轮换 对 称 性 ， 则
1.
D
f
( x,
y)d
1 2
(
D
f
( x,
y)
f
( y,
x))d
2.D关 于 直线y x对 称 。 记D位 于 直线y x
上 半 部 分 区 域 为D1。
(1)当f ( x, y) f ( y, x)时， f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
轮换对称式待定系数法
轮换对称式待定系数法哎呀，这个题目听起来就挺高大上的，不过别担心，咱们今天就用大白话聊聊这个听起来有点复杂的数学方法——轮换对称式待定系数法。
首先，得说明白，这个方法是解决非齐次线性微分方程的一种技巧。
啥是微分方程？简单说，就是描述变化率的方程。
比如，你开车的速度和时间的关系，或者物体下落的速度和时间的关系，都可以用微分方程来描述。
好了，回到正题。
这个轮换对称式待定系数法，其实挺有意思的。
它的核心思想就是，如果微分方程的非齐次项（就是方程右边那个不是0的项）具有某种特定的对称性，那么我们就可以利用这种对称性来简化问题的求解过程。
举个例子吧，比如说，你有一个微分方程，它的非齐次项是一个三角函数，比如正弦或者余弦。
这时候，你就可以用轮换对称式待定系数法来求解。
具体来说，就是假设解的形式和非齐次项的形式相似，但是系数是待定的。
然后，你把这些待定系数代入微分方程，通过比较系数，就可以求出这些待定系数的具体值。
举个例子，假设你有一个微分方程，它的非齐次项是\(\sin(2x)\)。
你就可以假设解的形式是\(A\sin(2x) + B\cos(2x)\)，其中A和B是待定系数。
然后，你把\(A\sin(2x) + B\cos(2x)\)代入微分方程，通过比较系数，就可以求出A和B的具体值。
这个方法的好处是，它可以让你在求解微分方程时，少做很多计算。
因为你知道解的形式，所以可以直接求出待定系数，而不需要从头开始解微分方程。
当然，这个方法也有局限性。
它只适用于非齐次项具有特定对称性的微分方程。
如果非齐次项的形式比较复杂，或者没有明显的对称性，那么这个方法可能就不适用了。
总的来说，轮换对称式待定系数法是一种很有用的工具，可以帮助我们更高效地求解某些类型的微分方程。
但是，它并不是万能的，我们还需要根据具体问题，选择合适的方法来求解。
好了，关于轮换对称式待定系数法，咱们就聊到这儿。
希望这个例子能让你对这个数学方法有更直观的理解。
三重积分的对称性总结
三重积分的对称性总结三重积分是多元函数积分的一种，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们经常会遇到对称性的问题。
对称性在数学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
因此，对于三重积分的对称性，我们需要进行总结和归纳，以便在实际问题中更好地应用。
首先，我们来看三重积分的轮换对称性。
对于三元函数f(x, y, z)，如果它在变量x、y、z之间是对称的，即f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y)，那么在计算三重积分时，我们可以利用轮换对称性来简化计算。
例如，当我们计算∫∫∫f(x, y,z)dxdydz时，可以先对x进行积分，然后对y和z进行轮换积分的顺序，这样可以减少计算的复杂度。
其次，三重积分的球面对称性也是非常重要的。
当我们在三维空间中进行积分时，如果函数f(x, y, z)在球面上是对称的，即f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，那么我们可以利用球面对称性来简化计算。
在球面坐标系下，球面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
另外，三重积分的柱面对称性也是我们需要考虑的问题。
当函数f(x, y, z)在柱面上是对称的，即f(x, y, z) = f(x, -y, -z)，我们可以利用柱面对称性来简化计算。
在柱面坐标系下，柱面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的对称性是我们在实际计算中需要重点考虑的问题。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断何种对称性可以应用，从而更好地解决问题。
综上所述，三重积分的对称性是一个非常重要的问题，它在实际计算中起着至关重要的作用。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
轮换对称性的条件
轮换对称性的条件
什么是轮换对称性？轮换对称性是指通过将一系列物体中的每个物
体的位置轮换到另一个位置，但在形状，大小和方向不变的前提下实
现对称性的一种方法。
它是几何学家和美术家为了增加图案的美感而
采取的一种手段。
轮换对称性的条件非常重要，可以帮助获得非常优美的效果。
那么，
轮换对称性的条件有哪些呢？
一、平移：平移要求所有物体或图形都沿着确定的方向移动一个固定
的距离，而不会改变它们的形状，大小，位置或方向。
此外，平移还
要求任何未移动的物体或图形也应保持不变。
二、旋转：旋转要求物体或图形在中心点旋转一定的角度，而不改变
其位置，大小，形状或方向。
三、镜像对称：镜像对称要求物体或图形位于一个零中心对称的位置，这一点非常重要，因为如果不是这样，结果将不会对称。
四、组合：在组合方面，轮换对称性要求任何给定的物体或图形必须
在组合后保持位置，大小，形状和方向不变。
总之，轮换对称性的条件是由平移，旋转，镜像对称和组合组成的，
它能够在不改变原有外形的情况下，使不同的物体或图形联系在一起，
形成完整的轮换图案。
希望这个图案能给你带来满意的结果，让你的空间装饰更加美观！。
轮换对称性在多元微分学中的应用
轮换对称性在多元微分学中的应用重积分是多元微积分中的一个重点模块，经常会出现在一些较为困难的计算题与证明题中。
此外，在物理学中也经常能见到重积分的身影。
在各大高校的研究生入学试题以及期末测试题中，重积分往往也是不可忽视的一部分。
本文在默认读者有着熟练计算二重积分的基础上，旨在通过几个例题来介绍一类典型的重积分问题：“具有轮换对称性的重积分”。
希望可以帮助到各位微积分学习者！我们首先先关注区域 D 的轮换对称性。
这里直接给出它的定义“若区域 D 关于直线y=x 对称，那么对于区域内的任意一点P1(x,y) ,都有P2(y,x)∈D,我们称这样的区域 D 具有轮换对称性。
”那么什么是二重积分的轮换对称性呢？这里有一个定理：“若 D 有轮换对称性，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy .”通过这个定理，我们可以解决很多关于二重积分的计算与证明题。
【例.1】求积分I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy 的值，其中D:x2+y2≤R2. 解：注意到区域 D 具有轮换对称性，故I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy=∬D(y2a2+x2b2)dxdy考虑求和，等式变为I=12[∬D(x2a2+y2b2)dxdy+∬D(y2a2+x2b2)dxdy]化简提出公因式，则变成I=12(1a2+1b2)∬D(x2+y2)dxdy此时后面的二重积分已经可以计算出，最终结果为I=πR44(1a2+1b2)【例.2】设f(x) 在[0,1] 上连续，且∫01f(x)dx=A,求积分I=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy的值.解：遇见二次积分，第一反应先把它转化为二重积分，I=∬Df(x,y)dxdy ，其中 D 为直线x=0 ,直线y=x ,直线y=1 围成的区域。
显然，区域 D 是正方形：0≤x≤1, 0≤y≤1的对角线上半部分，我们将这个正方形区域补齐,考虑到正方形区域具有轮换对称性，所以有等式I=∫01dx∫1xf(x)f(y)dy所以这个二次积分满足I=12∫01dy∫01f(x)f(y)dx=12∫01f(y)dy∫01f(x)dx=12A2。
轮换对称式
一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。
如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题 求方程x+y=xy 的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。
坐标的轮换对称性
关于坐标的轮换对称性的解释坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。
比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z 换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。
第二类和（2）总结相同。
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
注意两点，一是被积函数关于某一变量的奇偶性，二是看一下积分区域，是否关于该变量坐标轴两边对称。
比如说2维空间，如果被积函数是X的积函数，那么考察积分区域，是否关于Y对称。
如果想要考察X，Y坐标是否可对换，那么就需要考察积分区域是否关于y=x对称。
三维空间类似，如果被积函数是X的奇函数，那么考察积分区域，看一下是否关于YZ平面对称。
关于对称块轮换矩阵的注记
关于对称块轮换矩阵的注记
曹志浩
【期刊名称】《数学研究与评论》
【年(卷),期】1990(010)003
【摘要】本文研究了对称块轮换矩阵和对称块轮换矩阵束的特征值和广义特征值问题。
导出了它们的特征分解。
当对称块轮换矩阵的每个块本身也是轮换矩阵时,本文的结果校正了[2]中的错误。
【总页数】5页(P469-473)
【作者】曹志浩
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.关于轮换对称性的一个注记 [J], 乐励华;虞先玉
2.具有对称r2-循环块的块r1-循环矩阵逆矩阵的一个求法 [J], 王建民
3.关于可逆矩阵、正交矩阵、对称变换的定义的注记 [J], 宋乾坤
4.具有r_2-循环块的块对称r_1-循环矩阵的逆阵求法 [J], 江兆林;王振羽
5.关于“块H-矩阵与块矩阵的谱”一文的注记 [J], 刘建州;黄泽军
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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关于轮换对称性的一个注记
作者：乐励华， 虞先玉
作者单位：东华理工大学数学与信息学院,江西抚州,344000
刊名：
高等数学研究
英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)：2009，12(2)
被引用次数：0次
1.秦勇再谈轮换对称性[期刊论文]-高等数学研究 2007(02)
2.同济大学应用数学系高等数学 2002
1.期刊论文徐年方.XU Nian-fang轮换对称性在积分计算中的应用-河北能源职业技术学院学报2009,9(1)
本文首先给出轮换对称性的定义,将它应用于二重、三重积分及曲线、曲面积分的计算中,用统一的形式归纳出计算积分的简易方法,最后用轮换对称性证明定积分不等式.
2.期刊论文曹荣荣重积分中轮换对称性的应用-高等数学研究2006,9(2)
举例说明轮换对称性在证明定积分不等式及简化计算方面的应用
3.期刊论文秦勇再谈轮换对称性-高等数学研究2007,10(2)
证明了文[1]中给出的轮换对称性的结论
4.期刊论文黄萱平.HUANG Xuan-ping二重积分的对称性及其应用-湖南冶金职业技术学院学报2006,6(4)
证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程.
本文链接：/Periodical_gdsxyj200902008.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：709737bc-d40a-4e46-90c3-9dcf00f8eea3
下载时间：2010年8月11日。