人教B版数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》课件
离散型随机变量的期望及方差课件
02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
人教B数学选修2-3课件：第2章2.32.3.1离散型随机变量的数学期望
第二章概率2. 3 随机变量的数字特征2.3. 1 离散型随机变量的数学期望学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求岀数学期望.（重点）2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.（重点）3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.（难点）教材整理/离散型随机变量的数学期望阅读教材P59〜卩60,完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是加切•“，凡, 这些值对应的概率是卩1，卩2,…，Pn，则E(X)二如1土泌土T土泌叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.------ 0微体验0 -----1. __________________ 下列说法正确的有・(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化;②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4；Xl+%2 ----- 為④随机变量X的均值E(X)二◎【镒】■鑒@-^s s s 虐息謬舉1W雷摄豊舉屢藍苞•皐1聲—益眾-K-X 啊豎證■型羸曾酗嚣2.已知离散型随机变量X的分布列为:则X的数学期望E(X)二___11牛刀出M 如】•HG+XDgmsHgg 掘教材整理2常见的几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.----- 0微体验0 ----(1]1.若随机变量X服从二项分布$4, 则E(X)的值为1 4【解析】E(X)=np=^j=y 【笞案】2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是・【解析】因为P(X=l)=0.8, P(X=0)二0.2,所以E®=1X0.8+0X02=0.8.【答案】0.8\響17 二点分布与布的数劉望【例1】某运动员投篮命中率为p=0.6.⑴求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望.【精彩点拨】⑴利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【解】⑴投篮1次，命中次数X的分布列如下表:则E®=0.6.⑵由题意，重复5次投篮，命中的次数丫服从二项分布，即丫〜5(5,0.6),则E(F)=〃p=5X0.6=3.r规律方沽1.常见的两种分布的均值设卩为-次试验中成功的概率，则⑴二点分布E(X)=p；⑵二顶分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算豊提高解题速度•2.二点分布与二项分布辨析⑴相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,l, 2,…，n.②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行〃次试验.越跟腳||漏1.⑴某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X,则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 4002 -9 11 - 07A学期望E(X)等于()X0 1P_______m加【解析】⑴由题意可知，补种的种子数记为X, X服从二项分布, 即X〜B(1 000,0.1),所以不发芽种子的数学期望为1000X0.1 = 100.所以补种的种子数的数学期望为2X100=200.1 12 2(2)由题意可知m+2m=l,所以m=y所以E(X)=0X亍+1X厂亍【答案】(1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望一一丿------------------------------------------------------------------------------ 【例2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演岀活动中, 每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演岀顺序（序号为1,2, •“，6）,求：⑴甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两单位之间的演岀单位个数（的分布列与均值.【精彩点拨】⑴可先求“甲乙两单位的演岀序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；（2）先求出（的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【解】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.⑴设4表示“甲、乙的演岀序号至少有一个为奇数”，则只表示網乙的演岀序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P⑷=1 -— C2P⑷r(2)(的所有可能取值为0,1,2,3,4,且5 1 4 4 3 1 2P(f=0)=R=y P(f=l)="=K，P(f=2)=声PK=3)=^2= C6 J L Z61JL Z6 J Y2 1 1丐P(f=4)p祁.从而知｛的分布列为14 12 1 4所以E(^)=0X^+1X|^+2X^+3X^+4X J^=J.规律方疥求离散型随机变量f的数学期望的步骤(1)根据f的实际意义,写岀§的全部取值.(2球岀｛的每个值的概率.(3)与出§的分布列.(4)利用定义求出数学期望.其中第⑴、⑵两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识. 腿刀2-盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取-节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3,3 2 3 3则P(X=1)=§, P(X=2)=§X厂亦P(X=3)=討XI二点抽取次数X的分布列为3 3 1 3 E(X)=1X§+2X 込+3X 百二离散型随机变量的均值实际应用［探究问题］1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=03, P(X=l)=0.7.2.在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为^=0.8.3.在探究1中，你能求岀在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0X0.3+1XO.7=O.7（分）.因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.【例3】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检，其中一等品126 件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元, 设1件产品的利润（单位：元）为X.⑴求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；⑶经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, -等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？【精彩点拨】利用期望回答问题根据利润的意义写岀X的取值f写岀X的分布列求岀数学期望E(X)【解】（1）X 的所有可能取值有6,2,1, -2.P(X=_2)=缶=0.02.故X 的分布列为:P(X=6)= 126=0.63,P(X=2)= 5020=0.25, P(X=1)= 20 20=0.h(2)E(X)=6 X 0.63+2 X 0.25+1X 0.1+(—2) X 0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6X0.7+2X(l-0.7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01 =4.76-x(0<x<0.29).依题意，E(X)24.73,即 4.76—诊4.73,解得i<0.03,所以三等品率最多为3%.¥律方------------------ --------------1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤⑴审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.踪训龜3. 甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7, & 9,10环.将他们的比赛成绩111成频率分布甲 环数乙 环数(1)根据这次比赛的成绩步贝学力冲且力囹屮8环的概率P(X 乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;直方图如图甲和图乙所示.0.3 0.2 0.15击中频率击中频率0.35 0.27 8 9 10击中(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】⑴由图乙可知P（X乙=7）=0.2, P（X乙=9）=0.2, P（X乙=10） =0.35.所以P（X 乙=8）=1—0.2—0.2—0.35=0.25.同理卩（火甲=T）=0.2, P（X甲=8）=0.15, P（X甲二9）=03,所以P（X 甲=10）=1—0.2—0.15—0.3=0.35.P（X甲29）=0.3+0.35=0.65.（2）因为E（X 甲）=7X0.2+8X0.15+9X0.3+10X0. 35=8.8,E（X 乙）=7X0.2+8X0.25+9X0.2+10X0.35=8.7, 则有E（X 甲）〉E（X乙），所以估计甲的水平更高.漲堂小结二自分布的均值二项分布的均值1 •一名射手每次射击中靶的概率为0.8,则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()D. 3A. 0.83B. 0.8C. 2.4【解析】E(X)=3X0.8=2.4.。
离散型随机变量的期望与方差课件
方差是正数或零，无负值；方差越大， 随机变量的取值越分散；两个随机变 量的方差相等，则它们是同方差。
方差的计算
方差的计算公式
方差=E[(X-E[X])^2]，其中E[X]表示随机变量X的期望。
方差的简化计算
对于离散型随机变量，方差可以简化为方差=1/n Σ(xi-μ)^2，其中xi表示随机 变量X的取值，μ表示随机变量X的期望，n表示随机变量X的取值个数。
离散型随机量的期望与方 件
目录
• 离散型随机变量的期望 • 离散型随机变量的方差 • 离散型随机变量的期望与方差的关系 • 离散型随机变量的期望与方差的计算
实例 • 离散型随机变量的期望与方差在概率
论中的应用
01
离散型随机量的期望
定义与性质
期望的性质 2. 期望是一个可计算的数值，与概率分布中的权值
01
02
03
04
方差是用来度量随机变量取值 分散程度的数学概念。
方差越大，说明随机变量的取 值越分散；方差越小，说明随
机变量的取值越集中。
方差与标准差是两个紧密相关 的概念，标准差是方差的平方
根。
方差在概率论中有很多重要的 应用，例如在金融、统计学、
机器学习等领域。
期望与方差在金融风险控制中的应用
期望的性质与用途
3. 期望的计算公式是一个加权平均值。 期望的用途
1. 期望是评估一个随机变量取值水平的指标。
期望的性质与用途
01
2. 期望可以用于预测随机变量的 未来取值。
02
3.期望可以用于计算其他统计量， 如方差、协方差等。
02
离散型随机量的方差
方差的定义与性质
方差的定 义
高中数学人教B版选修2-3配套课件： 2.3 第1课时离散型随机变量的数学期望
[ 答案]
C
[ 解析]
1 5 E(X)＝5×4＝4.故选 C.
离散型随机变量的均值的性质
1 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝6(k＝ 1、2、3、4、5、6)，求： (1)E(2X＋3)； 1 (2)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝n(k＝1、2、„、 n)，求 E(X)．
[ 解析 ]
X 的分布列为： P(X ＝ 1) ＝ 0.7 ， P(X ＝ 0) ＝ 0.3 ，
∴E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.
[说明] 明确了是两点分布后只要找出成功概率即可．
设一随机试验的结果只有 A 和 A ，P(A)＝p，令随机变 量
1，A出现 X＝ 0，A不出现
然后列其分布列，最后计算 E(X)．
[ 解析]
从 10 件产品中任取 3 件共有 C3 10种结果．从 10
3－k 件产品中任取 3 件， 其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck 3C7 ，
其中 k＝0,1,2,3.
3－k Ck C 3 7 ∴P(X＝k)＝ C3 ，k＝0,1,2,3. 10
所以随机变量 X 的分布列为： X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
[分析] 利用离散型随机变量的均值概念与性质解题．
[ 解析]
1 1 1 (1)E(X)＝1×6＋2×6＋„＋6×6＝3.5，
∴E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×3.5＋3＝10. 1 1 nn＋1 (2)E(X)＝n(1＋2＋„＋n)＝n· 2 n＋1 ＝ 2 .
高数学应用意识.
本节重点：离散型随机变量的均值概念及计算． 本节难点：求离散型随机变量的均值.
1．离散型随机变量X的期望 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1、
离散型随机变量的数学期望PPT课件
【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， P(A)= ∴n＝2. (2)X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
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(2)Eξ＝2×694＋3×6148＋4×2614＋5×1624＋6×644＝145.
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望 的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原 理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分 布列的数学期望公式即可．
（2） EX 6 0.63 2 0.251 0.1 (2) 0.02 4.34
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润 为E(x) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 x) 1 x (2) 0.01 4.76 x(0 x 0.29)
依题意， E(x) 4.73，即 所以三等品率最多为3%
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例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或 选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
思路分析： 设甲、乙选对题数分别为X1、X2， 则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2， 问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= 5E(X1)
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y).
1 ; 17 , 62 6 30 15
高中数学第二章概率第14课时离散型随机变量的数学期望课件新人教B版选修2_33.ppt
点评 1.准确列出分布列是求均值的关键． 2.求离散型随机变量 ξ 的均值的步骤：(1)根据 ξ 的实际意义， 写出 ξ 的全部取值；(2)求出 ξ 的每个值的概率；(3)写出 ξ 的分布列； (4)利用定义求出均值． 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注 重分析概率的相关知识.
变式训练 1 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与 25，投中得 1 分，投不中得 0 分．甲、乙两人在罚球线各投球一次， 求两人得分之和 X 的数学期望．
解析：依题意，记“甲投一次命中”为事件 A，
“乙投一次命中”为事件 B，
则 P(A)＝12，P(B)＝25，P( A )＝12，P( B )＝35.
变式训练 3 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装 有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些 球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球， 若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在 1 次游戏中， (ⅰ)摸出 3 个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率． (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)．
2 新视点·名师博客 类型一 求离散型随机变量的期望 【例 1】 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出 活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为 1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ 的分布列与期望．
讲重点 对均值概念的理解 1．均值的含义：均值是离散型随机变量的一个特征数，反映 了离散型随机变量取值的平均水平． 2．均值的来源：均值不是通过一次或几次试验就可以得到的， 而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值． 3．均值与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同 于相应数值的算术平均数.
2018_2019学年高中数学第二章概率2.3.1离散型随机变量的数学期望课件新人教B版选修2_3
探究三
探究四
(1)所求概率为
P(A1B1)=P(A1)P(B1)=49
×
1 2
=
29.
(2)(方法 1)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=P(A0B0)=19
×
1 4
=
316,
P(ξ=1)=P(A0B1)+P(A1B0)=19
×
1 2
+
4 9
×
1 4
=
16,
P(ξ=2)=
1
P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=9
因为 E(X1)<E(X2), 所以 12<-p2+p+11.76.
所以 0.4<p<0.6.
当选择投资 B 项目时,p 的取值范围是(0.4,0.6).
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探究一
探究二
探究三
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探究二 特殊分布的数学期望
解决此类问题,首先应依据二项分布、二点分布及超几何分布的特点,
判断随机变量属于哪一种分布,再写出随机变量的分布列,然后利用特殊分
布的数学期望公式求解.
【典型例题 2】 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 棵.设
甲、乙两种大树移栽的成活率分别为2
3
和
12,且各棵大树是否成活互不影响.
故 P(A1)=
2 3
3 = 287,
P(A2)=C32
22 3
1-
2 3
×
2 3
课件_人教版高中数学选修二离散型随机变量的期望、方差PPT课件_优秀版
1km的部分按1km计）。 ③ , , 应满足什么关系,保险公司方可盈利?
数据的波动情况
分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。
（2）已知某旅客实付出租车费38元，而出租车实际行驶了15km，问出租车在途中累计停车最多几分钟？
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
方差定义：
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X的方差为：
D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
反映了离散型随机变量偏离期望的程度即波动程度
性质：
1.若X服从两点分布，则 EX p,DX p(1 p)
2.若ξ~B(n，p)， 则 EXnp, D np(1p)
0.3 0.3 （2）已知某旅客实付出租车费38元，而出租车实际行驶了15km，问出租车在途中累计停车最多几分钟？
解：设 表示盈利数，则随机变量的分布列为
0.2 0.2 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的-100分。
分2期或3期付款，其利润为250元；
变式2: , , 应满足什么关系,
200元；分2期或3期付款，其利润为250元； 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班
假设这名同学每题回答正确的概率均为0.
分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销 （1）求事件A：购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率P(A)；
3. E(aXb)aEXb D(aXb)a2DX
E(aXbY) aEXbEY
思考：
1.样本数据的平均值和方差与随机变量的 数学期望与方差有什么区别与联系？
高中数学人教B版选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
������2
24 , 125
������3 ) =
1 (1-p)· (1-q) 5
=
=
-16-
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题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1������2 ������3 )+P(������1 ������2������3 )+P(������1 ������2 ������3) = 5 (1-p)(1-q) + 5 ������(1-q) + 5 (1-p)q= 125. b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) = 125,
X P 1 0.5 3 0 .3 5 0 .2
则其数学期望 E(X)等于( A.1 B. C. 4.5
1 3
有 E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 答案:D
-7-
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典例透析
【做一做 1-2】 一个篮球运动员投篮 1 次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,且 a,b,c∈(0,1),若他投篮一次 得分的数学期望为 1(不分其他得分情况),则 ab 的最大值为( ) A. 48
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典例透析
二项分布、二点分布的期望
【例 2】 某运动员投篮命中率为 p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数 X 的期望; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 Y 的期望. 分析:(1)投篮一次有两个结果,命中与不中,因此命中次数 X 服 从二点分布;(2)重复 5 次投篮可认为是 5 次独立重复试验,命中次数 Y 服从二项分布. 解:(1)投篮一次,命中次数 X 的分布列为
(教师用书)高中数学 2.3.1 离散型随机变量的数学期望配套课件 新人教B版选修23
1 2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ，投 2 5 中得 1 分，投不中得 0 分．甲、 乙两人在罚球线各投球一次， 求两人得分之和 X 的数学期望．
【解】
依题意，记“甲投一次命中”为事件 A，
“乙投一次命中”为事件 B， 1 2 1 3 则 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P( A )＝ ，P( B )＝ . 2 5 2 5 甲、乙两人得分之和 X 的可能取值为 0、1、2，
的均值或数学期望(简称期望)． (2)意义 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 _________．
2．常见几种分布的数学期望 名称 二点分布 二项分布 超几何分布
nM p np 公式 E(X)＝___ E(X)＝____ E(X)＝ N
求离散型随机变量的数学期望
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传” 演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签 的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 X 的分布列与期 望．
(2)X 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 P(X＝0)＝ 2＝ ，P(X＝1)＝ 2＝ ，P(X＝2)＝ 2＝ ， C6 3 C6 15 C6 5 2 2 1 1 P(X＝3)＝ 2＝ ，P(X＝4)＝ 2＝ . C6 15 C6 15 从而知 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 4 1 2 1 3 15 5 15 15
1 1．若随机变量 X 服从二项分布 B(4， )，则 E(X)的值 3 为( ) 4 A. 3 8 B. 3 13 C. 3 8 D. 9
【解析】
【答案】
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9组 ★ ★
李雯玉、郭欣鹏
4
一、复习回顾
1. 离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2. 离散型随机变量分布列的性质： (1) pi≥0，i＝1，2，…； (2) p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
3. 离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。
三、概念形成 数学期望 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为: 1、离散型随机变量取值的平均值
X
P
则称
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2、概念形成
离散型随机变量的数学期望(均值) 几点说明： (1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量 取值的平均水平。 (2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若p1=p2=p3=…=pn，此时
Pn (k) C p (1 p)k nkn k18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合
混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
定价为混合糖果的平均价格才合理
按3：2：1的比例混合
18元/kg
24元/kg
36元/kg
平均价格为 18 3 m 24 2 m 36 1 m 6 6 m千克混合糖果的总价格为 6
2.3.1 离散型随机变量的数学期 望
说课的流程图
教材分析 学情分析 教学目标 教学方法
学法指导
教学过程
设计说明
教材分析
• 一．教材分析： • 《离散型随机变量的数学期望》是人教B版选修2-3第 二章第三节的内容，本节之前我们学习了排列组合 二项式定理，离散型随机变量的分布列，二项分布， 超几何分布。这些内容是学习本节课的基础，并且 为下一节学习方差打下基础，因此，本节起到承上 启下的作用。本节内容不仅是本章《概率》的重点 内容，也是整个高中学段的主要研究的内容之一， 更是高频考点，有着不可替代的重要作用。 • 通过本节学习，在概念的形成过程有利培养学生归 纳概括的推理能力和学以致用的应用意识。概念的 引出使学生体验知识的发展过程，培养学生创新能 力。
冷佳萦、范一鸣、傅悦 班晶晶、黄美霖、路彤、张涵 管政企
得分
4 8 2
1组 ★ ★ ★ 2组 ★ ★ ★ ★ 3组 ★
4组 ★ ★ ★
5组 ★ ★ ★ 6组★ ★ ★
廖梓良、潘雪、刘洋、杜爽
王雨萌、冯蕊、李景隆、刘欢 马文博、刘贵龙、刘浩鑫、耿健喜
6
6 6 10 8
7组★ ★ ★★★ 朱忠洋、于甜甜、杜鑫、 8组 ★ ★ ★ ★ 林子欣、郭文直
一.复习回顾 4、什么叫n次独立重复试验？
一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立 完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与 ，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独 立重复试验，也称伯努利试验。
5、什么叫二项分布？
若X～B (n，p)
ξ
0
1
…
k
…
n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
平 均
教学过程
二、互动探索
某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2 ，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X P 1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
3 2 1 平均价格为 18 24 36 23(元 / kg ) 6 6 6
问题2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的 分布列。 X 18 24 36
P
3 6
2 6
1 6
合理价格： 18 P( X 18) 24 P( X 24) 36 P( X 36)
33 1 22 1 m × 18 m+ 24 × 36 18 + 36× m 66 6 66 6
＝２3 元 kg m
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：
2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
问题1：混合后，每1kg糖的平均价格为多少？
理解离散型随机变量 期望的概念。 知识与技能目标 会计算简单的离散型 随机变量的期望，并 解决一些实际问题。 体会从特殊到一般的思 过程与方法目标 想。 培养学生把实际问题抽 象成数学问题的能力。 情感与态度目标 激发学习数学的情感， 培养其积极探索的精神。
教学目标
教学重点、难点
• 教学重点：离散型随机变量的数学期望的 概念及其含义。 教学难点： 离散型随机变量期望的实际应用
问题3: 作为顾客，买了1kg糖果要付23元，而顾客 买的这1kg糖果的真实价格一定是23元吗？
思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例 混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
概率
1 1 1 合理价格： 18 24 36 23(元 / kg ) 2 3 6
教法与学法
引导发现法
问题情境法
教学流程图
情景屋
引入新课
问题苑
建构概念
快乐套餐
实际应用
检验坊
课堂检测
点金匙
归纳总结
课前准备：学案、课本、练习本、 双色笔、还有你的激情哦！
寄语同学：“既然确定更远的飞翔，就别再收 回已经张开的翅膀”，永不言弃，突破黑暗， 就会看到黎明的曙光！！！
预习反馈
小 组 优 秀 个 人
学情分析
• 二．学情分析：
• 在本节教学前，学生已经与概率，统计有广泛接 触，对数学知识具备一定的运用能力。在已掌握 分布列的基础上进一步学习本节困难不大。 • 由于现在高中生对问题的理解能力较差，会出现 有些学生只会利用公式计算期望，不理解公式含 义。会对解决实际问题造成困难。因此在本节课 教学中注重概念的理解，要让学生知其然，还要 知其所以然。