2015-2016学年北京市清华附中九下第一次月考数学试卷
北京市东城区2015-2016学年九年级数学下学期统一练习(一)
北京市东城区2015—2016学年第二学期统一练习（一）九年级数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示，2015年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据51 660 000用科学记数发表示应为 A ．75.16610⨯ B ．85.16610⨯ C ．651.6610⨯ D ． 80.516610⨯ 2．下列运算中，正确的是A ．x ·x 3=x 3B ．(x 2)3=x 5C ．624x x x ÷= D ．(x -y )2=x 2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是5. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=A ．52°B ．38°C ．42°D ．62°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为A ．29米B ． 58米C ．60米D ． 116米7．在平面直角坐标系中，将点A （-1，2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是A ．（-4，-2）B ．（2，2）C ．（-2，2）D ． （2，-2）28. 对式子2241a a --进行配方变形，正确的是A ．22(1)3a +-B ． 23(1)2a --C ．22(1)1a --D ．22(1)3a -- 9. 为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品. 已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过．．．200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是A ．5B ．6C ．7D ．810. 如图，点A 的坐标为（0,1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt △ABC ，使 ∠BAC =90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标 为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ac -= ．12．请你写出一个一次函数，满足条件：○1经过第一、三、四象限；○2与y 轴的交点坐标为（0，-1）.此一次函数的解析式可以是 ．13. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 . 14. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是 ．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己23的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x ，乙持钱为y ，可列方程组为 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：请你判断哪位同学的作法正确 ；这位同学作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011tan 6021)()2-︒--.18. 解不等式组22)3(1),1,34x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩（≤＜ 并把它的解集表示在数轴上.19．已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：4不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）. 21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =k 1x +b 与与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限交于点A （3,1），连接OA . （1）求反比例函数2k y x=的解析式； （2）若S △AOB :S △BOC = 1:2，求直线y =k 1x +b 的解析式.24. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n ，并按以下规定分为四档：当n ＜3时，为“偏少”；当3≤n ＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n ≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的x ，y 的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数.25. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26. 在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积.图1 图227．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．6BCB28. 如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （21，14），E （0，，F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN上存在⊙C 的相邻点P，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1 备用图1 备用图2北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（一）九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：011tan 6021)()2-︒--解：原式212- …………4分 =1-. …………5分18. 解：解不等式○1，得 -1x ≥. …………1分 解不等式○2，得 3x ＜ . …………2分 ∴ 不等式组的解集为-13x ≤＜ . …………4分 不等式组的解集在数轴上表示如下：…………5分19. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分∵ 230x x --=，∴ 23x x -+=-. …………4分 ∴原式= -2. …………5分20. 解：∠E =35°，或∠EAB =35°， 或∠EAC =75° . …………1分∵在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，8∴ ∠ABC =∠ACB =70°. …………3分 又∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD =35° . …………4分 ∵ AE ∥BD ，∴ ∠E =∠EAB =35° . …………5分 ∴ ∠EAC =∠EAB +∠BAC =75° .21．解：设第二批鲜花每盒的进价是x 元. …………1分依题意有6000113000210x x =⨯+. …………2分 解得x =120. …………3分经检验：x =120是原方程的解，且符合题意． …………4分 答：第二批鲜花每盒的进价是120元． …………5分22．解：（1）证明： 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，AB =AF ，且∠BAE =∠FAE .又∵平行四边形ABCD ， ∴ ∠FAE =∠AEB . ∴ ∠BAE =∠AEB . ∴ AB =BE . ∴ BE= FA .∴四边形ABEF 为平行四边形.∴四边形ABEF 为菱形. …………2分 （2）∵四边形ABEF 为菱形，∴AE ⊥BF ，OB =21BF =3，AE =2AO . 在Rt △AOB 中，AO4=. ∴AE =2AO =8.…………5分23．解：（1）由题意可知21=3k ．∴23k =. …… 1分 ∴ 反比例函数的解析式为3y x=. （2）符合题意有两种情况：○1直线y =k 1x +b 经过第一、三、四象限. ∵ S △AOB :S △BOC = 1:2，点A （3,1）， ∴ 可求出点C 的坐标为（0，-2）.∴ 直线的解析式为2y x =- . .…………3分 ○2直线y =k 1x +b 经过第一、二、四象限. 由题意可求点C 的坐标为（0，2）.∴ 直线的解析式为1-+23y x =. …………5分24.解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50名. （2）调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30.∴x =30﹣（12+7）=11名.y =50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3名．（3）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，∴估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32名．…………5分25. 解：（1）证明：∵ ∠EDB =∠EPB ，∠DOE =∠POB ，∴ ∠E =∠PBO =90゜，∴ PB 是⊙O 的切线．…………2分（2）∵ PB =3，DB =4，∴ PD =5.设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC . ∵ PD 切⊙O 于点C ， ∴ OC ⊥PD .∴ .222OD OC CD =+ ∴ .)4(2222r r-=+∴.23=r可求出PO =易证△DEP ∽△OBP .1∴DE DPOB OP=. 解得DE =…………5分26．解：（1）菱形（正方形）. …………1分（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行） …………3分 已知：筝形ABCD. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）连接AC .过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E . ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°. 又∵B C=2，∴BE =1，CE. ∴S四边形ABCD=21122422ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=…………5分27.解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分 （2）2b x a -==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分 （3）a >1或a <-5. …………7分 28.解：（1）相等. …………1分 （2）思路：延长FD 至G ，使得GD=DF ，连接GE ，GB .证明△FCD ≌△GBD ，△GED 为等边三角形，∴△GED 为所求三角形.最大角为∠GBE=120°. …………4分（3）过D 作DM ，DN 分别垂直AB ，AC 于M ，N .∴∠DMB =∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°.又∵DB=DC ，∠B=∠C ，∴△DBM ≌△DCN.∴DM =DN .∵∠A=60°，∠EDF=120°，∴∠AED +∠AFD=180°.∴∠MED =∠AFD.∴△DEM ≌△DFN.∴ME=NF.∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN =333442+=. …………7分29.解：（1）①D ,E . …………2分②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分（2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意.∵ 点P 在直线3y x =-+上，∴03p x ≤≤. …………6分（3）09C x ≤≤. …………8分。
2015-2016年清华附中初三数学4月月考试题及答案
初三第二学期期中考试数学试卷（清华附中初13级）2016年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1 500 000元提高到2 000 000元. 其中2 000 000用科学记数法表示为（）A．7100.2⨯B．7102⨯C．51020⨯D．6102⨯2．如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（）DCBA3．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是7，那么点B表示的数是（）A．3-B．2-C．2 D．1-4．小伟投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,那么向上的一面的点数大于4的概率为（）5．如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB=8，OD=3，则⊙O的半径等于（）A．4B．5C．8D．106．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（）A．46 B．44 C．36 D．347．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误．．的是( )A．众数是9 B．中位数是9C．平均数是9 D．锻炼时间不低于9小时的有14人B AC21l4l3l2l1学生人数（人）8．二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，则点(a, c)在（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9．以下是某市自来水价格调整表：自来水价格调整表（部分）单位：元/立方米）A B C Dx x x x10.有甲、乙、丙三人参加5项科普知识比赛（其中包含天文、互联网），在每个项目中，第一名得1k分，第二名得2k分，第三名得3k分，321,,kkk都是正整数，且321kkk>>，最后计算总分时，甲得了22分，乙与丙各得了9分，且乙在天文知识比赛中获得第一名，则在互联网项目中，获得第二名的是（）A.甲B.乙C.丙D.无法确定二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 分解因式：2212123baba+-= ．12．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．13．公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．此问题中“它”的值为________．14．关于x的一元二次方程2+10ax bx+=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a, b 的值：a=_____ ，b=_________．15．2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价.乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里x（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里. 使用市政交通一卡通刷卡，每自然月．．．内每张卡支出累计满100元以后的乘次．．，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次．．，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次．．，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是 元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元.16.已知△ABC ，小明利用下述方法做作出了△ABC 的一条角平分线.小明的作法：(1)过点B 作与AC 平行的射线BM ；（边AC 与射线BM 位于边BC 的异侧） (2)在射线BM 上取一点D ，使得BD BA =； (3)连结AD ,交BC 于点E .线段AE 即为所求.小明的作法所蕴含的数学道理为_______________________________________ _______________________________________________________________.三、解答题（本题共72分，17-26题每题5分，27、28题每题7分，29题8分） 17．计算：-1022cos30(π 3.14)++- ．18． 解不等式组3(1)511242x x x x -<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ .C A B E MD C A B19．已知0132=-+x x ，求)1(3)1()2(422---++x x x x 的值.20．已知：如图，C 是AE 的中点，∠B=∠D ，BC //DE ． 求证：AB=CD21．平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=>的图象经过点),2(m A ，过点A 作AB22．列方程（组）解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比B E缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？23． 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒． (1) 求∠BDC 的度数；(2) 求AB 的长．24．为了了解某市的绿化进程，小明同学查询了园林绿化政务网，根据网站发布的近几年该市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题：① 求2014年该市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？年增长率（%）10987654213020152014201320122011年份某市2011---2015年人均公共绿地面积年增长率统计图151296302014201320122011人均公共绿地面积（m 2）某市2011---2015年人均公共绿地面积统计图BC②补全条形统计图；（2）小明同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高人均公共绿地面积做贡献. 他对所在班级的40名同学2015年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，他所在学校的300名同学在2015年共植树多少棵？25．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若sin4C OA=4，求AE的长．C26．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，如果M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应的实数是a 、b ，这时点P 的坐标为（a ，b ）．（1）如图2，在斜坐标系xOy 中，画出点A (-2，3)(不要求尺规作图,不写作法)；（2）如图3，在斜坐标系xOy 中，已知点B （5，0）、C （0，4），且P （x ，y ）是线段CB 上的任意一点，求y 与 x 之间的函数关系式；（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，直接写出你的结论：______(填“是”或“否”)27．已知关于x 的函数1222-+-=ab abx ax y ,直线3+-=ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于点P ，点B 的纵坐标为3，且BP AP ⊥，BP AP =. (1)求实数a 的值及点B 的坐标；(2)若该二次函数的图像与线段AB 只有一个公共点，请结合函数图像，求出实数b 的取值范围.28.如图2所示，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点，AP 的延长线与ABC ∠的外角平分线交于E ，EAF ∠=45︒，且AF 交ADC ∠的外角平分线交于F ，把△ADF 绕A 旋转至△ABQ .(Ⅰ)如图1所示，当BE DF =时，求BQ 的长; (Ⅱ)如图2所示.(1)请探究线段,,BE DF EF 之间的数量关系，并证明.(2)当点P 在BC 边上运动时，记(01)BP x x =<<,BEQ S ∆=y ,探究y 是否随着x 的变化而变化，若不变化，求出y 的值，若变化,求出y 与x 的函数关系式.图1 图229.已知x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数， 如[]3.143=,[]11=,[]1.22-=-. (1) 解方程[]3 6.8x x +=；(2) 已知x 为正数，且x 不为整数，利用四舍五入的方法把x 近似(保留至个位)为0x ，其中0x 为正整数，请探究0x 与]5.0[+x 之间的关系，并简述你的理由.(3)已知O 为坐标原点，以O 为圆心，r 为半径作圆，且3≤r ，且该圆与函数]5.0[+=x y 恰有两个不同的公共点，请直接写出r 的取值范围. 初三第二学期期中数学答案 一、选择题：Q二、填空题： 11.23(2)a b -12. 6 13. 133814.24b a =都可以15. 4；179.516. 等边对等角；两直线平行，内错角相等.(等量代换,三角形角平分线的定义，可以不写) 三、解答题17.32-18.723x -<≤，19. 原式=22646x x ++=20. 证明：∵C 是AE 的中点，∴A C ＝C E . ……………………………………………………1分 ∵BC ∥DE ，∴∠A C B =∠E . …………………………………………………2分 在△ABC 和△CDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ， ∴△A B C ≌△C D E . ………………………………………4分 ∴ AB ＝CD . …………………………………………………5分21. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点),2(m A ， ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . …………………………………………1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ……………………………2分 ∴ 22k m ==. ………………………………………3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ………………………5分22. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x 人. ……………………1分根据题意，得 xx 128005014400=+， ………………………………………3分 解得400=x . ……………………………………………4分经检验，400=x 是原方程的解.且符合题意 ………………………5分 答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人.23. 解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒，∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴sin BE BC C =⋅cos 1CE BC C =⋅=．∵ 45BDC ∠=︒，∴DE BE =∴1CD DE CE =+． …………………………………3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅，∴CD BE DF BC ⋅==． …… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ==………………………………5分24. 解：（1）① 0.15%)4.31(5.14≈+⨯， ……………………………2分即2014年北京市人均绿地面积约为15.0平方米.②…………………3分均公共绿地积（m 2）9630图3 F B初三下学期期中试题 第 11页 共 12页（2）675300406544936251100=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. ……………5分估计她所在学校的300名同学在2015年共植树675棵.25.（1）证明：连接OD ．∵ OB =OD ， ∴ ∠B =∠ODB ． ∵ AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ． ∴ ∠ODB =∠C ．∴ OD ∥AC ．…………1分 ∵ DF ⊥AC ， ∴ OD ⊥DF ．∴ DF 是⊙O 的切线．…………2分（2）解：连结BE ，AD ．∵ AB 是直径，∴ ∠ADB =90°，∠AEB =90°．∵ AB =AC ，∴ ∠ABC =∠C ，BD =CD ．在Rt △ABD中，由题意可求出AD BD ==……3分 ∴BC =在Rt △BCE 中，可求出CE =13． …………4分 ∴ AE =CE -AC =5．…………5分26. （1）如图…1分（2）45y x =-+；（过程略）………………………………4分（3）是………………………5分初三下学期期中试题 第 12页 共 12页27.参考答案：（1）1a =，)3,6(B ；（2）22<≤-b ，84≤<b . 28.解：（Ⅰ）通过△ABE ≌△ADF ,可得22.5BAE DAF ∠=∠=︒,22.5ADF ∠=︒，1BQ DF AD ===.…………2分 （Ⅱ）222EF BE DF =+.（在直角△QBE 中证明）………………5分 （Ⅲ）12y =.根据ABQ ∆∽△EBA .……………………7分 29.参考答案：(1)8.1=x ；(2) 0[0.5]x x =+；（3）102r <<或21325<<r 或325≤<r .。
2014-2015学年北京市清华附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)(解析版)
2014-2015学年北京市清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（）A．3.84×104千米B．3.84×105千米C．3.84×106千米D．38.4×104千米2．（3分）如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（）A．﹣5B．﹣3C．3D．54．（3分）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°6．（3分）如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④7．（3分）在某捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（）A．30B．40C．35D．458．（3分）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟9．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．810．（3分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：m3﹣4m＝．12．（3分）已知方程2x﹣ay＝5的一个解，则a＝．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y ＝（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．14．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求AB′的长．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）16．（3分）小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：则全班所有同学身高的方差为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）计算：（2015﹣π）0﹣（）﹣1﹣2sin60°+|﹣1|．18．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．19．（5分）实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，求代数式（2x﹣1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2）的值．20．（5分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．21．（5分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．（5分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元．购进第一批书包的单价是多少元？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．24．（5分）据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：请根据以上信息，回答以下问题：（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了分钟；（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为亿（结果精确到0.1）；（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达亿．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；（2）若OA＝1，P A＝2，求BD的长．26．（5分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、a、a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上；探索创新：（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意整数a，b，c，均有（a+b+c）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣nx+m﹣关于y轴对称，且经过点（﹣1，﹣）（1）求m，n的值；（2）直线l经过点（0，﹣2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出OP+AP的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．28．（7分）在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．（Ⅰ）若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；（Ⅱ）求证：ME+NF＝EF．29．（8分）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称为该函数的界高．例如：下面所表示的函数的界高为4．（1）若函数y＝kx+1（﹣2≤x≤1）的界高为4，求k的值；（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．2014-2015学年北京市清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．故选：B．2．【解答】解：从正面看是一个上底在下的梯形．故选：D．3．【解答】解：AB＝5﹣B＝8，B＝﹣3，故选：B．4．【解答】解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率＝＝．故选：D．5．【解答】解：如图，∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝60°．∵AC⊥AB，∴∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°，故选：D．6．【解答】解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，∴AB＝BC，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD＝90°时，AC＝BD，故本小题错误；④∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．故选：C．7．【解答】解：在这一组数据中处于中间位置的数是30元、40元，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（30+40）÷2＝35（元）．故选：C．8．【解答】解：A．小明看报用时8﹣4＝4分钟，本项错误；B．公共阅报栏距小明家200米，本项正确；C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确；D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确．故选：A．9．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．10．【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点P运动到周长的一半（）时，OP最大；②点P的运动图象是抛物线．设点M为周长的一半，如下图所示：由图可知，图1中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项A；图3中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项C．另外，在图2中，当点P在线段OA上运动时，y＝x，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B．故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】解：m3﹣4m，＝m（m2﹣4），＝m（m﹣2）（m+2）．12．【解答】解：把x＝2，y＝1代入方程，得4﹣a＝5，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y＝（k≠0）过B点时，k＝2×2＝4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y＝．故答案为：y＝，y＝（0＜k≤4）（答案不唯一）．14．【解答】解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，∴△BAC≌△B′AC′，∴∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AC＝AC′∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB′＝2AC′＝2．故答案为：2．15．【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．16．【解答】解：∵男生身高的方差是36，女生身高的方差16，∴全班所有同学身高的方差为×（36×15+16×15）＝26；故答案为：26．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．【解答】解：原式＝1﹣2﹣2×+﹣1＝﹣2．18．【解答】解：，解①得：x＞﹣1；解②得：x≤4．，不等式组的解集是：﹣1＜x≤4．19．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴原式＝4x2﹣4x+1﹣x2﹣4x+x2﹣4＝4x2﹣8x﹣3＝4（x2﹣2x）﹣3＝4﹣3＝1．20．【解答】证明：AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABE，∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即CF＝BE，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF．21．【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得，1+a+a﹣2＝0，解得，a＝；方程为x2+x﹣＝0，即2x2+x﹣3＝0，设另一根为x1，则1•x1＝﹣，x1＝﹣．（2）∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．【解答】解：设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是（x+4）元，由题意得：×3＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解．答：购进第一批书包的单价是80元．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°∴∠BCD+∠ACH＝90°∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝CH，∴CH：AC＝1：，∴sin B＝；（2）∵sin B＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．∵∠CAH＝∠B，∴sin∠CAH＝sin B＝＝，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．24．【解答】解：（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7﹣3.0＝6.7分钟；（2）偶尔使用所占的百分比为1﹣13%﹣7.4%﹣13%﹣24.2%＝42.4%；我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2＝8.64亿，故答案为：6.7，1.5，8.64．25．【解答】（1）猜想：BC∥OP，证明：连接OC，∵P A、PC与⊙O相切，∴OA⊥P A，OC⊥PC，∴∠P AO＝∠PCO＝90°，在Rt△P AO和Rt△PCO中∴Rt△P AO≌Rt△PCO，∴∠AOP＝∠COP＝∠AOC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OCB+∠OBC＝∠AOC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠OBC，∴BC∥OP；（2）解：在Rt△P AO中，∠P AO＝90°，OA＝1，P A＝2，由勾股定理得：PO＝＝，作OE⊥BC，垂足为E．则∠P AO＝∠OEB＝90°，BE＝BC，∵∠AOP＝∠EBO，∠P AO＝∠BEO＝90°，∴△OAP∽△BEO，∴＝，即＝，解得：BC＝，由（1）知BC∥OP，∴△DCB∽△DPO，∴＝，即＝，∴BD＝．26．【解答】解：（1）△ABC的面积是3.5，理由是：S△ABC＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×3×2＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5．故答案为：3.5；（2）如图2的△ABC，S△ABC＝4a×3a﹣×4a×a﹣×3a×2a﹣×a×a ＝12a2﹣2a2﹣3a2﹣0.5a2＝6.5a2，即△ABC的面积是6.5a2．故答案为：6.5a2．（3）证明：如图所示：++≥（a+b+c），a＝b＝c时等号成立．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．【解答】解：（1）∵抛物线关于y轴对称，∴n＝0，∵抛物线经过点（﹣1，﹣），∴m+m﹣＝﹣，解得m＝；（2）d＝OP．证明如下：由（1）可知抛物线解析式为y＝x2﹣1，故可设P点坐标为（x，x2﹣1），∴点P到直线l的距离d＝x2﹣1﹣（﹣2）＝x2+1，又∵OP＝＝＝＝＝x2+1，∴d＝OP；（3）如图，过A作直线t⊥x轴，与抛物线交于点P，交直线l于点B，由（2）可知PO＝PB，∴OP+AP＝PB+AP＝AB，∴此时P点满足条件，∴OP+AP＝1﹣（﹣2）＝3，把x＝1代入抛物线解析式可求得y＝﹣，∴OP+AP的最小值为3，此时点P的坐标为（1，﹣）．28．【解答】（1）解：如图1，过N作NG⊥AB于G，∴四边形AGND是矩形，∴NG＝AD，∴AB＝AD＝GN，∵AP⊥MN，∴∠AEM＝90°，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABP与△NGM中，，∴△ABP≌△NGM，∴MN＝AP，在R t△ABP中，AB＝9，BP＝3，∴AP＝＝3，∴MN＝3．（2）证明：如图2，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，∵MN垂直平分AP，∴AE＝PE，AF＝PF，∵PH∥AB，∴∠MAE＝∠HPE，在△AME与△PHE中，，∴△AME≌△PHE，∴ME＝HE，∵∠TDF＝∠FBP＝45°，∴TD＝TF，FS＝BS，∵四边形ABST是矩形，∴BS＝AT，∴FS＝AT，在R t△FPS与R t△ATF中，∴R t△FPS≌R t△ATF，∴PS＝TF，∴PS＝TD，∵四边形TSCD是矩形，∴TD＝SC，∴PS＝SC，∵PH∥TS∥CD，∴HF＝FN，∴ME+NF＝EF．29．【解答】解：（1）将x1＝﹣2代入得；y1＝﹣2k+1，将x2＝1代入得：y2＝k+1，∵|y1﹣y2|＝4，∴|﹣3k|＝4．解得：k＝．（2）将y＝4代入抛物线的解析式得：x2＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∴m＝2．∴m的取值范围是0≤m≤2．（3）当a≥1时，将x1＝﹣2，x2＝1代入函数解析式求得y1＝4+7a，y2＝1+a，∵|y1﹣y2|＝，∴3+6a＝，解得：a＝又∵a≥1故此种情况不成立；当0≤a≤1时，将x1＝﹣2，x2＝a代入函数解析式得：y1＝4+7a，y2＝3a﹣a2，∵y1﹣y2＝，∴a2+4a﹣＝0，解得：a1＝，a2＝（舍去）故a＝．。
北京师大附中2015-2016学年度第一学期月考初三数学试题及答案
点的坐标是 2, 5 ．
（1）①点
3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点， x
②在点 A 2, 1 ， B 1, 2 中有一个点是函数 y 这个点是_______________； （ 2 ）若点 P 在函数 y x 3(2≤x≤k , k 2) 点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 5≤b≤2 ，求 k
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北京师大附中 2015—2016 学年度第一学期月考
初 三 数 学 试 卷
试卷说明：本试卷满分 120 分，考试时间为 100 分钟． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1． 把抛物线 y=3x 先向上平移 2 个单位， 再向右平移 3 个单位， 所得抛物线的解析式是 （
A B C
限 内 将 点 的 坐
（ 5 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 对角线 BD 上一 22． ∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证： ABE ∽ ACD
点，且
2 23． （8 分）已知二次函数的解析式是 y x 2 x 3 .
（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当 x 为何值时，函数值 y<0？ （3） 当-2<x<2 时， 观察图象直接写出函数值 y 的取值的范围.
2
21 或3 b 1 4
26. （8 分)（1）如图（2）如图（3）8
27． （8 分）解： （1）① ( 3,1) ； ………………………………1 分
② 点 B． ………………………………………………2 分
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2015-2016年北京市清华附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)(解析版)
2015-2016学年北京市清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1500000元提高到2000000元．其中2000000用科学记数法表示为（）A．0.2×107B．2×107C．20×105D．2×1062．（3分）如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是7，那么点B表示的数是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．﹣14．（3分）小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．则向上的一面的点数大于4的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB＝8，OD＝3，则⊙O的半径等于（）A．4B．5C．8D．106．（3分）如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝44°，那么∠2的度数（）A．46°B．44°C．36°D．22°7．（3分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（）A．众数是9B．中位数是9C．平均数是9D．锻炼时间不低于9小时的有14人8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（a，c）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）以下是某市自来水价格调整表：自来水价格调整表（部分）单位：元/立方米则AC调整水价后某户居民月用水量x（立方米）与应交水费y（元）的函数图象是（）A．B．C．D．10．（3分）有甲、乙、丙三人参加5项科普知识比赛（其中包含天文、互联网），在每个项目中，第一名得k1分，第二名得k2分，第三名得k3分，k1，k2，k3都是正整数，且k1＞k2＞k3，最后计算总分时，甲得了22分，乙与丙各得了9分，且乙在天文知识比赛中获得第一名，则在互联网项目中，获得第二名的是（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2＝．12．（3分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．13．（3分）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为．14．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a＝，b＝．15．（3分）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是元．16．（3分）已知△ABC，小明利用下述方法作出了△ABC的一条角平分线．小明的作法：（1）过点B作与AC平行的射线BM；（边AC与射线BM位于边BC的异侧）（2）在射线BM上取一点D，使得BD＝BA；（3）连结AD，交BC于点E．线段AE即为所求．小明的作法所蕴含的数学道理为．三、解答题（本题共72分，17-26题每题5分，27、28题每题7分，29题8分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．20．（5分）已知：如图，C是AE的中点，∠B＝∠D，BC∥DE．求证：AB＝CD．21．（5分）平面直角坐标系xOy中，反比例函数（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．（1）求m和k的值；（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO＝45°，直接写出点C的坐标．22．（5分）列方程解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量．缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？23．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝2，∠ABD＝15°，∠C＝60°．（1）求∠BDC的度数；（2）求AB的长．24．（5分）为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题：①2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？②补全条形统计图；（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献．她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的300名同学在2011年共植树多少棵．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，半径OA＝4，求AE的长．26．（5分）类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB 上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为；（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．27．（7分）已知关于x的函数y＝ax2﹣2abx+ab2﹣1，直线y＝﹣ax+3与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点P，点B的纵坐标为3，且AP⊥BP，AP＝BP．（1）求实数a的值及点B的坐标；（2）若该二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，请结合函数图象，求出实数b的取值范围．28．（7分）如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，AP的延长线与∠ABC的外角平分线交于E，∠EAF＝45°，且AF交∠ADC的外角平分线交于F，把△ADF绕A旋转至△ABQ．（Ⅰ）如图1所示，当BE＝DF时，求BQ的长；（Ⅱ）如图2所示．（1）请探究线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明．（2）当点P在BC边上运动时，记BP＝x（0＜x＜1），S△BEQ＝y，探究y是否随着x的变化而变化，若不变化，求出y的值，若变化，求出y与x的函数关系式．29．（8分）已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[3x]+x＝6.8；（2）已知x为正数，且x不为整数，利用四舍五入的方法把x近似（保留至个位）为x0，其中x0为正整数，请探究x0与[x+0.5]之间的关系，并简述你的理由．（3）已知O为坐标原点，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤3，且该圆与函数y＝[x+0.5]恰有两个不同的公共点，请直接写出r的取值范围．2015-2016学年北京市清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1500000元提高到2000000元．其中2000000用科学记数法表示为（）A．0.2×107B．2×107C．20×105D．2×106【解答】解：2000000用科学记数法表示为2×106，故选：D．2．（3分）如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（）A．B．C．D．【解答】解：一次性纸杯的口径小于底面直径，从上面看到的是两个同心圆；故选：A．3．（3分）如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是7，那么点B表示的数是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．﹣1【解答】解：由数轴可得，点A离原点的距离为5，又∵数轴上A，B两点之间的距离是7，∴点B离原点的距离为2又∵点B在原点的左侧，∴点B表示的数是﹣2．故选：B．4．（3分）小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．则向上的一面的点数大于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数大于4的概率为．故选：B．5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB＝8，OD＝3，则⊙O的半径等于（）A．4B．5C．8D．10【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝AB＝×8＝4，在Rt△AOD中，∵AD＝4，OD＝3，∴OA＝＝＝5．故选：B．6．（3分）如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝44°，那么∠2的度数（）A．46°B．44°C．36°D．22°【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝44°，∵l3⊥l4，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣44°＝46°．故选：A．7．（3分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（）A．众数是9B．中位数是9C．平均数是9D．锻炼时间不低于9小时的有14人【解答】解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．锻炼时间不低于9小时的有18+10+4＝32，故D错误．故选：D．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（a，c）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＜0，c＞0，则点（a，c）在第象二限．故选：B．9．（3分）以下是某市自来水价格调整表：自来水价格调整表（部分）单位：元/立方米则AC调整水价后某户居民月用水量x（立方米）与应交水费y（元）的函数图象是（）A．B．C．D．【解答】解：30立方米内每立方是0.82元，超过30立方米的部分每立方是1.23元，调整水价后某户居民月用水量x（立方米）与应交水费y（元）的函数图象先增长慢，后增长快，C符合题意，故选：C．10．（3分）有甲、乙、丙三人参加5项科普知识比赛（其中包含天文、互联网），在每个项目中，第一名得k1分，第二名得k2分，第三名得k3分，k1，k2，k3都是正整数，且k1＞k2＞k3，最后计算总分时，甲得了22分，乙与丙各得了9分，且乙在天文知识比赛中获得第一名，则在互联网项目中，获得第二名的是（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定【解答】解：∵甲得了22分，乙与丙各得了9分，总共22+9×2＝40分，∴每科的三名分值之和为：40÷5＝8分，∴单科三个名次的分值只有两种情况：单科第一名是5分，则：第二名为2，第三名为1分，和单科第一名为4分，则：第二名为3，第三名为1分，①当第一名5分，第二名2分，第三名1分时，∵乙在天文知识比赛中获得第一名，5分，余下4科，差9﹣5＝4分，只能是四科全是第三名，4＝1×4，余下四个第一名，如果甲得3个第一名，得分3×5＝15分，还余两科差：22﹣15＝7分，此种情况不可能，∴甲只能得四个第一名，得分；4×5＝20分，还余1科，差2分，只能是第二名，此时，余下一个第三名（天文），1分，余下四个第二名，得分2×4＝8分，共9分，符合丙的得分，此种情况甲得的第二名只能是天文，∴其他的第二名全是丙，∴获得互联网的第二名是丙；②当第一名为4分，则：第二名为3，第三名为1分，∵乙在天文知识比赛中获得第一名，得分4分，余下4科，差9﹣4＝5分，只能是一个第二名，得2分，三个第三名，得分3，余下四个第一名，如果甲得3个第一名，得分3×4＝12分，还余两科差：22﹣12＝10分，由于第一名才5分，所以甲只能得四个第一名，∴甲得4个第一名，得分4×4＝16分，还余两科差：22﹣16＝6分，只能是两科第二名，2×3＝6分，此时，余下2科第二名，2×2＝4分，3科第三名，3分，4+3＝7分≠9分，不符合丙的得分，此种情况不可能，即：只有第一名5分，第二名2分，第三名1分，这一种情况，获得互联网第二名的只有丙．故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2＝3（a﹣2b）2．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．12．（3分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是6．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．故答案为：6．13．（3分）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为．【解答】解：设“它”为x，根据题意得：x+x＝19，解得：x＝，则“它”的值为，故答案为：．14．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a＝1，b＝2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，符合一组满足条件的实数a、b的值：a＝1，b＝2等．故答案为：1，2．15．（3分）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是4元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是179.5元．【解答】解：小李每天上下班的费用为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，10天后花费100元，此时6天花费8×6＝48元，此时合计花费148元，7天后的上午花费148+4＝152元，从第17天的下午开始车费是5×0.5＝2.5元，此时到22天结束还需要乘车11次，需要花费2.5×11＝27.5元，故合计148+27.5＝179.5元．故答案为：4；179.5．16．（3分）已知△ABC，小明利用下述方法作出了△ABC的一条角平分线．小明的作法：（1）过点B作与AC平行的射线BM；（边AC与射线BM位于边BC的异侧）（2）在射线BM上取一点D，使得BD＝BA；（3）连结AD，交BC于点E．线段AE即为所求．小明的作法所蕴含的数学道理为等边对等角；两直线平行，内错角相等．【解答】解：∵AB＝DB，∴∠BAD＝∠BDA（等边对等角），∵AB∥AC，∴∠BDA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE＝∠CAE（等量代换），即AE平分∠BAC．故答案为：等边对等角；两直线平行，内错角相等．三、解答题（本题共72分，17-26题每题5分，27、28题每题7分，29题8分）17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝+2×+1﹣2＝++1﹣2＝﹣．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣2，解不等式②得，原不等式组的解集为﹣2＜x≤．19．（5分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．【解答】解：4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝4x2+8x+x2﹣2x+1﹣3x2+3＝2x2+6x+4＝2（x2+3x）+4，…（3分）∵x2+3x﹣1＝0，∴x2+3x＝1，…（4分）则原式＝2+4＝6．…（5分）20．（5分）已知：如图，C是AE的中点，∠B＝∠D，BC∥DE．求证：AB＝CD．【解答】证明：∵C是AE的中点，∴AC＝CE．…（1分）∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E．…（2分）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE．…（4分）∴AB＝CD．…（5分）21．（5分）平面直角坐标系xOy中，反比例函数（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．（1）求m和k的值；（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO＝45°，直接写出点C的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，m），∴2m＝k，且m＞0，∵AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，∴，解得m＝1，∴点A的坐标为（2，1），∴k＝2m＝2，（2）点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．22．（5分）列方程解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量．缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？【解答】解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x人．…（1分）根据题意，得，…（3分）解得x＝400．…（4分）经检验，x＝400是原方程的解．…（5分）答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人．23．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝2，∠ABD＝15°，∠C＝60°．（1）求∠BDC的度数；（2）求AB的长．【解答】解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝180°﹣∠C＝120°．在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝75°．∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．（2）过点B作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，在Rt△BCE中，∵BC＝2，∠C＝60°，∴BE＝BC•sin C＝，CE＝BC•cos C＝1．∵∠BDC＝45°，∴DE＝BE＝．∴CD＝DE+CE＝+1．∵BC•DF＝CD•BE，∴DF＝．∵AD∥BC，∠A＝90°，DF⊥BC，∴AB＝DF＝．24．（5分）为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题：①2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？②补全条形统计图；（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献．她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的300名同学在2011年共植树多少棵．【解答】解：（1）①14.5×（1+3.4%）≈15.0，即2010年北京市人均绿地面积约为15.0平方米．②如图所示：；（2）由题意得出：．估计她所在学校的300名同学在2011年共植树675棵．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，半径OA＝4，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：连结BE，AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BD＝CD．在Rt△ABD中，∵OA＝4，sin C＝，∴＝＝，∴AD＝2，BD＝2，∴BC＝4．在Rt△BCE中，∵sin C＝＝，即＝，∴BE＝，∴CE＝＝＝13，∴AE＝CE﹣AC＝5．26．（5分）类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB 上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为y＝﹣x+4；（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【解答】解：（1）在x轴上取一点M，使OM＝2，在y轴上取一点N，使ON＝3，如图作AM∥y轴，AN∥x轴交于点A，则点A即为所求；（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则PN＝x，PM＝y，由PN∥OB，得＝即＝；由PM∥OC，得＝，即＝；∴+＝＝1，即y＝﹣x+4；故答案为：y＝﹣x+4；（3）（2）中的结论仍然成立，如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时PN＝﹣x，PM＝y，与（2）类似，，＝．又∵﹣＝1．∴﹣＝1，即+＝1．27．（7分）已知关于x的函数y＝ax2﹣2abx+ab2﹣1，直线y＝﹣ax+3与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点P，点B的纵坐标为3，且AP⊥BP，AP＝BP．（1）求实数a的值及点B的坐标；（2）若该二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，请结合函数图象，求出实数b的取值范围．【解答】解：过P作PC⊥AB，∵AP⊥BP，AP＝BP，∴△APB为等腰直角三角形，∴直线y＝﹣ax+3与y轴交于点A，∴点A的纵坐标为3，∵点B的纵坐标为3，∴AB∥x轴，∴PC＝3∴AB＝2PC＝6，∴B（6，3），P（3，0），∵直线y＝﹣ax+3与x轴的正半轴交于点P，∴﹣3a+3＝0，∴a＝1，（2）如图，由（1）有a＝1，∴关于x的函数y＝ax2﹣2abx+ab2﹣1＝x2﹣2bx+b2﹣1＝（x﹣b）2﹣1，∴此函数图象是顶点的纵坐标为﹣1的抛物线，∵直线AB解析式为y＝3，∴抛物线与直线AB的交点坐标为（b﹣2，3）和（b+2，3）∴两交点之间的距离为4，∵该二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，∴①当抛物线和线段AB的左侧只交一个点时，∴b﹣2＜0，b+2≥0，∴﹣2≤b＜2，②当抛物线和线段AB的左侧只交一个点时，∴b﹣2＜≤6，b+2＞6，∴4＜b≤8．∴实数b的取值范围﹣2≤b＜2或4＜b≤8．28．（7分）如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，AP的延长线与∠ABC的外角平分线交于E，∠EAF＝45°，且AF交∠ADC的外角平分线交于F，把△ADF绕A旋转至△ABQ．（Ⅰ）如图1所示，当BE＝DF时，求BQ的长；（Ⅱ）如图2所示．（1）请探究线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明．（2）当点P在BC边上运动时，记BP＝x（0＜x＜1），S△BEQ＝y，探究y是否随着x的变化而变化，若不变化，求出y的值，若变化，求出y与x的函数关系式．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝1，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°．∵BE、DF分别是正方形ABCD的外角平分线，∴∠EBC＝∠CDF＝45°．在△ABE和△ADF中，由于，∴△ADF≌△ABE．∴∠BAE＝∠DAF∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝（90°﹣45°）＝22.5°．∵∠ADF＝135°，∴∠AFD＝22.5°，∴∠DAF＝∠DF A，∴AB＝DF＝1．∵△ADF绕A旋转至△ABQ，∴△ADF≌△ABQ，∴BQ＝DF＝1．（Ⅱ）（1）BE2+DF2＝EF2．证明：∵△ADF≌△ABQ，∴BQ＝DF，AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF＝22.5°，∠ADF＝∠ABQ＝135°，又∵∠ABE＝135°，∴∠QBE＝360°﹣∠ABQ﹣∠ABE＝90°，在RT△BQE中，BE2+BQ2＝QE2．即BE2+DF2＝QE2．∵∠QAB＝∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∴∠QAE＝45°∴∠QAE＝∠EAF．在△QAE和△F AE中，由于，∴△QAE≌△F AE，∴QE＝EF．∴BE2+DF2＝EF2．（2）当点P在BC边上运动时，∴∠BAE+∠BEA＝45°，又∵∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠DAF＝∠AEB．∴△ABE∽△FDA．由于△ADF≌△ABQ，∴△ABE∽△QBA．∴即BQ×BE＝1．∵△BQE为直角三角形，∴y＝S△QBE＝×BQ×BE＝．所以y不随x（0＜x＜1）的变化而变化，恒等于．29．（8分）已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[3x]+x＝6.8；（2）已知x为正数，且x不为整数，利用四舍五入的方法把x近似（保留至个位）为x0，其中x0为正整数，请探究x0与[x+0.5]之间的关系，并简述你的理由．（3）已知O为坐标原点，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤3，且该圆与函数y＝[x+0.5]恰有两个不同的公共点，请直接写出r的取值范围．【解答】解：（1）∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[3x]≤3x，[3x]＞3x﹣1∵[3x]+x＝6.8，∴3x+x≥6.8，∴x≥1.7，∵[3x]+x＝6.8，[3x]＞3x﹣1∴3x﹣1+x＜6.8，∴x＜1.95，∴1.7≤x＜1.95∵[3x]+x＝6.8，∴[3x]＝6.8﹣x，∵[3x]为整数，∴6.8﹣x为整数，∴x＝1.8；（2）设x的小数部分为a，∵x＝x0+a，∴x+0.5＝x0+a+0.5，当0≤a＜0.5时，0.5≤a+0.5＜1，∴x0＜x+0.5＜x0+1∴[x+0.5]＝x0，当0.5≤a＜1时，1≤a+0.5＜1.5，∴x0≤x+0.5＜x0+1，∴[x+0.5]＝x0，即：[x+0.5]＝x0；（3）如图，①当0≤x＜时，y＝0，∴0＜r＜，②当≤x＜时，y＝1，令x＝时，OA＝＝，令x＝，时，OB＝＝，∴③当≤x＜时，y＝2，同②的方法得出＜r＜，∵r≤3，∴＜r≤3．即：0＜r＜或或＜r≤3．。
2015-2016学年五校联考九年级(下)第一次月考数学试卷(解析版)
2021 -2021学年五校联考九年级|| (下)第|一次月考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分,每题只有一个正确选项)1．2021的相反数是()A．B．﹣C．2021 D．﹣2021 2．2021年初,一列CRH5型高速车组进行了"300000公里正线运动考核〞标志着中|国高速快车从"中|国制造〞到"中|国创造〞的飞跃,将300000用科学记数法表示为()A．3×105B．3×104C．0.3×105D．30×1043．以下计算正确的选项是()A．a2a3=a5B．a2+a3=a5C．(a3 )2=a5D．a3÷a2=1 4．以下事件中,必然事件是()A．掷一枚硬币,正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会下落5．假设a、b为实数,a＞0 ,b＜0 ,且|a|＜|b| ,那么以下正确的选项是()A．a +b＜0 B．a +b =0 C．a +b＞0 D．以上都不对6．一元二次方程2x2+3x +1 =0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．将抛物线y =x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A．y = (x +2 )2﹣3 B．y = (x +2 )2+3 C．y = (x﹣2 )2+3 D．y = (x﹣2 )2﹣3 8．假设点A (a ,b )在反比例函数y =的图象上,那么代数式ab﹣4的值为()A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣69．在同一平面直角坐标系中,函数y =ax2+bx与y =bx +a的图象可能是() A．B．C．D．10．如图,在平面直角坐标系中,点A1 ,A2 ,A3…都在x轴上,点B1 ,B2 ,B3…都在直线y =x 上,△OA1B1 ,△B1A1A2 ,△B2B1A2 ,△B2A2A3 ,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1 ,那么点B2021的坐标是()A．(22021 ,22021 ) B．(22021 ,22021 ) C．(22021 ,22021 ) D．(22021 ,22021 )二、填空题(本大题共6小题,每题4分,共24分)11．在函数中,自变量x的取值范围是．12．分解因式：a2﹣4b2=．13．一次数学测试中,某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125 ,那么他们成绩的中位数是．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1 =0的两实数根,那么x12+x22的值为．15．二次函数y = (x﹣2 )2+3 ,当x时,y随x的增大而减小．16．如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y =(x＞0 )的图象交矩形OABC的边AB 于点D ,交边BC于点E ,且BE =2EC．假设四边形ODBE的面积为6 ,那么k=．三、解答题(本大题共10小题,共86分)17．计算：|﹣3|﹣(5﹣π )0+．18．先化简,再求值：a (a﹣2b ) + (a +b )2 ,其中a =﹣1 ,b =．19．解不等式组,并将解集在数轴上表示出来．20．解分式方程：+=1．21．为开展"争当书香少年〞活动,小石对本校局部同学进行"最||喜欢的图书类别〞的问卷调查,结果统计后,绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上统计图提供的信息,答复以下问题：(1 )此次被调查的学生共人；(2 )补全条形统计图；(3 )扇形统计图中,艺术类局部所对应的圆心角为度；(4 )假设该校有1200名学生,估计全校最||喜欢"文史类〞图书的学生有人．22．小颖和小丽做"摸球〞游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球(除编号外都相同) ,从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字．假设两次数字之和大于5 ,那么小颖胜,否那么小丽胜,这个游戏对双方公平吗?请说明理由．23．如果抛物线y =ax2+bx +c过定点M (1 ,1 ) ,那么称此抛物线为定点抛物线．(1 )张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y =2x2+3x﹣4 ,请你写出一个不同于小敏的答案；(2 )张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：定点抛物线y =﹣x2+2bx +c +1 ,求该抛物线顶点纵坐标的值最||小时的解析式,请你解答．24．某物流公司承接A、B两种货物运输业务,5月份A货物运费单价为50元/吨,B货物运费单价为30元/吨,共收取运费9500元；6月份由于油价上涨,运费单价上涨为：A货物70元/吨,B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同,6月份共收取运费13000元．(1 )该物流公司月运输两种货物各多少吨?(2 )该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨,且A货物的数量不大于B货物的2倍,在运费单价与6月份相同的情况下,该物流公司7月份最||多将收到多少运输费?25．如图,一次函数y =﹣x +4的图象与反比例函数y =(k为常数,且k≠0 )的图象交于A (1 ,a ) ,B两点．(1 )求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2 )在x轴上找一点P ,使PA +PB的值最||小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．26．如图,折叠矩形OABC的一边BC ,使点C落在OA边的点D处,折痕BE =5,且=,以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如下列图的平面直角坐标系,抛物线l：y =﹣x2+x +c经过点E ,且与AB边相交于点F．(1 )求证：△ABD∽△ODE；(2 )假设M是BE的中点,连接MF ,求证：MF⊥BD；(3 )P是线段BC上一点,点Q在抛物线l上,且始终满足PD⊥DQ ,在点P运动过程中,能否使得PD =DQ ?假设能,求出所有符合条件的Q点坐标；假设不能,请说明理由．2021 -2021学年五校联考九年级|| (下)第|一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分,每题只有一个正确选项)1．2021的相反数是()A．B．﹣C．2021 D．﹣2021【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数．【解答】解：2021的相反数是：﹣2021 ,应选：D．【点评】此题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．2021年初,一列CRH5型高速车组进行了"300000公里正线运动考核〞标志着中|国高速快车从"中|国制造〞到"中|国创造〞的飞跃,将300000用科学记数法表示为()A．3×105B．3×104C．0.3×105D．30×104【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝||对值与小数点移动的位数相同．当原数绝||对值＞1时,n是正数；当原数的绝||对值＜1时,n是负数．【解答】解：300000 =3×105 ,应选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．以下计算正确的选项是()A．a2a3=a5B．a2+a3=a5C．(a3 )2=a5D．a3÷a2=1【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法那么和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算法那么分别计算得出即可．【解答】解：A、a2a3=a5 ,正确；B、a2+a3无法计算,故此选项错误；C、(a3 )2=a6 ,故此选项错误；D、a3÷a2=a ,故此选项错误．应选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识,正确掌握运算法那么是解题关键．4．以下事件中,必然事件是()A．掷一枚硬币,正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会下落【考点】随机事件．【分析】必然事件是指一定会发生的事件．【解答】解：A、掷一枚硬币,正面朝上,是随机事件,故A错误；B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形,故B错误；C、投掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数是奇数,是随机事件,故C错误；D、抛出的篮球会下落是必然事件．应选：D．【点评】此题主要考查的是必然事件和随机事件,掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．5．假设a、b为实数,a＞0 ,b＜0 ,且|a|＜|b| ,那么以下正确的选项是()A．a +b＜0 B．a +b =0 C．a +b＞0 D．以上都不对【考点】绝||对值．【分析】根据题意取a =2 ,b =﹣3 ,求出a +b =﹣1 ,再比较即可．【解答】解：∵|b|＞|a| ,且a＞0 ,b＜0 ,∴取a =2 ,b =﹣3 ,∴a +b =﹣1 ,应选A．【点评】此题有理数的大小比较的应用,采取了取特殊值法．6．一元二次方程2x2+3x +1 =0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1 =1＞0 ,∴方程有两个不相等的实数根．应选A．【点评】此题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx +c =0 (a≠0 )的根与△的关系是解答此题的关键．7．将抛物线y =x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A．y = (x +2 )2﹣3 B．y = (x +2 )2+3 C．y = (x﹣2 )2+3 D．y = (x﹣2 )2﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y =x2的顶点坐标为(0 ,0 ) ,再根据点平移的规律得到点(0 ,0 )平移后所得对应点的坐标为(﹣2 ,﹣3 ) ,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y =x2的顶点坐标为(0 ,0 ) ,把点(0 ,0 )向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为(﹣2 ,﹣3 ) ,所以平移后的抛物线解析式为y = (x+2 )2﹣3．应选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式．8．假设点A (a ,b )在反比例函数y =的图象上,那么代数式ab﹣4的值为()A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先把点(a ,b )代入反比例函数y =求出ab的值,再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点(a ,b )反比例函数y =上,∴b =,即ab =2 ,∴原式=2﹣4 =﹣2．应选B．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．9．在同一平面直角坐标系中,函数y =ax2+bx与y =bx +a的图象可能是() A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】首||先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号,进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意,根据选项逐一讨论解析,即可解决问题．【解答】解：A、对于直线y =bx +a来说,由图象可以判断,a＞0 ,b＞0；而对于抛物线y =ax2+bx来说,对称轴x =﹣＜0 ,应在y轴的左侧,故不合题意,图形错误．B、对于直线y =bx +a来说,由图象可以判断,a＜0 ,b＜0；而对于抛物线y =ax2+bx 来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误．C、对于直线y =bx +a来说,由图象可以判断,a＜0 ,b＞0；而对于抛物线y =ax2+bx 来说,图象开口向下,对称轴x =﹣位于y轴的右侧,故符合题意,D、对于直线y =bx +a来说,由图象可以判断,a＞0 ,b＞0；而对于抛物线y =ax2+bx 来说,图象开口向下,a＜0 ,故不合题意,图形错误．应选：C．【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首||先根据其中一次函数图象确定a、b的符号,进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．10．如图,在平面直角坐标系中,点A1 ,A2 ,A3…都在x轴上,点B1 ,B2 ,B3…都在直线y =x 上,△OA1B1 ,△B1A1A2 ,△B2B1A2 ,△B2A2A3 ,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1 ,那么点B2021的坐标是()A．(22021 ,22021 ) B．(22021 ,22021 ) C．(22021 ,22021 ) D．(22021 ,22021 ) 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据OA1=1 ,可得点A1的坐标为(1 ,0 ) ,然后根据△OA1B1 ,△B1A1A2 ,△B2B1A2 ,△B2A2A3 ,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,求出A1A2 ,B1A2 ,A2A3 ,B2A3…的长度,然后找出规律,求出点B2021的坐标．【解答】解：∵OA1=1 ,∴点A1的坐标为(1 ,0 ) ,∵△OA1B1是等腰直角三角形,∴A1B1=1 ,∴B1 (1 ,1 ) ,∵△B1A1A2是等腰直角三角形,∴A1A2=1 ,B1A2=,∵△B2B1A2为等腰直角三角形,∴A2A3=2 ,∴B2 (2 ,2 ) ,同理可得,B3 (22 ,22 ) ,B4 (23 ,23 ) ,…B n (2n﹣1 ,2n﹣1 ) ,∴点B2021的坐标是(22021 ,22021 )．应选：A．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y =kx +b , (k≠0 ,且k ,b为常数)的图象是一条直线,直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题(本大题共6小题,每题4分,共24分)11．在函数中,自变量x的取值范围是x≥4．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0 ,列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0 ,解得x≥4 ,那么自变量x的取值范围是x≥4．【点评】此题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．分解因式：a2﹣4b2=(a +2b ) (a﹣2b )．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2= (a +b ) (a﹣b )．【解答】解：a2﹣4b2= (a +2b ) (a﹣2b )．【点评】此题考查运用平方差公式进行因式分解,熟记公式结构是解题的关键．13．一次数学测试中,某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125 ,那么他们成绩的中位数是120．【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数,进行求解即可．【解答】解：按大小顺序排列为：100 ,100 ,120 ,125 ,135 ,中间一个数为120 ,这组数据的中位数为120 ,故答案为120．【点评】此题考查了中位数,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1 =0的两实数根,那么x12+x22的值为27．【考点】根与系数的关系．【分析】首||先根据根与系数的关系求出x1+x2=5 ,x1x2=﹣1 ,然后把x12+x22转化为x12+x22= (x1+x2 )2﹣2x1x2 ,最||后整体代值计算．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1 =0的两实数根,∴x1+x2=5 ,x1x2=﹣1 ,∴x12+x22= (x1+x2 )2﹣2x1x2=25 +2 =27 ,故答案为：27．【点评】此题主要考查了根与系数的关系的知识,解答此题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系,此题难度不大．15．二次函数y = (x﹣2 )2+3 ,当x≤2时,y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质,找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．【解答】解：在y = (x﹣2 )2+3中,a =1 ,∵a＞0 ,∴开口向上,由于函数的对称轴为x =2 ,当x≤2时,y的值随着x的值增大而减小；当x≥2时,y的值随着x的值增大而增大．故答案为：≤2．【点评】此题考查了二次函数的性质,找到的a的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键．16．如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y =(x＞0 )的图象交矩形OABC的边AB 于点D ,交边BC于点E ,且BE =2EC．假设四边形ODBE的面积为6 ,那么k =3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】连接OB ,由矩形的性质和条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3 ,在求出△OCE的面积,即可得出k的值．【解答】解：连接OB ,如下列图：∵四边形OABC是矩形,∴∠OAD =∠OCE =∠DBE =90° ,△OAB的面积=△OBC的面积,∵D、E在反比例函数y =(x＞0 )的图象上,∴△OAD的面积=△OCE的面积,∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3 ,∵BE =2EC ,∴△OCE的面积=△OBE的面积=,∴k =3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．三、解答题(本大题共10小题,共86分)17．计算：|﹣3|﹣(5﹣π )0+．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】先根据绝||对值,零指数幂,二次根式的性质求出每一局部的值,再代入求出即可．【解答】解：原式=3﹣1 +5=7．【点评】此题考查了绝||对值,零指数幂,二次根式的性质的应用,能求出每一局部的值是解此题的关键,难度适中．18．先化简,再求值：a (a﹣2b ) + (a +b )2 ,其中a =﹣1 ,b =．【考点】整式的混合运算-化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最||简结果,把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣2ab +a2+2ab +b2=2a2+b2 ,当a =﹣1 ,b =时,原式=2 +2 =4．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．19．解不等式组,并将解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【解答】解：,由①得,x＞﹣3 ,由②得,x≤2 ,故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：【点评】此题考查的是解一元一次不等式组,熟知"同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了〞的原那么是解答此题的关键．20．解分式方程：+=1．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2 +x (x +2 ) =x2﹣4 ,解得：x =﹣3 ,经检验x =﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的根本思想是"转化思想〞,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．为开展"争当书香少年〞活动,小石对本校局部同学进行"最||喜欢的图书类别〞的问卷调查,结果统计后,绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上统计图提供的信息,答复以下问题：(1 )此次被调查的学生共40人；(2 )补全条形统计图；(3 )扇形统计图中,艺术类局部所对应的圆心角为72度；(4 )假设该校有1200名学生,估计全校最||喜欢"文史类〞图书的学生有300人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】(1 )根据条形图可知喜欢"社科类〞的有5人,根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；(2 )根据条形图可知喜欢"文学类〞的有12人,即可补全条形统计图；(3 )计算出喜欢"艺术类〞的人数,根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；(4 )用该年级||的总人数乘以"文史类〞的学生所占比例,即可求出喜欢的学生人数．【解答】解：(1 )5÷12.5% =40 (人)答：此次被调查的学生共40人；(2 )40﹣5﹣10﹣8﹣5 =12 (人)(3 )8÷40 =20%360°×20% =72°答：扇形统计图中,艺术类局部所对应的圆心角为72度；(4 )1200×=300 (人)答：假设该校有1200名学生,估计全校最||喜欢"文史类〞图书的学生有300人．【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．22．小颖和小丽做"摸球〞游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球(除编号外都相同) ,从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字．假设两次数字之和大于5 ,那么小颖胜,否那么小丽胜,这个游戏对双方公平吗?请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出数字之和大于5的情况数,分别求出两人获胜的概率,比较即可得到游戏公平与否．【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：1 2 3 41 (1 ,1 ) (2 ,1 ) (3 ,1 ) (4 ,1 )2 (1 ,2 ) (2 ,2 ) (3 ,2 ) (4 ,2 )3 (1 ,3 ) (2 ,3 ) (3 ,3 ) (4 ,3 )4 (1 ,4 ) (2 ,4 ) (3 ,4 ) (4 ,4 )所有等可能的情况有16种,其中数字之和大于5的情况有(2 ,4 ) , (3 ,3 ) , (3 ,4 ) , (4 ,2 ) , (4 ,3 ) , (4 ,4 )共6种,故小颖获胜的概率为：=,那么小丽获胜的概率为：,∵＜,∴这个游戏对双方不公平．【点评】此题考查了游戏公平性,以及列表法与树状图法,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否那么就不公平．23．如果抛物线y =ax2+bx +c过定点M (1 ,1 ) ,那么称此抛物线为定点抛物线．(1 )张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y =2x2+3x﹣4 ,请你写出一个不同于小敏的答案；(2 )张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：定点抛物线y =﹣x2+2bx +c +1 ,求该抛物线顶点纵坐标的值最||小时的解析式,请你解答．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】(1 )根据顶点式的表示方法,结合题意写一个符合条件的表达式那么可；(2 )根据顶点纵坐标得出b =1 ,再利用最||小值得出c =﹣1 ,进而得出抛物线的解析式．【解答】解：(1 )依题意,选择点(1 ,1 )作为抛物线的顶点,二次项系数是1 ,根据顶点式得：y =x2﹣2x +2；(2 )∵定点抛物线的顶点坐标为(b ,c +b2+1 ) ,且﹣1 +2b +c +1 =1 ,∴c =1﹣2b ,∵顶点纵坐标c +b2+1 =2﹣2b +b2= (b﹣1 )2+1 ,∴当b =1时,c +b2+1最||小,抛物线顶点纵坐标的值最||小,此时c =﹣1 ,∴抛物线的解析式为y =﹣x2+2x．【点评】此题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,首||先利用顶点坐标式写出来,再化为一般形式．24．某物流公司承接A、B两种货物运输业务,5月份A货物运费单价为50元/吨,B货物运费单价为30元/吨,共收取运费9500元；6月份由于油价上涨,运费单价上涨为：A货物70元/吨,B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同,6月份共收取运费13000元．(1 )该物流公司月运输两种货物各多少吨?(2 )该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨,且A货物的数量不大于B货物的2倍,在运费单价与6月份相同的情况下,该物流公司7月份最||多将收到多少运输费?【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】(1 )设A种货物运输了x吨,设B种货物运输了y吨,根据题意可得到一个关于x 的不等式组,解方程组求解即可；(2 )运费可以表示为x的函数,根据函数的性质,即可求解．【解答】解：(1 )设A种货物运输了x吨,设B种货物运输了y吨,依题意得：,解之得：．答：物流公司月运输A种货物100吨,B种货物150吨．(2 )设A种货物为a吨,那么B种货物为(330﹣a )吨,依题意得：a≤ (330﹣a )×2 ,解得：a≤220 ,设获得的利润为W元,那么W =70a +40 (330﹣a ) =30a +13200 ,根据一次函数的性质,可知W随着a的增大而增大当W取最||大值时a =220 ,即W =19800元．所以该物流公司7月份最||多将收到19800元运输费．【点评】此题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题意列出方程组和不等式即可求解．25．如图,一次函数y =﹣x +4的图象与反比例函数y =(k为常数,且k≠0 )的图象交于A (1 ,a ) ,B两点．(1 )求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2 )在x轴上找一点P ,使PA +PB的值最||小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最||短路线问题．【分析】(1 )把点A (1 ,a )代入一次函数y =﹣x +4 ,即可得出a ,再把点A坐标代入反比例函数y =,即可得出k ,两个函数解析式联立求得点B坐标；(2 )作点B作关于x轴的对称点D ,交x轴于点C ,连接AD ,交x轴于点P ,此时PA +PB的值最||小,求出直线AD的解析式,令y =0 ,即可得出点P坐标．【解答】解：(1 )把点A (1 ,a )代入一次函数y =﹣x +4 ,得a =﹣1 +4 ,解得a =3 ,∴A (1 ,3 ) ,点A (1 ,3 )代入反比例函数y =,得k =3 ,∴反比例函数的表达式y =,两个函数解析式联立列方程组得,解得x1=1 ,x2=3 ,∴点B坐标(3 ,1 )；(2 )作点B作关于x轴的对称点D ,交x轴于点C ,连接AD ,交x轴于点P ,此时PA +PB的值最||小,∴D (3 ,﹣1 ) ,设直线AD的解析式为y =mx +n ,把A ,D两点代入得,,解得m =﹣2 ,n =5 ,∴直线AD的解析式为y =﹣2x +5 ,令y =0 ,得x =,∴点P坐标(,0 ) ,S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．【点评】此题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．26．如图,折叠矩形OABC的一边BC ,使点C落在OA边的点D处,折痕BE =5,且=,以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如下列图的平面直角坐标系,抛物线l：y =﹣x2+x +c经过点E ,且与AB边相交于点F．(1 )求证：△ABD∽△ODE；(2 )假设M是BE的中点,连接MF ,求证：MF⊥BD；(3 )P是线段BC上一点,点Q在抛物线l上,且始终满足PD⊥DQ ,在点P运动过程中,能否使得PD =DQ ?假设能,求出所有符合条件的Q点坐标；假设不能,请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】(1 )由折叠和矩形的性质可知∠EDB =∠BCE =90° ,可证得∠EDO =∠DBA ,可证明△ABD∽△ODE；(2 )由条件可求得OD、OE的长,可求得抛物线解析式,结合(1 )由相似三角形的性质可求得DA、AB ,可求得F点坐标,可得到BF =DF ,又由直角三角形的性质可得MD =MB ,可证得MF为线段BD的垂直平分线,可证得结论；(3 )过D作x轴的垂线交BC于点P ,设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N ,可求得DM =DN =DG ,可知点M、N为满足条件的点Q ,可求得Q点坐标．【解答】方法一：(1 )证明：∵四边形ABCO为矩形,且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE ,∴∠BDE =∠BCE =90° ,∵∠BAD =90° ,∴∠EDO +∠BDA =∠BDA +∠DAB =90° ,∴∠EDO =∠DBA ,且∠EOD =∠BAD =90° ,∴△ABD∽△ODE；(2 )证明：∵=,∴设OD =4x ,OE =3x ,那么DE =5x ,∴CE =DE =5x ,∴AB =OC =CE +OE =8x ,又∵△ABD∽△ODE ,∴==,∴DA =6x ,∴BC =OA =10x ,在Rt△BCE中,由勾股定理可得BE2=BC2+CE2 ,即(5)2= (10x )2+ (5x )2 ,解得x =1 ,∴OE =3 ,OD =4 ,DA =6 ,AB =8 ,OA =10 ,∴抛物线解析式为y =﹣x2+x +3 ,当x =10时,代入可得y =,∴AF =,BF =AB﹣AF =8﹣=,在Rt△AFD中,由勾股定理可得DF ===,∴BF =DF ,又M为Rt△BDE斜边上的中点,∴MD =MB ,∴MF为线段BD的垂直平分线,∴MF⊥BD；(3 )解：由(2 )可知抛物线解析式为y =﹣x2+x +3 ,设抛物线与x轴的两个交点为H、G ,令y =0 ,可得0 =﹣x2+x +3 ,解得x =﹣4或x =12 ,∴H (﹣4 ,0 ) ,G (12 ,0 ) ,①当PD⊥x轴时,由于PD =8 ,DH =DG =8 ,故点Q的坐标为(﹣4 ,0 )或(12 ,0 )时,△PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直于x轴时,分别过P ,Q作x轴的垂线,垂足分别为N ,I ,那么Q不与G重合,从而I不与G重合,即DI≠8．∵PD⊥DQ ,∴∠QDI =90°﹣∠PDN =∠DPN ,∴Rt△PDN∽Rt△DQI ,∵PN =8 ,∴PN≠DI ,∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等,∴PD≠DQ ,另一侧同理PD≠DQ．综合① ,②所有满足题设条件的点Q的坐标为(﹣4 ,0 )或(12 ,0 )．方法二：(1 )略．(2 ),设OE =3a ,OD =4a ,∴DE =CE =5a ,∴OE =AB =8a ,由(1 )知：,∴AD =6a ,∴OA =BC =10a ,∵BE =5,∴ (5a )2+ (10a )2= (5)2 ,∴a =1 ,∴E (0 ,3 ) ,∴y =﹣,∴D (4 ,0 ) ,∵B (10 ,8 ) ,∴F (10 ,) ,∵M为BE的中点,∴M (5 ,) ,∴KBD×KMF ==﹣1 ,∴MF⊥BD．(3 )设P (t ,8 ) (0＜t＜10 ) ,∵D (4 ,0 ) ,∵PD⊥DQ ,PD =PQ ,∴△PDQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,①点Q可视为点P绕点D顺时针旋转90°而成,将D点平移至||原点,D′ (0 ,0 ) ,那么P′ (t﹣4 ,8 ) ,将P′点绕原点顺时针旋转90° ,那么Q′ (8 ,4﹣t ) ,将D′点平移至||D点,那么Q′平移后即为Q (12 ,4﹣t ) ,把Q (12 ,4﹣t )代入抛物线,∴﹣=4﹣t ,∴t =4 ,∴Q (12 ,0 )；②点Q可视为点P绕点D逆时针旋转90°而成,同理可得：Q (﹣4 ,0 ) , 综合① ,②所有满足题设条件的点Q的坐标为(﹣4 ,0 )或(12 ,0 )．。
2015清华附中初三月考数学试题及答案
初三月考试卷数学2015年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（）A 3.84×104千米B 3.84×105千米C 3.84×106千米D 38.4×104千米2.如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（）A B CD3.如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（）A 5-B 3-C 3D 54.如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A 14B13C12D235. 如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）A 50°B 45°C 35°D 30°6. 如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于12 AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A ①②③B ①③④C ①②④D ②③④则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（ ） A 30 B 40 C 35 D 458.小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报纸后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ） A 小明看报用时8分钟B 公共阅报栏距小明家200米C 小明离家最远的距离为400米D 小明从出发到回家共用时16分钟9.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A =22.5°，OC =4，CD 的长为（ ）A 4 C D 810. 点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点间的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 分解因式：m 3﹣4m =．12．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x ay -=的解，则a = ．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 ．14．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C =90°，∠B =30°，AC =1，则AB ′的长为．15．在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，请补充一个条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形．16.小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：则全班所有同学身高的方差为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：()2120152sin 60312π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭． 18.解不等式组：()3121112≤x x x ->-⎧⎪⎨-⎪⎩，并在数轴上表示出其解集．19．实数x 满足2210x x --=，求代数式()()()()221422x x x x x --++-+的值．20．如图，已知AB ∥CD ，AB =CD ，BF =CE ，求证：AE =DF ．21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但购进单价贵了4元，结果第二批用了6300元．第二批书包的购进单价是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH =2CH ．（1）求sin B的值；（2）如果CD BE 的值．24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：请根据以上信息，回答以下问题：（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了分钟；（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为亿（结果精确到0.1）；（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达亿．25．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A，C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．26.在ABC△中，AB、BC、AC，求这个三角形的面积．小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即ABC△三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC△的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC△的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求ABC△三边的长分别△面积的方法叫做构图法．．．．若ABC（0a>），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC△，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意正数c,，ba,++)a b cF E N M P D C B A27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线254y mx nx m =-+-关于y 轴对称，且经过点)43,1(--.（1）求m ，n 的值；（2）直线l 经过点)2,0(-且与y 轴垂直，点P 是抛物线上一动点，记P 到直线l 的距离为d ，试探索d 与线段OP 长度的数量关系，并证明；（3）若)1,1(A ，点P 是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出AP OP +的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标.28. 在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一动点（不包含端点），线段AP 的垂直平分线与AB ，AP ，BD ，AD 分别交于点M ，E ，F ，N ． （Ⅰ）若AB =9，BP =3，求线段MN 的长度； （Ⅱ）求证：ME +NF =EF ．F E N M P D C B AF EN M PD C BA29. 若y 是关于x 的函数，H 是常数（0H >），若对于此函数图象上的任意两点11(,)x y ，22(,)x y ，都有11||≤y y H -，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称为该函数的界高.例如，下图所表示的函数的界高为4. （1）若函数1(21)≤≤y kx x =+-的界高为4，求k 的值；（2）已知2m >-，若函数2(2)≤≤y x x m =-的界高为4，求实数m 的取值范围； （3）已知0a >，函数223y x ax a =-+(21)≤≤x -的界高为254，求a 的值．11. m （m+2）（m ﹣2）12. 1-13. 04≤k <都可以 14. 215. 答案不唯一如AB=CD ，AD ∥BC 都可以 16.51 三、 17.4-18.13≤x -<19. 原式=()224834231x x x x --=--=20. 证明：AB ∥CD ， ∴∠DCF =∠ABE ， ∵BF =CE ，∴BF ﹣EF =CE ﹣EF ，即CF =BE ， 在△ABE 与△DCF 中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE=DF．21.（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22.设第一批购进书包的单价是x元．则：×3=．解得：x=80．经检验：x=80是原方程的根．∴第二批书包的购进单价是80+4=84元答：第二批书包的购进单价是84元23.（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．24.（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7﹣3.0=6.7分钟；（2）偶尔使用所占的百分比为1﹣13%﹣7.4%﹣13%﹣24.2%=43.4%；我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，故答案为：6.7，1.5，8.64．25．（1）猜想：BC∥OP，证明：连接OC，∵PA、PC与⊙O相切，∴OA⊥PA，OC⊥PC，∴∠PAO=∠PCO=90°，在Rt△PAO和Rt△PCO中∴Rt△PAO≌Rt△PCO，∴∠AOP=∠COP=∠AOC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，∴∠OCB=∠OBC=∠AOC，∴∠AOP=∠OBC，∴BC∥OP；（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO==，作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=BC，∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，∴△OAP∽△BEO，∴=，即=，解得：BC =，由（1）知BC ∥OP ， ∴△DCB ∽△DPO ，∴=，即=，∴BD =．26.参考答案：（1）27； （2）252a 构图如图2；（3）构图如图3在边长为c b a ++的正方形中，，22b a AB +=，22c b BC +=，22a c CD +=，)(2c b a AD ++=；∵ AD CD BC AB ≥++，∴ )(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++.27.解：（Ⅰ）∵抛物线:C 452-+-=m nx mx y 关于y 轴对称，∴ 0=n ；∵ 抛物线经过点)43,1(--，∴ 4345-=-+m m ，解得 41=m ，∴ 抛物线的表达式为1412-=x y .（Ⅱ）设)141,(2-x x P ，点P 到直线l 的距离141)2(14122+=---=x x d .222)141(-+=x x OP121161242+-+=x x x 12116124++=x x 22)141(+=x1412+=x . 因此，OP d =. （Ⅲ）AP OP +的最小值为5，此时点)43,1(-P .28. 在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一动点（不包含端点），线段AP 的垂直平分线交,,,AB AP BD AD 分别于点,,,M E F N . （Ⅰ）若9AB =，3BP =，求线段MN 的长度； （Ⅱ）求证：ME NF EF +=.解：（Ⅰ）过点MH CD ⊥于H ， 在正方形ABCD 中，90MAD ADH ∠=∠=︒，∴四边形MADH 为矩形，∴ AM DH =，AD MH =，MH AB ⊥. ∵MN AP ⊥，∴ BAP HAN ∠=∠.∵90ABP MHN ∠=∠=︒， ∴△ABP ≌△MHN ，∴MN AP ===（Ⅱ）过点F 作AB FQ ⊥于Q ，作BC FR ⊥于R ，显然有︒=∠=∠=∠90BFQ PRF AQF . ∵ BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴ BD 是ABC ∠的平分线， ∴ FR FQ =.∵ 点F 在线段AP 的中垂线上， ∴ FP FA =， ∴ △AQF ≌△PRF ， ∴ PFR AFQ =∠，∴ ︒=∠+∠=∠+∠=∠90QFP PFR QFP AFQ APF ， ∴ △AFP 为等腰直角三角形，∴ MN AP EF 2121==，∴ NF ME EF +=.FE NM PD CBAFE NMPD CBAFE NMPD CBATQH FE N MPD CBA方法二：(Ⅱ) 在线段EN 上取一点Q ，使得EQ ME =，连接PQ 交BD 于点T . ∵线段AP 与线段MQ 互相平分， ∴ 四边形AMPQ 为菱形，∴ PQ AM DH ==，////PQ AB CD ， ∴PQ BC ⊥. ∵45CBD ∠=︒， ∴PT BP HN ==， ∴QT DN =.∵ TQF DNF ∠=∠，TFQ DFN ∠=∠， ∴ △TQF ≌△DNF ， ∴ QF NF =，∴ EF EQ QF ME NF =+=+.29. 解：（Ⅰ）当0k >时，根据一次函数图像，可知(1)(21)4k k +--+=，解得43k =. 当0k <时，根据函数图像，可知(21)(1)4k k -+-+=，解得43k =-.当0k =时，界高为0，不符合题意.（Ⅱ）当2x =-时，4y =；当20m -<<，函数的界高为244m -<，不符合题意；当02m ≤≤，函数的最大值为4，最小值为0，界高4，符合题意. 当2m >时，函数的界高为24m >，不符合题意. 综上所述，实数m 的取值范围为02m ≤≤. （Ⅲ）22223()(3)y x ax a x a a a =-+=-+-，对称轴为x a =.当01a <≤时，根据函数图像，可得该函数的最大值为47a +，最小值为23a a -，∴225(47)(3)4a a a +--=， 整理得：225444a a ++=，解得12a =或92a =-（舍）.当1a >时，根据函数图像，可得该函数的最大值为47a +，最小值为1a +， ∴2547(1)364a a a +-+=+=，解得：1324a =（舍）.综上所述，12a =.。
北京市清华附中九年级(下)开学数学试卷含答案
开学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.今年以来，人们对全国多地大范围持续的雾霾天气记忆犹新，“细颗粒物PM2.5”遂成为显示度最高的热词之一．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米（即2.5微米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把0.0000025用科学记数法表示为（ ）A. 0.25×10-5B. 2.5×10-5C. 2.5×10-6D. 25×10-72.下列实数中，是无理数的是（ ）A.3.14 B. C. D.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A. 圆柱B. 三棱柱C. 长方体D. 四棱锥4.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）A. B. C. D.5.如图，点A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为()A.B. 2C.D. 46.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③7.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB =BC ，若AD =2，CD =1，则BD 的值为（ ）A. B. 2C. D. 38.某通信公司自2016年2月1日起实行新的4G 飞享套餐，部分套餐资费标准如下： 套餐内包含内容套餐外资费套餐类型月费（元/月）国内数据流量（MB ）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐1181000套餐22810050套餐33830050套餐448500500.29元/MB0.19元/分钟小明每月大约使用国内数据流量200MB ，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（ ）A. 套餐1 B. 套餐2 C. 套餐3 D. 套餐4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．10.=≠0，那么代数式•（a -2b ）的值是______．11.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D，E 都正方形的顶点上，则tan∠ADC =______．12.已知抛物线y =ax2+bx +2经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线______．13.如图，平行四边形ABCD 中，若S △BEF ：S △BCF =1：2，则S △BEF ：S △DCF =______．14.圆锥侧面积为32πcm 2，底面半径为4cm ，则圆锥的母线长为______．15.如图，正方形ABCD ，将正方形AEFG 绕点A 旋转，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接CM ，若AB =4，AE =1，则线段CM 的最大值为______．16.小瑶同学在学习概率知识后做了一个随机事件的试验．她把100粒米随机撒到如图所示的一张画有正方形及其内切圆的白纸上，经计数，恰好落在圆内的米粒数为79粒，由此他估计圆周率π的值约为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.在数学课上，同学们已经探究过经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图作图过程．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）材料做出的依据是______．（2）已知：直线l和l外一点P．求作：⊙P，使它与直线l相切于点C（尺规作图不写做法，保留作图痕迹（3）完成下面的证明．∵PC______，且PC______．∴直线l是⊙P的切线（______）（填推理的依据）19.计算：|-2|+20190-（-）-1+3tan30°．20.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x-2m-12=0，求证：（1）方程总有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．21.列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．22.如图，△ABC中，以BC边为直径的⊙O交AC于D，AE平分∠BAC，交BD于F，且BE=BF（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD=3，DF=1，求CF的长．23.如图2×2的网格（每个小正方形的边长为1）在平面直角坐标系xoy中，其两边恰在坐标轴上，若反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数图象恰好都经过其中两个相同的点（1）求k的值；（2）求一次函数的解析式；（3）设点A（1，2），过点A的直线l与y轴交于点B，若在y=（x＞0）的图象上存在点C使得∠CAB=90°，结合图象，直接写出点B纵坐标的取值范围．24.为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生，女生抽样调查．已知抽取的样本中，男生，女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm）组别身高A x＜155B155≤x＜160C160≤x＜165D165≤x＜170E x≥170其中C组男生的身高如下（单位：cm）：160 161 161 162 163 163 163 163 163 164C组女生的身高如下（单位：cm）：160 160 161 161 161 161 162 162 163 164根据图表提供的信息回答下列问题：（1）样本中男生中位数为______，女生身高在E组的人数有______人；（2）现有两名身高都为160cm的男生与女生，比较这两个同学分别在男生，女生中的身高情况并简述理由．（3）若已知该校男共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤×＜170之间的学生约有多少人？25.如图1，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE．若已知BC=8cm，设B，D两点间的距离为xcm，A，D两点间的距离为y1cm，B，E两点距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随x的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应值．（1）按照下表中自变量x的值进行取点画图，测量分别得到了与x的几组对应值如下表：（说明补全表格时相关数值保留一位小数）x/cm012345678y1/cm7.03 6.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26y2/cm a 5.66 4.32b 1.97 1.59 2.27 3.43 4.73（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象（如图2），解决问题：①当E在线段BC上时，BD的长约为______cm；②当△BDE为等腰三角形时，BD的长x约为______cm．26.抛物线y=-x2+2mx+4-m2与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．若点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）当2≤x≤n时，函数值y的取值范围为-n-1≤y≤3，求n的值.27.如图，等边三角形ABC中，D是BC上一点，连接AD并将AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接BE交AC于点F．（1）当点D为BC中点，且AD=时，AF=______；（2）补全图形，探究线段AF与CD之间的数量关系，并证明你的结论．28.在平面直角坐标系xoy中，对于点A和图形M，若图形M上存在两点P，Q，AP=3AQ，则称点A是图形M的“倍增点”（1）若图形M为线段BC，其中点B（-2，0）和点C（2，0），则下列三个点D（-1，2），E（-1，-1），F（0，2）是线段BC的“倍增点”的是______；（2）若⊙O的半径为4，直线l：y=-x+2，求直线l上“倍增点”的橫坐标的取值范围；（3）设直线y=-x+1与两坐标轴分别交于G，H，⊙T的半径为4，圆心T是x轴上的动点，若线段GH上存在⊙T“倍增点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：0.0000025=2.5×10-6．故选：C．根据科学记数法和负整数指数的意义求解．本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．2.【答案】B【解析】解：，∴3.14、、是有理数，是无理数．故选：B．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．3.【答案】C【解析】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；故选：C．根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选A.5.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【解答】解：∵A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB=OA=2．故选：C．6.【答案】B【解析】解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=-1时，图象与x轴交点负半轴明显大于-1，∴y=a-b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=-＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=-＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=-1时，可以确定y=a-b+c的值．7.【答案】C【解析】解：连接，AC，BD，作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC=∠ABC=90°，∵AD=2，CD=1，∴AC==，∵BC=BC，∴AB=BC=，∵∠ADC+∠ABC=180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC=∠DBH，∴tan∠DAC=tan∠DBH==，设DH=x，则BH=2x，BD=x，CH=2x-，在Rt△CDH中，则有12=x2+（2x-）2，解得x=或（舍弃），∴BD=x=，故选：C．连接AC，BD，作DH⊥BC交BC的延长线于H．首先证明A，B，C，D四点共圆，推出∠DAC=∠DBH，可得tan∠DAC=tan∠DBH==，设DH=x，则BH=2x，BD=x，利用勾股定理求出AC，BC，AB，在Rt△CDH中，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．本题考查旋转变换，解直角三角形的应用，四点共圆等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8.【答案】C【解析】解：套餐1：18+0.29×（200-100）+0.19×200=18+29+38=85（元）；套餐2：28+0.29×（200-100）+0.19×（200-50）=28+29+28.5=85.5（元）；套餐3：38+0.19×（200-50）=38+28.5=66.5（元）；套餐4：48+0.19×（200-50）=48+28.5=76.5（元）；∵85.5＞85＞76.5＞66.5，∴套餐3付费最少，故选：C．根据付费情况分别计算出使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟4个套餐的花费，然后进行比较即可．此题主要考查了有理数的混合运算，关键是正确理解题意，列出算式．9.【答案】x≤1【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴1-x≥0，解得x≤1．故答案为：x≤1．10.【答案】【解析】解：设==k，则a=2k，b=3k，原式=•（a-2b）===，故答案为：．设==k，得到a=2k，b=3k，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可．本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．11.【答案】【解析】解：连接AC、AD、CD，过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求出得：AC=，AD=5，CD=，设DF=x，∴由勾股定理可知：CD2-DF2=AC2-AF2，∴10-x2=5-（5-x）2，解得：x=3，∴由勾股定理可知：CF=1，在Rt△CDF中，∴tan∠ADC==，故答案为：连接AC、AD、CD，过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求出得：AC=，AD=5，CD=，又设DF=x，利用勾股定理即可求出x的值，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.【答案】x=【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+2经过点（3，2），∴9a+3b+2=2，∴b=-3a，抛物线的对称轴为直线x=-=-=，即x=．故答案为：x=．把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式，再根据抛物线的对称轴解析式解答即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴公式，把点的坐标代入解析式求出a、b的关系式是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵S△BEF：S△BCF=1：2，∴=，在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴S△BEF：S△DCF=（）2=，故答案为：．根据平行四边形的性质得到AB∥DC，通过△BEF∽△DCF，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．14.【答案】8cm【解析】解：设圆锥的母线长为lcm，则×2π×4×l=32π，解得，l=8，故答案为：8cm．设圆锥的母线长为lcm，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．15.【答案】2+【解析】解：如图，连接AF，取AD的中点K，连接KM，KC．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴CD=AD=AB=4，∠CDK=90°，AK=DK=2，AG=FG=AE=1，∠G=90°，∴AF=，CK=2，∵DK=DA，DM=MF，∴KM=AF=∴CM≤KM+CK，∴CM≤2+，∴CM的最大值为2+．故答案为2+．如图，连接AF，取AD的中点K，连接KM，KC．根据CM≤KM+CK，求出KM，CK 即可解决问题．本题考查旋转变换，正方形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16.【答案】3.16【解析】解：设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，由题意可得，=，解得，π=3.16故答案为：3.16．根据题意可以列出相应的等式，从而可以求得π的值．本题考查几何概率、正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用概率列出相应的方程，求出相应的π的值．17.【答案】解：解不等式+3≥x+1，得：x≤1，解不等式1-3（x-1）＜8-x，得：x＞-2，将解集表示在数轴上如下：则不等式组的解集为-2＜x≤1．【解析】首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．18.【答案】到线段两段点的距离相等的点在线段的垂直平分线上⊥l为半径经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】解：（1）材料做出的依据是到线段两段点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；故答案为到线段两段点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（2）如图，PC为所作；（3）完成下面的证明．∵PC⊥l，且PC为半径．∴直线l是⊙P的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为⊥l，为半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（1）根据线段的垂直平分线的判定定理的逆定理可判断PQ⊥l；（2）利用基本作图，过P点作PC⊥l于C，再以PC为半径作圆，则l为此圆的切线；（3）利用PC⊥l，PC为半径，则根据切线的判定定理可判断直线l是⊙P的切线．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了切线的判定．19.【答案】解：原式=2-+1-（-3）+=2-+1+3+=6．【解析】先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值，然后算加减法．本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值的运算是解题的关键．20.【答案】解：（1）∵△=（m+4）2-4（-2m-12）=m2+16m+64=（m+8）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，则△=（m+8）2=0，解得m=-8，此时方程为x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，解得x1=x2=2．【解析】（1）由△=（m+4）2-4（-2m-12）=（m+8）2≥0知方程有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，则△=（m+8）2=0，据此求出m的值，代入方程求解可得．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21.【答案】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得，解得：x=2.5．经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．【解析】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程求出其解即可．本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是必须的过程，学生容易忘记，解答本题时根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程是关键．22.【答案】（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADB=90°，∴∠1+∠AFD=90°∵AE平分∠BAC，BE=BF，∴∠1=∠2，∠3=∠BEF，∴∠2+∠AFD=90°，∵∠3=∠AFD，∴∠2+∠BEF=90°，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵BD=3，DF=1，∴BE=BF=2，∵∠1=∠2，∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF，∴===，∴AB=2DA，AE=2AF，∴AF=EF，∴BF=AE，∴AE=2BF=4，∴AB==2，∴DA=，∵AB2=DA•AC，∴AC==4，∴DC=AC-AD=3在Rt△DCF中，CF==2．【解析】（1）若要证明直线AB是⊙O的切线，则只要证明∠ABC=90°即可；（2）根据三角形相似求得AE，即可根据勾股定理求得AB，得到PA，根据切割线定理求得AC，从而求得CD，最后根据勾股定理求得CF．本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、切割线定理以及勾股定理的意义，熟记切线的判断和性质是解题的关键．23.【答案】解：（1）观察图象知：反比例函数图象经过（1，2）和（2，1）两点，将其中一点代入y=（x＞0）中，得：k=2；（2）设一次函数解析式为y=mx+n，将（1，2）和（2，1）代入得：，解得：∴一次函数解析式为y=-x+3；（3）设B（0，y），由图象可看出当y＜2时，直线AC始终与y=（x＞0）的图象有两个交点，∴点B纵坐标的取值范围是：y＜2．【解析】（1）观察图象读出点的坐标，并用待定系数法求k；（2）待定系数法求一次函数解析式，设y=mx+n，将（1，2）和（2，1）代入并解方程组即可；（3）直接观察图象发现：AC需满足y随x增大而减小的性质，AB需满足y随x增大而增大的性质，由此可得：y＜2．本题考查了待定系数法求一次函和反比例函数数解析式，一次函数与反比例函数图象交点情况，解题关键是正确读图、识图、观察图象．24.【答案】16.2 2【解析】解：（1）男生总人数为4+12+10+8+6=40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，∴中位数==162.5；，女生身高在E组的频率为：1-17.5%-37.5%-25%-15%=5%，∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人，故答案为：162.5，2；（2）身高160cm的男生在男生中属于中游，理由：40名被抽查男生的身高的中位数是162.5cm，身高160cm的女生在女生中属于上游，理由：40名被抽查女生的身高160cm占45%；（3）400×+380×（25%+15%）=180+152=332（人）．答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有332人．（1）根据中位数的定义解答即可；先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；（2）根据保证数据说明这两名同学分别在男生、女生中的身高情况即可；（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、统计表，图表结合是解题的关键．25.【答案】6 3或4.1或7.5【解析】解：（1）当x=0时，a=AD=7.03≈7.0，b=3.0；（2）描绘后表格如下图：（3）①当E在线段BC上时，即：x=y1+y2，从图象可以看出，当x=6时，y1+y2=6，故答案为6；②当BE=DE时，即：y1=y2，此时x=7.5或0，故x=7.5；当BE=BD时，即：y2=x，在图上画出直线y=x，此时x≈3；当DE=BE时，即：y1=x，从上图可以看出x≈4.1；故答案为：3或4.1或7.5．（1）当x=0时，a=AD=7.03≈7.0，即可求解；（2）描点即可；（3）①当E在线段BC上时，即：x=y1+y2；②分BE=DE、BE=BD、DE=BE三种情况，分别求解即可．本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依据图象求解相关问题，通常从图上上查阅的数值为近视值．26.【答案】解：（1）将B代入得，-9+6m+4-m2=0，m=1或5，∵对称轴x=m＜3，∴m=1 即对称轴为：直线x=1（2）当2≤x≤n时，函数单调递减，所以当x=n时，y=-n2+2n+3=-n-1，∴n=-1或4，∵n＞2，∴n=4【解析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握函数的单调性质是解答本题的关键之处．将点D代入即可求得m值，根据对称轴在B点左侧，可舍去一值．27.【答案】【解析】解：（1）如图1，作EG∥BC，交CA的延长线于G，∵等边三角形ABC中，点D为BC中点，∴∠CAD=30°，AD⊥BC，∵∠DAE=120°，∴∠CAE=90°，∵AD=，∴BD=CD=1，∴BC=2，∵EG∥BC，∴∠G=∠C=60°，∴∠G=∠ABC=60°，在△AGE和△DBA中∴△AGE≌△DBA（AAS），∴GE=BC，AG=BD=1，∵EG∥BC，∴=，∴GF=FC，∵AG=1，AC=2，∴GC=3，∴GF=，∴AF=GF-AG=-1=，故答案为；（2）AF=CD；证明：如图2，作EG∥BC，交CA的延长线于G，∴∠G=∠C=60°，∴∠G=∠ABC=60°，∵∠DAE=120°，∴∠CAE=120°-∠DAC，∴∠EAG=180°-∠CAE=180°-（120°-∠DAC）=60°+∠DAC，∵∠ADB=∠ACD+∠DAC=60°+∠DAC，∴∠ADB=∠EAG，在△AGE和△DBA中∴△AGE≌△DBA（AAS），∴GE=BC，AG=BD，∵EG∥BC，∴=，∴GF=FC，∴AF=GF-AG=GF-BD=（AG+AC）-（BC-CD）=（BC-DC+AC）-（AC-CD）=CD，即AF=CD．（1）作EG∥BC，交CA的延长线于G，根据等边三角形的性质得出∠CAD=30°，AD⊥BC ，进而求得BD=CD=1，等边三角形边长为2，易证得△AGE≌△DBA，证得GE=BC，AG=BD=1，然后根据平行线分线段成比例定理求得GF=FC=，即可求得AF=；（2）作EG∥BC，交CA的延长线于G，根据等边三角形的性质得出三角相等，进而求得∠ADB=∠EAG，易证得△AGE≌△DBA，证得GE=BC，AG=BD，然后根据平行线分线段成比例定理求得GF=FC，即可求得AF=GF-AG=GF-BD=（AG+AC）-（BC-CD）=（BC-DC+AC）-（AC-CD）=CD．本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．28.【答案】E（-1，-1）【解析】解：（1）∵E（-1，-1）到线段BC的距离为1，EC==＞3，∴在线段BC上必存在一点P使EP=3，点E是线段BC的“倍增点”，∵D（-1，2）到线段BC的距离为2，而D与线段BC上所有点的距离最大值DC=＜3×2，∴D（-1，2）不是线段BC的“倍增点”，∵F（0，2）到线段BC的距离为2，而F与线段BC上所有点的距离最大值FC=2＜3×2，∴F（0，2）不是线段BC的“倍增点”，故答案为：E（-1，-1）．（2）设直线l上“倍增点”的橫坐标为m，当点在⊙O外时，m2+（-m+2）2≤82，解方程m2+（-m+2）2=82，得：m1=1+，m2=1-第21页，共21页当点在⊙O 内部时，4+≥3（4-），解得：m ≥0或m ≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为：1-≤m ≤-2或0≤m ≤1+，（3）如图，当点G （1，0）为⊙T “倍增点”时，T （9，0），此时T 的横坐标为最大值，当点H （0，1）为⊙T “倍增点”时，则T （-，0），此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T （t ，0）的横坐标的取值范围为：-≤t ≤9．（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可；（2）分两种情况：①点“倍增点”在⊙O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点“倍增点”在⊙O 的内部，依次求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为⊙T “倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．本题考查了圆的性质、勾股定理、两点之间距离、新定义问题等，解题关键是准确理解新定义，数形结合思想的运用．。
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2016年北京市清华附中九年级下学期数学第一次月考试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 光速约为千米/秒，将数字用科学记数法表示为A. B. C. D.2. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是A. B. C. D.3. 课间休息，小亮与小明一起玩“剪刀、石头、布”的游戏，小明出“剪刀”的概率是A. B. C. D.4. 如图所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B.C. D.5. 如图，在中，点，，分别是三条边上的点，，，，．则A. B. C. D.6. 为了解一段路车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数、中位数分别是A. ，B. ，C. ，D. ，7. 如图，在中，，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接．若，则的长是A. B. C. D.8. 如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为和，那么第一架轰炸机的平面坐标是A. B. C. D.9. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为A. B. C. D.10. 如图，等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若，，三点围成的图形的面积用来表示，则与的图象是A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 因式分解：．12. 一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为．13. 老师在一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象，请同学们观察此图象有什么特点，小付说：与直线有两个交点；小楠：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为，请你根据他们俩的说法写出此反比例函数的表达式：．14. 在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何”．用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门步到处有一树木，出南门步到，向西行步到处正好看到处的树木（即点在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为步，则可列方程为．15. 三角形两边长分别为和，第三边是方程的根，则三角形的周长为．16. 初三年级某班有名学生，所在教室有行列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为，则当取最小值时，的最大值为．三、解答题（共13小题；共169分）17. 计算：．18. 已知，求代数式的值．19. 解不等式：．20. 如图，等边的边长是，，分别为，的中点，连接，延长至点，使，连接和．（1）求证：；（2）求的长．21. 某工厂计划在规定时间内生产个零件，若每天比原计划多生产个零件，则在规定时间内可以多生产个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．22. 如图，已知点，分别是平行四边形的边，上的中点，且．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形面积．23. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．（1）求，的值；（2）点是双曲线上一点，且与直线平行，求点的坐标．24. 如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，连接并延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25. 为进一步推广”阳光体育“大课间活动，某中学对已开设的实心球、立定跳远、跑步、跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图.请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了名喜欢“跑步”的学生，其中有名女生，名男生，现从这名学生中任意抽取名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率.26. 如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点．抛物线的解析式为（为整数）．（1）为奇数，且经过点和，求，的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；（2）为偶数，且经过点和，通过计算说明点和是否在该抛物线上；（3）若经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．27. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中点坐标为．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点落在线段上，记该抛物线为，求抛物线所对应的函数表达式；（3）将线段平移得到线段（的对应点为，的对应点为），使其经过（2）中所得抛物线的顶点，且与抛物线另有一个交点，求点到直线的距离的取值范围．28. 如图，在矩形中，是边的中点，沿对折矩形，使点落在处，折痕为，连接并延长交于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若矩形的边，，求的面积．29. 如图1，在平面之间坐标系中，，两点的坐标分别为，，由勾股定理得，所以，两点间的距离为．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系中，为圆上任意一点，则到原点的距离的平方为，当的半径为时，的方程可写为：．（1）问题拓展：如果圆心坐标为，半径为，那么的方程可以写为．（2）综合应用：如图3，与轴相切于原点，点坐标为，是上一点，连接，使，作，垂足为，延长交轴于点，连接．①证明是的切点；②是否存在到四点，，，距离都相等的点?若存在，求点坐标，并写出以为圆心，以为半径的的方程；若不存在，说明理由．答案第一部分1. B2. A 【解析】根据实数，在数轴上的位置，可得，，选项 A 错误，，选项 B 正确．，选项 C 正确，，选项 D 正确．3. B4. C5. B6. D7. A8. A9. C 【解析】根据图象克制，，所以，所以不等式变为，所以．10. C第二部分11.12.13.14.15.16.第三部分原式17.18.，．原式．19. 去括号，得移项，得合并，得解得所以原不等式的解集是．20. （1）因为，分别为，的中点，所以，且，因为延长至点，使，所以．（2）因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为为的中点，等边的边长是，所以，，，所以．21. 设原计划每天生产的零件个，依题意有解得经检验，是原方程的根，且符合题意．则规定的天数为天．答：原计划每天生产的零件是个，规定的天数是天．22. （1）四边形是平行四边形，，．在中，，点是边的中点，．同理，．．四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．（2）在中，，，，，．连接交于点，于点，点是中点．．．菱形的面积是．23. （1）点的坐标是，在直线上，，点的坐标是，代入反比例函数，．（2）与直线平行，的解析式为，点是双曲线上一点，设点坐标为，代入到中，，．点的坐标为或．24. （1）连接，与相切于点，，，，又为的中点，为的中点，即为的中位线，，又，．（2）设，根据题意得，又，，，，，，，，即，即，解得，，则的半径为．25. （1）（名）本次调查中喜欢“跑步”的学生人数是（人），所占百分比是 .画图如下：（2）分别用，，表示女生，，表示男生，画树状图如下.共有种情况，同性别学生的情况是种，则刚好抽到同性别学生的概率是 .26. （1）为奇数时，．点和在抛物线上，解得格点是该抛物线的顶点．（2）为偶数时，．点和在抛物线上，解得．当时，．点在该抛物线上，而点不在该抛物线上．（3）所有满足条件的抛物线共有条．【解析】当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得条抛物线，如图 1；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得条抛物线，如图 2．综上，所有满足条件的抛物线共有条．27. （1），．．（2）由（1）得，，经过，的直线为．设平移后的抛物线的顶点的坐标为．在线段上，．平移后的抛物线为，即．（3）连接，过于点．，当最大时最大，当最小时最小．由图可知，当与重合时，最大，最大．此时，，，．如图，线段经过点，且在抛物线上，此时，，此时最小，最小．此时，，，．．综上所述．28. （1）由折叠得到，，为的中点，，，，四边形是矩形，，四边形为平行四边形．（2）过作，交于点，在中，，，根据勾股定理得：，，，由折叠得：，在中，，，根据勾股定理得：，四边形为平行四边形，，，，，，，即，解得：，则．29. （1）【解析】设为上任意一点，，半径为，．（2）①如图 3，，，．在和中，，．与轴相切于原点，，，是的切线；②存在到四点，，，距离都相等的点．当点在线段中点时，连接，，，．此时点到四点，，，距离都相等．，，，．点坐标为，，．过点作于，如图 3，则有，，，，，，，点的坐标为，，以为圆心，以为半径的的方程为．。