二阶常系数齐次线性微分方程的通解
6 常系数二阶齐次线性微分方程的解法
例3 求解初值问题
y y y 0
y(0)
0,
y(0)
1
解 特征方程为 r2 r 1 0 ,
解得
r1，2
1 (1 2
3i) ,
故所求通解为
1x
y e 2 (C1 cos
3 2
x
C
2
sin
Байду номын сангаас
3 x). 2
确定常数 C1 和 C2
y
1 2
1x
e2
(C1
cos
3 2
x
C
2
sin
3 x) 2
根
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cosx C2 sinx).
② 特征方程有两个相等的实根
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意 n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每一 个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一 个任意常数.
(r 1)2(r2 4r 13) 0,
特征根为
r1,2 1, r3,4 2 3i
故所求通解为
y e x (C1 C2 x) e2x (C3 cos 3x C4 sin 3x).
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
二阶常系数线性微分方程
表9.2
f(x)的类型 f(x)=exPm(x) 为常数. f(x)=ex(Acosωx +Bsinωx) ,ω,A,B为常数. 取试解函数条件 试解函数y*的形式 y*=exQm(x) 不是特征根 是单特征根 是重特征根 iω ±iω不是特征 根 ±iω是特征根 y*=xexQm(x) y*=x2exQm(x)
注
y*=ex(Acosωx+Bsin ωx) y*=xex(Acosωx+Bsi nωx) Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am为已 知m次多项式 Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm为待 定m次多项式
例9.14 求方程 y'' 7y' +10y =12的通解. 解 例9.11已求出对应齐次方程的通解为 yc=C1e2x+C2e5x 下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应 于表9.2中=0(不是特征根),Pm(x)=12(零次多 项式).故设特解为y*=A,A为待定常数.将y*=A 代 入 所 给 方 程 的 A=6/5. 因 此 , 所 求 特 解 为 y*=6/5.于是,所给方程的通解为 y=yc+y*=C1e2x+C2e5x+6/5 其中C1,C2为任意常数.
其中C1,C2为任意常数.
2x
二,二阶常系数非齐次线性方程的通解 根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的 通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次 方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上 面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下 的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特 解.
二阶常系数齐次线性微分方程通
二阶常系数齐次线性微分方程通微分方程在数学上是一种重要的分析工具，它描述了系统间复杂的动态关系。
在物理，生物，化学和工程领域，它们都被用来分析和描述系统中的行为。
其中，二阶常系数齐次线性微分方程是最常用的一种微分方程,可以应用到众多的领域。
在本文中，我们将介绍二阶常系数齐次线性微分方程的通解，以及其应用中的重要性。
一般来说，二阶常系数齐次线性微分方程指的是一个具有二阶导数的形式：$$ay + by + cy = 0$$其中，a，b，c是常数。
显然，解这样的方程组需要考虑不同的情况：（1）$a=0$时，该方程组退化为一阶线性微分方程；（2）$ae 0$时，方程组可以进一步解析。
1.当$a=0$时，方程组可以解析为：$$y + frac{b}{c}y = 0$$解出方程组的解为：$$y_{1} = ce^{frac{-b}{c}x}$$2.当$ae 0$时，先计算出特征根：$$lambda_{1,2} = frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 由于$lambda_{1,2}$都是实数，故方程组有两种解。
一种是$lambda_{1} = lambda_{2}$，解为：$$y_{1} = e^{lambda_{1}x}(C_{1}cos{mu}x +C_{2}sin{mu}x)$$另一种是$lambda_{1}e lambda_{2}$，解为：$$y_{2} = e^{lambda_{1}x}C_{1} + e^{lambda_{2}x}C_{2}$$ 可以看出，二阶常系数齐次线性微分方程的通解是依赖于特征根的。
此外，二阶常系数齐次线性微分方程还拥有不同的应用。
在工程学，它可以用来求解振动问题；在植物生物学中，它可以用来研究光合作用；在经济学中，它可以用来研究特定经济问题；在天文学中，它可以用来模拟星系运行等等。
而二阶常系数齐次线性微分方程的通解为这些应用提供了必要的工具，使得这些问题可以得到有效的解决。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
一元二阶常系数齐次微分方程通解
一元二阶常系数齐次微分方程通解
一元二阶常系数齐次微分方程通解是指形如y''+ay'+by=0的微分方程的解的形式。
其中，a和b是常系数。
通解的一般形式可以表示为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中，r1和r2是解的特征根，C1和C2是常数。
对于一元二阶常系数齐次微分方程，解的特征根可以通过求解对应的特征方程来获得。
特征方程的形式是r^2+ar+b=0。
根据特征方程的不同情况，可以分为三种情况：
1. 当特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，通解为
y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
2. 当特征方程有一个重根r0时，通解为y=(C1+C2x)e^(r0x)。
3. 当特征方程有一对共轭复根α±βi时，通解为
y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2sin(βx))。
所以，一元二阶常系数齐次微分方程的通解可以通过求解特征方程的根，并代入不同情况的形式来得到。
其中，C1和C2为待定常数，可根据边界条件或初始条件来确定具体的解。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二次微分方程的通解
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x. 例2 求方程y+2y +y =0满足初始条件y |x =0=4、y | x =0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1,, b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e lx .(2)如果l 是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则l 2+pl +q =0, 但2l +p 0, 要使等式Q (x )+(2l +p )Q (x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1,, b m , 并得所求特解y *=xQ m (x )e lx .(3)如果l 是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则l 2+pl +q =0, 2l +p =0, 要使等式Q (x )+(2l +p )Q (x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y +py +qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e lx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 例1 求微分方程y-2y -3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=3x +1,l =0).与所给方程对应的齐次方程为y -2y -3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里l =0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1, 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i x i l x ωωωωλ---++=x i nlx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。
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二阶常系数齐次线性微分方程的
通解
这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，
y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.
求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：
1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2
则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而
\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为
y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.
2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0
则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].
特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解
y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),
y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).
它们也线性无关，因此通解为
y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].
3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2
只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
则通解为y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}.
以上结论可以推广到常系数n阶线性齐次微分方程。
参考资料
【1】《高等数学》同济版。