微分学在经济学领域的应用

微分学在经济学领域的应用摘要：本文系统讨论了微分学基本知识，包括一元函数微分学、二元函数微分学以及常微分方程.并根据这些知识结合实例对微分学在经济学领域的应用进行分析探究.关键词：微分；常微分方程；经济学；应用Differential calculus applications in economicsAbstract: This article discusses systemly the basic knowledge of differential calculus, in- cluding functions of one variable differential calculus, calculus of vicariate functions and ordinary differential equations. And we analyze the application of the differential Calculus applica-tion in economics by examples.Keywords: differential; ordinary differential equations; economics; application前言在研究微分学在经济学领域上的应用，首先要研究微分学里面的概念和基本性质.微分学包括一元函数微分学和多元函数微分学以及微分方程等知识.为了更好的研究微分学在经济学领域的应用，下面给出微分学相关理论.1. 基本定义1.1 一元函数微分学[1]定义1.1.1 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内.当给0x 一个增量00,()x x x U x ∆+∆∈时，相应的得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-.如果存在常数A 使得y ∆能够表示成 ()y A x x ο∆=∆+∆ （1） 则称函数f 在点0x 可微，并称（1）式中的A x ∆为f 在点0x 的微分，记作0|x x dy A x ==∆ 或 0()|x x df x A x ==∆ （2）由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0A ≠时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部.定义 1.1.2 若函数(y f x =）在区间上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数(y f x =）在I 上任意一点x 处的微分记作'(),dy f x x x I =∆∈定义 1.1.3 将一阶微分只作为x 的函数，若f 二阶可导，那么dy 对自变量x 的微分'""2()(())()()()d dy d f x dx f x dx dx f x dx ==⋅= 或写作 2"2()()d y f x dx = 称它为函数f 的二阶微分.定义1.1.4 一般地, n 阶微分是1n -阶微分的微分，记作n d y ,即1(1)1()()(())()n n n n n n d y d d y d f x dx f x dx ---===.对2n ≥的n 阶微分均称高阶微分. 1.2 多元函数微分学[2]定义 1.2.1 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ορ∆=+∆+∆-=∆+∆+ （3）其中,A B 是仅与点0P 有关的常数，ρ=()ορ是较ρ的高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 可微.并称（3）式中关于,x y ∆∆的线性函数A x B y ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分，记作 000|(,)p dz df x y A x B y ==∆+∆.定义 1.2.2 设函数(,)z f x y =，(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈，且0(,)f x y 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,)(,)(,)limlim x x x f x y f x x y f x y x x∆→∆→∆+∆-=∆∆存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或00(,)|x y fx∂∂.定义 1.2.3 设函数00(,)z f x y =在区域D 上每一点(,)x y 都存在关于x （或对y ）的偏导数，则得到函数(,)z f x y =在区域D 上对x （或对y ）的偏导函数（也简称偏导数），记作(,)x f x y 或(,)f x y x ∂∂ （(,)y f x y 或 (,)f x y y∂∂），也可简单地写作,x x f z 或 (,y y ff z x ∂∂或f y∂∂）.1.3 微分方程[3]定义 1.3.1 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 定义 1.3.2 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.定义 1.3.3 未知函数为多元函数并出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程.定义 1.3.4 如果方程F (,,,n n dy d y x y dx dx …,)=0的左端为y 及,,,n n dy d y x y dx dx …,的一次有理整式，则称F (,,,n n dy d yx y dx dx…,)=0为n 阶线性微分方程.一般n 阶线性微分方程具有形式1111()()()()n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx---=++++… 这里11(),(),()n n a a x a x f x -(x),… 是x 的已知函数.不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程.例如，方程22sin 0d gdt lϕϕ+= 是二阶非线性微分方程.2. 基本性质2.1 微分中值定理[1]2.1.1 （Lagrange 中值定理）若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得 '()()()f b f a f b a ξ-=-.证：作辅助函数 ()()()()()f b f a Fx f x f a x a b a-=----（） 显然，()F a F b =（）（=0），且F 在[,]a b 上满足罗尔定理的另两个条件，故存在(,)a b ξ∈，使''()()()()0f b f a f f b a ξξ-=-=-，移向后即得'()()()f b f a f b aξ-=-.2.2.2 （Cauchy 中值定理）设函数f 和g 满足：（i ）在[,]a b 上都连续；（ii ）在(,)a b 内都可导； （iii ）'()f x 和'()g x 不同时为零； （iv ）()()g a g b ≠，则存在(,)a b ξ∈，使得''()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ-=-. 证：作辅助函数()()()()(()())()()f b f a Fx f x f a g x g a g b g a -=----（）.易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得'''()()()()0()()f b f a F fg g b g a ξξξ-=-=-（）因为'()0g ξ≠（否则由上式'()f ξ也为零），所以可把上式改写为''()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ-=-. 2.2微分与极值和最值[3]定理2.2.1 设函数()f x 在0x 点的某邻域00(,)x x δδ-+内连续并可导（但'0()f x 可 以不存在）.(1) 如果当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x >,而当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x <,则函数()f x 在点0x 处取得极大值0()f x .(2) 如果当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x <,而当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x >,则函数()f x 在点0x 处取得极小值0()f x .(3) 如果当00(,)x x x δ∈-和00(,)x x x δ∈+时,'0()f x 不变号,则()f x 在点0x 处无极值.证：（1）当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x >，则()f x 在00(,)x x x δ∈-内单调递增， 所以0()()f x f x >.当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x <，则()f x 在00(,)x x x δ∈+内单调递减，所以0()()f x f x >.即对0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+总有0()()f x f x >.所以0()f x 为()f x 的极大值. 同理可证（2）.（3）因为在00(,)x x δδ-+内，'0()f x 不变号，亦即恒有'0()0f x >或'0()0f x <，因此()f x 在0x 的左右两边均单调递增或单调递减，所以不可能在点0x 处取得极值. 2.2.2 最值的判断若函数f 的最大（小）值点0x 在区间(,)a b 内，则0x 必定是f 的极大（小）值点.又若f 在0x 可导，则0x 还是一个稳定点.所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在[,]a b 上的最大值与最小值.例1 求函数32()2912f x x x x =-+在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.解：函数f 在闭区间15[,]42-上连续，故必存在最大最小值.由于32()2912f x x x x =-+2(2912x x x =-+221(2912),0,45(2912),02x x x x x x x x ⎧--+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩因此 2'261812()61812x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨-+⎪⎩16(1)(2),0,456(1)(2),0.2x x x x x x ⎧----≤<⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩又因'(00)12f -=，'(00)12f +=-，所以由函数极限定理推知函数在0x =处不可导.求出函数f 在稳定点1,2x =，不可导点0x =，以及端点15,42x =的函数值11155(1)5,(2)4,(0)0,(),()54322f f f f f =====.所以函数f 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处取得最大值5. 定理2.2.3 （二元函数的极值存在的充分条件）如果函数(,)f x y 在点00(,)x y 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且00(,)x y 是它的驻点，设"2""(,)[(,)](,)(,)xy xx yy P x y f x y f x y f x y =-则：（1）如果00(,)0P x y <，且"00(,)0xx f x y <，则00(,)f x y 是极大值； （2）如果00(,)0P x y <，且"00(,)0xx f x y >，则00(,)f x y 是极小值； （3）如果00(,)0P x y >，则00(,)f x y 不是极值；（4）如果00(,)0P x y =，则00(,)f x y 是否为极值需另法判断. 例2 求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值.解：由'(,)260x f x y x =-+=，'2(,)3120y f x y y =-=得驻点(3,2)，(3,2)-，再由"(,)2xx f x y =-，"(,)0xy f x y =，"(,)6yy f x y y =得(,)12P x y y =，因为(3,2)12P =⨯=>，所以(3,2)不是极值点.(3,2)12(2)240P -=⨯-=-<，且''(3,2)20xx f -=-<所以在点(3,2)-处函数由极大值，(3,2)30f -=.2.3 微分方程的求解[4] 2.3.1 一阶线性微分方程 形如'()()y p x y q x +=的微分方程，称为一阶线性微分方程.如果()0q x ≡，则'()()y p x y q x +=变为'()0y p x y +=称为一阶线性齐次方程.而()0q x ≠时，'()()y p x y q x +=称为一阶线性非齐次方程.（1） 一阶线性齐次微分方程的通解 将'()0y p x y +=分离变量后得()dyp x dx y=- 两边几积分后得 ln ()ln y p x dx c =-+⎰即()p x dx y ce -⎰=（c 为任意常数），则()p x dxy ce -⎰=即为方程'()0y p x y +=的通解.（2） 一阶线性非齐次微分方程的通解方程'()()y p x y q x +=的解可用“任意常数变易法”求得，将与'()()y p x y q x +=对应的齐次方程'()0y p x y +=的通解()p x dxy ce -⎰=中的任意常数c ，换为待定的函数()u u x =，即设()()p x dxy u x e -⎰=就是'()()y p x y q x +=的解.因为()()'''()()()p x d x p x d x y u x e u x e--⎰⎰=+()()'()()()()p x d xp x d xu x e u x p x e--⎰⎰=- 将()()p x dx y u x e -⎰=和()()''()()()()p x dx p x dxy u x e u x p x e --⎰⎰=-代入'()()y p x y q x+=得()()()'()()()()()()()p x dx p x dx p x dxu x e u x p x e p x u x e q x ---⎰⎰⎰-+=即()'()()p x dx u x q x e dx c -⎰=+其中c 为任意常数，代入()()p x dxy u x e -⎰=得()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰，即为'()()y p x y q x +=的通解. 2.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程[3]二阶常系数线性微分方程的一般形式是"'()y py qy f x ++=其中p 、q 是（实）常数，()f x 是x 的已知函数.对于"'()y py qy f x ++=的二阶常系数线性齐次方程是"'0y py qy ++= （4）二阶常系数线性齐次方程定理：如果1y 与2y 是（4）式的两个解，而且12y y 不等于常数，则*1122y c y c y =+为（4）式的通解.其中1c 与2c 为任意常数.证：因为1y 与2y 是（4）式的两个解，所以有"'1110y py qy ++=与"'2220y py qy ++=而 *'''1122()y c y c y =+，*"""1122()y c y c y =+代入（4）式的左端，得"'""''112211221122(*)(*)*()()()y p y qy c y c y p c y c y q c y c y ++=+++++"'"'11112222()()c y p y q y c y p y q y=+++++ 12000c c =⋅+⋅=即*y 是（4）式的解.在21y y 不等于常数的条件下，可以证明*y 中含有两个任意常数，所以*y 是（4）式的通解.为了求出方程（4）式的两个线性无关的特解，我们分析方程（4）式的特点.方程（4）式左端是"y 、'py 、qy 三项之和，而右端为零.如果能找到一个函数()0y x ⋅≠，使得'y b y ⋅⋅=，"y a y ⋅⋅=，且0a pb q ++=则"'()0y p y q y y a pb q ⋅⋅⋅⋅++=++=.我们自然会想到函数rx y e ⋅=， r 为常数，将它代入（4）式得2()0rx e r pr q ++=因0rx e ≠，则必须20r pr q ++=，称为（4式）的特征方程.由此推出，rx y e =是（4）式的解的充要条件是：常数r 为20r pr q ++=的根.因20r pr q ++=为二次的，可能有两个根，记为1r ，2r .因此求（4）式的通解时要根据20r pr q ++=的两个根1r 与2r 是相异实根、重根和共轭复根三种情况分别讨论.（1） 相异实根由二次方程求根公式有：240p q ->，而且1r =2r =为所求的两个相异实根.这时（4）式有两个特解：11r x y e = 22r x y e = 由于12()12r r x y e y -=不等于常数，所以(4)式的通解是1212*r x r x y c e c e =+ （2） 重根此时有240p q -=，而且122pr r ==-，因此（4）式有特解11r x y e =.可以证 明，12r x y xe =是（4）式的另一个与1y 线形无关的特解.所以，（4）式的通解是111*1212()r x r x r x y c e c xe c c x e =+=+（3） 共轭复根此时240p q -<.而特征方程20r pr q ++=有两个复根为1r i αβ=+，2r i αβ=-，其中2pα=-，β=i = 此时，可以证明1cos x y e x αβ=，2sin x y e x αβ=是（4）式的两个线性无关的特解.所以（4）式的通解为*12(cos sin )x y e c x c x αββ=+3. 微分学在经济学中的应用3.1 变化率及相对变化率在经济学中的应用[4]设函数()y f x =可导，导函数'()f x 也称为边际函数.00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为()f x 在00(,)x x x +∆内的平均变化率，它表示在 00(,)x x x +∆内()f x 的平均变化速度.()f x 在点0x x =处的导数'0()f x 称为()f x 在点0x x =处的变化率，也称为()f x 在点0x x =处的边际函数值，它表示()f x 在点0x x =处的变化速度.设函数()y f x =在点0x x =处可导，函数的相对该变量0000()()()f x x f x y y f x +∆-∆=，与自变量的相对该变量0xx ∆之比00//y y x x ∆∆，称为函数()f x 从0x x =到0x x x =+∆两点间的相对变化率，或称两点间的弹性.当0x ∆→时，0//y y x x ∆∆的极限称为()f x 在0x x =处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性.记作：x x EyEx=，或0()Ef x Ex即'00000000/limlim ()/()x x x x y y x Ey y xf x Exx x x y f x =∆→∆→∆∆==⋅=∆∆ 当0x 为定值时x x EyEx=为定值.对一般的x ，若()f x 可导，则有'00/lim lim /x x Ey y y y x x y Ex x x x y y∆→∆→∆∆==⋅=∆∆是x 的函数，称为()f x 的弹性函数.例3 设某商品需求函数为()122P Q f P ==- （1） 求需求弹性函数； （2） 求6P =时的需求弹性；（3） 求6P =时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之 几？解：（1）1()224122P PP P Pη=⨯=-- （2）61(6)2463η==- （3）1(6)13η=<，所以价格上涨1%，总收益将增加.下面求R 增长的百分比，即求R 的弹性 '()(1)R f P η=-'12(6)(6)(1)9633R f =-=⨯=2122P R P =-，(6)54R ='6662(6)60.67(6)543P ER R EPR ===⨯=≈ 所以当6P =时，价格上涨1%，总收益约增加0.67%.（4）'12R P =-令'0R =，则12P =，(12)72R = 所以当12P =时总收益最大，最大收益为72. 3.2 最大值与最小值，极值的应用问题例4 某工厂上产两种产品I 与II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与生产y 单位的产品II 的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）求取得最大利润时，两种产品的产量各是多少？解：设(,)L x y 表示产品I 与II 分别生产x 与y 单位时所得的总利润.因为总利润等于总收入减去总费用.所以22(,)(109)[400230.01(33)]L x y x y x y x xy y =+-+++++ 22860.01(33)400x y x xy y =+-++- 由 '(,)80.01(6)x L x y x y =-+= '(,)60.01(6)0y L x y x y =-+= 得驻点(120,80).再由"0.060,"0.01,"x x x y y y L L L =-<=-=- 而 223(120,80)(0.01)(0.06) 3.5100P -==--=-⨯< 所以，当120x =与80y =时，(120,80)320L =是极大值.由题意知生产120件产品I 、80件产品II 时所得利润最大. 3.3常微分方程在经济学中的应用3.3.1 道格拉斯（Douglas ）生产函数[5]用()Q t ，()K t ，()L t 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般的记作()((),())Q t F K t L t = （1） 其中F 为待定函数.对于固定的时刻t ，上述关系可写作(,)Q F K L = （2）为寻求F 的函数形式，引入记号/z Q L =,/y K L = （3）z 是每个劳动力的产值，y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z 随着y 的增加而增加，但增长速度递减.进而简化的把这个假设表示为(),(),01z cg y g y y αα==<< （4）显然函数()g y 满足上面假设，常数0c >可看成技术的作用.由（3），（4）即可得到（2）式中F 的具体形式为1Q cK L αα-=，01α<< （5）由（5）式容易知道Q 有如下性质,0Q Q K L ∂∂>∂∂，2222,0Q Q K L ∂∂<∂∂ （6） 记K Q Q K ∂=∂，K Q 表示单位资金创造的产值；L QQ L∂=∂，L Q 表示单位劳动力创造的产值，则从（5）式可得k KQ Q α=，1LLQ Qα=-，K L KQ LQ Q += （7） （7）式可解释为：α是资金在产值中占有的份额，1α-是劳动力在产值中占有的份额.于是α的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.（5）式是经济学中著名的Cobb-Douglas 生产函数，它经受了资本主义社会一些实际数据的检验.更一般形式的生产函数表为Q cK L αβ=，0α<，1β< （8）3.3.2 资金与劳动力的最佳分配这里将根据生产函数（5）式讨论，怎样分配资金和劳动力，使生产创造的效益最大.假定资金来自贷款，利率为r ，每个劳动力需付工资ω，于是当资金K 、劳动力L 产生产值Q 时，得到的效益为S Q rK L ω=-- （9）问题化为求资金与劳动力的分配比例/K L （即每个劳动力占有的资金），使效益S 最大.这个模型用微分法可解得K L Q rQ ω= （10） 再利用（7）式有1K L rαωα=- （11） 这就是资金与劳动力的最佳分配.从（11）式可以看出，当α，ω变大、r 变小 时，分配比例/K L 变大，这是符合常识的.3.3.3 劳动生产率增长的条件[6]常用的衡量经济增长的指标，一是总产值()Q t ，二是每个劳动力的产值()()/()z t Q t L t =，这个模型讨论()K t ，()L t 满足什么条件才能使()Q t ，()z t 保持增长.首先需要对资金和劳动力的增长做出合理的简化假设：1）投资增长率与产值成正比，比例系数0λ>，即用一定比例扩大再生产； 2）劳动力的相对增长率为常数μ，μ可以是负数，表示劳动力减少.这两个条件的数学表达式分别为,0dKQ dt λλ=> （12） dLL dtμ= （13） 方程（13）的解是0()t L t L e μ=（14） 将（4），（5）代入（12）式得dKc Ly dtαλ= （15） 注意到（3）式，有K Ly =，再用（13）式可得dK dyL Ly dt dtμ=+ （16） 比较（15），（16）得到关于()y t 的方程dyy c y dtαμλ+= （17） 这时著名的Bernoulli 方程，它的解是11(1)00()11t K c y t e K ααμλμμ---⋅⎫⎧⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=--⎨⎬⎢⎥ ⎪⎪⎪⎢⎝⎭⎦⎣⎩⎭ （18）以下根据（18）式研究()Q t ，()z t 保持增长的条件.1）()Q t 增长，即0dQdt >，由Q cLy α=及（13），（17）式可算得 1211(1)dQ dycL y c Ly c y dt dtααααμλαμα---⎡⎤=++-⎣⎦ （19） 将其中的y 以（18）式代入，可知条件0dQdt>等价于 (1)00111t K e K αμμα--⋅⎡⎤⎢⎥-<⎢⎥-⎣⎦ （20） 因为上式右端大于1，所以当0μ≥（即劳动力不减少）时（20）式恒成立；而当0μ<时，（20）式成立的条件是01ln (1)(1)(1)K t K αμαμ⋅⎡⎤⎢⎥<--⎢⎥-⎣⎦（21）说明如果劳动力减少，()Q t 只能在有限时间内保持增长.但应注意，若（21）式中的00(1)(1)1K K αμ⋅--≥，则不存在这样的增长时段.2） ()z t 增长，即0dz dt >，由z c y α=知相当于0dydt>，由方程（17）知，当0μ≤时该条件恒成立；而当0μ>时由（18）式可得0dydt>等价于 (1)0010t K e K αμμ--⋅⎛⎫⎪-> ⎪⎝⎭ （22） 显然，此式成立的条件为001K K μ⋅<，即00/K K μ⋅< （23）这个条件的含义是，劳动力增长率小于初始投资增长率.Douglas 生产函数是计量经济学中重要的经济模型，在此基础上讨论资金与劳动力的最佳分配是一个静态模型，而利用微分方程研究劳动率增长的条件，是一个动态模型，结果简明，可以给出合理的解释.小结：通过上面的分析，我们可以看出微分学在经济学中的应用十分广泛，从微分的定义到性质以及微分方程的求解都在经济学中广泛应用.特别是微分方程模型在经济学中的应用，包括经济增长模型、人口预测和收益模型、可变要素的生产函数等等，可以看出微分学在经济学中起着至关重要的作用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3] 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