四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题
宜宾市普通高中2018级调研考试
文科数学
（考试时间：120分钟
总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数z 满足i z i 2)1(=+，i 为虚数单位，则=z A ．i +1B ．i -1C ．i D ．i -2．两个变量y 与x 的回归模型中，有4个不同模型的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的是A ．0.96
2=R B ．0.81
2=R C ．0.50
2=R D ．0.25
2=R 3．右图是函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图象，则函数
)(x f y =的极大值点的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．已知复数),(R b a bi a z ∈+=满足5=z ，且1-z 为纯虚数，则=
z A ．i
21+B ．i
-2C ．i
±2D ．i
21±5．为调查乘客晕车情况，在某一次行程中，50名男乘客中有25名晕车，
30名女乘客中有5名
晕车．在检验这些乘客晕车是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是A ．回归分析
B ．独立性检验
C ．频率分布直方图
D ．用样本估计总体
6．执行如图所示框图，输出的S 值为
A ．
2
5B ．
6
17C ．
12
37D ．
60
1977．下列命题为真命题的是
A ．任意,,R y x ∈若2
2
,y
x y x >>则B ．任意,,R y x ∈若3
3
,y x y x >>则C ．若2
1
,0>+>x
x x 则D
．函数4
5)(2
2++=
x x x f 的最小值为2
题图
3
8．已知函数2()ln f x x x =+，则函数()f x 在1=x 处的切线方程是
A ．320x y --=
B ．320x y +-=
C ．320x y -+=
D ．320x y ++=9．已知函数x ax x f e )(-=在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
A ．[)
+∞,0B ．()
+∞,0C ．(]
0,∞-D ．()
0,∞-10．甲、乙、丙、丁4名同学参加了学校组织的科技知识竞赛，学校只推荐一名到市里参加决赛，
结果揭晓前，他们4人对结果预测如下：甲说：“是丙或丁”；乙说：“是我”；丙说：“不是甲和丁”；丁说：“是丙”.若这4名同学中恰有2人说的话是对的，则推荐的同学是A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．已知函数a x x x f x -+-=e )14()(2恰有三个零点，则实数a 的取值范围为
A ．()
,e 23-B ．6(,0)e
-
C ．36(,2e )e -
D ．6(0,e 12．
已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x R ∈，都有12e )
()(-=-'x x f x f x
，且(0)1f =，则不等式()3e x f x <的解集为A ．(2,1)
--B ．(2,1)
-C ．(1,1)
-D ．(1,2)
-二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数3
43i z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第▲象限.
14．已知函数3()cos e x f x x x x =-+，则=')0(f ▲
.
15．已知数列{}n a 的前n 项和222131211n
S n ++++
= ，当2≥n 且*
N n ∈时，观察下列不等式232<S ，353<S ，474<S ，5
9
5<S ，…，按此规律，则<n S ▲.
16．已知函数2()ln 3a f x x x =+-，3223()32g x x x x =-+-，对任意的1x ，21
[,2]3
x ∈，都有
12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是▲.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）
已知函数32()244f x x x x =+-+．（I ）求)(x f 的单调减区间；
（II ）求)(x f 在区间[]0,3-上的最大值和最小值．
18.（本小题满分12分）
2020年5月22日晚,国际权威医学杂志《柳叶刀》在线发表了全球首个新冠疫苗临床试验结果，该试验结果来自我国的陈薇院士和朱凤才教授团队.由于非人灵长类动物解剖生理、组织器官功能和免疫应答反应等性状与人类非常接近，所以常选择恒河猴进行科研和临床实验.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在恒河猴身上进行科研和临床实验，得到部分数据如下表.现从注射疫苗的恒河猴中任取1只,取到感染病毒的恒
河猴的概率为52
．
（I ）补全22⨯列联表中的数据；并通过计算
判断能否有95％把握认为注射此种疫苗有效？
（Ⅱ）在感染病毒的恒河猴中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从
这5只恒河猴中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求恰好抽到2只未注射疫苗的恒河猴的概率．
附：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,)
)()()(()(2
2
.
)
(02K K P ≥0.050.010.0050.0010
K 3.841
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
已知函数x a x
a
x x f ln )1()(+--
=)(R a ∈．（I ）当2=a 时，求)(x f 的极值；（Ⅱ）若10≤<a ，求)(x f 的单调区间.
20.（本小题满分12分）
某公司为了制定下一季度的投入计划，收集了今年前6个月投入量x （单位：万元）和产量
y （单位：吨）的数据，用两种模型①a bx y +=，②a x b y +=分别进行拟合，得到相应的回归方程0.22.11ˆ1+=x y
，8.92.28ˆ2-=x y ，进行残差分析得到如图所示的残差值及一些统计量的值：
未感染病毒感染病毒总计
未注射疫苗20
注射疫苗30
总计5050100月份1234565
.3=x 41
=y 1049
6
1=∑=i
i i y x 91
6
12=∑=i i
x
投入量x (万元)123456产量y (吨）132243
455568模型①的残差值－0.2－2.4－1.8－3－1.2模型②的残差值
－5.4
－8.0
4.0－1.6
1.6
9.0
（I ）求上表中空格内的值；
（Ⅱ）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
（Ⅲ）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（II ）中所选模型的回归方程.
（参考公式：a x b y e i
i i ˆˆˆ--=,x b y a
x n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i
ˆˆ,ˆ2
1
2
1
-=--=∑∑==）21.（本小题满分12分）
已知函数1e e )(--=x x f x
.（I）求)(x f 的零点个数；
（Ⅱ）若0≤a ，证明：当1≥x 时，1ln )(-≥x a x f ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x C 4:21-=的准线为1l ，曲线⎩⎨⎧=+=ϕ
ϕsin 2cos 22:2y x C （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）写出1l 与2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线)0(:>=ραθl 与1l 交于A 点，与2C 交于B 点，求
OA
OB 的最大值.
23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数|2|||)(-++=x a x x f .（I ）若2=a ，解不等式6<)(x f ；
（II ）若对任意满足2=+n m 的正实数m ，n ，存在实数0x ，使得)(0x f mn
n
m ≥+成立，求实数a 的取值范围.。
宜宾市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二下期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ） A ．105 B ．210 C ．240 D ．630【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有155C =种，再从剩余的7人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有227242C A =种，所以不同的安排方案共有542210⨯=种方法，故选B ．考点：排列、组合的应用．2．某校1000名学生中, O 型血有400人, A 型血有250人, B 型血有250人, AB 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人数为（ ） A ．24,15,15,6 B ．21,15,15,9C ．20,18,18,4D ．20,12,12,6【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数. 【详解】根据分层抽样的特点可知，O 型血的人要抽取的人数为40060241000⨯=， A 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯=，B 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯=， AB 型血的人要抽取的人数为1006061000⨯=，故答案为A. 【点睛】本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．3．已知函数()32log ,041,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()() F x f x b =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且满足:1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A ．)22,⎡+∞⎣ B．833,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．8322,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图象，可得出当直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点时b 的取值范围，根据图象得出124x x +=-，341x x =，并求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +-转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +-的取值范围. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当01b <≤时，直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点，由于二次函数241y x x =++的图象关于直线2x =-对称，则124x x +=-，又4344log log x x =，由题意可知，301x <<，41x >，4344log log x x ∴-=，可得341x x =，431x x ∴=，由(]33log 0,1x b =∈，即330log 1x <-≤，解得3113x ≤<. 222132343233122x x x x x x x x +∴-=+，令231,19t x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则12y t t =+， 由基本不等式得1122222y t t tt =+≥⋅=21,129t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭时，等号成立，当19t =时，283999y =+=，当1t =时，3y =，所以，18329t t ≤+≤，因此，221323432x x x x x x +-的取值范围是839⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.4．一元二次不等式()()120x x -+<的解集为（ ）A ．2{1}x x x ｜＜-或＞ B ．1{2}x x x ｜＜-或＞ C ．21{}x x ｜-＜＜ D ．21{}x x ｜-＜＜ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，不等式(1)(2)0x x -+<，即1020x x ->⎧⎨+<⎩或1020x x -<⎧⎨+>⎩，解得21x -<<，即不等式(1)(2)0x x -+<的解集为{|21}x x -<<，故选C ． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5．在（x 10的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－27510C B ．27410CC ．－9510CD ．9410C【答案】D 【解析】试题分析：通项T r ＋1＝10rC x 10－r ）r r 10rC x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9410C 考点：二项式定理6．曲线()sin x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】分析：先求函数()sin xf x e x =的导数，因为函数图象在点()()0,0f 处的切线的斜率为函数在0x =处的导数，就可求出切线的斜率．详解：0sin cos 0001x x f x e x e x f e cos sin Q （），（）（），'=+∴'=+= ∴函数图象在点()()0,0f 处的切线的斜率为1． 故选：C ．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题． 7．10(e 2)x x dx -=⎰( )A ．eB ．e 1-C ．e 2-D ．2e -【答案】C 【解析】 【分析】根据定积分的运算公式，可以求接求解. 【详解】解:12100(e 2)(e )|e 2x x x dx x -=-=-⎰，故选C.【点睛】本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键.8．已知函数()2ln f x a x x =+，a R ∈，若()f x 在21,x e ⎡⎤∈⎣⎦上有且只有一个零点，则a 的范围是( ) A ．4,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．{}4,22e e ⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭C ．44,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．{}4,22e e ⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为2ln x a x -=在(21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，考虑函数()2ln x g x x=，(21,x e ⎤∈⎦的单调性即可得解. 【详解】由题()11f =，所以1x =不是函数的零点；当(21,x e ⎤∈⎦，()f x 有且只有一个零点，即2ln 0a x x +=在(21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，即2ln x a x-=在(21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根， 考虑函数()2ln x g x x=，(21,x e ⎤∈⎦()()222ln 12ln ln ln x x x x x g x x x--'== 由()0g x ¢>得：122,x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，由()0g x ¢<得：121,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以函数()2ln x g x x =在121,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，122,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，122g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()422e g e =，21,ln 0,1x x x ++→→→，()2ln x g x x =→+∞，要使2ln x a x -=在(21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，即42e a ->或2a e -= 则a 的范围是{}4,22e e ⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，关键在于等价转化，利用函数单调性解决问题，常用分离参数处理问题.9．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．215【答案】C 【解析】 【分析】将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.10．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（） A ．12B ．25C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 【详解】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 即概率都为12【点睛】本题考查排位概率，属于基础题．11．用数学归纳法证明()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-++=L L 时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．()2212k k ++ B ．()221k k ++ C ．()21k + D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 【答案】B 【解析】因为当n k =时，等式的左边是()()2222222121121k k k L L ++-++-+++，所以当1n k =+时，等式的左边是()()()2222222221211121k k k k k L L ++-+++++-+++，多增加了()221k k ++，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是搞清楚当n k =时，等式的左边的结构形式，当1n k =+时，等式的左边的结构形式是()()()2222222221211121k k k k k L L ++-+++++-+++，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．12．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，第二步归纳假 设应该写成（ ）A ．假设当()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除B ．假设当2()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除C ．假设当21()n k k N *=+∈时，k k x y +能被x y +整除D ．假设当21()n k k N *=-∈时，2121k k x y --+能被x y +整除 【答案】D 【解析】注意n 为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n 为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k ∈N *）正确，再推n=2k+1正确；故选D ．本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_________（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果． 【详解】先排三个奇数，共有336A =种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有33212A =种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有3333272A A =个． 故答案为：72． 【点睛】对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．14．已知幂函数()f x 的图象过点，则满足方程()8f x =的x 的值为______.【答案】1 【解析】 【分析】设()f x x α=，可得α=，解得α，即可得出．【详解】 设()f x x α=，则α=，解得3α=．()3f x x ∴=．令38x =，解得2x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂函数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 15．若复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为____． 【答案】－12【解析】 【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于m 的等式和不等式，最后求出m 的值. 【详解】因为复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，所以有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，12m ⇒=-.故答案为12-. 【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.16．将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案和数有__________. 【答案】10 【解析】首先分给甲乙每班一个名额，余下的3个名额分到3个班， 每班一个，有1中分配方法；一个班1个，一个班2个，一个班0个，有236A =种分配方法；一个班3个，另外两个班0个有3种分配方法； 据此可得，不同的分配方案和数有6+3+1=10种. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin cos 0θθ=. （I ）求曲线C 的直角坐标方程； （II ）求直线l 与曲线C 交点的直角坐标.【答案】（I ）230y x -=；（II ）(1,3). 【解析】【分析】（I ）曲线C 的极坐标方程为2sin 3cos 0θρθ-=两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．（II ）将11233x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩代入230y x -=中，得t 的二次方程，解得0t =则可求解 【详解】（I ）将2sin 3cos 0θρθ-=两边同乘ρ得，22sin 3cos 0ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：230y x -=.（II ）将11233x t y t⎧=+⎪⎨⎪=+⎩代入230y x -=中，得21333102t t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得0t =， ∴直线l 与曲线C 交点的直角坐标为(1,3).【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查t 的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. （2）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】3（Ⅱ）14AM AP =. 【解析】分析：（Ⅰ ）取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，由已知可得CO ⊥AD ，PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），进一步求出向量PB PD PCu u u r u u u r u u u r、、的坐标，再求出平面PCD 的法向量n r，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由n PB sin cos n PB n PBθ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ＜，＞求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （Ⅱ）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAPλ=，M （0，y 1，z 1），由AM AP λ=u u u u r u u u r 可得M （0，1﹣λ，λ），()1BM λλ=--u u u u r，，，由BM ∥平面PCD ，可得 0BM n ⋅=u u u u r r ，由此列式求得当14AM AP =时，M 点即为所求． 详解：(1)取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO⊥AD.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD⊥平面ABCD ， 所以PO⊥平面ABCD.因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO⊥AD.以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），则()()111011PB PD =-=--u u u r u u u r ，，，，，，()()201210PC CD =-=--u u u r u u u r，，，，，， 设()001n x y =r，，为平面PCD 的法向量， 则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得0010210y x --=⎧⎨-=⎩，则1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，，． 设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则n PB sin cos n PB n PBθ⋅==u u u r r u u u r ru u u r r ＜，＞=； (2) 假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAP λ=，M （0，y 1，z 1）， 由（Ⅱ）知，A （0，1，0），P （0，0，1），()011AP =-u u u r ，，，B （1，1，0），()1101AM y z =-u u u u r，，， 则有AM AP λ=u u u u r u u u r，可得M （0，1﹣λ，λ），∴()1BM λλ=--u u u u r，，， ∵BM ∥平面PCD ，1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，，为平面PCD 的法向量，。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知21zi i=++，则复数z =（ ）A B ．2C ．13i -D ．13i +【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误 B ．大前提是错误的 C ．小前提是错误的 D ．结论是真确的【答案】B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。
详解：指数函数x y a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，若a 1>,则xy a =是增函数，若0a 1<<,则xy a =是减函数 所以大前提是错误的。
所以B 选项是正确的。
点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。
3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可． 【详解】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1y x +-= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础． 4．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log ay x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（ ） ABC ．2e D．e【答案】B 【解析】 【分析】当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程. 【详解】设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩，解得：00,,x e y e a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A．2B2C ．230aD ．215a点A 在双曲线C 上，不妨设点A 在双曲线C 右支上，所以122AF AF a -=，又12AF F ∆的周长为1212122c 10?AF AF F F AF AF a ++=++=. 得1210?2c AF AF a +=-. 解得126,?4AF a c AF a c =-=-. 双曲线C 的离心率为2，所以2ca=，得2c a =. 所以122,?AF c AF c ==. 所以112AF F F =，所以12AF F ∆为等腰三角形. 边2AF2==. 12AF F ∆的面积为2221122224AF c ===n n n .故选B.6．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ ，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2） B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）【答案】B 【解析】 【分析】先求出当x ≤2时，f （x ）≥4，则根据条件得到当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当x ≤2时，f （x ）=﹣x +6≥4， 要使f （x ）的值域是[4，+∞），则当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立， 即log a x≥1，若0＜a ＜1，则不等式log a x≥1不成立， 当a ＞1时，则由log a x≥1=log a a ， 则a ≤x ， ∵x ＞2，∴a≤2，【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x ≤2时的函数的值域是解决本题的关键． 7．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】 ∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由导数性质推导出当x ∈（﹣∞，0）或x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数.因为()()()''xf x f x xf x ⎡⎤=+⎣⎦，∴当(),0x ∈-∞时，()()()''0xf x f x xf x ⎡⎤=+<⎣⎦，函数()y xf x =单调递减， 当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减.Q 110sin22<<，11ln22>>=，121log 24= 12110sin ln2log 24<<<，∴ a b c >>，故选A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 9．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ￢∧C ．p q ∧￢D ．p q ∧￢￢【答案】B 【解析】 【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是11BC CD 、的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．1MNCC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN ABD ．//MN 平面ABCD【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】∵在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），M （1，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），N （0，1，1），1110002MN CC =--=u u u u v u u u u v （，，），（，，），10MN CC ∴⋅=u u u u v u u u u v，∴MN⊥CC 1，故A 正确；112002202200A AC AC MN AC MN MN CC AC CC C =-⋅=-+=∴⊥⊥⋂=u u u v u u u v u u u u v（，，），（，，），，，又，，∴MN⊥平面ACC 1A 1，故B 成立；∵ 020110AB MN ==--u u u v u u u u v（，，），（，，），∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量 0010n MN n =⋅=u u u u v vv（，，），， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．设向量(,4)a x r=-，(1,)b x r=-，若向量a r与b r同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2C ．±2D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由a v与b v平行，利用向量平行的公式求得x,验证a v与b v同向即可得解 【详解】由a v与b v平行得24x -=-，所以2x =±，又因为同向平行，所以2x =. 故选A 【点睛】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题． 12．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】对于①，4344443273()()464432A PB P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【答案】1(,0)2-【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的性质即可求得． 【详解】由题12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩解得1(,0)2-【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题． 14．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.【答案】【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为．考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.15．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为__________种． 【答案】112 【解析】根据题意,设取出x 个红球,则取出6x -个黑球,此时总得分为()26x x +-， 若总分低于8分,则有()268x x +-<，即2x <， 即x 可取的情况有2种，即0x =或1x =， 即总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球,有677C=种取法，②、取出1个红球,5个黑球,有1510557C C ⨯=种取法， 故使总分低于8分的取法有7+105=112种； 故答案为：112.16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b +++L 的值是__________． 【答案】40332017【解析】 【分析】根据{}n S 是等比数列得出2nn S =，利用数列项与和的关系，求得n a ，从而得出n b ，利用裂项相消法求出答案. 【详解】由12n n S S +=可知，数列{}n S 是首项为112S a ==，公比为2的等比数列，所以2nn S =.2n ≥时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=.211log 1,2n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩，.2n ≥时,()1111111n n b b n n n n+==--- 12232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=L L . 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）37；（2）x 的分布列为 x1234p1328928528128()14E x =【解析】 【分析】 【详解】（I ）1126283()7C C P A C == （II ）1122622813(1)28C C C P X C +===；2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⋅=； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⋅⋅=；；X 的分布列为 X 1234P1328928528128()12342828282814E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题．18．已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45o 时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(3)(2)16x y -+-=（2）存在14λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，详见解析【解析】【分析】（1）由题意可设AB 的方程为1y x =-，代入Ω可得2610x x -+=，通过韦达定理与中点坐标公式求出AB 的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。
2019-2020学年四川省宜宾市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间不重合的三条直线 、 、 及一个平面 ，下列命题中的假命题是（）．
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的外接圆的半径，然后取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，由于 平面 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在 中， ， ，可得 ，
则 的外接圆的半径 ，取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，
【解析】
【分析】
根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.
【详解】
对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.
对于C选项，由于 ， ，根据空间角的定义可知， ，C选项正确.
对于D选项，由于 ，所以 平行于平面 内一条直线 ，而 ，所以 ，所以 ，即D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．设 ，下列不等式中正确的是（ ）
①D．②和④
【答案】C
【解析】
分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.
详解：因为ab>0,所以a,b同号.
对于①，由绝对值三角不等式得 ，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时， ，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得 ，所以④是正确的.
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】D【解析】【分析】求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【详解】记{}A =两次的点数均为偶数，{}8B =两次的点数之和不大于，因为()339n A =⨯=，()6n AB =， 所以()()()6293n AB P B A n A ===． 故选：D.【点睛】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．2．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ）A ．M N R ⋃=B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N = 【答案】B【解析】分析：先分别求出集合M 和N ，由此能求出M 和N 的关系.详解：{}{}|2,0x M y y x R y y ==∈=， {}{}2|,|0N y y x x R y y ==∈=≥，故M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y =(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．16【答案】C【解析】【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】 联立2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCA S A S ===正方形． 故选：C ．【点睛】 本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a da d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩． 故选B ．【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种【答案】A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种． 故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．6．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60o 的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】 双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c - 过点1F 作倾斜角为60o的直线)y x c =+与圆222x y b +=,可得：222222,a b a b c ⎫+=+=⎪⎪⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: c e a ==故选:B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力. 7．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m n ⊥，则下列条件能推出αβ⊥的是（ ） A ．//m α，//n β B ．m α⊥，//n β C ．//m α，n β⊥ D ．m α⊥，n β⊥【答案】D【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A. //m α，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；B. m α⊥，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；C. //m α，n β⊥，此时α，β两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D. 点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题. 8．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9．已知i 是虚数单位，21i z =+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法，化简z ，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以1z i =+.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.10．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种 【答案】C【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.11．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【答案】A【解析】【分析】 根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小. 【详解】因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y < 由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z <<故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 12．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4]-C ．[4,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】【分析】列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22x x F x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果.【详解】由1010x x +>⎧⎨-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =- 设3()22x x F x x -=-+，()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，又∵22x x y -=-和3y x =为增函数，∴3()22x x F x x -=-+既是奇函数又是增函数由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->，则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立，∵13[2,4)x -∈-，∴4a …， 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22x x F x x -=-+是解题的关键，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P(X≤6)＝________. 【答案】1335【解析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X 相应为4，6，8，1．∴()()31404343447713(6)4635C C C C P X P X P X C C ≤==+==+=. 14．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】3 【解析】【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率.【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++， 联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则 222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，3e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.15．101)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】，则221x y +=（y≥0），∴10dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以1201(1)2x x dx -+⎰=120(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分.16．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.【答案】54【解析】【分析】运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况【详解】当个位是偶数的时候共有215360A C ⋅=种可能三个数字都是偶数时，有336A =种可能则满足题意的三位数共有60654-=种故答案为54【点睛】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解析】试题分析：解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30{100098 2.7,10.3x x x W x x x--<≤=--> （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x =->⇒<<'， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）．当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ） A ．(2,7) B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)222．设复数21iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．13．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数”4．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．15605．角α的终边与单位圆交于点52555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15C ．35D ．356．0121834521C C C C ++⋯++的值等于（ ）A ．7351B ．7355C ．7513D ．73157．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种 D ．113433C C A 种8．在中，，且，则的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<10．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x-≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1B ．122-C ．222-D ．22-11．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．12．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．14．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1()2S a b c r =++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________．15．已知二项式7x x 展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于____________.16．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段 [)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数１３６６２１１若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ （2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？ 18．某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．19．（6分）已知()y f x =在()0,+∞上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+. (1)求证：()()22f xf x =；(2)求()1f 的值；(3)求不等式的()()()34f x x f +≤的解集20．（6分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[)100120，内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）某球员是当今CBA 国内最好的球员之一，在20172018-赛季常规赛中，场均得分达23.9分。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 附表：则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．若6ax⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4B ．4±C ．2D ．2± 【答案】D【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出第k 1+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为6ax⎛- ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-， 令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.5．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差2.4DX =，(4)(6)P X P X =>=，则期望EX =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】 X 服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出p 的可能值，再根据(4)(6)P X P X =>=，确定p 的值，再利用均值计算公式计算()E X 的值.【详解】因为()(1)10(1)0.24D X np p p p =-=-=，所以0.4p =或0.6，又因为 (4)(6)P X P X =>=，则4646461010C (1)C (1)p p p p ->-，解得0.5p <，所以0.4p =，则()100.44E X =⨯=.故选：A.【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：()E X np =，()(1)D X np p =-.6．设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】 试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故，当直线经过点时,取最大值，即，解之得，所以应选D.考点：线性规划的知识及逆向运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过解方程求出参数的值.7．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A【解析】【分析】 先算出1()x x f x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可 【详解】由()x f x xe -=可得1()x x f x e-'= 当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()x f x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e= 故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.8．已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ） A ．2x π= B ．12x π=- C ．3x π=- D ．23x π= 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】 由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈， 据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5D ．（4,5）【答案】A【解析】【分析】 不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．32．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -=B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种4．函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,π⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,π⎛⎤⎥⎝⎦C ．()0,2D ．(]0,2 5．已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或26．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，320010x x -+>”③若p ：1x >，q :11x<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()1cos x f x e m x =-++，记()()()22133a f b f c f =-=--=，，，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=，（a ≠1，n N ）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1+aC ．1+a+a 2D ．1+a+a 2+a 39．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ） A ．310B ．13C ．710D ．2310．已知一个等比数列{}n a ，这个数列33213,9n a a -=且所有项的积为243，则该数列的项数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．22C 32D 212．若随机变量η的分布列如下表：η-2 -1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是 A ．2x ≤ B ．12x ≤≤ C ．12x <≤D ．12x <<二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，且2a =，135B ∠=︒，4ABC S ∆=，则b =____ 14．从1,2,3,4,5,6，中任取2个不同的数，事件A = “取到的两个数之和为偶数”，事件B =”取到的两个数均为偶数”，则(|)P B A =_______．15．已知a R ∈，函数()()2f x x x a =-，若()f x 在区间[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是____．16．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.18．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若异面直线1A A 与1B C 所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.19．（6分） [选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22332cos ρθ=-．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为2m 的值． 20．（6分）已知函数()ln()(0)f x a x a a =-<，21()2g x x x =-. （1）若()f x 在(1,(1))f 处的切线与()g x 在11(,())22g 处的切线平行，求实数a 的值； （2）若()()()F x f x g x =-，讨论()F x 的单调性；（3）在（2）的条件下，若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+．21．（6分）已知()ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程； （3）若不等式2()()2f x g x ≤'+恒成立，求实数a 的取值范围．22．（8分）设椭圆222:1(2)2x y M a a +=>的右焦点为1F ，点222A a ⎛⎫⎪-⎭，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PE PF ⋅的最大值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意； 对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意； 对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意； 即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3. 本题选择D 选项. 2．C 【解析】分析：求导得到()f x 在x e =处的切线斜率，利用点斜式可得()f x 在x e =处的切线方程.详解：已知函数()ln f x x x =，则()1ln ,f x x =+' 则()1ln 2,f e e =='+ 即()f x 在x e =处的切线斜率为2，又()ln ,f e e e e == 则()f x 在x e =处的切线方程为()2,y e x e -=- 即20x y e --=. 故选C.点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题. 3．A 【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法；第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种，故选A ． 考点：排列组合的应用． 4．B 【解析】 【分析】由函数()f x 存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x ee --=-只有唯一一个交点，画出()x ϕ与()g x 的大致图象，根据使得函数()x ϕ与函数()g x 只有唯一一个交点，得到()()11g ϕ''≥，即可求解. 【详解】由题意，函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-只有唯一一个交点，因为()()10,10g ϕ==，所以函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又因为()11xx g x ee --'=--，且110,0x x e e -->>，所以()0g x '<，即函数()11xx g x ee --=-在R 上单调递减函数，又因为()sin x a x ϕπ=是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数， 所以可得()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图象，如图所示，所以要使得函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-只有唯一一个焦点，则()()11g ϕ''≥，因为()cos x a x ϕππ'=，则()1a ϕπ'=-，()111112g e e --'=--=-，所以2a π-≥-，解得2a π≤，又因为0a >，所以实数a 的范围为2(0,]π，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 5．D 【解析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论. 6．C 【解析】分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．详解：①若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少一个是假命题，故①错误；②命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“3200010x R x x ，＞∃∈-+”，故②正确；③若x ＞1＞0，则11x ＜，反之，若11x＜，则x ＜0或x ＞1． 又p ：x ≤1，q ：11x＜，∴￢p 是q 的充分不必要条件，故③正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：C ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题． 7．D 【解析】 【分析】根据奇函数(0)0f =解得0m =，设()()g x xf x =，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案. 【详解】根据题意得(0)0f m ==，令()()g x xf x =. 则()()g x xf x =为R 内的偶函数，当0x ≥时，()()e 11e e (1)e 10x x x x g x x x x '⎡⎤'=-+=--=-++<⎣⎦，所以()g x 在[0,)+∞内单调递减又()()()()()()22211333a f g b f g c f g =--==--===，，，故c a b <<，选D.本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数()()g x xf x =是解题的关键. 8．C 【解析】考点：数学归纳法．分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案． 解：用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a 1． 故选C ． 9．B 【解析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件A ，第二次是白球为事件B ，先求出P AB （）的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件A ，第二次是白球为事件B ．则由题意知，77371010930PA P AB ⨯===⨯（），（）， 所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为7130|.7310PB A （）== ． 故选：B ．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键． 10．B 【解析】 【分析】根据等比数列性质列式求解 【详解】3322121221((39)3)n n n n n n a a a a a a --⋅⋅===224335,10.2n nn ∴===，选B. 【点睛】本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．B 【解析】 【分析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算.【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T =，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+== B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题. 12．C 【解析】分析：根据概率为0.8，确定实数x 的取值范围详解：因为0.10.20.20.30.8+++=，所以实数x 的取值范围为12x <≤ 选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．【解析】11sin 2422ABCSac B c ==⋅⋅=，∴c =，由余弦定理得2222cos 43222522b ac ac B =+-=++⨯⨯=，∴b =14．12【解析】 【分析】先求得事件A 所包含的基本事件总数，再求得事件AB 所包含的基本事件总数，由此求得()|P B A 的值. 【详解】依题意，事件A 所包含的基本事件为13,15,24,26,35,46共六种，而事件AB 所包含的基本事件为24,26,46共三种，故()31|62P B A ==. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题. 15．23a 【解析】 【分析】根据已知可得()0f x '≤，[]1,2x ∈恒成立，根据二次函数的图像，列不等式组解决问题. 【详解】()()()222234f x x a x x a x ax a =-+⋅-=-+',()f x 在区间[]1,2上单调递减，()()1020f f ⎧≤⎪∴⎨≤''⎪⎩ ，解得23a ≤≤.故填：23a ≤≤. 【点睛】本题考查了已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，根据函数是单调递减，转化为()0f x '≤恒成立，根据二次函数的图像列不等式组，得到参数的取值范围，一般恒成立的问题也可转化为参变分离的方法，转化为求函数的最值问题.16．2【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 18．16 【解析】分析：由正四棱柱的性质得11//A A BB ，从而111tan 2BC CB B BB ∠==，进而14BB =，由此能求出正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积. 详解：∵11//A A BB∴1CB B ∠为1A A 与1B C 所成角 且∵=2BC ，∴1=4BB点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19． (1) 0x y m -+= ；2213x y +=.(2) 6m =-或6m =. 【解析】试题分析：（1）消去参数t 得到1C 的普通方程为0x y m -+=．利用222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可以把2C 的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2C 的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为2cos 62md πα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，利用[]0,απ∈得到22cos 36m m m πα⎛⎫-≤++≤+ ⎪⎝⎭因为直线与椭圆是相离的，所以30m +或20m ->，分类讨论就可以得到m 相应的值．解析：（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t t ，可得1C 1C 的普通方程为：0x y m -+=． 由曲线2C 的极坐标方程得[]22232cos3,0,ρρθθπ-=∈， ∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤ ． （2）设曲线2C 上任意一点P 为)3,sin αα ，[]0,απ∈，则点P 到曲线1C 1C 的距离为2cos 3cos sin 622m m d πααα⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭==．∵[]0,απ∈， ∴3cos 6πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2cos 36πα⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 当30m <时，34m +=-，即43m =-当20m ->时，24m -=，即6m =．∴43m =--或6m =．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．20． (1) 1a =- (2)见解析（3）见解析 【解析】分析：（1）先求一阶导函数()x f '，()'0x k f=，用点斜式写出切线方程（2）先求一阶导函数()x 0F '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，判断单调性。
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y +=B ．3y x =C ．32x y =⋅D ．3x y -=2．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．3．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A ．12B ．23C ．14D ．134．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班 A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种5．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|1}B x y x ==-，则（ ）A ．AB ⊆B ．A B A ⋃=C ．AB =∅D ．()I A B ⋂≠∅6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．7．设全集U ＝R ，集合{}3A x x =≤， {}6B x x =≤，则集合()⋂=U C A B ( ) A ．{}36x x <≤ B ．{}36x x << C ．{}36x x ≤<D ．{}36x x ≤≤8．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．1999．下列命题中为真命题的是（ ） A ．若10,2x x x≠+≥ B ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ C ．“=1a ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>10．已知随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()2,()1E X D X ==，则(3)P X ==（ ） A ．14B ．13C ．38D ．1211．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种12．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．130二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于x 的方程422525x xC C +=的解为x =________14．已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．15．71()7x x-的展开式的第3项为______. 16．若正实数{}n a 满足21a b +=，则12a b+的最小值为______ ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()1n f x x ax =-+ 11()aa R x--∈. (1)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性； (2)设2()24g x x bx =-+，当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值.18．已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值． 19．（6分）已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(,1]-∞上至少存在一个0x ，使得0()0f x <成立，求实数m 的取值范围.20．（6分）已知实数，设函数．（1）证明：；（2）若，求的取值范围．21．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满足n n n c a b =.（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S .22．（8分）已知不等式21214x x ++-<的解集为M ． （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如xy a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数. 2．C 【解析】分析：根据正投影的概念判断即可. 详解：根据正投影的概念判断选C. 选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题. 3．C 【解析】利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1222223321320011413333t t t tf t t x dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得12t =， 当102t <<时，()0f t '<；当112t <<时，()0f t '>. 所以，函数()y f t =在12t =处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为14，故选C ． 【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 4．B 【解析】 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥， 由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅，故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ. 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】求出U C A ，然后求解()U C A B ⋂即可.全集U =R ，集合{}{}|3,|6A x x B x x =≤=≤， 则集合{}|3U C A x x =>， 所以{}()|36U C A B x x =<≤，故选A. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目. 8．C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理 9．B 【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论． 详解：对于A ，0x ＞，利用基本不等式，可得12x x+≥，故不正确； 对于B ，命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ ，正确；对于C ，“1a =± ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D ，命题命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥ ，故不正确． 故选：B ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题． 10．A 【解析】 【分析】由二项分布与n 次独立重复实验的模型得：4n =，12p =，则34411(3)()24P X C ===，得解． 【详解】因为X 服从二项分布~(,)X B n p ，()2E X =，()1D X =， 所以2np =，(1)1np p -=，即4n =，12p =， 则34411(3)()24P X C ===，故选：A ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复实验的模型，属于基础题． 11．A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数． 详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生，∴有C 82•C 41=1． 故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 12．A 【解析】分析：先求出基本事件的总数21045n C ==，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，由此即可求出.详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，基本事件的总数21045n C ==，恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，恰好取到1件次品的概率2174515m P n ===. 故选：A.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质，列出方程，求出x 的值即可. 【详解】解：∵422525x xC C +=，∴24x x =+或2(4)25x x ++=， 解得4x =或7x =. 故答案为：4或7. 【点睛】本题考查了组合数的性质与应用问题，是基础题目. 14．()0,1 【解析】 【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果. 【详解】当0m =时，()()2log 41xf x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1. 故答案为()0,1 【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要. 15．337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．16．9 【解析】 【分析】根据()12122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值.【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件是22b aa b=，即22a b =， 22210,0a b a b a b ⎧=⎪+=⎨⎪>>⎩，解得：11,33a b == 12a b∴+的最小值是9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增;函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减；（2）17[,)8+∞． 【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，()221ax x af x x-+-'= ()0,x ∈+∞， 令()21h x ax x a =-+- ()0,x ∈+∞，分0a =，12a =，102a <<，0a <，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。
2019-2020学年宜宾市数学高二(下)期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二(下)期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设e a =，πln πb =，3ln3c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】A【解析】【分析】根据,,a b c 三个数的特征，构造函数()ln x f x x=，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出,,a b c 的大小关系.【详解】 解:考查函数()ln x f x x=，则2ln 1()(ln )x f x x -'=，()f x 在(e,)+∞上单调递增，e 3π<<Q ， (e)(3)(π)f f f ∴<<，即e 3πlne ln3ln π<<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.2．复数21i i=+（ ） A ．2i +B ．1i -C ．1i +D ．2i - 【答案】C【解析】分析：直接利用复数的除法运算得解. 详解：由题得22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为：C. 点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.3．方程x = ）A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B【解析】【分析】方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于x 的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．【详解】解：x =2241(0)x y x +=…， 即221(0)14y x x +=…，表示的曲线为椭圆的一部分；故选：B ．【点睛】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．4．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】D【解析】 分析：先求出二项式展开式的通项，再令x 的指数为4得到r 的值，即得5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数. 详解：由题得二项展开式的通项为2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==, 令10-3r=4,所以r=2,所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2525210880C -=⨯=. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)521 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2525210880C -=⨯=,不是2510C =,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.5．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．()15,+∞B ．[)15,+∞C ．(),6-∞D ．[)6,+∞【答案】B【解析】分析：首先，由()()11f p f q p q +-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围．详解：∵()()11f p f q p q +-+-的几何意义为：表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率，∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内．不等式()()11f p f q p q +-+-＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x ＞﹣1，∴f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a ∈[15，+∞）．故选A ．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.6．()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】 通过21i z i=+ 求出z ，然后得到复数z 对应的点的坐标．【详解】由()12z i i +=得22(1)1.1(1)(1)i i i z i i i i -===+++- 所以复数z 在复平面对应的点在第一象限． 【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．7．用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0a b c ++>，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A ．,,a b c 中至少有两个为负数B ．,,a b c 中至多有一个为负数C ．,,a b c 中至多有两个为正数D ．,,a b c 中至多有两个为负数 【答案】A【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“,,a b c 中至少有二个为正数”的否定为：“,,a b c 中至少有二个为负数”．故选A ．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．8．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题：①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ；③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b以上命题正确的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误；③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确；④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．9．已知点(0,1)M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，F 为C 的焦点，过M 点的直线与C 相切于点N ，则FMN ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N 的坐标，进而求得面积.【详解】点()0,1M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上,可得到p=2,方程为：24x y =，切点N （x,y ）,满足24x y =，过M 点的直线设为1,y kx =-和抛物线联立得到2440x kx -+=，2161601k k ∆=-=⇒=±，取k=1,此时方程为()2440,2,1x x N -+=FMN ∆的面积为:1122 2.22N S FM x =⨯⨯=⨯⨯=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率. 10．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】根据椭圆和双曲线定义：22121212||16PF PF PF PF PF PF +=-=⇒+= 又222121224,||||F F PF PF F F =∴+=；故选B11．若随机变量()100,,X B p X ~的数学期望()24E X =，则p 的值是( )A ．25B ．35C ．625D ．1925【答案】C【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可.详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =，据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ）A ．eB ．﹣eC ．﹣2eD ．2e【答案】B【解析】【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ．【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ，可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ，则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ．故选：B ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“2000,2cos x R x x ∃∈<”的否定为____________________． 【答案】2x R,2x cos x ∀∈≥【解析】特称命题的否定为全称，所以“2000,2cos x R x x ∃∈<”的否定为“2,2cos x R x x ∀∈≥”. 点睛：命题的否定和否命题要做好区别：（1）否命题是指将命题的条件和结论都否定，而且与原命题的真假无关；（2）否命题是只否结论，特别的全称命题的否定为特称，特称命题的否定为全称.14．已知直线1x y a b+=（a ，b 是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有______条（用数字作答）.【答案】60【解析】【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合组合知识分类解答.【详解】依题意直线,x y 截距均不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，圆22100x y +=上的横坐标和纵坐标均为整数的点有12个，分别为(6,8),(6,8),(8,6),(8,6),(10,0),(0,10)±-±±-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点过任意两点，构成21266C =条直线，有4条垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条直线过原点（圆上点的对称性），满足条件的直线有52条.综上可知满足条件的直线共有52860+=条.故答案为：60.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用组合知识是解题的关键，注意直线截距式方程的限制条件，属于中档题.15．若函数()()sin 0f x x ωω=>在()0π，上单调递增，则ω的取值范围是________________. 【答案】102⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】【分析】解方程sin 1x ω=得()122x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再解不等式12ππω⨯≤即得解. 【详解】令sin 1x ω=，则()22x k k Z πωπ=+∈， ∴()122x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.又∵0>ω，()sin f x x ω=在区间()0π，上单调递增， ∴12ππω⨯≤， ∴102ω<≤. 故答案为102⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___【答案】1【解析】【分析】确定系统抽样间隔，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案．【详解】由系统抽样知，抽样间隔， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，1，即最大编号为1．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 满足12a =，()131n n na n a +=+，()n n a b n N n*=∈. （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由.【答案】 (1) 12b =，26b =，318b =.(2) {}n b 是首项为2，公比为3的等比数列；理由见解析.【解析】分析：（1）先根据递推关系式求1a ，2a ，3a ；，再求1b ，2b ，3b ；（2）根据等比数列定义证明{}n b 为等比数列.详解： (1）由条件可得：()131n n n a a n ++=，将1n =代入，得216a a =，而12a =，∴212a =，将2n =代入，得3292a a =，∴354a =， ∴1121a b ==，21262b ==，33183a b ==. （2）{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列. 由条件可得：131n n a a n n+=⨯+，即13n n b b +=， 又12b =，∴{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列.点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法18．设命题P ：对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立.（1）若P 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】【分析】（1）考虑命题p 为真命题时，转化为()2min 321m m x -≤-对任意的[]0,1x ∈成立，解出不等式可得出实数m 的取值范围；（2）考虑命题q 为真命题时，则可转化为()2min 10x x m -+-≤对任意的[]1,1x ∈-成立，可解出实数m 的取值范围，然后由题中条件得出命题p 、q 一真一假，分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论，于此可求出实数m 的取值范围.【详解】对于2min :(22)3p x m m -≥-成立，而[0,1]x ∈，有min (22)2x -=-，∴223m m -≥-，∴12m ≤≤:q 存在[1,1]x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需2min (1)0x x m -+-≤而()2min 514x x m m -+-=-+，∴504m -+≤，∴54m ≤； （1）若p 为真，则12m ≤≤；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则,p q 一真一假.若q 为假命题，p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以524m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，所以1m <. 综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题．19．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点M 是AD 上的点，且13AM MD =．将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ，连接EF ，PB .（Ⅰ）求证：PD EF ⊥；（Ⅱ）试判断PB 与平面EFM 的位置关系，并给出证明.【答案】 (1)见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）折叠前AD AE ⊥,DC CF ⊥，折叠后PD PE ⊥，PD PF ⊥，从而即可证明；（2）连接BD 交EF 于N ，连接NM ，在正方形ABCD 中，连接AC 交BD 于O ，从而可得13BN ND =，从而在PBD ∆中，13PM BN MD ND ==，即得//PB MN ，从而//PB 平面EFM . 详解：（Ⅰ）证明：∵折叠前AD AE ⊥,DC CF ⊥∴折叠后PD PE ⊥，PD PF ⊥又∵PE PF P ⋂=∴PD ⊥平面PEF ，而EF ⊂平面PEF∴PD EF ⊥．（Ⅱ）//PB 平面EFM ，证明如下：连接BD交EF于N，连接NM，在正方形ABCD中，连接AC交BD于O，则1124 BN BO BD==，所以13BN ND=，又13AM MD=，即13PM DM=，在PBD∆中，13PM BNMD ND==，所以//PB MN.PB⊄平面EFM，MN⊂平面EFM，所以//PB平面EFM.点睛：本题主要考查线面之间的平行与垂直关系，注意证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．20．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：(1)求y关于x的线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?参考公式：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑【答案】（1） 1.2308ˆ.0y x=+；（2）12.38万元【解析】【分析】（1）先求出样本中心点(),x y及55211112.3,90i i ii ix y x====∑∑代入公式求得b$，再将(),x y代入回归直线求得a$的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝10，求得y值得答案．【详解】（1）由题表数据可得552114,5,112.3,90i i ii ix y x y x======∑∑，由公式可得2112.35451.23,5 1.2340.08905ˆˆ4b a y bx-⨯⨯===-=-⨯=-⨯，即回归方程是 1.2308ˆ.0y x=+.（2）由（1）可得，当10x=时，ˆ12.38y=；即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题． 21． [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()13f x x x =-++． (1)解不等式：()8f x ≤；(2)对任意x ∈R ，2()3f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】 (1){}|53x x -≤≤;(2)[1,4]-. 【解析】分析：（1）解法一：写出分段函数()f x 的解析式，讨论x 的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.解法二：写出分段函数()f x 的解析式，绘制函数图象,计算函数()y f x =与8y =的交点坐标，根据函数图象确定不等式的解.解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.（2）将()23f x a a ≥-恒成立问题转化成2min 3()a a f x -≤问题，确定min ()f x 后，解关于a 的一元二次不等式，即可求出实数a 的取值范围． 解法一：根据三角不等式，确定函数最小值 解法二：根据函数图象，确定函数最小值.详解：（1）解法一：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，228x --≤，解得：53x -≤<-； 当31x -≤≤时，48≤，解得：31x -≤≤； 当1x >时，228x +≤，解得：13x <≤， 所以不等式()8f x <的解集为{}|53x x -≤≤； （1）解法二：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩令()8g x =，两个函数的图象如图所示：由图像可知，两函数图象的交点为()5,8-和()3,8，所以不等式()()f x g x ≤即()8f x ≤的解集为{}|53x x -≤≤（注：如果作出函数()8y f x =-的图象，写出0y ≤的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与3,1-对应的点分别是,A B ，那么,A B 两点的距离是4，因此区间[]3,1-上的数都是原不等式的解．先在数轴上找出与点,A B 的距离之和为8的点，将点A 向左移动2个单位到点1A ，这时有118A A A B +=, 同理，将点B 向右移动2个单位到点1B ，这时也有118B A B B +=,从数轴上可以看到，点1A 与1B 之间的任何点到点,A B 的距离之和都小于8, 点1A 的左边或点1B 的右边的任何点到点,A B 的距离之和都大于8， 所以，原不等式的解集是{}|53x x -≤≤（2）解法一：()13134f x x x x x =-++≥---=Q ， 当31x -≤≤时“=”成立，又Q 任意x R ∈，()23f x a a ≥-恒成立，∴234a a -≤，即2340a a --≤， 解得：14a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,4-.解法二：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩作函数()f x 的图象如图：由图象可知，函数()f x 的最小值为4，（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明） 又Q 任意x R ∈，()23f x a a ≥-恒成立，∴234a a -≤， 即2340a a --≤， 解得：14a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,4-.点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法. 函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理．()0x a a a x a <>⇔-<< ()0x a a x a x a >>⇔><-或()0ax b c c c ax b c +<>⇔-<+< ()0ax b c c ax b c ax b c +>>⇔+>+<-或()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< ()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><或 ()()()()0a f x b b a a f x b b f x a <<>>⇔<<-<<-或22．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 y （万盒）44566（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$ ，根据表中数据已经正确计算出b$=0.6，试求出$a的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）ˆ 3.2a= ，6.1（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由线性回归方程过点（，）,可得ˆa,再求x=6时对应函数值即为6月份生产的甲胶囊产量数（2）先确定随机变量取法：ξ=0，1，2，3，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据公式求数学期望 试题解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，）， ∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数： =0.6×6+3.2=6.1． （2）ξ=0，1，2，3，P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，P （ξ=3）==，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P所以Eξ==．。
【精选3份合集】四川省宜宾市2019-2020学年高二数学下学期期末综合测试试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件A =“四名同学所报比赛各不相同”，事件B =“甲同学单独报一项比赛”，则()P A B =( ) A ．59B ．49C ．13D ．292．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ） A ．22B ．22-C ．13D ．13-3．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（ ） A ．sinα+cosα＞1B ．sinα+cosα=1C ．sinα+cosα＜1D ．不能确定4．已知函数2()()f x x a =-，且'(1)2f =，则a =（ ） A ．1-B ．2C ．1D ．05．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2 B ．12C ．2D ．26．已知函数()2ln f x a x x =+，a R ∈，若()f x 在21,x e ⎡⎤∈⎣⎦上有且只有一个零点，则a 的范围是( ) A ．4,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．{}4,22e e ⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭C ．44,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．{}4,22e e ⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦7．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X<=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ） A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.858．已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =9．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．10． “0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若223x m >-是14x -<<的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3] B ．(][),33,-∞-+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．[－1,1]二、填空题：本题共4小题13．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=__________．14．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________． 15．关于x 的方程240(16)x x m m -+=-≤≤有两个正实根的概率是______；16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 1AC CB PA AC BC ⊥===，，则三棱锥P ABC -外接球的体积为_____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。