【必考题】高二数学上期末试题(及答案)(2)
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案 (2)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“∀x>0，2x>sinx”的否定是()A. ∀x>0，2x<sinxB. ∀x>0，2x≤sinxC. ∃x0≤0，2x0≤sinx0D. ∃x0>0，2x0≤sinx0【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“∀x>0，2x>sinx”的否定是∃x0>0，2x0≤sinx0，故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.抛物线x=4y2的焦点坐标是()A. (0,1)B. (0,−1)C. (−116,0)D. (116,0)【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线的方程为x=4y2，则其标准方程为y2=14x，分析可得：其焦点在x轴上，且p=14，故其焦点坐标为(116,0)；故选：D．根据题意，将抛物线的方程变形可得其标准方程，分析可得其焦点在x轴上，且p=14，由焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意要先将抛物线的方程变形为标准方程．3.已知圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+ 4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为()A. x+y−3=0B. x+y+3=0C. 3x−3y+4=0D.7x+y−9=0【答案】A【解析】解：圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0圆心坐标(1,2)与圆C2：x2+y2+4x−10y+4=0圆心坐标(−2,5)，圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+4x−10y+4= 0相交于A、B两点，线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，∵直线C1C2的斜率为：k=5−2−2−1=−1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：y−2=−(x−1)，即x+y−3= 0．故选：A．由题意可知所求线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，求出两个圆的圆心坐标，由此能求解直线方程．本题考查两个圆的位置关系的应用，正确判断所求直线方程与圆的位置关系是解题的关键，是中档题．4.“m=1”是“双曲线x2m −y23=1的离心率为2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由双曲线x2m −y23=1的方程得a2=m，(m>0)，b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2=c2a2= 3+mm=4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线x2m −y23=1的离心率为2”的充要条件，故选：C．根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．5.将35个数据制成茎叶图如图所示.若将数据由大到小编号为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7个数据，则其中数据值落在区间[139,151]的个数为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×20=4(人)．故选：35A．根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．本题考查了茎叶图和系统抽样的应用问题，是基础题．6.把38化为二进制数为()A. 100110(2)B. 101010(2)C. 110010(2)D. 110100(2)【答案】A【解析】解：38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38(10)=100110(2)故选：A．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．7.已知直线l：y=√3x+m与圆C：x2+(y−3)2=6相交于A、B两点，若|AB|=2√2，则实数m的值等于()A. −7或−1B. 1或7C. −1或7D. −7或1【答案】C【解析】解：圆心(0,3)到直线l的距离是：d=√3+1=|m−3|2，故(m−3)24+2=6，解得：m=−1或m=7，故选：C．根据点到直线的距离公式以及勾股定理得到关于m的方程，解出即可．本题考查了直线和圆的位置关系，考查勾股定理，是一道基础题．8.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 12【答案】C【解析】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是p=26= 13．故选：C．基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.由直线y=x+2上的点向圆(x−4)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 4√2B. √31C. √33D. 4√2−1【答案】B【解析】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m=√2=4√2，由勾股定理求得切线长的最小值为√32−1=√31．故选：B．要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用.解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．10.若在区间[−3,3]内任取一个实数m，则使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为()A. 13B. 35C. √23D. 2√23【答案】C【解析】解：∵直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点，∴√2≤2，解得−1≤m≤3，∴在区间[−3,3]内任取一个实数m，使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为−3+2√2−(−3)6=√23．故选：C．利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的m，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．11.已知直线l过点P(3,−2)且与椭圆C：x220+y216=1相交于A，B两点，则使得点P为弦AB中点的直线斜率为()A. −35B. −65C. 65D. 35【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减(x1−x2)(x1+x2)20+(y1−y2)(y1+y2)16=0，∵点P(3,−2)为弦AB中点，∴x1+x2=6，y1+y2=−2，∴k AB=y1−y2x1−x2=6 5．故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．12.已知双曲线C：x22−y2=1上任意一点为G，则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为()A. 13B. 23C. 1D. 43【答案】B【解析】解：设G(x0,y0)，双曲线C：x22−y2=1的两条渐近线方程分别为x−√2y=0,x+√2y=0，所以G到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1=0√2y0√3，d2=0√2y0√3，所以d1⋅d2=0√2y0√3⋅0√2y0√3=|x02−2y02|3又因为点G在双曲线C：x22−y2=1上，所以x022−y02=1，即x02−2y02=2，代入上式，可得d1⋅d2=|x02−2y02|3=23．故选：B．求出渐近线方程，利用点到直线的距离转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为______．【答案】甲【解析】解：甲命中的数据主要集中在20～30之间，有6个数据，且成单峰分布；乙命中的数据主要集中在10～20之间，有5个数据，且成单峰分布；所以甲的命中率比乙高．故答案为：甲．根据茎叶图中的数据分布情况，结合题意得出命中率高的是甲．本题利用茎叶图考查了数据的分布特点与应用问题，是基础题．14.如果数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5x n+2的方差为______．【答案】1600【解析】解：数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2=82，则5x1+2，5x2+2，…，5x n+2的平均数是5x+2，方差为52×s2=25×64=1600．故答案为：1600．根据一组数据的平均数和方差的定义与性质，可以写出对应数据的平均数与方差．本题考查了一组数据的平均数与方差的应用问题，是基础题．15.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，问一开始输入的x=______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．【答案】78【解析】解：第一次输入x=x，i=1执行循环体，x=2x−1，i=2，执行循环体，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3，执行循环体，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4>3，输出8x−7的值为0，解得：x=78，故答案为：78．求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值.本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．16.双曲线x2b −y2a=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为______．【答案】√2【解析】解：由双曲线x2b −y2a=1可得渐近线方程为y=±ab x．∵两条渐近线互相垂直，∴−ab×ab=−1，解得a=b．该双曲线的离心率e=√1+a2b=√2．故答案为：√2．由双曲线x2b −y2a=1可得渐近线方程为y=±abx.由于两条渐近线互相垂直，可得−ab ×ab=−1，解得a=b.即可得到该双曲线的离心率e=√1+a2b．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程．【答案】解：因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，所以其焦点坐标即为直线x−y+2=0与坐标轴的交点所以其焦点坐标为(−2,0)和(0,2)当焦点为(−2,0)时可知其方程中的P=4，所以其方程为y2=−8x，当焦点为(0,2)时可知其方程中的P=4，所以其方程为x2=8y，焦点在直线x−y+2= 0的抛物线的标准方程：y2=−8x或x2=8y．【解析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x−y+2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．本题主要考查抛物线的标准方程.抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点．18.某校为了解高一实验班的数学成绩，采用抽样调查的方式，获取了n位学生在第一学期末的数学成绩数据，样本统计结果如表：(1)求n的值和实验班数学平均分的估计值；(2)如果用分层抽样的方法从数学成绩小于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选2人，求至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．=200．x=【答案】解：(1)由题意得：n=20+301−(0.1+0.3+0.2+0.15)95×0.1+105×0.1+115×0.3+125×0.2+135×0.15+145×0.15=121.5．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，共有10种不同选法，分别为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)，其中，B1，B2，B3中至少有一个抽中的情况有9种，∴至少有一个学生的．数学成绩是在[110,120)的概率P(A)=910【解析】(1)由频率分布表能求出n的值和实验班数学平均分的估计值．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，利用列举法能求出至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.已知圆C的圆心为(1,1)，直线x+y−4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点(2,3)，且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．【答案】解：(1)圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d==√2．∵直线x+y−4=0与圆C相切，∴r=d=√2√2．∴圆的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2=2．(3)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3=k(x−2)，即：，又d2+1=2，∴d=1．解kx−y+3−2k=0，d=2．∴直线l的方程为：3x−4y+6=0．②当l的斜得：k=34率不存在时，x=2，代入圆的方程可得：(y−1)2=1，解得y =1±1，可得弦长=2，满足条件．故l 的方程为：3x −4y +6=0或x =2．【解析】(1)利用点到直线的距离可得：圆心C(1,1)到直线x +y −4=0的距离d.根据直线x +y −4=0与圆C 相切，可得r =d.即可得出圆的标准方程．(3)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：y −3=k(x −2)，即：kx −y +3−2k =0，可得圆心到直线l 的距离d ，又d 2+1=2，可得：k.即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，x =2，代入圆的方程可得：(y −1)2=1，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x(万元)与销售收入y(万元)进行了统计，得到相应数据如表：(1)求销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程y =b ^x +a ^．(2)若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少．参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a ̂=y −b ̂⋅x 【答案】解：(1)x =9+10+8+11+125=10，y =21+23+21+20+255=22，b ̂=∑(5i=1x i −x)(y i −y)∑(5i=1x i −x)2=710，a ̂=y −b ̂x =22−710×10=15，∴销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程为y ̂=710x +15；(2)在y ̂=710x +15中，取y =36，可得36=710x +15，即x =30．∴若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为30万元．【解析】(1)由已知求得b ̂,a ̂的值，则线性回归方程可求；(2)在线性回归方程中，取y =36求得x 值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21. 阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：(Ⅰ)求输入的x 的值分别为−1，2时，输出的f(x)的值．(Ⅱ)根据程序框图，写出函数f(x)(x ∈R)的解析式，并求当关于x 的方程f(x)−k =0有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当输入的x 的值分别为−1时，输出的f(x)=2−1=12；…2分当输入的x 的值分别为2时，输出的f(x)=22−2×2+1=1；…4分(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)={22x x =0x<0x 2−2x +1x >0，…6分当x <0时，f(x)=2x ，此时，f(x)单调递增，且0<f(x)<1；…8分当x =0时，f(x)=2，当x >0时，f(x)=x 2−2x +1=(x −1)2在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x)≥0…10分结合图象，可知关于x 的方程f(x)−k =0由三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为(0,1)…12分【解析】(Ⅰ)代入输入的x 的值分别求解即可．(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)={22x x =0x<0x 2−2x +1x >0，分类讨论即可得解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．22. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆经过点(1,32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是圆x 2+y 2=7上任一点，由P 引椭圆两条切线PA ，PB 当切线斜率存在时，求证两条切线斜率的积为定值．【答案】解：(1)椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，可得{c a =121a +94b =1，解得a =2，b =√3，即椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1证明.(2)设P(x 0,y 0)，过点P 的切线方程为y −y 0=k(x −x 0)，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2+8k(y 0−kx 0)x +4(kx 0−y 0)2−12=0，∵直线与椭圆相切，∴△=[8k(y 0−kx 0)]2−4(3+4k 2)[4(kx 0−y 0)2−12]=0，∴(4−x02)k2+6x0y0k+3−y02=0∴k1k2=3−y024−x02，∵点P在圆O上，∴x02+y02=7，即y02=7−x02，∴k1×k2=3−(7−x02)4−x02=−1．∴两条切线斜率的积为定值−1．【解析】(1)利用椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；(2)设P(x0,y0)，过点P的切线方程为y−y0=k(x−x0)，代入椭圆方程，直线与椭圆相切，利用△=0，结合韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案
2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）1、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( C )A．p：∃x∈R，sinx≥1⌝B．p：∀x∈R，sinx≥1⌝C．p：∃x∈R，sinx>1⌝D．p：∀x∈R，sinx>1⌝2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )．A ．160B ．180C ．200D ．2203．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( C )．A ．5B ．13C ．13D ．374．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线x 2a 2y 2b 2的离心率为( D )A. B. C.D. 735443535．在△ABC中，能使sinA ＞成立的充分不必要条件是( C )32A ．A∈ B ．A∈ C ．A∈(0，π3)(π3，2π3)(π3，π2)D ．A∈(π2，5π6)6．△ABC 中，如果＝＝，那么△ABC 是( B )．Aatan Bbtan Cc tan A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( B )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为( A )A. B.5553C. D. 255359．当x ＞1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D 11-x )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30≥y x y x x ＋＋34面积相等的两部分，则k 的值是( A )．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )A.B. C. D. (0，22)(0，33)(0，55)(0，66)解析 由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <1，解得a ∈。
高二数学上学期期末考试试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校房山区2021--2021第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.1.椭圆2243x y+=1的离心率是〔〕A.2B.2C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】由椭圆22143x y+=方程可知a、b、c的值，由离心率cea=求出结果．【详解】解：由椭圆22143x y+=可知，2a=，b=1c=，∴离心率12cea==，应选：D．【点睛】此题考察椭圆的HY方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键，属于根底题．2.在空间假设把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A.一个球B.一个圆C.半圆D.一个点【答案】B【解析】 【分析】利用一共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是一共面向量，把它们的起点放在同一点，那么终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，那么终点到起点的间隔为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是一个圆． 应选：B ．【点睛】此题考察方程，关键是理解一共面向量的概念，属于根底题．3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为()A.2y x =±B.y =C.12y x=±D.2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的HY 方程22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，求出双曲线的渐近线方程即可． 【详解】解：因为双曲线的HY 方程为2214y x -=，那么它的渐近线方程为：2y x =±． 应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的渐近线方程的求法，考察计算才能，属于根底题． 4.向量()2,3,5a =-与向量()4,,1b x =-垂直，那么实数x 的值是〔〕A.﹣1B.1C.﹣6D.6【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值． 【详解】解：向量()2,3,5a =-，与向量()4,,1b x =-垂直，那么0a b =，由数量积的坐标公式可得：24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=， 解得1x =， 应选：B ．【点睛】此题考察空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于根底题．5.双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.假设点P 到F 1的间隔为15，那么点P 到F 2的间隔是〔〕 A.31 B.1C.﹣1D.﹣1或者31 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线2216436x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为其上一点．所以12216PF PF a -==，假设点P 到1F 的间隔为115PF =，21516PF ∴-=，解得231PF =或者21PF =-〔舍去〕， 所以点P 到2F 的间隔是：31． 应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于根底题．6.直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，那么直线l 与平面α的位置关系是()A.//l αB.lα⊥ C.l α⊂ D.l α∈【答案】B 【解析】 【分析】由可求2b a =，判断b 与a 一共线，即可得解l a ⊥．【详解】解：直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，∴2b a =，∴那么b 与a 一共线，可得：l a ⊥．应选：B ．【点睛】此题考察满足线面平行的条件的判断，考察线面垂直的性质等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB 与向量11C A 的夹角是〔〕A.150°B.135°C.45°D.30°【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量AB 与向量11C A 的夹角．【详解】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AC A C ，111C A B ∴∠的补角即为向量AB 与向量11C A 的夹角．111C A B ∆为等腰直角三角形，11145C A B ∴∠=︒，∴量AB 与向量11C A 的夹角为18045135︒-︒=︒，应选：B ．【点睛】此题主要考察两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题． 8.抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的间隔10m =，那么点P 到y 轴的间隔d 等于〔〕A.12B.9C.6D.3【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的性质可得到焦点的间隔等于到准线的间隔，求出P 的横坐标，即为P 到y 轴的间隔．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：4x =-，设P 的横坐标为0x ，由抛物线的性质可得0410x +=，所以06x =，所以P 到y 轴的间隔为6，应选：C ．【点睛】考察抛物线的定义的理解，属于根底题．9.双曲线2214x y k+=的离心率2e <，那么实数k 的取值范围是()A.k 0<或者3k >B.30k -<<C.120k -<<D.83k -<<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用条件求解即可．【详解】解：双曲线2214x y k+=可知k 0<，并且2a =，c ，双曲线的离心率为：e ， 12e <<，∴12<，解得120k -<<，综上120k -<<． 应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的根本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于根底题． 10.假设抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是()A.12B.2D.1【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的间隔等于到准线的间隔可得||||MF MN MA AM =，所以||||MF MA 的最大值时，A ，M ，F 三点一共线，可得结果． 【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)A -点在准线上，作MN ⊥准线交于N ，由抛物线的性质可得|||MF MN =，所以||||||||MF MN MA MA =， 在三角形AMN 中，cos MNMAF MA=∠，所以||||MF MA 的最大值时，FAM ∠最小，当A ，M ，F 上的一共线时，FAM ∠最小，所以这时||||MF MA 的最大值为1，应选：D ．【点睛】考察抛物线简单几何性质，属于根底题． 11.“方程221mxny +=表示焦点在y 轴上的椭圆〞的充要条件是()A.0m n >>B.0n m >>C.0mn >D.0mn <【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程，即可得到结论．【详解】解：假设方程表示椭圆，那么m ，0n ≠，那么方程等价为22111x y m n+=， 假设方程表示焦点在y 轴上椭圆，那么等价为110n m>>， 解得：0m n >>， 应选：A ．【点睛】此题主要考察椭圆的定义和方程，将条件转化为HY 方程形式是解决此题的关键，属于根底题． 12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的间隔相等，那么动点Q 的轨迹是〔〕 A.圆的一局部 B.椭圆的一局部 C.双曲线的一局部 D.抛物线的一局部【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线1AB 的间隔为Q 到G 点的间隔，再由抛物线的定义得动点Q 的轨迹．【详解】解：如图， 在正方体1111ABCD A B C D -中，有11A D ⊥平面11AA B B ，那么111A D AB ⊥，又11AB A B ⊥，1111A B A D A =，1A B ⊂平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ，1AB ∴⊥平面11A BCD ，设11A BAB G =，连接QG ，那么1QG AB ⊥，垂直为G ，而G 与BC 在平面11A BCD 内，且G BC ∉， 又点Q 到直线1AB 和直线BC 的间隔相等，即点Q 到G 的间隔与到直线BC 的间隔相等，由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一局部． 应选：D ．【点睛】此题考察轨迹方程的求法，考察空间想象才能与思维才能，考察抛物线定义的应用，属于中档题． 二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 13.设θ是直线与平面所成的角，那么角θ的取值范围是_____. 【答案】[0，2π]. 【解析】 【分析】当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π，由此能求出角θ的取值范围．【详解】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0， 当直线与平面垂直时，θ取最大值2π， ∴角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题考察线面角的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．14.双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.【答案】8. 【解析】 【分析】直接利用双曲线HY 方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线221169y x -=的实轴长为：2248a =⨯=．故答案为：8．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题． 15.抛物线28xy 的准线方程是_____，焦点坐标是_____.【答案】(1).y ＝2(2).〔0，﹣2〕. 【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果．【详解】解：由抛物线28x y 可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭即：()0,2-，准线22p y ==， 故答案分别为：2y =；()0,2-．【点睛】考察抛物线的HY 方程求焦点坐标及准线方程，属于根底题． 16. ①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，假设||||PA PB k -=，那么动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有一样的焦点．.【答案】②③. 【解析】 【分析】〔1〕根据双曲线的定义知①不正确，〔2〕解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，断定②正确；，〔3〕求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，断定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点1F ，2F 的间隔的差的绝对值等于常数12(||)k k F F <的点的轨迹叫做双曲线，当0||k AB <<时是双曲线的一支，当||k AB =时，表示射线，∴①不正确； ②方程22520x x -+=的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，有一样的焦点，③正确；故答案为：②③．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于根底题． 17.在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，那么二面角1A BC A --的大小为_____.【答案】45°. 【解析】 【分析】 设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小．【详解】解：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 那么平面ABC 的法向量()0,0,1m =，()1,0,3A a ，(),3,0B a ，()0,3,0C，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，那么1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，设二面角1A BC A --的大小为θ，那么||2cos 2||||m n m n θ==， 45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．故答案为：45︒【点睛】此题考察二面角的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于中档题．18.椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．假设AB 的中点坐标为()1,1-，那么E 的方程为__________.【答案】221189x y +=【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法〞，得212212y y b x x a -=-，再根据直线过点()3,0F，和AB 的中点坐标()1,1-，得121212y y x x -=-，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得29b =，218a =，即可得E 的方程.【详解】3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+，∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.【点睛】此题考察了求椭圆的HY 方程，考察了弦的中点有关问题；在中点弦或者弦的中点问题中，常采用“点差法〞和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题一一共4小题，每一小题15分，一共60分.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点． 〔1〕求异面直线AC 与1BC 所成的角；〔2〕求证：1//AC 平面1CDB ．【答案】〔1〕2π〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】 〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．〔2〕建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形，所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C CAC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，那么(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4) 所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ，因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． 〔2〕由〔1〕可知3,2,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，那么3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB = 设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，那么1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x=，那么3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =-直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】此题考察了空间位置关系、线面面面平行与垂直的断定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||2BF 41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ． 〔1〕求椭圆E 的方程； 〔2〕求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕2212x y +=〔2〕43【解析】〔1〕根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程； 〔2〕由〔1〕可知，求得直线2CF 的方程，代入椭圆方程，求得A 点坐标，求得||AB ，即可求得ABC∆的面积．【详解】解：〔1〕因为顶点B 的坐标为(0,)b，2||BF所以2||BF a ===因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)， 所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =，所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=． 【点睛】此题考察椭圆的HY 方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考察转化思想，计算才能，属于中档题． 21.F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．〔1〕当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程； 〔2〕证明：OAOB 是定值．【答案】〔1〕y 2＝4x 〔2〕证明见解析【分析】〔1〕将M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；〔2〕分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明OAOB 是定值．【详解】解：〔1〕因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -，所以42p =，2p =，所以抛物线C 的方程24y x =；〔2〕证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为()2py k x =-，那么2()(1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩， 将〔1〕代入〔2〕得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=， 设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =， 因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值． 当直线l 无斜率时，(,0)2p F ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，那么122p x x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．综上，234p OA OB =-，是定值．【点睛】此题考察抛物线的HY 方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察分类讨论思想，计算才能，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.〔1〕求证：AF ⊥平面PBC ；〔2〕当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕BE =【解析】 【分析】 〔1〕以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．〔2〕设BEa =，(),1,0E a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当BE C PE D --为45︒． 【详解】解：〔1〕证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA ==，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =-，(3,1,1)PC =-，(0F ，12，1)2， (0AF =，12，1)2，0AF PB =，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥， AF ∴⊥平面PBC ．〔2〕设BE a =，(E a ∴，1，0)，(3,1,0)DE a =-，(3,0,1)PD =-，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，那么·(3)0·30n DE a x y n PD x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n=，3a -，3)，平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF =， 二面角C PE D --为45︒，21322cos ,222372an AF a a -∴<>==-+， 解得536a =， ∴当536BE =时，二面角C PE D --为45︒．【点睛】此题考察直线与平面垂直的证明，考察使得二面角为45︒的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
高二数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题 2(共17页)
一中2021-2021高二年级第一学期(xuéqī)期末试题高二数学〔理科〕一选择题：在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.假设命题：， ,那么命题的否认是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据特称命题的否认，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否认是，.故答案为：C.2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用与四个选项里面的向量求数量积，数量积为零的即是所求.【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，应选D.【点睛】本小题主要考察两个空间向量互相垂直的坐标表示，考察运算求解才能，属于根底题.3.双曲线的渐近线方程(fāngchéng)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，此题中，得渐近线方程为，应选A.4.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的HY方程，转化求解即可．【详解】抛物线y=-x2的开口向下，，所以抛物线的焦点坐标．应选：A．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，考察计算才能．5.等比数列中，，，( )A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.【详解(xiánɡ jiě)】由于数列为等比数列，故，故，应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等比数列的根本量个根本量，利用等比数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.6.设变量想x、y满足约束条件为那么目的函数的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 21【答案】C【解析】【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选C.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.7.假设命题“〞为真命题，那么( )A. 为假命题(mìng tí)B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】B【解析】【分析】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.【详解】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,那么q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.故答案为：B.【点睛】〔1〕由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p且q真，那么p 真，q也真；假设p或者q真，那么p，q至少有一个真；假设p且q假，那么p，q至少有一个假．〔2〕可把“p或者q〞为真命题转化为并集的运算；把“p且q〞为真命题转化为交集的运算．8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，那么〔〕A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦(zhèngxián)定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.【详解】由正弦定理得，解得，故或者，所以选D.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，考察特殊角的三角函数值，属于根底题.9.在中，分别为角的对边，假设，那么此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，那么三角形为等腰三角形，此题选择A选项.10.均为正数，，那么的最小值( )．A. 13B.C. 4D.【答案】D【解析】【分析】通过化简后利用根本不等式求得表达式的最小值.【详解】依题意.应选D.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用“〞的代换的方法，结合根本不等式求表达式的最小值.属于根底题.11.设双曲线的渐近线方程为，那么的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为,所以，应选B.12.有以下三个命题:①“假设，那么互为相反数〞的逆命题;②“假设，那么〞的逆否命题;③“假设，那么〞的否命题. 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进展判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性一样，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。
高二数学上学期期末考试试题理含解析7
卜人入州八九几市潮王学校平罗县平罗二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕一､选择题(本大题一一共12小题,每一小题5分,总分值是60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.) 1.“假设1x >,那么2230x x +->〞,〕A.0B.2C.3D.4【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式2230x x +->，得3x <-或者1x >.当1x >时，3x <-或者1x >.当3x <-或者1x >时，1x >... 【详解】因为2230x x +->，所以3x <-或者1x >.因为1x >⇒3x <-或者1x >.因为3x <-或者1x >⇒1x >.即2. 应选B 【点睛】. 2.“假设220x y +=，那么0x y ==〞〕A.假设220x y +=，那么0x ≠且0y ≠B.假设220x y +=，那么0x ≠或者0y ≠ C.假设220xy +≠，那么0x ≠且0y ≠D.假设220xy +≠，那么0x ≠或者0y ≠ 【答案】D 【解析】【分析】 根据p ,q ,:假设非p 那么非q ,即可求得答案.【详解】设p ,q ,:假设非p 那么非q .“假设220xy +=，那么0x y ==〞∴假设220x y +≠，那么0x ≠或者0y ≠应选:D.【点睛】的定义,属于根底题. 3.,x y 的取值如下表所示,假设y 与x 线性相关,且0.5y x a =+,那么a =〔〕A.3.5B.2.2C.4.8D.3.2【答案】A 【解析】 【分析】首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果. 【详解】由题意可得：0134 2.2 4.3 4.8 6.72, 4.544x y ++++++====，回归直线0.5y x a =+过样本中心点，那么4.50.52a =⨯+，解得 3.5a =，应选A.【点睛】该题考察的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属于简单题目. 4.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组〔1－5号，6－10号，…，196－200号〕.假设第5组抽出的号码为22，那么第1组至第3组抽出的号码依次是〔〕 A.3，8，13 B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 应选：B ．【点睛】此题考察了系统抽样方法的应用问题，是根底题． 5.设向量(1,1)ax =-，(1,3)b x =+，那么“2x =〞是“//a b 〞的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法进展判断即可. 【详解】假设2x =，那么()1,1a =，()3,3b =，那么//a b ；但当//a b 时，2,x =±故“2x=〞是“//a b 〞的充分但不必要条件.选A.【点睛】此题考察充分不必要条件条件的判断，属根底题.6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是〔〕 A.恰有1个黑球与恰有2个黑球 B.至少有一个红球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有1个红球 D.至少有一个黑球与都是黑球【答案】A 【解析】【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件， 应选：A ．7.在新一轮的高考HY 中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,那么所选的两科中一定有生物的概率是() A.310B.710C.25D.35【答案】C 【解析】 【分析】先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.根据古典概型的计算公式，得到答案.【详解】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有2510C =，所选的2科中一定有生物，那么需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有14C 4=，所以其概率为142542105C P C ===.故答案为C 项.【点睛】此题考察组合问题，古典概型的计算，属于简单题.8.为了测试小班教学的理论效果，王教师对A 、B 两班的学生进展了阶段测试，并将所得成绩统计如以下图；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，那么观察茎叶图可知 A.A x ＜B x ，2A s ＜2B s B.A x ＞B x ，2A s ＜2B s C.A x ＜B x ，2A s ＞2B s D.A x ＞B x ，2A s ＞2B s【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，从而可得结果.【详解】A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故>A B x x ；相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故22A B s s <，应选B.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描绘，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描绘其集中趋势,方差和HY 差描绘其波动大小.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均程度;方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量，是消费实际中用于方取舍的重要的理论根据，가般先比较均值,假设均值一样再用方差来决定. 9.如图，在边长为2的正方形ABCD 的内部随机取一点E ，那么△ABE 的面积大于32的概率为〔〕 A.12B.13C.14D.16【答案】C【解析】 【分析】根据题意得正方形边长为2,E 到AB 的间隔大于32时满足题意,由几何概型公式计算可得答案. 【详解】解:由题意得，正方形边长为2,E 到AB 的间隔大于32时，△ABE 的面积大于32,易得E 在长宽分别为2，12的矩形内,又正方形面积为4,由几何概型的公式得到△ABE 的面积大于32的概率1212224P ⨯==⨯, 应选C.【点睛】此题主要考察几何概型的概念和计算,得出点E 在长宽分别为2，12的矩形内，再利用几何概型计算概率是解题的关键.10.过点〔0，1〕的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为〔〕A.1B.-1D.【答案】A 【解析】 试题分析：点0,1在()2214x y -+=圆内，要使得过点0,1的直线l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，那么该弦以0,1为中点，与圆心和0,1连线垂直，而圆心和0,1连线的斜率为01110-=--，所以所求直线斜率为1，应选择A ． 考点：直线与圆的位置关系．11.设点(,)P x y 在不等式组0,20,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，那么z =A.1C.2【答案】D 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，再由目的函数z =()1,0的间隔，结合图像，即可得出结果.【详解】作出不等式组0,2030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下：因为目的函数z=表示平面区域内的点到定点()1,0的间隔，由图像可知圆心到直线20x y -=的间隔即是最小值，所以min z ==【点睛】此题主要考察简单的线性规划，先由约束条件作出可行域，再由目的函数的几何意义即可求解，属于根底题型.12.点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，假设四面体ABCD 体积的最大值为3，那么这个球的外表积为 A.2π B.4πC.8πD.16π【答案】D 【解析】由题意，结合圆的性质知当四面体ABCD 的体积为最大值时，点D 在平面ACD 上的射影为AC 中点O '，那么BO '=．设球的半径为R，球心为O，那么OB OD R==，O D '，DO R '=，于是由133ACD S DO ∆'⋅=，即133R +=，解得2R =，所以球的外表积为2416R ππ=，应选D ．二､填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分,总分值是20分)13.某一共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人.为了理解该校学生的安康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，假设从高一年级抽取了160人，那么应从高二年级抽取__________人. 【答案】240【解析】【分析】根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年级人数之比计算可得.【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3, 所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3, 因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×32=240人.故答案为240【点睛】此题考察了分层抽样,属于根底题. 14.在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，那么事件“221x y +≤〞发生的概率为_____.【答案】4π 【解析】 【分析】(),x y 对应的点构成面积为1的正方形区域；由2210101x y x y ⎧+≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到满足题意的区域，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，(),x y 对应的点构成正方形区域，面积为1由2210101x y x y ⎧+≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩可得如以下图所示的阴影局部 阴影局部面积为21144ππ⨯=∴所求概率414p ππ== 故答案为：4π【点睛】此题考察几何概型概率问题的求解，关键是可以明确当有两个变量时，利用面积来进展求解. 15.:4p x a -<，:23q x，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a 的取值范围为_____.【答案】[]1,6-【解析】 【分析】由绝对值不等式的求法可求得p ；根据p ⌝与q ⌝关系可知p 是q 的必要不充分条件，由此可得到不等式组，解不等式组求得a 的范围. 【详解】由4x a -<得：44x a -<-<，解得：44a x a -<<+p ⌝是q ⌝的充分不必要条件p ∴是q 的必要不充分条件4243a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时获得，解得：16a -≤≤a ∴的取值范围为[]1,6- 故答案为：[]1,6-【点睛】此题考察根据充分条件与必要条件求解参数范围的问题，关键是可以根据p ⌝与q ⌝的关系得到p 与q 的推出关系.16.由直线1y x =+上的一点P 向圆()221:3x C y -+=引切线,切点分别为,A B ，那么四边形PACB面积的最小值为_____.【解析】 【分析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为2PACS∆=PC l ⊥，利用点到直线间隔公式可求得PC ，进而得到所求面积的最小值.【详解】由题意知，圆C 的圆心()3,0C，半径1r =两切线关于PC 对称∴四边形PACB 面积为212212PACS PA AC PC ∆=⨯⋅=-∴当PC l ⊥时，PC 最小，此时301211PC -+==+∴四边形PACB 817-=7【点睛】此题考察与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是可以根据切线的性质将问题转化为圆心到直线间隔的求解问题.三､解答题(本大题一一共6小题,总分值是70分,解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 17.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,(),2m a c b =-,()cos ,cos n C A =,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)假设5b c +=,ABC ∆3求ABC ∆的周长【答案】(1)3π；(2)513【解析】 【分析】〔1〕由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到cos A ，进而求得A ；〔2〕根据三角形面积公式构造方程求得bc ，利用余弦定理可求得a ，进而得到所求周长.【详解】〔1〕m n ⊥()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-=由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin2sin cos 0A C A C B A A C B A +-=+-=〔2〕11sin sin 2234ABC S bc A bc π∆====4bc =由余弦定理得：()22222cos 22cos2512133ab c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=a ∴=ABC ∆的周长5L abc =++=+【点睛】此题考察解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18. 运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数〔单位：百步〕，绘制出如下频率分布直方图：〔1〕求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； 〔2〕假设该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；〔3〕在〔2〕的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间〔150，170]的概率． 【答案】〔1〕125；〔2〕112；〔3〕25【解析】 【分析】(1)由频率和为1,列出关于a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值; (2)根据一天行走步数不大于13000频率⨯样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出根本领件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a +++++++⨯=, 所以0.012a =.设中位数为110x +,那么0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=, 所以15x =,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. (3)在区间(150,170]中有2000.0082032⨯⨯=人, 在区间(170,190]中有2000.002208⨯⨯=人, 在区间(190,210]中有2000.002208⨯⨯=人,按分层抽样抽取6人,那么从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210]中抽取1人; 设从(150,170]中抽取职工为a 、b 、c 、d ,从(170,190]中抽取职工为E ,从(190,210]中抽取职工为F ,那么从6人中抽取2人的情况有ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 一共15种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 一共有6种情况, 所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P==; 【点睛】此题考察了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属根底题. 19.数列{}n a 满足11a =且121n n a a +=+.(1)证明数列{}1n a +是等比数列,并求n a 的通项公式;(2)设()1nn b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析，21n n a =-；(2)()1122n n S n +=-⋅+【解析】 【分析】〔1〕由递推关系式可得1121n n a a ++=+，由此可证得结论；根据等比数列通项公式求得1n a +，进而得到n a ；〔2〕根据〔1〕的结论得到n b ，利用错位相减法求得n S .【详解】〔1〕121n n a a +=+()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+ ∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列〔2〕由〔1〕知：2n nb n =⋅两式作差得：()()()1231121222222212212n n n n n nSn n n +++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=-⋅--【点睛】此题考察利用递推关系式证明数列为等比数列、数列通项公式的求解、错位相减法求数列的前n 项和的问题；选择求和方法时，首先需确定所求数列的通项公式的形式，根据通项公式选择求和方法；此题中通项公式为等差与等比乘积的形式，因此选择错位相减法求和. 20.向量()1,2a=-,(),b x y =.(1)假设,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次､第二次出现的点数,求满足1a b ⋅=-的概率；(2)假设[],1,6x y ∈,求满足0a b ⋅>的概率.【答案】(1)112；(2)425【解析】 【分析】〔1〕所有根本领件一共36个，从中找到满足210x y -+=的根本领件，即为满足1a b ⋅=-的根本领件，根据古典概型概率公式求得结果；〔2〕在平面直角坐标系中得到试验的全部结果构成的区域；根据0a b ⋅>得到限制条件20x y ->，由此得到满足题意的区域，利用几何概型概率公式求得结果. 【详解】(1)抛掷两次骰子的所有根本领件有6636⨯=个 用A 表示事件“1a b ⋅=-〞,即210x y -+=那么A 包含的根本领件有()1,1，()3,2，()5,3，一共3个(2)用B 表示事件“0a b⋅>〞,即20x y ->试验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->那么区域B 如以下图阴影局部所示：∴所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯ 【点睛】此题考察古典概型、几何概型概率问题的求解，需注意古典概型和几何概型的区别，古典概型的根本领件个数可数，几何概型根本领件个数不可数；当几何概型问题中出现两个变量时，采用面积型公式来进展求解.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,60BCD ∠=,PA PD ==E 是BC 中点,O 为AD 的中点,点Q 在侧棱PC 上(不包括端点).(1)求证：AD PB ⊥(2)是否存在点Q ,使DC 与平面DEQ ,假设存在,求出PQPC的值;假设不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，23PQ PC =. 【解析】 【分析】〔1〕根据等腰三角形三线合一的性质可证得PO AD ⊥，BO AD ⊥，由线面垂直断定定理可证得AD ⊥平面PBO ，由线面垂直性质证得结论； 〔2〕由面面垂直性质可知PO ⊥平面ABCD ，那么以O 为原点建立空间直角坐标系；设PQ t PC =，利用向量线性运算可求得Q 点坐标；根据线面角的向量求法可构造方程求得t ，进而得到结果. 【详解】〔1〕连接,OP OBPA PD =，O 为AD 中点PO AD ∴⊥在菱形ABCD 中，60BCD ∠=BAD ∴∆为等边三角形BO AD ∴⊥,PO BO ⊂平面PBO ，PO BO O =AD ∴⊥平面PBOPB ⊂平面PBO AD PB ∴⊥〔2〕平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥PO ∴⊥平面ABCD PO OB ∴⊥，PO OA ⊥，又BO OA ⊥那么以O 为坐标原点，可建立如以下图所示空间直角坐标系 那么()1,0,0D-，()E -，()0,0,1P，()C -假设存在点Q 满足题意，设PQ t PC =，()0,1t ∈那么()()()0,0,112,1OQOP PQ OP tPC t t t =+=+=+--=--()2,1Q t t∴--，()DE =，()12,1DQ t t =--设平面DEQ 的法向量为(),,n x y z =()()301210DE n y DQ n t x t z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，那么0y =，112t x t -=- 设DC 与平面DEQ 所成角为θ那么sin 42DC n DC nθ⋅===⋅⎛，解得：23t =或者0t =〔舍〕 ∴存在点Q ，使得DC 与平面DEQ 所成角的正弦值为4，此时23PQ PC = 【点睛】此题考察立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角中的存在性问题；证明线线垂直通常采用证明线面垂直，利用线面垂直的性质来进展证明；求解存在性问题的根本思路是假设存在，利用向量法表示出所给结论，进而验证是否存在.22.在平面直角坐标系xoy 中,圆心在x 轴上,半径为2的圆C 位于y 轴右侧,且与直线20x +=相切.(1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny+=与圆22:1o x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大？假设存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；假设不存在,请说明理由.【答案】(1)22(2)4x y -+=(2)存在,点M 的坐标是1(,22与1(,22-,对应面积的最大值为12【解析】 【分析】(1)设圆心是00(,0)(0)x x >,根据直线与圆相切的性质结合点到直线间隔公式可以求出0x 的值,也就可以写出圆C 的方程；(2)根据点(,)M m n 在圆C 上,可以求出m 的取值范围,根据点到直线间隔公式可以求出原点到直线l 的间隔,利用垂径定理可以求出AB ,最后求出OAB ∆的面积的表达式,最后利用配方法求出OAB ∆的面积最大.【详解】解(1)设圆心是00(,0)(0)x x >.021x d +==+解得02x =∴圆C 的方程为22(2)4x y -+=；(2)点(,)M m n 在圆C ,2222(2)4,4(2)0m n n m ∴-+==--≥04m ∴≤≤.又原点到直线l 的间隔1h ==<解得144m <≤AB=111 164m≤<.∴当1142m=,即12m=时获得最大值12.此时点M的坐标是1(,22与1(,22-,面积的最大值为12.【点睛】此题考察了直线与圆相切的性质应用,考察了三角形面积最大值问题,考察了数学运算才能.。
上学期高二的数学期末考试试题和答案
上学期高二的数学期末考试试题和答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增的，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 0D. a ≤ 02. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 + 12x - 9C. 6x^2 - 12x + 9D. 6x - 123. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. -7B. 7C. -5D. 54. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为：A. π/4B. π/2C. 3π/4D. π二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = x^3 - 6x在区间（-∞，2）内单调递减，则实数a的取值范围是______。
2. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是______。
3. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为______。
4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为______。
5. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f'(x)并讨论f(x)的单调性。
2. （10分）已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S，求证：S = n/2 * (2a + (n - 1)d)。
3. （10分）解方程：x^2 + (a - 2)x + 1 = 0，讨论方程的实数根情况。
4. （10分）已知复数z = a + bi（a, b为实数），且|z| = 5，求复数z的模和辐角主值。
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【必考题】高二数学上期末试题(及答案)(2)一、选择题1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．2．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①3．日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N =，则输出i 值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯5．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．116．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19367．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个B．10个C．20个D．45个8．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S=（单位：升），则输入的k=（）A ．9B ．10C ．11D ．129．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．2310．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则E X ______________．()14．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是________．15．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．16．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．17．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________18．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．19．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于45的概率是______. 20．在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．三、解答题21．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率22．某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.（1）写出该函数的解析式；（2）执行该程序框图，若输出的结果为4，求输入的实数x 的值.23．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示： 等级 不合格合格得分 [)20,40[)40,60[)60,80[]80,100频数6a24b（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效.若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？24．某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表： 年龄（岁） [10,20)[20,30) [30,40) [40,50)[50,60)[60,70]频数 mn14 12 8 6 知道的人数348732（1）求上表中的,m n 的值，并补全右图所示的的频率直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20),[20,30)的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.25．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： 质量指标值 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）. 质量指标值分组频数 频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125合计100126．2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计L，得到如下直方图：并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 3．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.5．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。