最新1-6极限存在准则与两个重要极限
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1-6 两个重要极限
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时31 分35秒 上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10
1-6极限存在准则与两个重要极限
x 0
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微积分
第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
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微积分
按月计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
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微积分
第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
返回
微积分
第一章 极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
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微积分
第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
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按月计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
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第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
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第一章 极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
1-6极限准则两重要极限
例8 求极限 解 令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限 解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x
1-6 极限存在性定理与两个重要极限
g ( x) lim h( x) A 且有 lim g( x ) lim h( x ) A ， lim x x
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
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x
x
2
( 2 ) lim x 1 x x 1
( 3 ) lim ( 2 x 1 ) 3 x x 2 x 1
第一章 极限与连续
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第一章 极限与连续
注意：
(1)第二个重要极 1型 限 ,方属法于为固定的;机
1
(2)它的形 :[1 式 (x) ](x 特 ) e点 ( (x) 0).
2
例5. 求 lim(1 x)sin x x0
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思考与练习 求
第一章 极限与连续
解: 原式 = xl i m [(s1 xinco1 x)s2]2 x
x
xl im (1sin2x)2
1
(1sin2x)sin
2 x
e
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第一章 极限与连续
作业： 57页：1（奇数题），2，4（2）
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第一章 极限与连续
练习 题
求下列极限：
cos x cos 3 x
(8) lim x0
x2
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1
(9) l i m(3x 9x)x x
1cos2x (11)l i m
x0 xsi nx
(13)l i m(coxs)cot2 x x0
第一章 极限与连续
1
(10)l i m(12n 3n)n n
1cos2x
(12)l i m
x0
x
lim A(1 r)nt Aert.
n
n
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第一章 极限与连续
问题：
1元钱存入 ,年银利行率 10% 为 1,0年后的本利?和
答案：
P1e1% 0 10 e.
由于这个有趣的发现，在金融界人们称e为银行家
常数。
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第一章 极限与连续
小结
1.两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限 设(x)为某过程中的无, 穷小
1-6极限存在准则与两个 重要极限
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第一章 极限与连续
例1 求下列极限：
(1)lim( 1 1 1 )
n n2 1 n2 2
n2 n
(2)limn n n
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第一章 极限与连续
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第一章 极限与连续
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第一章 极限与连续
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第一章 极限与连续
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第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金A为 ,年利率r.为
按 年 计 息: 一 年 末 本 利 和 为: A(1 r); 二 年 末 本 利 和 为: A(1 r)2; t年 末 本 利 和 为: A(1 r)t .
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第一章 极限与连续
按月计息 :
一年末本利和为
二年末本利和为 返回 Nhomakorabea微积分
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第一章 极限与连续
例3 数列{xn}中，x1 10，xn1 xn 6 (n1,2, )， 求lni m xn.
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第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim(1 x)x e 或 lim(11)x e
x0
x x
返回
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例4 求下列极限：
(1) lim (1 3 ) x
l n(si2nxex)x (14l)i m
x0 l n(x2 e2x)2x
返回
1 (1) lim(
x
1
)x
x0 1 x
ln(1 x )
(2) lim
x0
x
2
(3) lim[1 ln(1 x )] x x0
1 x
(5) lim
x1
cot x
2
(4) lim n[ln n ln( n 2)] n
tan x sin x
(6) lim
x0
x3
(7) lim sin 4 x x0 x 1 1
: A(1 r )12 ; 12
: A(1 r )122 ; 12
t年末本利和为 : A(1 r )12t . 12
按日计 : 息
t年末本利 :A(和 1 r为 )36.5t 365
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第一章 极限与连续
每年按n期 : 计息 年末 t 本利 为:和 A(1r)nt. n
令n ,则t年末本利和:为