05 06级振动力学试题

2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷）

(工程力学05，安全工程05级)

（参考答案及评分标准）

合分人： 复查人：

一、平时成绩：（共 30 分）

分数

评卷人

二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）

分数

评卷人

1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求

阻尼比。 解：对数衰减率01

ln n X n X δ

??=

???110ln 81??= ???1

ln 108

= ………………..（3分）

而2

21πξδ

ξ

=

-，则阻尼比2

2

4δ

ξ

π

δ

=

+＝0.046……………………（2分）

2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。已知l 、k 、m 、c 、F 。

不计水平杆的质量。 解：方程

493ml cl kl F θ

θθ=--+

…………….（6分）

固有频率

题号 一 二 三 总分 分数

题二.2图

m

c

k

F l

l l

3

n k m

ω= ………………………………….（4分）

或 2

2

2194d n mk c

m

ωωξ

=-=-……………………….（4分）

3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值

响应。

解：干扰力0

00

10()0

t F t t F t t t t ?

??-≤≤? ?

=?

?

??>?….（2分）

000

01

()(1cos )sin 0n n n n

F x t t t t t t t t ωωωω??=

--+≤≤ ???

………..（4分）

0000

01

()cos [sin ()sin ]n n n

n n

F x t t t t t t t t t ωωωωω??=-

+--> ???

……………………..（4分）

4. （15分）图示系统，均质杆

长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。（1）建立系统的微振动微分方程。（2）写出频率方程（可以不求出固有频率）

解：（1）1

12

2213m x m l

x

m θ?????

???

?

????????????

? 1112

1122222001()02

00k k l

x

k l k k l m gl

k l x k l

k θ-??

??????????

??+-++

-=????????????????-?

?

.（10分）

题二、3图

F (t )

F 0

t 0

t

题二、4图

（2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单

位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。 解：一维波动方程：

2

2(,)u x t x

??2

2

2

1(,)u x t a

t

?=

?，0

=

………………（2分）

边界条件： (0,)0u t =，

0x l

u x

=?=? ………………（2分）

固有频率： (21)

2i a i l

πω=- ………………（3分）

固有振型： ()

()i U

x =(21)sin

2i i x

C l

π-=（i ＝1，2，……）………………（3分）

三、综合题：（共 20 分）

分数

评卷人

图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k 2＝k ，k 3＝2k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0

时01020x x =＝，01021x

x = ＝。用正则坐标变换方法求系统的响应。 解：（1）方程

0[]0

2m M m ??=?

???，2[]3k

k K k

k -??

=??-??

，0sin {()}0F t F t ω??=????

（2）固有频率和振型

2

1

k m

ω=

，22

52k m

ω=

；(1)

1{}1u

??=????，(2)

1{}12u ??

??=??-??

??

（3）正则振型矩阵

主质量：(1){1}

11{}[]{}3T m u M u m ==，

(2)

{2}

22{}[]{} 1.5T m u

M u

m ==

题三图

F (t )

正则振型矩阵： 121[]11

32m φ??

??=

??-

????

（4）初始条件正则化

00{}[][]{}{00}T

T N q M x

φ== ,00{}[][]{}{30}T

T

N q

M x m φ==

（5）正则初始激励响应

2

10110111

3cos sin sin

N N N q

m k q q t t t k

m

ωωω=+

＝

，

20220222

cos sin N N N q

q q t t ωωω=+

＝0

（6）广义坐标初始激励响应

{}[]{}N x q φ==

2

1

231sin 11

30

2m k t k m m ??

???

???????-?

????

???

＝sin sin k t m m k k t m ??

???????

?????

（7）对激励正则化:{()}[]{()}T

R t F t φ=＝

00sin 1

32sin F t m F t ωω????

??????

（8）干扰力的正则坐标响应:0

12

2

1sin 3()

N F q t

m ωωω=

-，0

12

2

22sin 3()N F q t m ωωω=

-

（9）干扰力的广义坐标响应:{}[]{}N x q φ==2

2

221

20222

2

1

212

sin 113F t m ωωωωωωω

ωω?

?

+

??--??

?

??

?-??--??

（10）总响应

{}x =2

2

2

2

1

20222

2

1

212

sin 113F t m ωωωωωωω

ωω?

?

+??--??

?

??

?-??--??

＋

sin sin k t m m k k t m ?

?

???????

?????

(评分标准：每步2分)

2006级 《振动力学》 课程试题（A 卷）

(工程力学06，安全工程06级)

（参考答案及评分标准）

合分人： 复查人：

一、平时成绩：（共 30 分）

分数

评卷人

二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）

分数

评卷人

1．（5分）设多自由度振动系统的质量矩阵为[M ]，刚度矩阵为[K ]，主质量矩

阵用[M p ]表示，主刚度矩阵用[K p ]表示，主振型矩阵用[Q ]表示。证明：

1

1[]

[][][]T

p Q M Q M --=。

证明：[][][][]T p M Q M Q =， …………….【2分】

左乘1[]p M -得1[][][][][]T

p E M Q M Q -=， …………….【2分】 右乘1

[]Q -得1

1[]

[][][]T

p Q M Q M --=。 …………….【1分】

题号 一 二 三 总分 分数

2. （10分）求图示单自由度线性阻尼系统微幅振动的微分方程和固有频率。已

知l 、k 、m 、c 、F ，水平杆的质量为M 。 解：方程221

(3)(2)(2)(3)(3)33st M l m l m gl c l l l k l F l θθθδ??+=--++

???

而：3st mgl lk δ=，则：()3493M m l cl kl F θθθ+++= …………….【6分】

固有频率3

3n

k M m

ω=+ …………………………………..…….【4分】

或 2

2

219(3)43d n M m k c

M m

ωωξ

=-=

+-+………….【4分】

3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。

解：干扰力()0

112211

2

()0F t t t t t t t F t t t or t t

?-<≤?

-=??≤≥?

….【2分】

1()()sin ()t n n x t F t d m τωττω=

-? 0

1()0sin ()0

t n n

x t t d m ωττω=

-=?

，t

01112

121

()sin ()()n n

F x t t t t t t t t k t t ωω??=

-+

-≤≤ ?-??

………..【4分】

12212

2

121()()cos ()[sin ()sin ()]()n n n n

F x t t t t t t t t t t t k t t ωωωω??=

--+---> ?-??

…..【4分】

题二.2图

m

c

k

F l

l l

题二、3图

F (t )

F 0 t 1

t

t 2

4. （15分）三自由度线性阻尼振动系统，质量为m 2的均质圆盘绕固定轴转动，

其它参数如图所示。

（1）以x 1、x 3和θ 为广义坐标建立系统的微振动微分方程； （2）写出频率方程（不必求出固有频率）。

解：（1）【10分】利用动力学定律。设平衡时弹簧静变形为δ1、δ2、δ3，则

1111112211()()sin 30m x k x cx k x r m g δδθ=---+--?

222213331()()2

m r k x r r k x r r

θδθδθ=+---+

333333()m x k x r m g

δθ=-+-

而：33

3223311221,,sin 30k m g k r k r k k m g δδδδδ===+?

则：1

1

1112

22

2

2223333332300000010

0000()0200

00000

m x x x c k k k r m r k r

k k r k r k r

k x

x x m θθθ??????+-??????

?????????????

?????++-+-=????????

??

?

?

??????????????-?????

???

???????

?

题二、4图

30°

c

k 1

（2）2[][]

0n K M ω-=，即：

2

12122

2

2

223232

3330

1()0

2

n

n

n

k k m k r

k r k k r m r k r k r

k m ωωω+---+-

-=--

展开即可。【5分】

5. （10分）设均匀梁长度为l ，横截面积为A ，弯曲刚度为EI ，质量密度为ρ，

挠度用u 表示。求梁两端简支时的横向振动固有频率与固有振型（可以直接利用微振动方程及振型函数的通解，不必推导）。 解：振动方程

2

4

2

24

u u a

t

x

??+=??，EI

a A

ρ=

【1分】

振型函数通解1234()sin cos sinh cosh x C x C x C x C x Φββββ=+++，24

2

a

ωβ=

【2分】

边界条件(0,)(,)0u t u l t ==，2

2

2

2

(,)(,)0

x x l

u x t u x t EI

EI

x

x

==??==?? 【2分】

即(0)()0l ΦΦ==，(0)()0l ΦΦ''''== 【1分】 代入求得2

340

C C C ===

则1()sin x C x Φβ= 特征方程sin 0l β=，(1,2,)i i i l

πβ=

=

固有频率2

2

2

()

i

i

EI i a A l

πωβ

ρ==

【2分】

振型函数11()sin sin ,

(1,2,)

i i i x C x C x i l πΦβ=== 【2分】

三、综合题：（共 20 分）

分数

评卷人

图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k ，k 2＝2k ，k 3＝3k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件

t ＝0时01020x x =＝，010x

= ，021x ＝。用正则坐标（标准坐标）变换方法求系统的响应。 解：（1）方程

0[]0

2m M m ??

=?

???

，32[]25k k K k

k -??

=??-??

，0sin {()}0F t F t ω??=????

（2）固有频率和振型

2

111334

k

m

ω-

=

，2211334

k

m

ω+

=

；

(1)

11{}1330.84318X ??

????==????+?

?????

，(2)

11{}1330.59318X

??

????==????--?

?????

（3）正则振型矩阵 主质量：(1)

{1}

13333

{}[]{} 2.421516T M X

M X

m m +==

=，

(2)

{2}

23333

{}[]{} 1.703516

T M X

M X

m m -==

=

正则振型矩阵： 0.6426

0.76621[]0.54180.4544m φ??

=?

?-??

（4）初始条件正则化

00{}[][]{}{0

0}T

T

N Z M x φ==,

0{}[][]{}2{0.54180.4544}T T

N Z M x m φ==-

（5）正则初始激励响应

10

1101111

cos sin sin N N N Z m Z Z t t t k

ωωωω=+

＝0.9454

，

题三图

F (t )

20

2202222

cos sin sin N N N Z m Z Z t t t k

ωωωω=+

＝-0.4442

（6）广义坐标初始激励响应

{}[]{}N x q φ==

12sin 0.6426

0.766210.5418

0.4544sin m t k m

m t k ωω??

?????????

?

-????????

0.9454-0.4442 ＝

12120.6075sin 0.3403sin 0.5122sin 0.2018sin t t m t t k ωωωω-????+??

（7）对激励正则化:{()}[]{()}T Z F t F t φ=＝000.6426sin 10.7662sin F t F t m ωω??????

（8）干扰力的正则坐标响应:

012

2

1

0.6426sin ()

N F Z t

m ωωω=

-，0122

2

0.7662sin ()

N F Z t

m ωωω=

-

（9）干扰力的广义坐标响应:{}[]{}N x Z φ==2

2221202222120.4129

0.5871sin 0.34810.3481

F t m ωω

ωωωωω

ωω??+??--???

???-??--??

（10）总响应

{}x =2

2221202222120.4129

0.5871sin 0.34810.3481

F t m ωω

ωωωωω

ωω??

+??--???

???-??--??

+12120.6075sin 0.3403sin 0.5122sin 0.2018sin t t m t t k ωωωω-??

??+??

【评分标准：每步2分】