第七章数学解题的思维过程

x2 y2 例4 过椭圆 1 内一点（1，0） 9 4 引动弦AB，求AB的中点M的轨迹方程.
分析1：设AB的斜率为k , 得直线AB的方程，求点A、 B坐标，再求中点M 坐标，消去k,得轨迹方程。 分析2：设点（ A x1 ,y1）,B ( x2 , y2 ), AB中点M ( x，y ),
2 2 2 2 代数化， 4 x1 9 y1 36, (1); 4 x2 9 y2 36, (2);
x1 x2 y1 y2 x ,y . 由（1）-（2）得 2 2 y y2 4x y0 k AB 1 , 又k AB ; 联立后两式，得 x1 x2 9y x 1 4 x 2 9 y 2 4 x 0.
3、审题同心圆 审题，尽量从题意中获取更多的信息，可以表示 为以条件和结论为中心的一系列同心圆。从条件出发 的同心圆信息，预示可知并启发解题手段；从结论出 发的同心圆信息，预告须知并诱导解题方法，两组同 心圆的交接处，就是分别从条件、结论出发进行思考 的结合点，也是手段与目标的统一处。
4、内容与方法的统一 在解题坐标系上，内容是提高方法的内容，方法 是体现内容的方法。解题坐标系上的每一点，一方面 是内容与方法的统一，另一方面是其在两轴上的投影 又都不唯一。同一内容可以从不同的角度去理解，同 一方法又可以在不同的地方发挥效能。这就为多角度、 多侧面考虑数学对象及其之间的关系提供了理论依据。
分离
预见
重组 组织 充实
结合
例5已知a1 , a2 , L , an , L 成等差数列，且诸ai 及公差都是 非零实数，考虑方程ai x 2 2ai 1 x ai 2 0(i 1, 2, L ). (1)证明这些方程有公共根，并求出这个公共根。 （2）设这个方程的另一根是i，则 1 1 1 , ,L , , L 成等差数列。 1 1 2 1 n 1
分析：设A（t,t）,则B(t+1,t+1), PA:(t-2)x-(t+2)y+4t=0, 由 ,得 BQ:(t-1)x-(t+1)y+2(t+1)=0 t2 t 2 x t (t为参数). y t 1 2 t 2 2 消去参数t，得(y+1) -(x+1) 8.
2、解题折线 解题示意为连结条件与结论两点间的一条折线， 这条折线记录了数学思维的轨迹。它告诉我们，寻找 条件和结论之间的逻辑通道时解题的思考中心。在这 个思考中，横轴方法的推进表示方法或技巧的运用， 纵轴方法的推进表示数学内容的转化，整个解题过程 就是内容与方法的联系与转化过程，就是在数学观点 指导下，运用数学方法，转化数学内容的推理过程。
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5、结论也是已知信息
这是解题坐标系的一个特点，当把结论表示为坐标系上的 一点时，结论就成为已知与未知的统一了，在寻找思路的过程 中，我们可以把它当做已知条件来使用（好比列方程解应用题 时的未知数），事实上，对于题而言，结论隐含在条件之中， 当条件给定时，结论也在客观上随之确定，只不过是隐蔽给定 而已，称为客观上确定与隐蔽地给予的统一。要注意从结论获 取信息，目不转睛地盯着目标前进。
功能性解决：为确定函数的值域，在操作层面上需 考虑具备功能性的程序有：求出x0的表达式；确定 x0的表达式中自变量的取值范围；运用适当的知识 推出结论。 特殊性解决：具体实施功能性解决中的方法程序。
x2 y 2 例3已知椭圆 2 2 1(a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a b a b 证明： x0 . a a
思路2的特点：从全局考虑，全面分析 问题中各几何量之间的关系，将它们 的联系用关系式表达出来。难度降低。
第三节 解题坐标系
一、解题坐标系的意义 数学解题过程既是数学内容反复运用的过程， 同时又是数学方法不断推进的过程.如果用横轴表 示数学方法的实施，用纵轴表示数学原理的应用， 分别记为方法轴和内容轴，便形成解题坐标系.
分析：(1)根据等差数列， 等差中项的性质，x=-1;
i2 (2)由韦达定理，i , i i 1 1 得 i . i 1 i2 i 2d
例6
已知数列a1 , a2 ...an ...相邻两项an , an 1是
2
1 n 方程x cn x ( ) 0的两根，且a1 2.求无 3 9 穷数列c1 , c2 ...cn ,...的和。(解为 ） 2 an 2 1 1 n 1 n 1 分析：由an an 1 ( ) , an 1 an 2 ( ) ；得 , 3 3 an 3 1 n 1 1 1 n 则a2 n 1 2 ( ) , a2 n ( ) ,再由 cn an an 1得 3 2 3 13 1 n 1 5 1 n c2 n 1 a2 n 1 a2 n ( ) , c2 n a2 n a2 n 1 ( ) . 6 3 2 3
二.解题思维过程的三层次
罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将 邓克尔的三个层次在数学解题思维过程中的作用解释 为： 1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明 确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调 控。 2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决， 以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法 选择。 3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决， 以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推 理步骤，这是对细节做实际完成。
2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径
人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有 一定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题 的特征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结 论出发，联想有关知识，从中寻找途径。
3、转化是解题的手段，在转化中确定方案 从前面讨论过的解题实质表明，解题过程 是通过转化得以完成的。从问题的具体特征， 联想有关知识后，解题就有了定向，这时需要 朝这个方向去努力，寻求转化关系，使问题应 用联想的知识来解决，也就是在转化中确定方 案。
例 1 已知抛物线y 2 2 px, 过点M （a, 0） , 且a 0, p 0, 任作一直线与抛物线交于两点A，B， 求三角形AOB面积的最小值 （ . P318）
分析：(1)受思维定势影响，设斜率求面积，求 不下去。(2)反省、评价和调整：从变量的角度 调整；从面积的表达式调整；从三角形面积求法 的角度调整。设AB直线的参数方程为 x=a+tcos 2 , 代入 y 2 px, y=tsin
6、思维过程的解释
解题都要提取已储存的信息，对信息进行加工，运用，收 集信息的反馈，并进行再处理，这里面包含着辩证思维和直觉 思维，它们弥漫在整个解题坐标平面上，体现了解题活动的实 质是思维活动。一条解题折线的画出往往经历许多类比、联想、 归纳、尝试和失败，这就像解题坐标系上，试着用铅笔画草图 折线，画了又擦，擦了又画，但决不是盲目瞎碰，有是一个机 智的数学念头导致了一个卓有成效的解题计划，这个念头正是 有准备的思考和解题经验长期积累的升华。
第二节
数学解题的思维监控
解题的成功与否，关键是思路的开通.这其中的思维监 控起着“导航”、“调节”的作用.虽然在思路上某处存在 问题，陷入困境，或出现偏差，这时要及时信息反馈，克服 思维定势，及时调整，提高解题行为的有效性及正确性.
数学解题中思维监控的作用，相当于“数学 运算感受器”，对运算效果作出评价，它是一种 认知监控，或者是元认知.所谓认知监控是指在自 己的认知系统内准确评估信息过程的能力.元认知 最初被表述为“个人关于自己的认知过程及其他 相关事情的知识”,是“为完成某一具体目标或任 务，认知主体依据认知对象对认知过程进行主动 的监测，以及连续的调节和协调”，是“个人对 认知领域的知识和控制”，因此，元认知被简单 地表述为“关于认知的认知”.在数学解题思维过 程中，元认知集中表现为自我反省、自我调节、 自我监控.
例 1解不等式：
x 1 x2
1 x 0. （三角公式） 2 1 x
2
分析：令x tan (

2


2
),即解 sin cos 2 0.
例2已知： cos cos 2m,sin sin 2n. 求 tan tan 的值。（三角函数--中点坐标公式
x2 y 2 例3已知椭圆 2 2 1(a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a 2 b2 a 2 b2 证明： x0 . a a
一般性解决：要证明的结论是x0的取值范围，而x0 是由A，B坐标确定，因而问题相当于确定函数的 值域，这就从大方向上解决了题目。
分析：在单位圆上取点（ A cos ,sin）B(cos ,sin ), 则AB的中点M （m，n） , 且AB OM .直线AB方程： m y n ( x m), 代入x 2 y 2 1, 消去y得关于x的二次方程 n (m 2 n 2 ) 2 m 2 (m 2 n 2 ) 2 m 2 cos cos .sin sin . 2 2 2 2 2 2 m n (m n ) n
题目的条件和结论分别表示为坐标平面上的两个点 . 它们的存在形式本身是内容与方法的统一,原点---两 个思考方向的交叉点,表示一个原则:内容与方法的统 一永远是解题思考的基本出发点.
1、解题坐标系的构成 以横轴表示数学方法方面的实施（方法轴），以 纵轴表示数学原理方面的应用（内容轴），题目的条 件和结论（包括题目求证的结论与题目未写出的结论） 分别表示为坐标平面上的两个点。它们的存在形式本 身就是内容与方法的统一，两个思考方法的交叉---原点，显示这样一个原则：内容与方法的统一是我们 解题思考的基本出发点。
第七章 数学解题的思维过程
第一节
解题过程的思维分析
解题的过程是思维的过程，其中 既有逻辑思维，又有直觉思维；有分 析与综合､抽象与概括､比较与类比， 也有归纳与猜想､观察与尝试､想象与 顿悟，是一个极其复杂的心理过程。
一、 “观察----联想----转化”解题“三部曲” 1、观察是联想的基础，在观察中认识特征 观察是人们认识事物､增长知识的最基本的途径， 是发现和解决问题的前提。 观察是积极的，有意识的，而不应是消极的､被动 的。通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有 意识地去寻找各种特征､联系，从比较中发现问题，从 变化中寻找特点，特别是发掘问题与已有知识之间具 有启发性的联系，同时，不仅解题开始要观察，在解 题过程中也要观察，以便根据解题的不断变化，作出 相应的决断。
2 2 2 2
分析：取点（ A acos ,bsin）B(a cos , b sin ), a b 由 PA PB , 得x0 (cos cos ).可证。 2a
三、解题思维过程的预见图
数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》 一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细 节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节 是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。 预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将 这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、 边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回 忆、辨认、重组、充实、预见. 辨认 动员 回忆
AB t1 t2 S AOB 2 sin p 2 cot 2 2 pa .所以
1 a sin AB , 故当 时, S min a 2 pa . 2 2
例2 已知两点P(-2,2),Q(0,2)，以及一条直 线L:y=x，设长为 2的线段AB在直线上移动， 求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.