第三章数学解题的思维过程1

例 1解不等式：
x 1 x
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
分析：令x tan (

2


1 x2 0. 2 1 x
例2已知： cos cos 2m,sin sin 2n. 求 tan tan 的值。
分析：在单位圆上取点（ A cos ,sin）B(cos ,sin ), 则AB的中点M （m，n） , 且AB OM . m 直线AB方程：y n ( x m), n 代入x 2 y 2 1, 消去y得关于x的二次方程 (m2 n 2 ) 2 n 2 (m2 n 2 ) 2 m2 cos cos . sin sin . 2 2 2 2 m n m n
2 2 2 2
二.解题思维过程的三层次 罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将 德国心理学家邓克尔的三个层次在数学解题思维过程 中的作用解释为： 1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明 确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调 控。 2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决， 以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法 选择。 3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决， 以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推 理步骤，这是对细节做实际完成。
2 2
三、解题思维过程的预见图 数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》 一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细 节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节 是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。 预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将 这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、 边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回 忆、辨认、重组、充实、预见.
c2 n 1 a2 n 1 a2 n
9 (解为 ） 2
13 1 n 1 5 1 n ( ) , c2 n a2 n a2 n 1 ( ) . 6 3 2 3
考虑具备功能性的程序有：求出x0的表达式；确定 x0的表达式中自变量的取值范围；运用适当的知识 推出结论。 特殊性解决：具体实施功能性解决中的方法程序。
分析：取点（ A a cos ,b sin ）B(a cos , b sin ),
a b 由 PA PB , 得x0 (cos cos ).可证。 2a
第三章 数学解题的思维过程
第一节 解题过程的思维分析
解题的过程是思维的过程，其中既有逻辑思维，又有 直觉思维；有分析与综合､抽象与概括､比较与类比，也有 归纳与猜想､观察与尝试､想象与顿悟，是一个极其复杂的 心理过程。 一、 “观察----联想----转化”解题“三部曲” 1、观察是联想的基础，在观察中认识特征。 观察是人们认识事物､增长知识的最基本的途径，是 发现和解决问题的前提。 观察是积极的，有意识的，而不应是消极的､被动的。 通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有意识地去 寻找各种特征､联系，从比较中发现问题，从变化中寻找 特点，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系， 同时，不仅解题开始要观察，在解题过程中也要观察，以 便根据解题的不断变化，作出相应的决断。
2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径。
人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有一 定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题的特 征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结论出发， 联想有关知识，从中寻找途径。
3、转化是解题的手段，在转化中确定方案
从前面讨论过的解题实质表明，解题过程是通过 转化得以完成的。从问题的具体特征，联想有关知识 后，解题就有了定向，这时需要朝这个方向去努力， 寻求转化关系，使问题应用联想的知识来解决，也就 是在转化中确定方案。
（2）设这个方程的另一根是i，则
例5
已知数列a1 , a2 ...an ...相邻两项an , an 1是
2
1 n 方程x cn x ( ) 0的两根，且a1 2.求无 3 穷数列c1 , c2 ...cn ,...的和。 an 2 1 1 n 1 1 n 得 , 分析：由an an 1 ( ) , an 1 an 2 ( ) ； an 3 3 3 1 n 1 1 1 n 则a2 n 1 2 ( ) , a2 n ( ) ， 再由 cn an an 1得 3 2 3
x2 y2 例3 已知椭圆 2 2 1( a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a 2 b2 a 2 b2 证明： x0 . a a 一般性解决：要证明的结论是x0的取值范围，而x0
是由A，B坐标确定，因而问题相当于确定函数的 值域，这就从大方向上解决了题目。 功能性解决：为确定函数的值域，在操作层面上需
辨认 动员 回忆 分离 预见 充实 结合 重组 组织
例4 已知a1 , a2 , L , an , L 成等差数列，且诸ai 及公差都是 非零实数，考虑方程ai x 2 2ai 1 x ai 2 0(i 1, 2, L ). (1)证明这些方程有公共根，并求出这个公共根。 1 1 1 , ,L , , L 成等差数列。 1 1 2 1 n 1 分析：(1)根据等差数列，等差中项的性质，x=-1; ai 2 (2)由韦达定理，i ai ai 1 1 得 ai . i 1 ai 2 ai 2d
2
),即解 sin cos 2 0.
法2：两式平方相加求出 cos( ) 2(m2 n 2 ) 1
已知条件和差化积得tan(α+β)/2,
m n 从而求出cos(α+β)= 2 2 m n
2 2
再将所求式子积化和差代入即可得到：
(m n ) m tan tan 2 2 2 2 (m n ) n