电磁场与电磁波第二版 (周克定 翻译 著 著)

z
b
∫ ∇ • Fdv = ∫ F • ds
v s
y
∴
∫ r • ds = ∫v ∇ • rdv
( v 是以坐标原点为球心、半径为 b 的 球的体积 )
x
r = xax + ya y + zaz
∇•r = 3
4 3 ∴ ∫ r • ds = ∫v 3dv = 3 ⋅ π b = 4π b3 3
7
exercise 2.33 Solution: 第一问：求标量函数 f = 12x2 + yz2 在点P (-1, 0, 1)对距离的最大变化率 即是求
总结：空间中各点的电场强度为
E ⋅ 4π r 2 = Q f / ε 0
r<a ⎧0 ⎪ E (r ) = ⎨ ar k (r 2 − a 2 ) /(2ε 0 r 2 ) a ≤ r ≤ b ⎪a k (b 2 − a 2 ) /(2ε r 2 ) r >b 0 ⎩ r
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第二问：求穿过 r = b 的球面的电通量
C
A
B
3
A = 3a x − a y + 2a z , B = 2a y , A × B = ?
Solution:
A × B = (3a x − a y + 2a z ) × 2a y = 6a z − 4a x = −4a x + 6a z
az
ay
ax
4
exercise 2.28 Solution:
r = ρ aρ + zaz
rρ = ρ , rφ = 0 , rz = z
1 ∂ ∂z 2 ∴ ∇•r = (ρ ) + = 2 + 1 = 3 ρ ∂ρ ∂z
(2) 球坐标系中 ∵ ∇ • F =
∂ 1 ∂ 2 1 1 ∂Fφ (r Fr ) + (sin θ Fθ ) + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
k (r 2 − a 2 ) a = ar ∴ E (r ) = 2 r 2 4πε 0 r 2ε 0 r
15
(3) r > b 时，
b
b a
∵ Q f = ∫ ρ v dv = ∫
b a
π 2π k 2 r dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ 0 0 r
a
= 4π k ∫ rdr = 2π k (b 2 − a 2 ) k (b 2 − a 2 ) a = ar ∴ E (r ) = 2 r 2 4πε 0 r 2ε 0 r Qf
2 2 1 1 ∂ ∂ f ∂ f ∂ f ∇2 f = + (ρ ) + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ 2 ∂z 2
Φ = K ln(b / ρ )
Φ 与坐标变量 φ 和 z 无关
∂Φ K =− ρ ∂ρ
1 ∂ 1 ∂ (− K ) K ∴ ∇ Φ= =0 [ ρ ⋅ (− )] = ρ ∂ρ ρ ρ ∂ρ
P(−1, 0,1) ⇒ OP = − ax + az Q(1,1,1) ⇒ OQ = ax + a y + az
P
Q
∴ PQ = OQ − OP = 2ax + a y
∴沿 PQ 方向的单位矢量为
O
al =
PQ | PQ |
=
2a x + a y 2 +1
2
=
2 5
ax +
1 5
ay
∵ ∇f |P = −24ax + a y
2
exercise 2.11 Solution:
∵ A = 3ax + 2a y − az , B = 4ax − 8a y − 4az , C = 7ax − 6a y − 5az
∴ A+ B = C
(
C A
A, B, C
组成一个三角形)
B
又∵
A• B = 0
A⊥B
∴ A, B, C
组成一个直角三角形(right-angle triangle)
| ∇f |P = 242 + 1 = 577
8
第二问：求标量函数 f = 12x2 + yz2 在x , y 和z 方向的变化率
即是求 f 在 x , y 和z 三个方向的方向导数。
∂f / ∂x = 24 x , ∂f / ∂y = z 2 , ∂f / ∂z = 2 yz
9
第三问：求 f 沿从点P (-1, 0, 1)到点Q (1, 1, 1)方向的变化率 即是求在P 点，f 沿 PQ 方向的方向导数。
z
b
y
r = bar , ds = b 2 sin θ dθ dφ ar ,
θ = 0 → π , φ = 0 → 2π
∴
x
∫ r • ds = ∫0
π
∫0
π
2π
(bar ) •(b 2 sin θ dθ dφ ar )
2π
= b3 ∫0 sin θ dθ ∫0 dφ = 4π b3
6
(2) method 2 应用(Gauss) Divergence Theorem：
2
∴ 同轴线内外导体之间的电介质中的电位分布函数满足拉普拉斯方程
13
exercise 3.7 Solution: 第一问：求空间各点的 E ∵ 体电荷密度为
b
a
，
ρv = k / r
即电荷是球对称分布。 ∴ 空间中的电场强度可表示为
E = E ( r ) ar
在以坐标原点为球心的球面上的各点处电场强度大小相同。 空间被分为三个区域： r
∂ ∂ ∂ 3 2 ∇ • F = (− xy ) + (3 x yz ) + ( z x) = − y + 3 x 2 z + 3 z 2 x ∂x ∂y ∂z
将 P 点坐标 ( x = 1 , y = －1 , z = 2 ) 代入上式即可
12
exercise 2.47 Solution: 圆柱坐标系中
D1
ε
2 1
1 ∂ 1 ∂Fφ ∂Fz ∵ ∇•F = ( ρ Fρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
∴ ρvb = −∇ • P 1 =0
即电介质中束缚体电荷密度为0
21
ρ sb = an • ( P2 − P 1 ) |s
∵ 媒质2 是自由空间 在圆柱面 ρ = α 上：
P 1 =
ε r − 1 ρl aρ ε r 2πρ
ρl 2πε 0 ρ
P
A
VP = ∫ E • dl = ∫
ρ
a
a
ρ
(
ρl ρ ⎛a⎞ )aρ • (d ρ aρ ) = l ln ⎜ ⎟ 2πε 0 ρ 2πε 0 ⎝ ρ ⎠
∴ 等电位面为 ρ = constant 即无限长均匀带电导线的等电位面为与该导线同轴的圆柱面。
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exercise 3.23 Solution: 假设无限长的线电荷位于坐标系的 z 轴，电荷 密度为 ρl 。 第一问：求电介质中的电场强度 电介质中的电通量密度可表示为 D
exercise 2.4 Solution:
Pythagorean theorem (毕达哥拉斯定理，即勾股定理)
| A + B |2 = ( A + B) • ( A + B) = A • A + B • B + 2 A • B = A2 + B 2 + 2 A • B
∵ A ⊥ B ⇔ A• B = 0
C/m2
注意：在无限长的线电荷表面，单位长度内的束缚电荷为
α →0
lim(2πα ⋅ ρ sb ) = −
单位长度内的总电荷：
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example 3.18 自由空间和电介质的分界面是平面 y = 0 Solution: 令 y < 0 的区域为电介质，即媒质1； y > 0 的区域是自由空间，即媒质2。 已知
A+ B
2 2
∴ A ⊥ B ⇔ | A+ B | = A + Bcise 2.10 Solution:
P
Q
P(0, −2,1) ⇒ OP = −2a y + az
Q(−2, 0,3) ⇒ OQ = −2ax + 3az
O
∴ PQ = OQ − OP = (−2ax + 3az ) − (−2a y + az ) = −2 a x + 2 a y + 2 a z
P
E = E ( ρ ) aρ
在以 z 轴为中轴、半径为 ρ 、高度为 1 的圆柱面上可利用高斯定律的 积分形式，求自由空间中的电场强度。
∫ ∫
s
D • ds = ρl
∫
2π 1
s
E • ds = ρl / ε 0
∵ 在圆柱面的上顶面、下底面， ds
= ± dsaz , E • ds = 0
0 l
s
E ⋅ 4π r 2 = Q f / ε 0
Qf 是半径为 r 的球面所包围的自由电荷的总量。 (1) r < a 时， ∵ (2)
Q f = 0 ∴ E (r ) = 0
r
a ≤ r ≤ b 时，
a
∵ Q f = ∫ ρ v dv = ∫ Qf
π 2π k 2 r dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ = 2π k (r 2 − a 2 ) 0 0 r
| ∇f |P
∵ f = 12 x 2 + yz 2
∂f ∂f ∂f ax + a y + az = 24 xax + z 2 a y + 2 yzaz ∴ ∇f = ∂x ∂y ∂z