河北省石家庄二中2021届高三上学期期中考试模拟数学试题 Word版含答案

石家庄二中高三数学期中考试模拟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}

|28x

B x R =∈<，则A

B =（ ）

A ．()0,3

B ．()3,4

C ．()0,4

D ．(),3-∞

2．设11i

z i

=-

+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1

B ．

22

C ．

12

D ．

14

3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也

常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()4

41

x x f x =-的图象大致是

A ．

B ．

C ．

D ．

4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2

2

321x y ++-=相切，则反射

光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-

或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34

- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、

踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人

以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点

A 、

B 、

C 、

D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面

积为（ ） A ．55π B ．60π

C ．63π

D ．68π

6．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与

另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．

23 B ．3 C ．2 D ．2

7．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3

B ．(15,34

]

C ．13(,]32

D ．53(,]42

8．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432

x y

+=的左、右焦

点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点

为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则

2

OM OF 的取值范围为（ ）

A

．0,2?? ? ???

B ．10,

2?

? ???

C

．(

D ．()0,1

9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．

11a b

< B ．

1

1

b b a a +>

+ C ．11a b b a

+

>+ D ．11

a b a b

+

>+ 10．已知函数()()sin 322f x x π

π????=+-

<< ???

的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π??

+

??

?

为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ??

?

???

上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3

π D ．函数()f x 的图象向右平移

4

π

个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()2

11029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +

的最大值为

C ．

222911a a +的最大值为15

D ．44

29a a +的最小值为200

12．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）

A ．PD ⊥平面ABCD

B ．//PD 平面ACE

C ．2PB AE =

D ．PC A

E ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数x ，y 满足24

240x y x y y -≥??

+≤??≤?

，则32z x y =-的最小值是__________．

14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120?，且()()

23261a b a b -?+=，则3a b +=______.

15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()

2

1a b b +=，

1c =b -的取值范围是______.

16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有(

)

111ln 0kx

k e x x ??

+-+> ??

?

，则实数k 的取值范围为_________．

三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、现给出两个条件：①2cb ＝2a cos B ，②（2bc ）cos Aa cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；

（2）若a 1，求△ABC 面积的最大值．

18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，31

2

n n a S -=. （1）求n a ，

（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .

19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，

13

PB =

，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；

（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．

20．已知定圆C ：()2

218x y ++=，动圆M 过点()10

B ,，且和圆

C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线

经过点10,2N ?

?

- ???

，求实数m 的取值范围.

21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--．

（1）证明()2f x '≥；

（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．

22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆

22

222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点,22?? ? ???

. （1）求椭圆1C 的标准方程；

（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.

石家庄二中高三数学期中考试模拟答案

1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)A

B x x =<<=．

2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222

i i i z i i i i i --=-

====-+++-， 所以22

11222z ????=+-= ? ?????

，故选：B.

.3．D 【详解】因为函数()441

x x f x =-，44

()()()4141x

x x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D

4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 2

3223

1

k k k ----=

=+1，

化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-

，或k 3

4

=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，

设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =

++，

由勾股定理可得2

2

2

25AB x y =+=，2

2

2

36AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得(

)222

2253649110x y z

++=++=，

则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()2

2

4255S R R πππ==?=.

故选：A

6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b

y x c a

=-

-，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ?=????=--??

，解得2

2c x bc y a ?=????=??，即点,22c bc A a ?? ???，

设点(),B m n ，由2BF AB =可得出2

3

FB FA =

， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ????-=-=- ? ?????，即33c m c bc n a ?-=-????=??，解得23

3c m bc n a ?

=????=

??

，则点2,33c bc B a ??

???

， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得2222

22241993

c b c e a a b -==，解得3e =.

因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.

7．B 【详解】设32

()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，

设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2

()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，

()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取

得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，

只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥??

-+≥??-+

，解得15

34a <≤，故选B .

8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，

因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1

FM MN =． 由中位线定理可得21

2

OM F N =

． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．

由两点间的距离公式，得()()2

2

2

22

0100

021x PF x c y x c b a ??=++=++- ???

2220002

2c x cx a a ex a

=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，

因为8a =，42c =，所以22e =，故02

2OM x =，所以0022

2842

x OM x OF ==．

因为()00,8x ∈，所以()01

0,18

x ∈．故

2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ． 9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >?，不等式a b >两侧同时乘以1

a b

?，所以

11

a b

<，故A 正确；

选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，

又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a

+>+，故B 错误；

选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11

a b b a

+>+，故C 正确；

选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11

a b a b

+=+，故D 错误. 故选：AC

10．AC 【详解】因为直线4x π

=是()()sin 32

2f x x π

π????=+-<< ???的对称轴,

所以()34

2

k k Z π

π

?π?

+=

+∈,则()4

k k Z π

?π=-

+∈,当0k =时,4

π

?=-

,则

()sin 34f x x π?

?=- ??

?,

选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ???

?

??+

=+-= ? ????

?????

,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π?

?+ ??

?为奇函数,故A 正确；

选项B,()2322

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+<-

<

+∈,即

()21212

343k k x k Z π

πππ-

+

<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ??

-????

上单调递增,故B 错误；

选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323

ππ

?=,故C 正确；

选项D,函数()f x 的图象向右平移

4

π

个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ??

??--=-=- ????

???,D 错误

11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()2

11029220a a a a +=+，

所以()2

2929220a a a a +=+，即22

2920a a +=.

选项A,22292920

1022

a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确

.

选项B 由于2

22

29291022a a a a ++??≤= ???

，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a =B 选项正确.

选项C 22

292222222222292929

29112020201

1052a a a a a a a a a a ++==≥==????+ ?

??

，当且仅当2910a a ==成立， 所以

222911a a +的最小值为

15

，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有

()2

4422

222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-?=-?≥-?=，

当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.

12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记AC

BD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正

方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以

//OE PD ，又PD ?平面ACE ，OE ?平面ACE ，则//PD 平面ACE ，

故B 正确.

选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ?平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.

选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则11

44222

EF PC =

=?+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，

则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322

z

y x =

-． 平移直线322z y x =

-，结合图形可得，当直线322

z

y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．

由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =?=，即32z x y =-的最小值是6．故答案

14．61【详解】因为

(

)()

2222

23244344cos120361a b a b a a b b a a b b -?+=-?-=-?-=,

所以2

3830b b --=,解得3b =或13

-（舍）,所以

(

)

2

22

3

36961a b a b

a a

b b +=

+=+?+

=,故答案为15．(

【详解】因为()

2

1a b b +=，1c =，故222c a b =+.

所以222cos 2a b c

C ab +-=

==

.又ABC

为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，1

2

sin sin sin sin 6

a b c A B C π====，

)

52

sin 2sin 6b A B A A π?

??-=-=-- ?????

112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π???

?=-=-=-?? ????????

. 又ABC 为锐角三角形，故02

06

2A A πππ

π

?

<

66

3

A π

π

π

<-

<

.

(2sin 6b A π?

?-=-∈ ??

?.故答案为：(

16．1,e ??+∞ ???

【详解】等价于()

1(1)ln kx

kx e x x +>+，所以()

1ln (1)ln kx kx e e x x

+>+

令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=

++，所以22111()x f x x x x

-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，

所以()'

f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()

()kx

f e f x >，

所以kx e x >，所以ln x

k x >

，令ln ()x h x x

=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e

=

，所以1k e >，故答案为：1

(,)e +∞.

17、【解析】选择条件：①2cb ＝2a cos B ，

（1）由余弦定理可得2cb ＝2a cos B ＝2a ?， 2分 ∴整理可得c 2+b 2﹣a 2bc ，可得cos A ， 4分

∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，

∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc ?， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分 选择条件：②（2bc ）cos Aa cos C ．

（1）由题意可得2b cos Aa cos Cc cos A ， 2分 ∴2sin B cos A （sin A cos C +sin C cos A ）sin （A +C ）sin B ，

∵sin B ≠0，∴可得cos A ， 4分

∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，

∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc ?， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ，3a n ，1， ，

所以2S n －1，3a n －1，1 ，n ≥2，， ， 2分 ①－②得，2(S n ，S n －1)，3a n ，3a n －1， 化简为a n ，3a n －1，n ≥2），即

4分

在①中，令n ＝1可得，a 1，1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ，3n －1， 6分 ，2，b n ，(n ，1)·3n －1，

T n ，0·30，1·31，2·32，…，(n ，1)·3n －1， ，

则3T n ，0·31，1·32，2·33，…，(n ，1)·3n ， ， 8分 ③－④得，－2T n ，31，32，33，…，3n －1，(n ，1)·3n ，

3313

n

-=

-- 10分

所以， 12分

19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ，

∵AB ＝BC ，P A ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ?平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分

（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴

AC =BM 1

2

=

，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵P A ＝

PC =

CM 12AC =

=

，∴PM 32=， ∵

PB 2

=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-?，∴∠PMB ＝120°， 7分

以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，

以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0

，0），C （0

，0），P （34-，0

），D （﹣1

0）， 8分

∴AD =（﹣1

，0），AC =（0

0），AP =（34-

，2

，4

）， 设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0

n AC n AP ??=???=??，

即0

304

x y z =?-++=??， 令

x =n =

0，1）， 10分

∴cos n ＜

，n AD AD n AD

?==-

＞， 11分

∴直线AD 与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|4

=． 12分

20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =

设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.

由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC r r =-， 2分

即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为圆. 4分

因为a =1c =，

所以2

2

2

1b a c =-=.于是E 的方程是2

212

x y +=. 5分

（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220

x y y kx m

?+-=?=+?消去y 得到，

222()20x kx m ++-=，即()2

2

2124220k

x

kmx m +++-=.

则122412km

x x k +=-

+，()1212

2

2212m y y k x x m k +=++=+， 6分 弦AB 中点M 的坐标是222,1212km

m k k ??-

?++??

.

由(

)(

)2

2

2

2

1681120k m m k

?=--+>，得2

212k

m +>. 8分

另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是11

2

y x k =-

-. 点222,1212km

m M k k ??-

?++??

在此直线上，

得到22121

12122

m km k k k ??=--- ?++??，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22??

???

. 12分

21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10

,1,110

x x x +>?∈-?

->?，

()()111111111f x x x x x '=

-?-=++-+-， 2分 只需证明

11

211x x

+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分

（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<

()1111g x a x x

'=

+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x

'=

+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立， 6分

②当2a >时，(

)222

1121111a x x ax a g x a x x x x ?+ -+????'=+-==

+---，

因为01<

<，所以有，令(

)0,g x x ?'>∈???

，()g x 递增； 令(

)0,g x x ?'<∈ ?

，()g x 递减； (

)min ln ln 1g x g ??==-- ??

2ln

ln 2=-， 8分

令()(

)

min 2ln ln 2h a g x g ===，

(

)

()20a h a -'==

<，

10分 ()h a 在2a >上递减，且()

()20h a h <=，

所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分

综合①②③有，2a ≤. 12

分

22．【详解】（1）解：因为1C

的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①

将点??

代入22

22133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分

联立①②，得21a =，2

1

3

b =， 4分

故椭圆1C 的标准方程为2

2

1

1

3

y x +=. 5分

（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取

()1,0M ，

由（1）知椭圆2C 的方程为2

213

x y +=

，所以有()

N .

将1x =代入椭圆2C

的方程得3

y =±

，

所以

111

22

NAB S MN AB ?=

?=

3

=

. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()2

2

2136310k x

kmx m +++-=，

由题意得()(

)()

2

2

2

6413310km k

m

?=-+-=，整理得22313m k =+. 7分