第六章 势流流动
h、绕圆柱体的有环量流动 绕圆柱的有环量的理想流动，可以用一个 直匀流、一个偶极子流和一个点涡流动的叠加 来代替。
习题： P151-152 Ex.6-4 Ex.6-8
或者，按照Cauchy-Riemann定理，当
∂v z ∂v y ∂v x ∂v z ∂v y ∂v x = = = , , ∂x ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y
成立时，微分式 v x dx + v y dy + v z dz 成为全微分式： 这里的 ϕ 就是无旋流动的速度势，它满足： ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , vy = , vz = vx = ∂x ∂y ∂z
下面进一步分析这个流动的特点： [1]零流线 令ψ =0，则有y=0及r=R两个解。这说明令流 线是x轴与圆柱面，即是从无穷远处来的沿x轴 的流线，在圆柱的前驻点处分为上下两条流线， 分别沿上下物面流动，最后由在后驻点处汇合 后，沿x轴向下游流去。
[2]圆柱表面流动的特点 按照势函数与速度的关系，可得到圆柱绕流 时的速度分布： ⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞ ∂ϕ ∂ϕ 1− 2 ⎟ , vθ = 1+ 2 ⎟ vr = = v∞ cosθ ⎜ = − v∞ sin θ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ r r r ∂r ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 根据速度分布，可知物面上径向方向上没有速度
dϕ = 0 dψ = 0 − v y dx + v x dy = 0 v x dx + v y dy = 0
立即看到，这是互相垂直的。
§6.2 简单势流 a、直匀流(或均匀流)
Δ ⎧ ⎪u = V0 cos α = a ⎨ Δ ⎪ 是一个无旋的二维流动，因此 存在势函数和流函数。势函数和 流函数分别为：
( x, y ) = 3x
2
+ f (y)
2 ( ) f y = − 3 y + C ，C可以取为零。 再从第二式，定出
ϕ ( x, y ) = 3(x 2 − y 2 )
Laplace方程
如果流动是不可压缩的，那么必须满足下 面的连续方程：
∂Vx ∂V y ∂Vz + + =0 ∂x ∂y ∂z
柱坐标系下与 速度的关系
∂ϕ ∂r ∂ϕ vθ = r∂θ vr =
势函数
无旋（不 管维数）
流函数
二维
无旋
∂ψ vx = ∂y ∂ψ vy = − ∂x
∂ψ r∂θ ∂ψ vθ = − ∂r vr =
势函数和流函数性质
a、有势的流动中，速度环量为零。 环量是指速度沿一条封闭曲线的积分： [证明]按照Stokes公式，沿曲线的积分等于通过该 曲线所围的面积上被积函数旋度的面积分，即：
点源或点汇的中心是一个奇点。
c、点涡
⎧ vr = 0 ⎪ ⎨v = − Γ θ ⎪ 2πr ⎩
Γ称为涡强度。 Γ为正号时，流动沿逆时针旋转。 这也是一个无旋的二维流动，因此存在势函数和 流函数。势函数和流函数分别为：
Γ ϕ= θ 2π Γ ψ = − ln r 2π
点涡的中心也是一个奇点。 涡强度等于绕中心的环量。
说明： ①流函数与势函数在势流理论中的地位相等；但 是它们存在的条件不一样。务必不要混淆。 ②流函数与势函数满足Laplace方程的条件也不 相同。 ③请把与速度的关系以及全微分式都弄清楚。
总结：
存在条件 Lapalce方 与速度的关 系 程成立 条件 ∂ϕ 不可 压缩
∂x ∂ϕ vy = ∂y vx =
ϕ=
这个流动对分析许多旋转 机械(如离心泵涡壳、旋风除 尘器等)很有帮助。有时需要 用点汇与点涡的叠加。
g、绕圆柱体的无环量流动 绕圆柱的理想流动，可以用一个直匀流和 一个偶极子流的叠加来代替。
所以，理想圆柱绕流的势函数和流函数分别为：
M x ϕ = v∞ x + 2π x 2 + y 2
ψ = v∞ y −
v x dx + v y dy + v z dz = dϕ
柱坐标系下，势函数和速度的关系是
∂ϕ vr = ∂r ∂ϕ vθ = r∂θ ∂ϕ vz = ∂z
势函数的意义在于，三个速度分量可以通过 一个标量表示，从而可以使三个变量减为单变量。 势函数也可写成全微分形式，在直角坐标系下：
dϕ = v x dx + v y dy + v z dz
dψ = −v y dx + v x dy
这个ψ 称为流函数。显然，只有二维情况下才存 在流函数，且流函数与速度的关系为 ∂ψ ∂ψ , vy = − vx = ∂y ∂x
柱坐标下，流函数与速度的关系是：
vr =
∂ψ ∂ψ , vθ = − r∂θ ∂r
对于流函数，当流动是无旋时，也满足 Laplace方程。 因此，流函数也起着势函数的作用，也一 样满足叠加原理。
第六章 平面不可压势流
§6.1 势函数和流函数 势函数只存在于无旋流动中。 Ω 恒为零，即 流动无旋时，
∂v y ∂v x ∂v z ∂v y ∂v x ∂v z Ωx = − − = 0, Ω z = − =0 = 0, Ω y = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
按照场论知识，如果一个矢量的旋度为零，则 必然存在一个标量 ϕ ，使得这个矢量可以表示成 该标量 ϕ 的梯度，即 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , vy = , vz = vx = ∂x ∂y ∂z 这个 ϕ 就是速度的势函数。
把势函数的表达式代入，得到下面的Laplace方程：
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
柱坐标下，对应的Laplace方程是：
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 ⎜r ⎟+ 2 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ ∂z
[说明] (1)Laplace方程是一个线性方程，因此比较容易求 解。在适当的边界条件下，一旦获得势函数的解， 就立即可得到速度场分布。再按Bernoulli方程， 就可求得压力场。这就是势函数的作用所在，也 是势流理论的核心。 (2)Laplace方程是一个线性方程，也意味着它满足 叠加原理：即如果ϕ1 和ϕ 2 都满足方程，则其任 意的线性组合 aϕ1 + bϕ 2 也是原方程的解，这里a， b是任意两个常数。 请记住，只要是无旋流动，则势函数一定满 足Laplace方程。
M y 2π x 2 + y 2
因为圆柱绕流时，中心线及物面上的流线是零流 线，所以为了使这个叠加满足绕圆柱流动的实际 情况，在圆柱面(即r=R)上，流函数必须为零。把 这个约束代入流函数中，得到
M = 2πv∞ R
所以，理想的圆柱绕流的势函数和流函数为：
⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞ ϕ = v∞ x ⎜ ⎜1 + r 2 ⎟ ⎟ = v∞ r cosθ ⎜ ⎜1 + r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ ψ = v∞ y ⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ ⎟ = v∞ r sin θ ⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
v x = 6 x, v y = −6 y ，求势函数。 [例1]已知速度分布：
[解]首先，需要判断势函数是否存在。对二维问 题，只要判断涡量的z分量即可。因为
∂v x ∂y − ∂v y ∂x = 0 − 0 = 0
所以，流动有势。按照势函数的定义：
ϕ 从第一式积分，得到：
因此
v x = ∂ϕ ∂x = 6 x, v y = ∂ϕ ∂y = −6 y
Γ = ∫ V ⋅ dl = ∫ (∇ × v ) ⋅ dS
l s
Γ = ∫ V ⋅ ds
l
对于无旋流动，被积函数为零，因此，速度环量 为零。
b、等流函数线就是流线。 [证明]因为流线的全微分式为
dψ = −v y dx + v x dy
对于等流函数线，即满足 dψ = 0 的线。显然由 此得出的结论就是流线方程。 c、等势线和等流函数线互相垂直。 [证明] 按照等势线和等函数线的定义，
ϕ = ax + by + C ψ = ay − bx + C
因此，分别是两族互相垂直的 平行线。
b、点源和点汇
q ⎧ ⎪v r = ⎨ 2πr ⎪ ⎩ vθ = 0
q称为源或汇强度。这是一个无旋的二维流动， 因此存在势函数和流函数。势函数和流函数分 别为： q
ϕ=
2π q ψ= θ 2π ln r
势流的叠加 简单的势流解可以叠加出复杂的势流流动来。 反之，一个复杂的势流问题可以分解为若干个 简单的势流流动。 叠加要领：用叠加法求速度势的基本点，就 是要保证所求问题的内外边界条件。这是因为 几个势函数的叠加仍然满足 Laplace 方程，所以 流场内部是没有问题的。 要满足内边界条件，就必须要形成一条流 线与物体表面完全重合。这条流线的作用与物 体表面完全相同。
q→∞
这里M=2aq称为偶极子的强度。偶极子的流函数为
M y ψ =− 2π x 2 + y 2
可以看出，偶极子的势函数和流函数分别为两族 同心圆，且总是与y和x坐标轴相切。
f、螺旋流动 点源和点涡的叠加，给出螺旋流动。其流函 数与势函数分别为
1 (q ln r + Γθ ) 2π 1 (qθ − Γ ln r ) ψ= 2π
流函数
势流理论中，除了势函数外，还有流函数 的概念。 对于平面(即二维)不可压缩流动，按照连续 方程(这是必须满足的)：
∂v y ∂v x ∂v x ∂v y = 0,即 =− + ∂x ∂y ∂x ∂y
按照Cauchy-Riemann定理，下列微分式 成为全微分式，即存在一个标量函数ψ
− v y dx + v x dy
d、偶极子 一个强度为+q的点源和一个强度为-q的点汇， 相距2a。如果令a→0，q→∞，而其乘积为一个有 限值，则得到偶极子流动。
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势流理论
第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
流体力学第六章 势流理论[精]
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方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
vs 2 r
vr 0
（６－15）
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到 点涡的距离
采用极坐标来求φ 和ψ
图 6-9
d
vr dr
vsrd
2
d
积分得速度势函数:
2
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得:
Q x cos1 2 r2
当δ x→０时，Ｑδ x→Ｍ， θ 1 →θ ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δ x 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
第六章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）
本章主要研究内容：
1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流（几个调和函数） 3.绕园柱体的无环流流动 4.绕园柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量 6.作用于流体上的力和力矩
本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对 简单问题的求解。
明确两点重要结论：
１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻 力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
第六章 势流理论
第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
流体力学第六章 势流理论
2 r2 2
r2
Q ln(1 x cos1 )
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得:
Q x cos1 2 r2
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
注意：
偶极子的轴线和方向
轴线：源和汇所在的直线
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
第六章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
流体力学第六章 势流理论
极子迭加形成的流动。
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
1
2
V0rCos
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
流函数为： M sin 2 r
（６-12）
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
1
2
V0rCos
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
流函数为： M sin 2 r
（６-12）
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
流体力学第六章 势流理论[精]
0
2V0
sin s
2 r0
解出驻点位置
： sins
4 r0V0
（6－32）
1）Γ 4π r0V0
两驻点在圆柱面上 ,并对称 位于三、四象限。 Γ 增加，则 A,B两驻点下移， 并互相靠拢。
2）Γ ＝4π r0V0 两个驻点重合成一点。
3）Γ ＞ 4π r0V0
驻脱离圆柱面沿ｙ轴向下。
p
V 2
2
p0
V02
2
无穷远均匀流中压力
将（６-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:
p
p0
V02
2
(1 4sin2 )
（６－24）
压力系数:
Cp
p p0
1 2
V02
圆柱体上： Cp 1 4sin4
压力分布既对称于ｘ轴 也对称于ｙ轴。
在Ａ，Ｃ两点压力最大
在Ｂ，Ｄ两点压力最小
绕圆柱的无环量流动：
升力Ｌ＝０
阻力 Ｒ＝０
压力分布对称于 y轴
结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝 尔谬理，它在理论上很有意义。
正压
负压
破坏了压力分布对ｙ轴的对称性
１. ２. 物体周围的流场无界 ３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点 ４. 物体作等速直线运动 ５. 物体表面流动没有分离
若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到 流体的作用力（阻力或升力）。
与该平面相平行的所有其它平面上的流动情61船舶在水面上的垂直振荡问题因船长比宽度及吃水大得多且船型纵向变化比较缓慢可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动
第六章 势流理论
流体力学6-势流理论
V0
Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布