第二章 第一节函数的概念与表示
第二章 2.1函数
1．函数的基本概念 (1)函数的定义设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则． 2．常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥0 1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x ) f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z3.求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (2)映射是特殊的函数．( × )(3)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )(5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点最多有1个．( √ )1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①，函数是映射，但映射不一定是函数；对于②，f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③，函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应法则不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B. 题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为____________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7. (3)(解方程组法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)解方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：25分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C解析 在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．2．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥1} C ．∅ D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .二、填空题6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72； 当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12； 当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则 (1)f (2)f (12)＝________； (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________. 答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0， ∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…， f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0. 13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1， 即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。
(高等数学)第二章 连续函数
周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
02-第一节 函数的概念及其表示-课时2 函数的表示法高中数学必修一人教A版
3.已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象为如图所示的曲线
,其中 1,3 , 2,1 , 3,2 ,则 2
A.3
B.2
=( B
1
2
3
2
3
0
C.1
【解析】 由题知 2 = 1, 1 = 2,所以 2
)
D.0
3
水资源费
污水处理费
1.5
1.4
（1）试写出用户所交水费（元）与用水量 m3 之间的函数解析式；
【解析】 依题意得，当0 ≤ ≤ 180时， = 5；
当180 < ≤ 260时， = 7 − 180 + 5 × 180 = 7 − 360；
（5）解方程组法:已知关于 与
知条件构造出另外一个关于 与
1
1
或 与 − 的表达式,可根据已
或 与 − 的等式,通过解方
程组求出 .
（6）赋值法:通过取某些特殊值代入题设中的等式,可使抽象的问题具体化、
简单化,从而找到规律,求出解析式.
17.已知 是定义在上的函数， 0 = 1，且对任意的实数，都有
[0,2] ∪ {2,3} = [0,2] ∪ {3}.故选D.
−, ≤ 0,
7.（多选）设函数 = ቊ 2
若 = 4，则实数的值可以是
, > 0,
( AD
A.2
)
B.−2
C.4
D.−4
> 0,
≤ 0,
【解析】 因为 = 4，所以ቊ
或ቊ 2
解得 = −4或 = 2.故
4
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
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5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案文(含答案)
高考数学一轮总复习学案：第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 2．几个常用函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}．(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(3)若集合A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式时忘记范围； (3)用换元法求解析式，反解时忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1](2)(2020·高考北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________． 【解析】 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．(2)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，所以x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)求解函数定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f [g (x )]的定义域；②若y ＝f [g (x )]的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 角度二 已知函数的定义域求参数(1)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)因为－2x ＋a >0， 所以x <a2，所以a2＝1，所以a ＝2.(2)由ax 2－4ax ＋2＞0恒成立， 得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－4a ）2－4×a ×2＜0，解得0≤a ＜12. 【答案】 (1)D (2)D已知函数定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1，2] 3．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________________．(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )的解析式为________________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________________．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为______________． 【解析】 (1)(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg2t －1， 即f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f [g (x )]＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝_______． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________________． 解析：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f （x ）＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)3．已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：方法一(换元法)：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.方法二(配凑法)：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0D ．12(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f [f (－9)]＝________．(3)(2021·广东省七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤02x －1，x ＞0，若f (a －1)＝12，则实数a ＝________．【解析】 (1)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ．(2)因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f [f (－9)]＝f (1)＝－2.(3)当a －1≤0，即a ≤1时，log 2(4－a )＝12，4－a ＝212，故a ＝4－212，不满足a ≤1，舍去．当a －1＞0，即a ＞1时，2a －1－1＝12，2a －1＝32，解得a ＝log 23，满足a ＞1.综上可得a ＝log 23.【答案】 (1)D (2)－2 (3)log 23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜0，3x ，x ≥0，若f [f (－1)]＝9，则实数a ＝( )A ．2B ．4C ．133D ．4或133(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)因为－1＜0，所以f (－1)＝a －2， 所以f (a －2)＝9. 当a －2≥0，即a ≥2时， 3a －2＝9，解得a ＝4.当a －2＜0，即a ＜2时，2(a －2)＋a ＝9，解得a ＝133(舍去)．综上可知a ＝4.故选B ． (2)由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D ．【答案】 (1)B (2)D(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参； (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 角度三 分段函数与不等式(一题多解)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 方法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.所以不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即为1＜2－2x ，解得x ＜0.所以不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D ．方法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，只有当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0或2x ＜x ＋1＜0时，满足f (x ＋1)＜f (2x )，故x ＜0，所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．【答案】 D涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．1．(2021·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3 x ，x ＞0，x 2，x ≤0，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D ．f (－3)＝3，则f [f (－3)]＝f (3)＝log 33＝1.故选D ．2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋a ，x ≤2，f （x －1），x ＞2，若f (3)＝－89，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．19D ．0解析：选B ．f (3)＝f (3－1)＝f (2)＝3－2＋a ＝－89，解得a ＝－1.3．(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0，若f (x －4)＞f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，4)D ．(－∞，1)解析：选C ．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f (x －4)＞f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4＜0，2x －3≥0或x －4＜2x －3≤0，解得x ∈(－1，4)．故选C ．4．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：由题可知，1－a 与1＋a 异号，当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1， 所以2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1， 所以－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案：－34核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos (πx )．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④【解析】 对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，所以①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，所以②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，所以③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cos 4π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)＝cos π3＋cos π＝－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)，所以④是“1的饱和函数”．综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.【答案】 B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．1．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos (x ＋1)解析：选D ．由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中的函数满足题意．2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④解析：选C ．对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．。
第二章 函数概念与基本初等函数(题)1-3
第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数与映射的概念提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系．(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( )(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( )(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 23．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－15．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．考点一 函数的表示方法1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值．提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．例1:(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝ .点拨:集合A中任意一个x都有唯一确定的值f(x)与之对应，是判断函数的关键．对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是( )A．y＝x－2x B．y＝－x－2x C．y＝－2x3 D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是 ( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝ .考点二求函数的定义域确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．(2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合．(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合．(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．提醒:确定函数的定义域是解决函数问题的关键．例2: (1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是 ．点拨:(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集；(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．[拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？ (2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三 分段函数对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．例3:(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是 ．点拨:解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决． 对点训练1．(2016·江西吉安一中上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．判断对应是否为A 到B 的映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”． 2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同． 3．在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． [易错点睛]1．判断A 到B 的函数时，A 中不同元素可有相同的象，即可以多对一，不可以一对多；B 中元素可以无原象，即B 中元素可以有剩余．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则．课时跟踪训练(四)一、选择题1．(2015·苏州模拟)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx1002．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9 5．(2015·湖南岳阳质检(二))设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 6．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，347.已知实数m ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )=f (2＋m ),则实数m 的值为( )A ．－83B ．8C ．－83或8D ．－83或8或08．(2016·潍坊质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x <5，f x －，x ≥5，则f (2 014)＝( )A ．26B ．17C ．10D ．59．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0), f (－1)＝－3，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3.定义{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫22 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫32 014＋…＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫2 0142 014＝( ) A ．2 013 B ．2 0132 C ．1 007 D ．2 014二、填空题11．(2015·合肥二次质检)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －1的定义域是 ． 12．(2015·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f x －＋2，x >0，则f (9)＝ .13．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝ . 三、解答题14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6， x ≥0，3x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1、x 2、x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第二节 函数的值域与解析式最新考纲：1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．知识梳理1．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R .问题探究：函数的值域由什么决定？ 提示：函数的值域由对应关系和定义域决定． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []gx的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫作换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．( ) (2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ) (3)函数y ＝1x 2＋1的值域为(－∞，1]．( ) (4)函数y ＝1－2xx ＋1的值域为{y |y ≠－2}．( )(5)若f (x )＝x ＋1，则f (x )＝x 2＋1，x ∈R .( ) 2．函数f (x )＝33x－3的值域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 4．(2016·西安质检(一))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1，的值域为( )A ．[－1,2]B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝ .考点一 求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2)换元法；(3)配方法；(4)单调性法；(5)基本不等式法；(6)分离常数法；(7)数形结合法．提醒:(1)求函数值域，一定要注意到定义域的范围；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．例1:求下列函数的值域： (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.点拨:(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．[拓展探究] (1)本例中(2)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？ (2)本例中(2)变为y ＝x 2＋3x ＋1(x >－1)时，其值域如何求？考点二 求函数的解析式函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．提醒:求函数解析式时要关注定义域．例2:(1)已知 f (x ＋1)＝x ＋2x ，求 f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知 f (x )满足2 f (x )＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．点拨:求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 对点训练1．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的部分，函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定，函数解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的具体条件转化为该种形式．对于求出的解析式，一定要注意定义域的变化．提醒:解决函数的综合问题时，一般采取“定义域优先”的原则．例3:(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ .(2)(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．点拨:(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域；(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论；(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域． 对点训练1．(2016·江西宜春期末统考)函数y ＝x 2－2x ＋3在定义域[m,3]上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是( )A ．(0,3]B ．[0,3)C ．[－1,1]D ．[0,1]2．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1] 3．若函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，要树立函数定义域优先意识．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域． [易错点睛]1．利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．利用换元法求函数解析式时，切记新元的范围即为函数的定义域．课时跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)等于( )A ．32B ．16 C.12 D ．1322．(2016·济南质检)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x4．(2016·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 5．(2015·河北唐山期中)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x6．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2015·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋18．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a 使f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 9．(2015·浙江十二校二联)函数f (x )＝sin x 2－cos x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－1,1] C ．[－2,2] D ．[－3，3] 10．(2015·浙江温州十校联考)设函数g (x )是二次函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，若函数f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11．(2015·合肥模拟)函数y ＝1－x2x ＋5的值域为 ．12．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为 ．13．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为 ． 三、解答题14．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y＝x＋4－x2.15．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1(a≠0), f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的解析式．16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．第三节函数的单调性与最值最新考纲：1.理解函数的单调性及其几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质；2.理解函数最大值、最小值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的最值．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作f(x)的单调区间．问题探究1：函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 5．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．考点一 函数单调性的判断与证明1．定义法用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．2．导数法f ′(x )≥0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为增函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)； f ′(x )≤0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为减函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)．提醒:应熟记常用函数的单调性，为函数的应用提供依据．例1:判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．点拨:判断函数单调性的方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之；(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数；若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]为减函数． 对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．考点二 求函数的单调区间1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象给出的，或者f (x )的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间． 2．求复合函数 y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则 y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．提醒:函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．例2: (1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是 ．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1]点拨:带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断．[拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？ (2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三 利用单调性求最值若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法成为首选方法．例3:已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．点拨:利用函数的性质求恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四 函数单调性的应用函数的单调性主要应用在以下几方面 (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．提醒:熟练掌握基本初等函数的单调性是解决这类问题的关键．例4:(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是 ．点拨:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．4．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，若在函数的值域中存在最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确定最值． [易错点睛]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的． 2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．课时跟踪训练(六)一、选择题1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x2．(2016·安徽宿州一检)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x3．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45 B ．54 C.34 D ．434．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2].5．(2016·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＝f (2) B ．f (a ＋1)>f (2) C ．f (a ＋1)<f (2) D ．不能确定7．(15郑州第二次质检)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2，5)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1.是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 9．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(1,4] D ．(－∞，0)∪(1,4]10．(2016·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23) 二、填空题11．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是 ．12．(2015·东北三校联考)若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ． 三、解答题14．(2016·重庆诊断测试)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．15．(2016·江苏徐州期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
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同步检测训练一、选择题1．设集合A ＝R ，集合B ＝正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是( )A ．f ：x →y ＝|x |B ．f ：x →y ＝xC ．f ：x →y ＝3－xD ．f ：x →y ＝log 2(1＋|x |)答案：C解析：指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)，所以f 是x →y ＝3－x .2．设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (12)]＝( ) A ．－12B ．0 C.12D ．1 答案：D解析：f (12)＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0， f [f (12)]＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，故选D. 3．函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f [f (x )]＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个答案：D解析：本题考查映射的性质．根据映射一对一、多对一的性质，以及f [f (x )]＝f (x )的条件，可列举出来10个符合要求的函数：如等．4．(2009·北京市东城区)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (0≤x ≤1)(x －2)2 (1<x ≤2)，则f －1(32)的值等于( ) A.12B.14 C ．2－62 D ．2＋62答案：A解析：设f －1(32)＝n ，则f (n )＝32，解方程2－n ＝32(0≤n ≤1)，得n ＝12，函数f (x )有反函数，满足f (n )＝32的n 只有一个值(不必再解方程(n －2)2＝32(1<n ≤2))，故选A. 5．(2009·重庆市诊测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f [f (14)]的值是( ) A ．－19B ．－9 C.19D ．9 答案：C解析：依题意得f (14)＝log 214＝－2，f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19，选C.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin(πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( ) A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22答案：B解析：当a ≥0时，f (1)＝1，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (1)＝1，f (a )＝sin(πa 2)，∴1＋sin(πa 2)＝2，∴a 2＝12，∴a ＝－22.故选B. 7．(2008·西南师大附中)集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f 满足f (a )＝f (b )＋f (c )，那么这样的映射f 的个数是( )A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个答案：D解析：当f (a )＝－1时，f (b )，f (c )为－1,0或0，－1，这样的映射有两个；当f (a )＝0时，f (b )，f (c )为－1,1或1，－1或0,0，这样的映射有三个；当f (a )＝1时，f (b )，f (c )为1,0或0,1，这样的映射有两个；综上所述，所求映射共7个，故选D.8．(2009·江西五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，(x ≤0)f (x －1)，(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案：C解析：函数f (x )的图象如下图所示，从图中可知，当a ≥1时，方程f (x )＝x ＋a 只有一个根，当a <1时，满足条件，故选C.二、填空题9．(2008·北京海淀)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －|x ＋1| (x ≤0)，x 2－1 (x >0)，那么不等式f (x )<0的解集为________． 答案：(－∞，－1)∪(－1,1)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ －|x ＋1|<0，x ≤0， 得x ≤0且x ≠－1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<0，x >0，得0<x <1，那么不等式f (x )<0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)， 故填(－∞，－1)∪(－1,1)．10．(2008·北京崇文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)，－1(0<x ≤1)，则f (3)＝________.答案：－1解析：f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1，故填－1.11．(2009·北京海淀区)已知：对于给定的q∈N*及映射f：A→B，B⊆N*.若集合C⊆A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集．①对于q＝2，A＝{a，b，c}，映射f：x→1，x∈A，那么集合A的所有好子集的个数为________；②对于给定的q若当且仅当C中5个整数时，C为集合A的好子集．写出所有满足条件的数组(q，y，z)：________.答案：4，(5,1,3)解析：①依题意得集合C中的所有元素的象都是1，且要求C中的所有元素的象之和不小于2，因此集合C中的元素个数可以是2个或3个，满足题意的集合C的个数是C23＋C33＝4.②依题意知当C中恰好含有A中5个整数时，C为集合A的好子集，因此q≤5；当C 中仅含有A中4个整数时，C不是集合A的好子集，因此q>4.又q∈N*，于是q＝5.当C中恰好含有π和A中2个整数时，C为集合A的好子集，因此z＋y＋1≥5，z＋2≥5；当C中恰好含有π和A中1个整数时，C不是集合A的好子集，因此5>1＋z,5>y＋z,3≤z<4，又z∈N*，故z＝3，y≥1且y<2，又y∈N*，于是y＝1，所以满足条件的数组(q，y，z)＝(5,1,3)．三、解答题12.如右图所示．(1)求对应于折线OABC函数f(x)的解析表达式；(2)若x=t与折线OABC及x轴所围成(x≤t)的部分面积为S，当t∈[0,3]时，求S与t的函数关系式，并画出图象．图象如下图所示．13．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x .(1)求g (x )的解析式；(2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.解：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧ x 0＋x 2＝0，y 0＋y 2＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝－y . ∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|可得：2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解．当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 因此，原不等式的解集为[－1，12]． 14．如右图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域．解：AB =2R .C 、D 在⊙O 的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD .∴AD 2=AE ×AB ，即AE =x 22R ， ∴CD =AB -2AE =2R -x 2R， 所以y =2R +2x +(2R -x 2R )，即y =-x 2R+2x +4R . 再由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 22R>02R －x 2R >0，解得0<x <2R .所以y ＝－x 2R＋2x ＋4R ，定义域为(0，2R )． 15．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数．又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)试求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)试求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．(1)证明：∵y ＝f (x )是以5为周期的周期函数， ∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)．又y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)．∴f (1)＋f (4)＝0.(2)解：当x ∈[1,4]时，由题意，可设 f (x )＝a (x －2)2－5 (a ≠0)由f (1)＋f (4)＝0得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0解得a ＝2.∴f (x )＝2(x －2)2－5 (1≤x ≤4)．(3)解：∵y ＝f (x ) (－1≤x ≤1)是奇函数， ∴f (0)＝－f (－0)．∴f (0)＝0.又y ＝f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数， ∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，∵f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，又f (1)＝k ·1＝k ，∴k ＝－3.∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ；当－1≤x <0时，0<－x ≤1.∴f (x )＝－f (－x )＝－3x .∴当－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ；当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15； 当6<x ≤9时，1<x －5≤4，f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋15，4≤x ≤6，2(x －7)2－5，6<x ≤9.。