欧拉方程的求解

精心整理欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）.式”、i 表示形如2.2.1二阶齐次欧拉方程：2120x y a xy a y '''++=.（2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）.对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有212(1)0K a K a +-+=.（3）定义2以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.(i)y (ii)(iii)证明1x y =且设，2y 线约去由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此 或112(1)0K a +-=,于是，得 或0xu u '''+=,即()0xu ''=, 故12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（ii 1x y =又21y y （iii 1x y =和是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即2(1)0K -=, 其根为：121K K ==, 所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.例2即2K 即2K 1,2所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+.（其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''.（4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =,（5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即令xy '和由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰,（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为证明（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得212111[()]K K K K x x x f x dx dxy ----=⎰⎰（y =ii ）所以由定理3，原方程的通解为（其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解. 解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为 （其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2xx x y xy y -+='''的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，(i)y (ii)(iii)2.3（9123特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++= 的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.（12）证明根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解.设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x xf x ---+-''''''+++-++++-+-++=（13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,设（15）（i y =（111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dx y xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰.证明（i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方)()]f x dx y =α=（（21=-，将111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3， 取11K =，将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，将1K 解得令2K 利用定理5（ii ）的通解公式有 （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''L (1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=L L L .(16）定义3以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程. 由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6方程（1）的通解为（其中1c ，2c L 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：1求程3(3)2815x y x y++.该欧程的特(1)(2)(K K K K--,例2求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范4.5[1]社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[8][9]。