二次函数与一元二次方程同步练习题

二次函数与一元二次方程同步练习

第1题. 抛物线2

283y x x =--与x 轴有

个交点，因为其判别式2

4b ac -=

0，相应二

次方程2

3280x x -+=的根的情况为 ．

答案：0 92-<

没有实数根．

第2题. 函数2

2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ）

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个

答案：Ｃ

第3题. 关于二次函数2

y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当

0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐

标是244ac b a

-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．

其中正确命题的个数是（ ）

Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个

Ｄ．4个

答案：Ｃ

第4题. 关于x 的方程2

5mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数2

5y mx mx m =++-与

x 轴必然相交于

点，此时m =

．

答案：一 4

第5题. 抛物线2

(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，

和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位．

答案：4或9

第6题. 关于x 的二次函数2

2(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）

Ａ．116

m <-

Ｂ．1

16

m -

≥且0m ≠ Ｃ．116

m =-

Ｄ．1

16

m >-

且0m ≠

答案：Ｂ

第7题. 已知抛物线2

1()3

y x h k =--+的顶点在抛物线2

y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是

h 和k 的值．

答案：21()3

y x h k =--+，顶点()h k ，在2

y x =上，2

h k ∴=，

22221122

()3333

y x h h x hx h ∴=--+=-++．

又它与x 轴两交点的距离为12x x a

∴-=

==

= 求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．

第8题. 已知函数2

2y x mx m =-+-．

（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值5

4

-，求函数表达式．

答案：（1）2

2

2

()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>，

此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点． （2）

2244(2)5

444

ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为2

1y x x =--或2

31y x x =-+．

第9题. 下图是二次函数2

y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点． （1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；

（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=，60ACB ∠=，求这个二次函数的函数表达式．

答案：（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02b

a

-

<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．

（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=，60ACB ∠=，3tan OA

OB ABC =

=∠， 3tan 60

OA

OC

=

=(30)B

∴-，，C ．设二次函数式为(3)(y

a x x =+-， 把(03)-

，

代入上式，得3a

=，∴

所求函数式为2

(3)(1)333

y x x x x =

+=+-．

第10题. 已知抛物线22

2m y x mx =-+与抛物线22

34

m y

x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，

其中一条与x 轴交于A ，B 两点．

（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123

OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．

答案：（1）抛物线不过原点，0m ≠，令22

02m x mx -+=，22

21()402

m m m ∆=--⨯=-<，22

2m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2

234

y x mx m =+-经过A ，B 两点．

（2）设1(0)A x ，

，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程2

2304x mx m +-=的两根12x x m +=-，2123

4

x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．

12

3

OB OA 1-=．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，

22

3

34

m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．

第11题. 已知二次函数2

2

24y x mx m =-+．

（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；

（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B

，顶点为C ，且△ABC 的面积为，求此二次函数的函数表达式．

答案：（1）2

2

2

2

2

(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．

0m ≠，280m ∴>，

∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．