2.3常用的离散型分布[1]1
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常见离散型分布
§2.4 常见离散型分布
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
第2节 常用离散型分布
0－1分布 如果二项分布B(n, p)中 n 1, 则称为 0 1分布.
两点分布
如果 X 只有两个可能取值点,则称X服从两点分布.
例1 袋中共有N个球, 其中 N1个白球, N2个黑球. 从 中随机地取 n 个球, 以X表示取到的白球数. 求(1)有放 回时, X的概率分布;和(2)无放回时, X的概率分布.
通常, 将上述分布称为参数为 p 的几何分布.
推广在伯努利概型中令 X 表示直到事件 A 第r次发 生为止所行进的试验次数, 则 X 的概率分布为
P{ X
k}
Ckr
1 1
pr
(1
p)kr ,
k
r,r
1,
推广后的这一分布称为参数为 r 和 p 的负二项分布.
几何分布的无记忆性 引例 一个家庭已经连着生了3个女孩，求下一个
二、离散型随机变量及其概率分布
1. 离散型随机变量: 分布函数i }被称为离散型随机变量
X的概率分布, 如果它满足(1) pi 0, (2)
i 1
pi
1.
记
作 X ~ { pi }.
3. 概率分布与分布函数的等价性:
(1)设 X ~ { pi }, 则F ( x) p ; i:xi x i
k0
3 k0
2k k!
e 2
0.857124
综上，这 20000人中发生过敏反应的人数不超过 3
的概率约为85.7%.
第十次作业 (3.25)
必做题 练习2－3). 1. 3. (1)(2)(3). 8. 选做题 练习2－3). 5. (只求分布列). 补充题.
补充题 甲乙两棋手约定: 进行 5 盘比赛, 以赢的盘 数较多者胜. 假设在每盘中甲赢的概率为0.6,乙赢的概 率为 0.4, 而且各盘比赛相互独立, 求甲胜和乙胜的概 率各为多少? 并说明[5盘3胜制]与[3盘2胜制],哪种对甲 有利.
两点分布
如果 X 只有两个可能取值点,则称X服从两点分布.
例1 袋中共有N个球, 其中 N1个白球, N2个黑球. 从 中随机地取 n 个球, 以X表示取到的白球数. 求(1)有放 回时, X的概率分布;和(2)无放回时, X的概率分布.
通常, 将上述分布称为参数为 p 的几何分布.
推广在伯努利概型中令 X 表示直到事件 A 第r次发 生为止所行进的试验次数, 则 X 的概率分布为
P{ X
k}
Ckr
1 1
pr
(1
p)kr ,
k
r,r
1,
推广后的这一分布称为参数为 r 和 p 的负二项分布.
几何分布的无记忆性 引例 一个家庭已经连着生了3个女孩，求下一个
二、离散型随机变量及其概率分布
1. 离散型随机变量: 分布函数i }被称为离散型随机变量
X的概率分布, 如果它满足(1) pi 0, (2)
i 1
pi
1.
记
作 X ~ { pi }.
3. 概率分布与分布函数的等价性:
(1)设 X ~ { pi }, 则F ( x) p ; i:xi x i
k0
3 k0
2k k!
e 2
0.857124
综上，这 20000人中发生过敏反应的人数不超过 3
的概率约为85.7%.
第十次作业 (3.25)
必做题 练习2－3). 1. 3. (1)(2)(3). 8. 选做题 练习2－3). 5. (只求分布列). 补充题.
补充题 甲乙两棋手约定: 进行 5 盘比赛, 以赢的盘 数较多者胜. 假设在每盘中甲赢的概率为0.6,乙赢的概 率为 0.4, 而且各盘比赛相互独立, 求甲胜和乙胜的概 率各为多少? 并说明[5盘3胜制]与[3盘2胜制],哪种对甲 有利.
2.3常用的离散型分布(1)
k! k! n 100, p 0.01 时， 可用上述近似式计算.
P X k C p (1 p)
k n
k
n k
k
e
( np)k
e
( np )
例 纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一 短时间内 发生断头的概率为0.005（设在短时间内 最多只发生一次断头）求在这段时间内总共发生 的断头次数超过2次的概率。
... pq
m k 1
...
称为无记忆性， 是几何分布的特征性质.
1q
qm
几何分布的数学期望和方差 1 q EX DX 2 q 1 p 其中 p p
六、超几何分布 定义
对给定的自然数 n, N 1 , N 2 以及 N N 1 N 2
n N 1 N 2 如果 P X k
每一次试验,A发生的概率都是 p, A不发生的 概率都是 q 1 p 这样的 n 次独立重复试验 称作 n重伯努利试验, 简称伯努利试验 或伯努利 概型. 用 X 表示 n重伯努利试验中事件A(成功) 出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
一般地,假定一个试验成功的概率是 p ( 0 p 1 ) 且各次试验的 不断地重复试验,直到首次成功为止, 结果是独立的. 令 X表示 试验的次数. X 可能取的值是:1,2,3,..., n,... X 1 2 3 ... n ... 设 Ai 表示 “第 i 次成功” 令 P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P p pq pq 2 ... pq n1 ... P { X 1} P ( A1 ) p 其中 q 1 p
P X k C p (1 p)
k n
k
n k
k
e
( np)k
e
( np )
例 纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一 短时间内 发生断头的概率为0.005（设在短时间内 最多只发生一次断头）求在这段时间内总共发生 的断头次数超过2次的概率。
... pq
m k 1
...
称为无记忆性， 是几何分布的特征性质.
1q
qm
几何分布的数学期望和方差 1 q EX DX 2 q 1 p 其中 p p
六、超几何分布 定义
对给定的自然数 n, N 1 , N 2 以及 N N 1 N 2
n N 1 N 2 如果 P X k
每一次试验,A发生的概率都是 p, A不发生的 概率都是 q 1 p 这样的 n 次独立重复试验 称作 n重伯努利试验, 简称伯努利试验 或伯努利 概型. 用 X 表示 n重伯努利试验中事件A(成功) 出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
一般地,假定一个试验成功的概率是 p ( 0 p 1 ) 且各次试验的 不断地重复试验,直到首次成功为止, 结果是独立的. 令 X表示 试验的次数. X 可能取的值是:1,2,3,..., n,... X 1 2 3 ... n ... 设 Ai 表示 “第 i 次成功” 令 P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P p pq pq 2 ... pq n1 ... P { X 1} P ( A1 ) p 其中 q 1 p
§2.3 常用的离散型分布
赢！
是这样的吗？
设 X 表示关老师第一次赢的游戏次数。 连输了99把，意味着 X > 99 ；
下把还是输，表示为 X > 100 ；
Question :
P (X 100 | X 99) ?
几何分布的无记忆性
无记忆性
设 X 是取值为正整数的随
机变量，则 X 服从几何分布当且仅当
五、几何分布（Bernoulli概型）
Recall：在独立重复试验中，记 X 表示事 P( A) p , 0 p 1. 件 A 第一次发生时的次数， 则
P{X k} q k 1 p , k 1,2,,
P{ X k} g (k , p) ,
（**）
亦可记为
一般地，若随机变量 X 的概率分布由（**） 给出，则称 X 服从参数为 p 的几何分布.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
三、 n 个点上的均匀分布 （古典概型）
概率分布：
X P x1 1 n x2 1 n xn 1 n
赌戏对赌客并不公平，何以许多人一上了赌 台就下不来？ 机会成本，付出的成本一定要赚回来。 沉没成本，赌徒脑子里会出现这样的忠告： “如果现在结束，以前投入的就全白亏了。”
情况不利 那有运气那么坏，该转运了。 ◇再玩若仍输 下次更该赢了。 ◇若幸运赢了开始翻身了。 若情况有利 手气正顺，怎可停止？ 除非是一直输赢不太多(此机率并不大)，让 人觉得此赌戏没趣。
§2.3几种重要的离散型分布
26
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
生物统计（3）-常见的离散型分布
生物统计（3）-常见的离散型分布前言各种概率分布算是统计学中的一个非常重要的知识点，我在网上看到过一篇文章，题目是《常用连续型分布介绍及R语言实现》（网址为：/r-density/）。
这一篇文章只是补充了一下常见的离散型分布介绍及R实现方式。
随机变量取一切可能值的概率的规律称为概率分布(probability distribution)，简称为分布，通常使用表格，图形，公式来表示这些分布，一个概率分布总是一和个总体(population)相关联的，这里的总体也称为样本空间(sample space)，它是由某种试验的所有可能结果构成的集合，这些结果的获取服从某种概率规律，因此，一个总体（样本空间）是由一个取值范围及与之相连的概率所组成。
于是，给出了这个概率分布就等于知道了总体，这些用数学语言表示的概率分布有一些理论参数，称为总体参数(population parameter)，对于一个样本来说，它有自己的一些参数，例如样本均值、样本方差、样本标准差、样本分位数等。
相对于总体，它也有总体均值、总体方差、总体标准差，总体分位数等参数。
只是对于不同的总体，这些参数可能不同，并且对于某些总体，某些参数可能就不存在。
离散型分布离散变量很常见，例如在一批产品的质量检查中可能发现的次品数目、一日内通过某电话总体的通话次数、在若干次试验中成功的次数等，这些变量取离散值，而且按照某种概率来取每个值，取每个值的概率应该大于或等于0、小于或等于1，并且取各种值的概率之和应该等于1，用符号来表示就是，假定离散随机变量X的取值范围为x1,x2,…xn，并且取可能值xi的概率记为P(X=xi)，那么这些概率应该同时满足下面的关系：mark满足这样关系的概率P(xi)的总和就是该离散变量的概率分布。
离散变量的取值不一定是有穷的，例如Poisson分布的取值范围就是所有的非负整数，因而有无穷多可能的值。
除了分布函数P(X=xi)外，还有累积分布函数(cumulative distribution function, CDF)的概念，离散随机变量的累积分布函数的定义如下所示：mark统计教科书上的各种概率分布表，通常都是累积分布函数的值，在计算时，这往往比原始的概率分布要方便，例如我要计算P(a<>mark或者是通过相减来计算，如下所示：mark显然，通过相减计算要容易得多，只需要找到F(b)和F(a)即可。
3种常用离散型分布的公式
3种常用离散型分布的公式嘿，咱们来聊聊 3 种常用的离散型分布公式。
先来说说二项分布。
这二项分布啊，就好比你扔硬币。
假设你扔 10 次硬币，每次都只有正面和反面两种可能，而且每次扔硬币正面朝上的概率都一样。
那在这10 次中，出现正面的次数就可能符合二项分布。
我记得之前教过一个学生，他特别纠结这个二项分布的公式。
我就跟他说：“你就想象成你去抽奖，每次抽奖中奖的概率是固定的，抽了特定的次数，算一下总共中奖几次的可能性。
”他还是一脸懵。
于是我就给他举了个例子，假设抽奖中奖概率是 0.2，一共抽 5 次，那中奖 2次的概率咋算呢？这时候二项分布公式就派上用场啦。
二项分布的公式是：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里的 n 就是试验次数，k 就是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
再讲讲泊松分布。
泊松分布就像是在一段时间或者一个区域内，某种事件发生的次数。
比如说，在一个小时内，某个路口发生交通事故的次数。
我曾经观察过我们学校门口的交通情况。
有一天，我特意在那站了一个小时，想看看大概会有多少起小的交通摩擦。
结果发现，差不多平均下来，一个小时会有那么两三起。
这其实就有点像泊松分布的情况。
泊松分布的公式是：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! ，这里的λ是单位时间或者单位面积内事件发生的平均次数。
最后说说几何分布。
几何分布就好像是你不断尝试做一件事，直到第一次成功为止，所需要的尝试次数。
有次我陪我家孩子玩猜谜语，他一直猜不对，我就告诉他，你猜猜看，平均几次能猜对一个。
这其实就和几何分布有点关系。
几何分布的公式是：P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p ，其中 p 是每次试验成功的概率。
总之，这三种离散型分布公式在生活和学习中都有很多用处。
咱们多观察、多思考，就能更好地理解和运用它们啦！。
2.3常用的离散型分布
P { X m }
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
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1 EX xi x ; n i 1
n
1 2 DX ( xi x ) . n i 1
n
概率论与数理统计
四.
二项分布Βιβλιοθήκη 在n 重Bernoulli 试验中,设每次试验中事件A发 生的概率为p(0<p<1),记 X 是n 次试验中事件A发 生的次数 , 那么事件 { X k} 即“在n次试验中事 件A恰好发生k次”,则由Bernoulli概型可知 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 定义: 若一个随机变量 X 的概率分布为 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 则称X服从参数为n, p 的二项分布.记作 X b(n, p).
(0.001 (0.999) )
5
4995
0.1756
概率论与数理统计
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
1 C
0 5000
(0.001) (0.999)
0
5000
0.9934 .
, 0 k n.
定义: 若随机变量X的概率分布为
P{ X k} C C C
k N1 nk N2 n N
, 0 k n.
则称随机变量X服从超几何分布.
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概率论与数理统计
注: 若X服从超几何分布,则
nN1 EX ; N nN1 N1 N n DX (1 )( ); N N N 1
P{X 2} C (0.05) (0.95)
2 3 2
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0.007125.
概率论与数理统计
例2: 某车间有8台5.6千瓦的车床,每台车床由于 工艺上的原因,常要停车.设各车床使用是相互独 立的,每台车床平均每小时停车12分钟,求 (1)在某指定时刻车间恰有两台车床停车的概率; (2)全部车床用电超过30千瓦的可能性有多大. 解:由于每台车床使用是独立的,而且每台车床 只有开车与停车两种情况,且停车的概率为 12 / 60 0.2; 因此这是一个8重贝努里试验。 记 X 为某时刻车床的停车数,则 X b(8,0.2);
0.22 •
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
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概率论与数理统计
0.2 0.15 0.1 0.05
5
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概率论与数理统计
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
二项分布的数学期望与方差: 由前面 X i 的定义可知
X X i , EX i p, DX i p(1 p),
i 1 n
从而
EX E ( X i ) EX i np;
i 1 i 1
n
n
DX D( X i ) DX i np(1 p).
C (0.2) (0.8) C (0.2) (0.8) C (0.2) (0.8)
0 8 0 8 1 8 1 7 2 8 2 6
0.7969.
例3: 见课本P36例6.
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概率论与数理统计
注: 当n=1时,二项分布 b(n, p) 就是参数为p的 0-1 分布 b(1, p) .它们之间具有如下的关系: 记X为n重伯努利试验中事件A出现的次数,其 中 P( A) p; 则 X b(n, p); 记 X i 为第i次试验中 事件A出现的次数,即
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概率论与数理统计
例1: 已知100个产品当中有5个次品,先从中有放 回地取三次,每次任取1个,求在所取得三个产品中 恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次,所以这3次试验的条 件完全相同且独立;每次试验只有“取到合格品 ”及“取到次品”两种结果,且取到次品的概率 为 5 /100 0.05 ;所以这是一个3重伯努利试验. 记 X 为取得的三个产品中的次品数,则 X b(3,0.05); 则所求的概率为
k
P{ X k} e , 0，k 0,1,2, k!
则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作 X P( ). x 注: 由 e 的Taylor展开式可知
EX k e e e ; k 0 k ! k 1 (k 1)! k 0 k !
则称随机变量X服从参数为p的几何分布.
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k 1
概率论与数理统计
几何分布的数学期望与方差:
EX kp(1 p)
k 1 k 1
1 ; p
EX k p(1 p)
2 2 k 1
k 1
2(1 p) 1 ; 2 p p
2
1 p DX EX ( EX ) 2 . p
0.273•
• 0
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此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
x
概率论与数理统计
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
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概率论与数理统计
设 X ~ B(20,0.2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 P 由图表可见 , 当 k 4 时， 分布取得最大值 P20 (4) 0.22
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概率论与数理统计
二.
两点分布
定义: 若随机变量X只有两个取值,其概率分布为 x1 x2 X
P p 1-p
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别地,若随机变量X的概率分布为 1 0 X
P
1 p
p
则称X服从参数为p的0 – 1分布. 注: EX p, DX EX 2 ( EX )2 p p2 ;
概率论与数理统计
Probability and Mathematical Statistics
概率论与数理统计
§2.3 常用的离散型分布
一. 退化分布
定义: 若随机变量X以概率1取某一常数,即 P{ X a} 1, 则称X服从a处的退化分布.
注: 在所有分布,最简单的分布就是退化分布.其 之所以称为退化分布,是因为其取值几乎是确定 的,即这样的随机变量退化成了一个确定的常数 .
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概率论与数理统计
例4 独立射击5000次, 命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
P (5) C 5000
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5 5000
i 1 i 1
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n
n
概率论与数理统计
设 X ~ B( 8, 13 ) k 1 k 1 )8k , k 0,1 ,8 P (k ) P( X k ) C8 ( 3 ) (1 3 , 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P 由图表可见 , 当 k 2或 3 时， 分布取得最大值 P (2) P (3) 0.273 8 8 二项分布的取值情况
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概率论与数理统计
注:凡试验只有两个结果常用0 – 1分布来描述,如产品的 质量是否合格,系统是否正常,人口性别统计等等.
三.
n个点上的均匀分布
定义: 若随机变量X的概率分布为 x2 xn x1 X 1/ n 1/ n 1/ n P 则称X服从n个点 {x1 , x2 ,, xn }上的均匀分布. 注:
2
例4: 见课本P59例2.19
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概率论与数理统计
六.
超几何分布
引例: 一个袋子中装有 N 个球,其中有 N1个白球, N 2个黑球( N N1 N2 ) ,从中不放回地抽取n个 球;记X为取到白球的数目,则由古典概型可得
P{ X k} C C C
k N1 nk N2 n N
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概率论与数理统计
五.
几何分布
在独立重复试验中,设事件A发生的概率为 p, X为直到事件A首次发生为止所进行的试验 次数,则由P33定理1.4可知X的概率分布为
P{X k} (1 p) p,0 p 1, k 1.
定义: 若随机变量X的概率分布为
k 1
P{X k} (1 p) p,0 p 1, k 1.
注: 引例中,如果采用的是放回的取球方式,则X服 从二项分布.在实际应用中,当N 很大,并且N1 及N 2 均较大,而n相对较小,通常将不放回抽取近似当 作有放回抽取问题来处理,即可用二项分布来近 似超几何分布.即
k n CN1 CNk 2 n CN
N1 k N 2 n k C ( ) ( ) . N N
若 P( X k ) P( X j ), j X 可取的一切值
则称 k为最可能出现的次数
k 记 pk P( X k ) Cn pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk 1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk 1 p(n k )
则 X i b(1, p); 并且 X1 , X 2 ,, X n 相互独立;根 据X及 X i 的定义可知 X X1 X 2 X n .
1 EX xi x ; n i 1
n
1 2 DX ( xi x ) . n i 1
n
概率论与数理统计
四.
二项分布Βιβλιοθήκη 在n 重Bernoulli 试验中,设每次试验中事件A发 生的概率为p(0<p<1),记 X 是n 次试验中事件A发 生的次数 , 那么事件 { X k} 即“在n次试验中事 件A恰好发生k次”,则由Bernoulli概型可知 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 定义: 若一个随机变量 X 的概率分布为 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 则称X服从参数为n, p 的二项分布.记作 X b(n, p).
(0.001 (0.999) )
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概率论与数理统计
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
1 C
0 5000
(0.001) (0.999)
0
5000
0.9934 .
, 0 k n.
定义: 若随机变量X的概率分布为
P{ X k} C C C
k N1 nk N2 n N
, 0 k n.
则称随机变量X服从超几何分布.
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注: 若X服从超几何分布,则
nN1 EX ; N nN1 N1 N n DX (1 )( ); N N N 1
P{X 2} C (0.05) (0.95)
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概率论与数理统计
例2: 某车间有8台5.6千瓦的车床,每台车床由于 工艺上的原因,常要停车.设各车床使用是相互独 立的,每台车床平均每小时停车12分钟,求 (1)在某指定时刻车间恰有两台车床停车的概率; (2)全部车床用电超过30千瓦的可能性有多大. 解:由于每台车床使用是独立的,而且每台车床 只有开车与停车两种情况,且停车的概率为 12 / 60 0.2; 因此这是一个8重贝努里试验。 记 X 为某时刻车床的停车数,则 X b(8,0.2);
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• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
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0.2 0.15 0.1 0.05
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概率论与数理统计
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
二项分布的数学期望与方差: 由前面 X i 的定义可知
X X i , EX i p, DX i p(1 p),
i 1 n
从而
EX E ( X i ) EX i np;
i 1 i 1
n
n
DX D( X i ) DX i np(1 p).
C (0.2) (0.8) C (0.2) (0.8) C (0.2) (0.8)
0 8 0 8 1 8 1 7 2 8 2 6
0.7969.
例3: 见课本P36例6.
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注: 当n=1时,二项分布 b(n, p) 就是参数为p的 0-1 分布 b(1, p) .它们之间具有如下的关系: 记X为n重伯努利试验中事件A出现的次数,其 中 P( A) p; 则 X b(n, p); 记 X i 为第i次试验中 事件A出现的次数,即
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例1: 已知100个产品当中有5个次品,先从中有放 回地取三次,每次任取1个,求在所取得三个产品中 恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次,所以这3次试验的条 件完全相同且独立;每次试验只有“取到合格品 ”及“取到次品”两种结果,且取到次品的概率 为 5 /100 0.05 ;所以这是一个3重伯努利试验. 记 X 为取得的三个产品中的次品数,则 X b(3,0.05); 则所求的概率为
k
P{ X k} e , 0，k 0,1,2, k!
则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作 X P( ). x 注: 由 e 的Taylor展开式可知
EX k e e e ; k 0 k ! k 1 (k 1)! k 0 k !
则称随机变量X服从参数为p的几何分布.
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k 1
概率论与数理统计
几何分布的数学期望与方差:
EX kp(1 p)
k 1 k 1
1 ; p
EX k p(1 p)
2 2 k 1
k 1
2(1 p) 1 ; 2 p p
2
1 p DX EX ( EX ) 2 . p
0.273•
• 0
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此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
x
概率论与数理统计
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
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概率论与数理统计
设 X ~ B(20,0.2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 P 由图表可见 , 当 k 4 时， 分布取得最大值 P20 (4) 0.22
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概率论与数理统计
二.
两点分布
定义: 若随机变量X只有两个取值,其概率分布为 x1 x2 X
P p 1-p
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别地,若随机变量X的概率分布为 1 0 X
P
1 p
p
则称X服从参数为p的0 – 1分布. 注: EX p, DX EX 2 ( EX )2 p p2 ;
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概率论与数理统计
§2.3 常用的离散型分布
一. 退化分布
定义: 若随机变量X以概率1取某一常数,即 P{ X a} 1, 则称X服从a处的退化分布.
注: 在所有分布,最简单的分布就是退化分布.其 之所以称为退化分布,是因为其取值几乎是确定 的,即这样的随机变量退化成了一个确定的常数 .
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例4 独立射击5000次, 命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
P (5) C 5000
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设 X ~ B( 8, 13 ) k 1 k 1 )8k , k 0,1 ,8 P (k ) P( X k ) C8 ( 3 ) (1 3 , 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P 由图表可见 , 当 k 2或 3 时， 分布取得最大值 P (2) P (3) 0.273 8 8 二项分布的取值情况
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概率论与数理统计
注:凡试验只有两个结果常用0 – 1分布来描述,如产品的 质量是否合格,系统是否正常,人口性别统计等等.
三.
n个点上的均匀分布
定义: 若随机变量X的概率分布为 x2 xn x1 X 1/ n 1/ n 1/ n P 则称X服从n个点 {x1 , x2 ,, xn }上的均匀分布. 注:
2
例4: 见课本P59例2.19
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概率论与数理统计
六.
超几何分布
引例: 一个袋子中装有 N 个球,其中有 N1个白球, N 2个黑球( N N1 N2 ) ,从中不放回地抽取n个 球;记X为取到白球的数目,则由古典概型可得
P{ X k} C C C
k N1 nk N2 n N
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概率论与数理统计
五.
几何分布
在独立重复试验中,设事件A发生的概率为 p, X为直到事件A首次发生为止所进行的试验 次数,则由P33定理1.4可知X的概率分布为
P{X k} (1 p) p,0 p 1, k 1.
定义: 若随机变量X的概率分布为
k 1
P{X k} (1 p) p,0 p 1, k 1.
注: 引例中,如果采用的是放回的取球方式,则X服 从二项分布.在实际应用中,当N 很大,并且N1 及N 2 均较大,而n相对较小,通常将不放回抽取近似当 作有放回抽取问题来处理,即可用二项分布来近 似超几何分布.即
k n CN1 CNk 2 n CN
N1 k N 2 n k C ( ) ( ) . N N
若 P( X k ) P( X j ), j X 可取的一切值
则称 k为最可能出现的次数
k 记 pk P( X k ) Cn pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk 1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk 1 p(n k )
则 X i b(1, p); 并且 X1 , X 2 ,, X n 相互独立;根 据X及 X i 的定义可知 X X1 X 2 X n .