测试信号分析与处理-第3章(打印版)

相关函数和线性卷积运算的关系
x 线性卷积： (m) ∗ y (m) = ∑ x(m − k ) y (k )
N −1
相关函数和线性卷积运算的关系
说明： ● 相关函数与线性卷积的计算形式相似，都包 含着变量的移位、相乘和求和，差别只是卷 积多一个序列的翻转，因而两者仅差一个负 号；
●
相关函数：Rxy (m) =
第3章 相关函数估计
测试信号分析与处理(3)
-------相关函数估计
3.1 相关函数估计的计算式 3.2 通过FFT计算自相关函数 3.3 相关估计应用举例
－2－
§3.1 相关函数估计的计算式
若按定义:
Rxx (τ ) = E [X (t ) X (t + τ )]
遍历
§3.1 相关函数估计的计算式
FFT 1 2 ˆ X 2 N ( e jω ) 说明： Rxx (m) ⇔ IFFT N
－ 17 － － 18 －
§3.2 通过FFT计算自相关函数
算法步骤： Step 1: 对原序列补 N 个零，得新序列 x 2 N ( n) Step 2: 作 FFT [ x2 N (n)] ⇒ X 2 N (e jω ) 或 X 2 N (k ), 2π ωk = k , k = 0, 1, ...., 2 N − 1
(a)
N 1 或 Rxx (m) = lim ∑N x(n) x(n + m) N →∞ 2 N + 1 n =−
注意: ● N − m 项求和，若 n = N − m ，则 x(n + m) = x( N ) 超出数据长度。
ˆ ● 获得的 Rxx (m) 的数据长度为 2 N − 1，且
工程上无法应用!
－ 13 －
计算形式虽然相似，但物理意义很不相同。 线性卷积表示线性移不变系统(LSI)的单位冲 激响应、输 入与输出之间的关系，而相关函 数只是反映两个信号之间的相关性，与系统 无关。
－ 14 －
§3.2 通过FFT计算自相关函数
思路： 1.自相关函数与线性卷积运算之间的关系 线性卷积： x(m) ∗ y(m) =
1 2 ˆ Step 4: 作 IFFT ⎡ X 2 N (k ) ⎤ ⇒ R0 (m) ⎢N ⎥ ⎣ ⎦
§3.2 通过FFT计算自相关函数
自相关函数的性质: ● 偶函数 Rxx ( m) = Rxx ( − m) ● 当 m = 0 时, R xx ( m ) 最大, 即 Rxx (0) ≥ Rxx ( m) 。 R xx ( m ) 保留有 x(n) 同频的周期性。 ●
2 ˆ ˆ 估计方差: σ α = E[(α − E[α ]) 2 ]
把(a)式和(b)式代入上式，得 (推导比较复杂)：
= =
N −|m|−1 1 ∑ E[ x(n) x(n + m)] N − | m | n =0 N −|m|−1 1 ∑ Rxx (m) N − | m | n =0
σ
2 ˆ Rxx ( m )
1 .5 1 0 .5 0 -0 .5 -1 -5 0 0 50
-1 -5 0
人体运动分析的应用领域
0 50
自相关函数
自相关函数
－ 31 － － 32 －
标志点定位－模板匹配的基本原理
模板图像
实验四 利用相关分析实现图像的匹配定位
放大的模板图像 0 0 0 0 0 0 0 0 128 128 128 128 128 0 0 128 255 255 255 128 0 0 128 255 255 255 128 0 0 128 255 255 255 128 0 0 128 128 128 128 128 0 0 0 0 0 0 0 0 模板图像灰度分布
∑x
2N
(l )e − jω l
=
2 1 X 2 N ( e jω ) N
⎧ x ( n) x2 N ( n ) = ⎨ ⎩0
0 ≤ n ≤ ( N − 1) N ≤ n ≤ (2 N − 1)
表示有限长度序列 x2 N (n) 的功率谱密度函数
x2 N (n) ⇒ X 2 N (e jω )
FFT
如果有, 功率是多少? 周期呢?
Rxx ( m ) = ∑ [ s ( n ) + u ( n )][ s ( n + m ) + u ( n + m )]
n
x ( n) :
Rxy (m) :
－ 29 －
= R ss ( m ) + Ruu ( m ) + R su ( m ) + Rus ( m ) = R ss ( m ) + Ruu ( m )
j =1 n
⎡ sq(1) sq(1) sq(2) sq(1) ⎢ sq(1) sq(2) sq(2) sq(2) ⎢ 按从小到大排序， ⎢ M M 比较平方和： ⎢ ⎣ sq(1) sq(10) sq(2) sq(10)
sq(10) sq(1) ⎤ sq(10) sq(2) ⎥ ⎥ ⎥ O M ⎥ L sq(10) sq(10) ⎦ L L
‘biased’ ‘unbiased’ ‘coeff’ ‘none’ 1/N，有偏. 1/(N-|m|)，无偏. 1/R(0)，归一化. 无比例系数 (缺省)
第3章 相关函数估计
3.1 相关函数估计的计算式 3.2 通过FFT计算自相关函数 3.3 相关估计应用举例
2. xcorr2.m 用于估计二维信号的(自、互)相关函数。
ˆ R0 (m)
1.0 0.8 5
2N 1 2 * Step 3: 取 X 2 N (k ) 的共轭 X 2 N ( k ) ，得 X 2 N (k ) N
ˆ Rxx (m)
1.0 0.8 5 0.4 0 0.2 0 520 -N
0.4 0 0.2 5 0 0
N-1
2N-1
1 5
1 0
5
0
0
5
1 0
按有限长样本来计算(估计)： 离散时间序列 x(0), x(1), ..., x( N − 1)： 长度为 N
ˆ 则： Rxx (m) = 1 N−m
N − m −1 n =0
Rxx (τ ) = lim
1 T →∞ 2T
∫
T
−T
x(t ) x(t + τ )dt
∑ x ( n ) x ( n + m)
0－ 30 －Fra bibliotek例4 2 0 -2 -4
正弦＋白噪声 SNR=-3dB
s ( n) + u ( n)
2 1 0 -1 -2
正弦＋白噪声 SNR=7dB
3. 人体运动测量分析中标志点的检测
0
10
20
30
40
Rss (m) + Ruu (m)
1 .5 1 0 .5 0 -0 .5
50
0
10
20
30
40
50
估计均值:
1 $ E[ R xx (m)] = E[ N
N − |m|−1
∑ x(n) x(n + m)]
m 取值固定后，N → ∞ , σ 2ˆ R
→ 0 一致估计
1 = ∑ E[ x(n) x(n + m)] N n=0 N −| m| R xx (m) = N
结论: 1). 计算式(c)是渐近无偏的一致估计。 实际计算中，m 值宜小，N 值宜大。 2). 但 N 大，N2/2次乘法，计算量也大。 估计质量与计算速度之间有矛盾。 解决办法 ： 快速傅立叶变换(FFT)算法
N −|m|−1 n =0
§3.1 相关函数估计的计算式
估计方差: 1 σ 2ˆ xx ( m ) ≈ R N
i = −∞
∑ x ( n) x ( n + m)
n=0 N − |m|−1
(c) 估计质量如何?
∑[R
∞
2 xx
(i ) + Rxx (i + m) Rxx (i − m)]
xx ( m )
互相关 求取平方和， 提取平方和 相近的波形
面积归一化
R波模板
－ 25 －
－ 26 －
求取R波模板
归一化R波：
R(i, j ) = R(i, j ) / sum( R(i,:))
相关运算
y ( n) :
其中 R(i, j ) 表示第 i 个R波的第 j 点 求取平方和： sq (i ) = ∑ R (i, j ) × R(i, j )
n=−∞ ∞
§3.2 通过FFT计算自相关函数
2. 时域中的卷积可转换成频域中的乘积
x(m)
∑x(n) y(m − n)
DFT 卷积
ˆ N Rxx(m)
X (k )
X (k)
2
相乘
X ∗ (k )
1 N −1 ˆ Rxx (m) = ∑ x(n) x(m + n) 自相关函数： N n =0 1 = x ( − m) ∗ x ( m) N
=
N −1
1 N
∑ x ( k − m) y ( k )
k =0
k =0 N −1
1 ∑ x(−(m − k )) y(k ) N k =0 x′(m) = x(− m) 1 N −1 = ∑ x′(m − k ) y (k ) N k =0 1 1 = x′(m) ∗ y (m) = x(− m) ∗ y (m) N N
§3.2 通过FFT计算自相关函数
1 ˆ ∑ −R)xx (m)e − jωm = N m=−( N 1
N −1
∑ x(n)
n =0
2 N −1 n =0
N −1
m = − ( N −1)