线面平行(学生版)
易错点08 立体几何(学生版)
易错点08 立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点3：直线与平面所成的角 1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
专题10 空间直线、平面的平行(重难点突破)学生版
专题10 空间直线、平行的平行【重难点知识点网络】：一、直线与平面平行的判定定理二、平面与平面平行的判定定理1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．三、直线与平面平行的性质定理（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：．（4）直线与平面平行的性质定理的作用①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．四、平面与平面平行的性质定理（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．2．应用该定理证明线线平行．五、两个平面平行的其他性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．【重难点题型突破】：一、 证明或判断直线与平面平行方法一(必考知识点)：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二（变式）：用面面平行实现。
直线与平面平行 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
∴AM＝2DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥平面PAD.
∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
课堂小结
1.直线与平面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
3、等角定理
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
复习回顾
4、直线与平面有哪些位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
⊂
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； ∩ =
直线在平面外
(3)直线与平面平行——没有公共点.
线线平行Βιβλιοθήκη 线面平行一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与交线平行.
3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（1）利用性质定理在面内找平行线;
（2）证明直线与直线平行；
（3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）；
（4）得出结论.
E
证明： 连接BD.
F
∵ AE EB,AF FD,
∴ EF / / BD.
又 EF 平面BCD,BD 平面BCD,
D
B
C
∴ EF / / 平面BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一
条与此直线平行的直线就可以了.
巩固训练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
线面平行的判定定理和性质定理学生版
线面平行的判定定理和性质定理1．选择题（1）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b⊂α，则a∥b其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（2）已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个（3）如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB⊂α（4）已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β=l，则l （）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交（5）直线与平面平行的充要条件是（）（A）直线与平面内的一条直线平行（B）直线与平面内的两条直线平行（C）直线与平面内的任意一条直线平行（D）直线与平面内的无数条直线平行（6）直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（）（A）只有一条，但不一定在平面α内（B）只有一条，且在平面α内（C）有无数条，但都不在平面α内（D）有无数条，且都在平面α内（7）若a⊄α，b⊄α，a∥α，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥α”，则条件甲是条件乙的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件（8）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（）（A）0个（B）1个（C）无数个（D）以上都有可能（9）直线a，b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置关系是（）（A）b⊂α（B）b∥α（C）b与α相交（D）以上都有可能（10）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（A）只有一个（B）恰有两个（C ）或没有，或只有一个 （D ）有无数个2．判断下列命题的真假（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ） （2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ） （3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ） （4）若直线l ⊄α，则l 不可能与平面α内无数条直线都相交. （ ） （5）若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任何一条直线都不平行 （ ）例1 已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例2求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．例3已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ⊄α， 求证：b ∥平面α例4．已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ，求证//a b ．F ED CB A课后练习1．平面α与⊿ABC 的两边AB 、AC 分别交于D 、E ，且AD ∶DB =AE ∶EC ， 求证：BC ∥平面α2．空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：EF ∥平面ACD .3．经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B4．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）若4MN BC ==，PA =求异面直线PA 与MN 所成的角的大小1AA5．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN 求证：//MN 平面CBE6.如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F. （1） 证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD.【练习2】．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点． (1)求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
人教A版必修二立体几何 直线、平面平行的判定及其性质——解答题篇常规运用
一、直线与平面平行1．判定定理2(1)证线面平行①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．(2)线面平行的性质①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．二、平面与平面平行1．判定定理2平面与平面平行的几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．一、直线与平面平行的判定1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ，且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．(1)求证：CD ∥平面P AB ；【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ．又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ．2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．3．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 ．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．(1)证明：GH∥EF；【证明】(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可证EF∥BC，因此GH∥EF．三、平面与平面平行的判定4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．D1，B1C．∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，【证明】如图，连接B∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD，∴PN∥BD．又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD；∴PN∥平面A1BD．同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD．5．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；【证明】(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．6．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，试求ADDC的值【解】由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB． 又A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1即ADDC＝1．[思想方法]1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．[易错防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．3．解题时注意符号语言的规范应用．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明AD1∥平面BDC1．(2)证明BD∥平面AB1D1．【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1∥DA，且C1D1＝DA；∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1．(2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1AC中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1∴BD∥平面AB1D1．1．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE∥平面A1CB；【证明】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB所以DE∥平面A1CB．2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB ＝AA1＝2．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；【证明】(1)由题设知，BB1∥DD1，且BB1＝DD1；∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1．又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1．∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝B1C1＝BC；∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1．又∵BD∩A1B＝B，BD、A1B⊂平面A1BD∴平面A1BD∥平面CD1B1．3．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG．【证明】(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG．4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；【证明】(1)由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2．取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点， 得NG ∥CF ，MG ∥AB ∥EF ，又NG ⊄平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ；∴NG ∥平面CDEF ；同理MG ∥平面CDEF ； 又NG ∩MG ＝G ，NG 、MG ⊂平面MNG ∴平面MNG ∥平面CDEF ， 又MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面CDEF ．5．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．【证明】(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点． 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD ∥AC ，且MD ＝12AC ；OE ∥AC ，且OE ＝12AC ；因此MD ∥OE ，且MD ＝OE ；连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO ． 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC ．即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC ．1．(2014·江苏高考)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线P A∥平面DEF；【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A．又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF．2．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证：(1)DE∥平面AA1C1C；【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．(三角形的中位线)又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(直线与平面的平行的判定定理)3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；【证明】(1)连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′因此MN∥平面A′ACC′．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(2)求证：C1F∥平面ABE；【证明】(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别为是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE ．5．(2014·山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中， AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；【证明】(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ． 所以AP ∥平面BEF ．6．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 中点，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；【证明】(1)由题意，CD ∥BO ，CD ＝BO ，∴四边形OBCD 为平行四边形，∴BC ∥OD ． 又∵AO ＝OB ，AM ＝MP ，∴OM ∥PB ． 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴OM ∥平面PBC ．同理，OD ∥平面PBC ，又OM ∩OD ＝O ， ∴平面PBC ∥平面ODM ．7．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，AB＝2，P A＝22，M是P A的中点．(1)求证：平面PCD∥平面MBE；【证明】(1)连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点．因为M是P A的中点，所以MG∥PD．因为PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE，所以PD∥平面MBE．因为DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE，所以DC∥平面MBE．因为PD∩DC＝D，所以平面PCD∥平面MBE．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1．【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、M、N分别是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的中点，求证：(1)MN ∥平面CDD 1C 1；(2)平面EBD ∥平面FGA ．【证明】(1)连接BC 1，DC 1，∵四边形BCC 1B 1为正方形，N 为B 1C 的中点，∴N 在BC 1上，且N 为BC 1的中点．又∵M 为BD 的中点，∴MN ∥DC 1，且MN ＝12DC 1；又MN ⊄平面CDD 1C 1，DC 1⊂平面CDD 1C 1，∴MN ∥平面CDD 1C 1．(2)连接EF ，B 1D 1，则EF ∥AB ，EF ＝12AB ；∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AF ∥BE ．又易知FG ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，∴FG ∥BD ．又AF ⊄平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AF ∥平面EBD ，同理FG ∥平面EBD又∵AF ∩FG ＝F ，AF 、FG ⊂平面FGA∴平面EBD ∥平面FGA ．10．如图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A -BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ．(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．【证明】(1)∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH ．∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．同理可得CD ∥平面EFGH ．【解析】(2)设EF ＝x (0＜x ＜4)，四边形EFGH 的周长为l ．由(1)知EF ∥AB ，则CF CB ＝x 4又由(1)同理可得CD ∥FG ，则FG CD ＝BF CB∴FG 6＝BF CB ＝BF －CF CB ＝1－x 4，从而FG ＝6－32x ， ∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )=12－x ． 又0＜x ＜4，∴8＜l ＜12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8,12)．1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a (0＜a ＜2)，连接MN ．(1)证明：对任意a ∈(0，2)，总有MN ∥平面DCC 1D 1；(2)当a 为何值时，MN 的长最小？【证明】(1)作MP ∥AD ，交DD 1于P ，作NQ ∥BC ，交DC 于Q ，连接PQ ；由题意得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ ．又PQ ⊂平面DCC 1D 1，MN 平面DCC 1D 1, ∴MN ∥平面DCC 1D 1．(2)由(1)知四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ＝PQ ， 由已知D 1M ＝DN ＝a ，DD 1＝AD ＝DC ＝1， ∴AD 1＝BD ＝2，∴D 1P ∶1＝a ∶2，DQ ∶1＝a ∶2，即D 1P ＝DQ ＝a 2． ∴MN ＝PQ ＝(1－D 1P )2＋DQ 2＝(1－a 2)2＋( a 2)2＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2)， 故当a ＝22时，MN 的长有最小值22． 即当M 、N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长最小，此时MN 的长为22．。
2.2 线面平行的判断和性质学生版
2.2 线面平行的判断和性质1．已知直线m l 、，平面αβ、，且,m l αβ⊥⊂，下列命题中正确命题的个数是 ①若//αβ，则 m l ⊥ ②若αβ⊥，则//m l ③若m l ⊥，则//αβ; ④若//m l ，则αβ⊥Ａ．1 B.2 C.3 D.42．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若//,//,//;a b b c a c 则 ②若,,a b b c a c ⊥⊥⊥则； ③若//,//,a b γγ则a//b ； ④若,,//.a b a b γγ⊥⊥则其中真命题的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④3．如图所示，正方体的棱长为a ，M 、N 分别为和AC 上的点，，则MN 与平面的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定4．若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ） A.14l l ⊥ B.14//l l C.1l 、4l 既不平行也不垂直 D.1l 、4l 的位置关系不确定5．在正三棱锥P ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中错误的结论个数是( )A ．0B ．1C ．26．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则A ．若m//α，n//α，则m//nB ．若m//α，m//β，则α//βC ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β7．正四面体ABCD 的棱长为1，其中线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影11F E 长的范围是（ ）A.[08．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④ 9．直线b a ,异面， a ∥平面α，则对于下列论断正确的是（ ）①一定存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α；③一定存在平面α使α⊆b ；④一定存在无数个平面α与b 交于一定点.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ②③④10．如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F 分别是AB,A 1C 1的中点,则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )11．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将△ADE绕DE 旋转得到△A′DE（A′ 平面ABC），则下列叙述错误的是（）A. 平面A′FG⊥平面ABCB. BC∥平面A′DEC. 三棱锥A′-DEFD. 直线DF与直线A′E不可能共面12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（）,0(D．]1,0(A．]2,1[B．]2,0(C．)213．如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题15．如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 是底面ABCD 的中心,点E,F 分别是CC 1,AD 的中点,则异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为 .16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<S 为四边形； ②当CQ S 为等腰梯形；CQ <1时，S 为六边形；④当CQ ＝1时，S17．设l m n 、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，下面有四个命题： ①,l l βαβα若∥∥,则∥； ②,l n m n l m 若∥∥,则∥；③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则 其中假命题的题号为__________18．如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠= ，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．（1）求证：BC //平面DAE ；（2）求四棱锥D AEFB -的体积.19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是AD 1、BD 和B 1C 的中点，求证：(1)MN ∥平面CC 1D 1D. (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D.图1 图220．如图,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -, (1) 平面BCF ;(2) 平面ABF ;(3) ,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD.E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD.22．如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(1) 证明B1C1⊥CE;(2) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1求线段AM的长.23．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1，PDE为PD上一点，PE = 2ED．（1）求证：PA ⊥平面ABCD；（2）求二面角D－AC－E的余弦值；（3）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．24．在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A都为矩形。
第29讲 线面垂直证线线平行和垂直2种题型(学生版)
第29讲线面垂直证线线平行和垂直2种题型【题型目录】题型一：线面垂直的证线线平行题型二：线面垂直的证线线垂直【典型例题】题型一：线面垂直的证线线平行【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，直线l （与直线1BB 不重合）⊥平面ABCD ，则有（）A ．1BB l ⊥B ．1BB l ∥C ．1BB 与l 异面D ．1BB 与l 相交【例2】在空间中，下列说法正确的是（）A ．垂直于同一直线的两条直线平行B ．垂直于同一直线的两条直线垂直C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行【例3】圆柱OP 如图所示，AC 为下底面圆的直径，DE 为上底面圆的直径，BD ⊥底面ABC ，证明：//BP 面AEC【例4】如图，已知多面体ABCDE ，⊥AE 平面,⊥ABC DC 平面ABC ，且2AE DC ==，证明：//AC 平面BED .【题型专练】1．若a 、b 是空间中两条不同的直线，则a b ∥的充分条件是（）A ．直线a 、b 都垂直于直线lB ．直线a 、b 都垂直于平面αC ．直线a 、b 都与直线l 成30︒角D ．直线a 、b 都与平面α成60︒角2.（多选题）已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若l αβ= ，m α∥，m β∥，则m l ∥D ．若l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥3．在梯形ABCD 中，AB CD ，2AB =，4CD =，3AD BC ==，BD 与AE 交于点G .如图所示沿梯形的两条高AE ，BF 所在直线翻折，使得90DEF CFE ∠=∠=︒.(1)求证：AD BC ∥；(2)求三棱锥C BDG -的体积.4.已知空间几何体ABCDE 中，ABC ，ECD 是全等的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD .(1)若BD ==BC ED ⊥；(2)证明：//AE BD .题型二：线面垂直的证线线垂直【例1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ⊥，1AC CC =．(1)记平面1A BC 与平面111A B C 的交线为l ，求证：//l 平面11BCC B ；(2)求证：11A C AB ⊥．【例2】如图，四棱锥S ABCD -中，,,AB DC CD SD SM CM ==∥，平面SCD ⊥平面SBC ．(1)求证：DM BC ⊥；(2)设,9,6,12BC AB AB BC CD SB ⊥====，点N 在棱AB 上，DN =，求多面体DSAN 的体积．【例3】在三棱锥-P ABC 中，ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋转至PAD 位置（如图），且二面角D PA B --的大小为90°．(1)证明：A ，B ，C ，D 四点共面，且AD PB ⊥；【例4】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，又PA ⊥底面,ABCD E 为BC 的中点．(1)求证：AD PE ⊥；(2)设F 是PD 的中点，求证：CF 平面PAE ．【例5】如图，三棱柱111ABC A B C -中，90CAB ∠=︒，11AB AC A B AC ====12AA =，点M ，F 分别为BC ，11A B 的中点，点E 为AM 的中点．(1)证明：1AA BC ⊥；(2)证明：//EF 平面11BCC B ；【例6】如图，在长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点.将ADM △沿AM 折起得到四棱锥D ABCM -，且BD .(1)证明：AD BM ⊥；(2)若E 是线段DB 上的动点，三棱锥E ADM -的体积与四棱锥D ABCM -的体积之比为1：2，求DE BD的值.【例7】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB AD ==，PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60︒．(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)证明：PA BD ⊥．【题型专练】1．如图，在四棱锥．．．P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AB PA ==．(1)求证：AB PD ⊥；(2)求三棱锥C PBD -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为正三角形，60BAD CDA ∠=∠=︒，且223CD AD AB ==，M 为PC 的中点，(1)平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AD ⊥.(2)求证：BM //平面PAD ．3．如图，四面体ABCD 中，AD CD ⊥，AD CD =，ADB BDC ∠=∠，E 为AC 的中点，且平面DAC ⊥平面ABC ，若2AB =，60CAB ∠=︒．(1)证明：AC BD ⊥；4．如图，AB 是圆O 的直径，点P 在圆O 所在平面上的射影恰是圆O 上的点C ，且2AC BC =，点D 是PA 的中点，PO 与BD 交于点E ，点F 为PC 的中点，且2PC AB ==.(1)求证：BC PA ⊥；(2)求三棱锥P BEF -的体积.5．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体PABD 和QABC .(1)求证：PQ AB ⊥；(2)若=4AB ，求四面体APQB 的体积.6．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，=2AC ，BC ==4AB ，12AA =，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC B C ⊥；(2)求三棱锥11C CDB -的体积．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，CD AB ∥，2PA PD AD DC ====，=4AB ，60DAB ∠=︒．(1)证明：BD PA ⊥；8．在三棱锥-P ABC 中，AC BC =，PA PB =，D 、E 分别是棱BC 、PB 的中点.(1)证明：AB PC ⊥；(2)线段AC 上是否存在点F ，使得//AE 平面PDF ?若存在，指出点F 的位置；若不存在，请说明理由．9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．(1)证明：1B C AB ⊥；(2)若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高；(3)在（2）的条件下，求三棱柱111ABC A B C -的表面积．。
8.5空间直线、平面的平行(1)PPT课件(人教版)
形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点.又∵E是
BB1的中点,∴DB1∥GE.又DB1⊄平面
ACE,GE⊂平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
变式 (1)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M为棱PC的中点.
求证:(1)BC∥平面PAD;
(2)AP∥平面MBD.
证明:(1)因为四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面
意可知四边形ABC1D1为平行四边形,则AD1∥BC1.又AD1∥EF,所以EF∥BC1.因
为EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.显然正方体的其
余4个面都不与EF平行.故选B.
变式 (3)如图所示,四棱锥S - ABCD的底面是平行四边
形,M,N分别是SA,BD上的点,且 = .求证:MN∥平面
SBC.
证明:连接AN并延长,使之交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC,所以 = .又
= ,所以 = ,所以MN∥SP.
因为MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥平面SBC.
小结
1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
解析
思考►►►
如何判定一条直线与一个平面平行？
【解析】 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面
平行．
解析
直线与平面平行的判定定理：
表示定理
直线与平面
平行的
判定定理
图形
文字
符号
如果平面外一条直线
a⊄α，
与此平面内的一条直
b⊂α，
线平行，那么该直线
高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.
专题1.3 平行线的判定(学生版)
专题1.3 平行线的判定1.掌握同位角相等，两直线平行；2.掌握内错角相等，两直线平行；3.掌握同旁内角互补，两直线平行；4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；知识点01 同位角相等两直线平行【知识点】判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）【典型例题】例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）如图，已知13Ð=Ð，2+3=180Ðа，求证：AB 与DE 平行．证明：①：AB DE ∥；②：24180Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°；③：3=4ÐÐ；④：14Ð=Ð；⑤：13Ð=Ð．A ．①②③④⑤B ．②③⑤④①C ．②④⑤③①D ．③②④⑤①例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线a ，b 被直线c 所截，已知,162a b Ð=°∥，则2Ð的度数为（ ）A ．62°B ．108°C ．118°D ．128°例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，AB MN ^，垂足为B ，CD MN ^，垂足为D ，1Ð＝2Ð．在下面括号中填上理由．因为AB MN ^，CD MN ^，所以ABM Ð＝CDM Ð＝90°．又因为1Ð＝2Ð( )，所以1ABM Ð-Ð＝2CDM Ð-Ð()，即EBM Ð＝FDM Ð．所以EB FD ∥( )【即学即练】1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB CD P 的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022秋·八年级单元测试）如图，1Ð和2Ð分别为直线3l 与直线1l 和2l 相交所成角．如果162Ð=°，那么添加下列哪个条件后，可判定12l l ∥．（ ）．A ．2118Ð=°B ．4128Ð=°C ．328Ð=°D ．528Ð=°3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P 和直线a ，经过点P 作直线b ，使//b a ，其画法的依据是（ ）A ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线平行，同位角相等C ．同位角相等，两直线平行D ．内错角相等，两直线平行4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：①以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；②作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．求证：CD//EF．证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）∴ // （ ）∴∠2＝∠BCD，（ ）又∵∠l＝∠2，（已知）∴∠1＝∠ ，（等量代换）∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．知识点02 内错角相等两直线平行【知识点】判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
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第二讲 线面平行
例1、.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α 平面β=b ，求证//a b ．
变式训练1、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．
例2、如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿
AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；
例3、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.
F E
D
C
B
A
变式训练 .P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 的中点.求证：PC ∥面BDQ.
.
例4、.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD.
例5、βα//，线段GH 、GD 、HE 交α、β于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若GA=9，AB=12，BH=16，72=∆AEC S ，求BFD S ∆。
练 习
1、 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
求证：MN //平面BCE
2、. P 为 ABCD 所在平面外一点，PB E ∈，
F ∈.
3已知：平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝
4、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM =DN .
求证:MN ∥平面AA 1B 1B.。