图论基础_ls_6.4(简)
图论1—图论基础PPT课件
的度减去最小点的度，将最小点
的度设为0。
如果最后得到全0序列，则输出
yes，否则输出no
42 2
31
22 0
20
00 0
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个简单图的度序列？
332211 Yes
3331 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，将最大点
的值设为0，然后将其后部最大点
在图G中，与顶点v相关联的边的总数 称为是v的度，记为deg v
图论第一定理
deg v 2m
vV (G)
证明：在计算G中所有顶点度的和时，每一条 边e被计数了两次。
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个图（无自环）的度序列？
242 Yes
31 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，用最大点
图, 记 为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或
结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中
的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无 向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G 为有限图或n阶图.
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 边上增设顶点使之满足.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
图论基础_ls_6.2-6.3(全)
定义 6.14 设无向图 G = < V, E >, u, v V, 若 u 与 v 之间存在通路，则称 u 与 v 是连通的。 规定 u 与自身总是连通的。 任意两个顶点都是连通的图称为连通图。否 则称为非连通图。 平凡图是连通图。 连通关系（等价关系）： R = { <u, v>| u, vV 且 u 与 v 连通 }。
= v0e1v1e2…elvl ② 用边序列表示： = e1e2…el
③ 简单图中，用顶点序列表示：
= v0v1…vl
4
(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
5
6.2.1 通路与回路
定理 6.3 在 一个n 阶图中，若从顶点 u 到 v（u v）
8
连通关系： R = { <u,v> | u, vV 且 u 与 v 连通 }。
连通分支： V 关于 R 的等价类的导出子图。
设 V/R = {V1,V2,…,Vk }，
G 的连通分支为 V1,V2,…,Vk 的导出子图：
G[V1]，G[V2]，…，G[Vk]
连通分支数记为： p(G)=k 。
G是连通图 p(G)=1
– 有向图中的通路数与回路数 • 6.3.4 有向图的可达矩阵
若 u 不可达 v，规定 d <u, v> = ∞.
性质： d<u, v> 0，且 d<u, v> = 0 u = v d <u, v> + d<v, w> d<u, w>
注意: 距离没有对称性。
19
6. 3 图的矩阵表示
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
数学中的图论基础
数学中的图论基础大家好，今天我们要探讨的是数学中的一门有趣且重要的领域——图论。
无论你是否热爱数学，图论都有着让人着迷的魅力。
让我们一起来揭开这个神秘的数学领域的面纱吧！图论入门在数学中，图论是研究图的性质和图之间关系的学科。
什么是图呢？图由节点（顶点）和边组成，节点之间用边连接。
节点代表实体，边代表这些实体之间的关系。
图论被广泛运用于计算机科学、网络分析、电路设计等领域，可以说是应用广泛、实用性强的数学分支之一。
图的分类图按照边的性质可以分为有向图和无向图。
有向图的边有方向，表示节点之间的关系是单向的；而无向图的边则没有方向，表示节点之间的关系是双向的。
图还可以根据是否允许有环分为无环图和有环图，根据边的权重分为加权图和非加权图等等。
图的基本概念度：顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量，分为入度和出度（有向图中）。
路径：指顶点之间沿着边依次连接形成的序列。
连通图：如果图中任意两个节点之间都存在路径，则该图是连通图。
树：是一种无环且连通的图结构。
图的应用领域图论作为一门应用广泛的数学分支，其应用领域涵盖众多领域，包括但不限于：社交网络分析：通过图模型分析社交网络中个体之间的关系。
路由算法：计算机网络中的路由算法就是基于图论来设计和优化的。
电路设计：图论在电路设计中有着重要的应用，帮助优化电路布局和连接。
城市规划：通过图模型分析城市道路网格，优化交通流。
语义分析：在自然语言处理中，图模型可以用来描述词汇之间的关系，进行语义分析。
通过以上简要介绍，我们可以看到图论作为数学中的一个重要分支，在现实生活中有着广泛的应用。
无论是计算机科学领域还是社会科学领域，图论都扮演着不可或缺的角色。
希望通过本文的介绍，大家对图论有了更深入的了解，也能对数学这门学科有更多的兴趣和探索欲望。
图论，是数学中一颗璀璨的明珠，永远闪耀着其独特的光芒，引领着我们探索数学的无尽奥秘。
图论基础知识
end;
end;
end;
End； 15
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
Begin
访问顶点i；Visited[i]:=true;顶点i入队q；
while 队列q非空 do
begin
从队列q中取出队首元素v；
for j:=1 to n do
begin
if (not Visited[j]) and (a[v,j]=1) then
begin
时间：O（n*n）
访问顶点j；Visited[j]:=true;顶点j入队q
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
7
图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
8
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
11
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 图的宽（广）度优先遍历：类似于树的按层次遍历。从图中某个顶点V0出 发，访问此顶点，然后依次访问与V0邻接的、未被访问过的所有顶点，然 后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶 点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中 一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被 访问到为止。
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
图论(简化)
C
v1
B
v3 v4
图27
v5 v6
A
D
图26
v2
Ramsey问题
任意6个人在一起。6人中要不是有3个人彼此互 相认识，必然有3个人互相不认识；即两种情况 中至少存在一种。
死锁
现在有线程1和线程2，线程1占用了资源A， 线程2占用了资源B。 线程1也许要资源B才能继续线程2需要使用 资源A才能继续，但是此时资源B被线程2所占用， 资源A被线程1所占用。那么两个线程都会等待对 方释放资源。
从以上定理，不难得出以下结论：
（1）从一个树中任意去掉一条边，那么剩下 的图不是连通图，亦即，在点集合相同的图中， 树是含边数最少的连通图。
（2）在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。
二.支撑树
定义2 设图 K=(V,E’)是图 G=(V,E)的一支撑子图, 如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个支撑 树。
赋权图在图论及实际应用方面有着重要的地位，被 广泛应用于现代科学管理和工程技术等领域，最小 支撑树问题就是赋权图的最优化问题之一。
定义4 如果图T =（V，E’）是图G 的一个支撑树， 那么称E’上所有边的权的和为支撑树T 的权，记作 S(T)。 如果图G 的支撑树T* 的权S(T*)，在G 的所有支撑树 T 中的权最小，即S(T*) = minS(T)，那么称T*是G 的最小支撑树。 如前所述，在已知的几个城市之间联结电话线网， 要求总长度最短和总建设费用最少，一个问题的 解决可以归结为最小支撑树问题。 再如，城市间交通线的建造等，都可以归结为这一 类问题。
太原 石家庄
北京 天津 塘沽 济南 青岛
郑州 重庆 武汉 南京
徐州 连云港 上海
离散数学-图论基础
结点的次数
2020/1/17
问题1：是否存在这种情况：25个人中，由于意见不同，每 个人恰好与其他5个人意见一致？
在建立一个图模型时，一个基本问题是决定这个图是什么 —— 什么是结点？什么是边？ 在这个问题里，我们用结点表示对象——人； 边通常表示两个结点间的关系——表示2个人意见一致。 也就是说，意见一致的2个人（结点）间存在一条边。
第七章 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/1/17
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射
以v为起始结点的弧的条数，称为出度(out-degree) （引出次数），记为d+(v)
以v为终结点的弧的条数，称为入度(in-degree)
（引入次数），记为d-(v)
v3
v的出度和入度的和，称为v的度数(degree)
（次数），记为d(v) = d+(v) + d-(v)
v1 (a) v2
结点的次数
(associative mapping)
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/1/17
图G=<V, E, Φ>中的每条边都与图中的无序对或有序对联系
若边e E 与无序对结点[va, vb]相联系，即Φ(e)= [va, vb] （va, vb V）则称e是无向边（或边、棱）
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
图论基础知识
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二部图的应用：
解：以课程组及学生为顶点集，作二部图如下。
数计生
数计生
数计生
赵钱孙李周 赵钱孙李周 赵钱孙李周
(1)
(2)
(3)
由作图可知： (1)，(2) 有多种方案可选；(3) 不可能。
6
6.4.2 欧拉图（Euler）
一、问题的提出
1736年瑞士数学家欧拉发表了图论的第一篇著名论 文“哥尼斯堡七桥问题”(简称七桥问题)。
6.4 几种特殊的图
• 6.4.1 • 6.4.2 • 6.4.3 • 6.4.4
二部图 欧拉图（Euler） 哈密尔顿图（Hamilton） 平面图
1
6.4.1 二部图
定义 6.19 设 无向图 G = < V, E >， 若 V1, V2 使得V1V2 = V，V1V2 = ， 且 G 中的每条边的两个端点都 一个属于V1， 另一个属于V2， 则称 G 为二部图。记为： G = < V1, V2, E >。 若 G 是简单图，且V1中每个顶点均与 V2中每个顶点相邻， 则称 G 为完全二部图，记为 Kr, s 。
25
18
哈密尔顿图
19
哈密尔顿图
20
一、相关概念
设图 G = < V, E > 是无向图或有向图。 初级通路
（1）哈密顿通路：
经过图中所有顶点一次且仅一次的通路。
（2）哈密顿回路：
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路。
（3）哈密顿图：
具有哈密顿回。
22
E 会讲德语和意大利语， F 会讲法语、日语和俄语，
G
A
G 会讲法语和德语. 问能否将他们沿圆桌安排就坐 成一圈，使得每个人都能与两旁的 人交谈?
F
E D
B C
结论：ACEGFDBA 是一条哈密顿回路，
按此顺序就坐即可。
24
例 ： 有 7 个人， A 会讲英语， B 会讲英语和汉语， C 会讲英语、意大利语和俄语， D 会讲日语和汉语， E 会讲德语和意大利语， F 会讲法语、日语和俄语， G 会讲法语和德语.
N
10
6.4.2 欧拉图（Euler）
二、相关概念
设图 G = < V, E > 是连通图（无向或有向图）。 1、欧拉通路：G 中经过每条边一次且仅一次的通路。 2、欧拉回路：G 中经过每条边一次且仅一次的回路。 3、欧拉 图：含欧拉回路的图。
说明： （1）规定平凡图为欧拉图。 （2）欧拉通路是简单通路、欧拉回路是简单回路。 （3）图中存在环，不影响图的欧拉性。
8
欧拉巧妙地把哥尼斯堡城图化为图 2 所示的图，把陆 地设为图 2 中的顶点，把桥画成联结陆地结点的边。
图 1 哥尼斯堡七桥问题
图2
9
欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥 问题无解。后来简化为一笔画问题。
即一个图，能否一笔不断，也不重复地画出来?
例： 下面的各图，是否可以一笔画出？
N
Y
Y
这个问题是：哥尼斯堡城有一条横贯全城的普雷格 尔河，城的各部分用七桥联结，每逢节假日，有些城市 居民进行环城周游。
于是便产生了能否“从某地出发，通过每座桥恰好 一次，在走遍了七桥后又返回到原处”的问题。
7
“从某地出发，通过每座桥恰好一次，在走遍了七 桥后，又返回到原处”
哥尼斯堡城七桥问题 图
普雷格尔河
Y
N
N
Y
13
由欧拉图的判别定理知，哥尼斯堡七桥问题无解！
14
6.4.3 哈密尔顿图（Hamilton）
1859 年，爱尔兰数学家 哈密尔顿 首先提出 “环球周游”问题。
他用一个 正十二面体的20个顶点，代表世 界上的20个大城市，这个正十二面体同构于一个 平面图 。
要求旅游者能否找到沿着正十二面体的棱， 从某个顶点（即城市）出发，经过每个顶点恰好 一次，然后回到该顶点？
2
6.4.1 二部图
K23
K33
定理 6.7
无向图 G = < V, E > 是二部图，当且仅当 G
中无奇长度的回路。
3
实例
非二部图
非二部图
4
二部图的应用：
例 6.12 某中学有 3 个课外活动小组：数学组、计算机组、 生物组。有 赵、钱、孙、李、周 5 名学生，问分别在下 述 3 种情况下，能否选出 3 人各任一个组的组长? (1) 数学组：赵、钱 计算机：赵、孙、李 生物组：孙、李、周 (2) 数学组：赵 计算机组：钱、孙、李 生物组：钱、孙、李、周
例：下面图中，是否存在哈密尔顿通路或回路？
哈密尔顿图
哈密尔顿图
有哈通路
有哈回路
有哈回路
23
三、哈密顿图的应用 （P.190 例 6.18）
例：有 7 个人，
解：作无向图，
A 会讲英语，
每人是一个顶点。
B 会讲英语和汉语， C 会讲英语、意大利语和俄语， D 会讲日语和汉语，
两人之间联一条边 他们有共同的语言。
11
三、欧拉图判别定理 1（无向图）
定理 6.8 （1）无向图 G 是欧拉图，
当且仅当G 是连通的、且无奇度顶点。 （2）无向图 G 具有欧拉通路，但无欧拉回路，
当且仅当 G 是连通的、且有且仅有 2 个 奇度顶点。 这 2 个奇度顶点，是每条欧拉通路的端点。
12
例：下面4 个图中，哪些是欧拉图？