应用统计复习

中心极限定理：设从均值为，方差为 2的
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一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充 分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值 为μ、方差为σ2/n的正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
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列名尺度(nominal scale)

性别、民族 产品等级、满意度 百分制成绩、温度、年龄
品质标志

顺序尺度(ordinal scale)


间隔尺度(interval scale)


比例尺度(ratio scale)

数量标志
产量、产值、利润
第二章 统计数据的描述
分布集中趋势的测度
0 +1.65 +1.96 +2.58 x
z
常用的正态概率值 （在一般正态分布及标准正态分布中）
正态分布
应 用 统 计
-3σ -2σ -σ
-2 -1
68.27% 95.45%
99.73%

0
+σ +2σ
+1
+3σ
x
复 习
19
-3
+2
+3
z
常用的正态概率值 （在一般正态分布及标准正态分布中）
应 用 统 计 复 习
6
众数 中位数 均值 对分组数据进行计算的公式

1 M0 L i 1 2
x f x f xk f k x 1 1 2 2 f1 f 2 f k
N S m 1 Me L 2 i fm
i i
x f
决策结果 未拒绝H0 拒绝H0 实际情况 H0为真 正确决策 第I类错误 H0为假 第II类错误b 正确决策
假设检验的结论与后果
显著性水平、拒绝域和临界值
置信水平(1–) 拒绝域 拒绝域
应 用 统 计 复 习
36
拒绝域

/2
临界值
/2
o
(a)双侧检验
临界值
置信水平(1–)
置信水平(1–)
常用的抽样方法
抽样调查是一种常用的统计技术，其目的在
应 用 统 计 复 习
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于用样本统计量推断我们所关心的总体参数。
抽样方式
概率抽样 非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样 多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
中心极限定理(central limit theorem)
均值 E(X) =μ 方差 D(X)=σ 2
正态分布曲线的主要特性
关于x = μ对称的钟形曲线
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参数μ决定正态曲线的中心位置 参数σ 决定正态曲线的陡峭或扁平程度 以X轴为渐近线，即当x→ ± ∞ 时，f(x) → 0
f(x)
f(x)
σ较小
σ较大

16
2x
2
n 1
s
n 1
2 ( x x ) fi i i 1 k
组距分组数据：
组距分组数据：
2
s2
(x x)
i 1 i
k
fi
f
i 1
K
s
i
1
f
i 1
K
i
1
一、偏态及其测度 应 用 统 计 复 习
8
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。
偏态系数是对分布偏斜程度的测度，其计算
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一个总体均值的区间估计 一个总体比率的区间估计
由样本统计量所构造的总体参数的区间估计，
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称为置信区间(confidence interval)，其中区间 的最小值称为置信下限，最大值称为置信上 限。 将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间 中包含总体参数真值的次数所占的比率称为 置信水平(confidence level) ，或称为置信系数 (confidence coefficient)。 一般将α称为显著性水平， 1-α置信水平
在假设检验中，研究者感兴趣的备择假设的
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内容，可以是原假设H0在某一特定方向的变 化，也可以是一种没有特定方向的变化。 如果备择假设具有特定的方向性，并含有符 号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或 单尾检验(one-tailed test)。 研究者感兴趣的备择假设没有特定的方向， 只是关心备择假设H1是否不同于原假设H0， 并不关心是大于还是小于，如果备择假设没 有特定的方向性，并含有符号“≠”的假设检 验，称为双侧检验或称双尾检验(two-tailed test)。
峰度系数是用离差四次方的平均数再除以标
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准差的四次方，其计算公式为
4 ( x x ) fi i i 1 k
K
ns
4
3
式中：s4是标准差的四次方
峰度系数的取值：
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正态分布时，峰度系数K=0 K>0时，为尖峰分布； K<0时，为扁平分布
当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态 分布近似 E ( p) 样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样


2 p
(1 )
n

不重复抽样

2 p
(1 ) N n
n N 1
第四章 参数估计
基本原理
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表5.1 假设检验的基本形式
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单侧检验 左侧检验 H0:≥0 右侧检验 H0:≤0
假设 原假设
双侧检验 H0:=0
备择假设
H1:≠0
H0:<0
H0:>0
两类错误与显著性水平
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两类错误与显著性水平 当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误为 第I类错误(type I error)，又称为弃真错误。犯 第I类错误的概率通常记为。 当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错 误称为第II类错误(type II error)，又称为取伪 错误。犯第II类错误的概率通常记为b。
x z / 2

n
x z / 2
s n
x z/2

n
x t / 2
s n
s n
x z / 2

n
x z / 2
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一个总体比率的区间估计
样本比例置信区间的确定
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如在40000个家庭中抽取了400个家庭， 样本中拥有家用计算机的家庭有72个， 试估计总体拥有计算机比例的置信区 间。怎么算？
Z X
标准化

若 Z～N (0，1 )，则有：
φ(z)
Φ(a)
P（| Z| ≤ a）＝2Ф(a)－1 Ф(-a)=1－Ф(a)

-a 0
a
z
标准正态曲线
正态分布
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-2.58 -1.96 -1.65
90% 95% 99%
-2.58σ -1.96σ -1.65σ +1.65σ +1.96σ+2.58σ
i 1 k
k
f
i 1
i
样本方差和标准差
(simple variance and standard deviation) 方差的计算公式 标准差的计算公式
未分组数据：
2 ( x x ) i i 1 n
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未分组数据：
2 ( x x ) i i 1 n
s
公式为：
SK
x x
i 1 i
k
3
fi
ns
3
式中： SK 表示偏态系数， s3 是样本标准差的
三次方
偏态系数的取值:
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SK<0 左偏 SK=0 对称 SK>0 右偏 |SK|越接近于0，偏斜程度越小 0.5<|SK|<1 中等偏斜程度 |SK|>1 高度偏斜程度
拒绝域

o 临界值 (b)左侧检验
o
临界值
(c)右侧检验
利用P值进行决策
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如果原假设H0为真，所得到的样本结果会像
实际观测结果那么极端或更极端的概率，称 为P值(P-value)，也称为观察到的显著性水平 (observed significance level)。 要测量出样本观测数据与原假设中假设的值 0的偏离程度，则需要计算P值。 如果仅根据显著性水平来检验假设，所有的 可靠性都是一样的。
置信区间示意图
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置信下限
置信区间 置信水平=1–
点估计值
置信上限
一个总体均值的区间估计
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总体均值所在(1-)置信水平下的置信区间为：
x z / 2

n
允许误差
z/2是标准正态分布上侧面积为α/2时的z值。
表5.3 常用置信水平的z/2值
置信水平 90% 95% 99%

0.10 0.05 0.01
/2
0.05 0.025 0.005