2019版同步优化探究理数练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析

课时作业A 组一一基础对点练1. (2017南昌模拟)方程(x 2+ y 2— 2x) x + y — 3 = 0表示的曲线是( )A .一个圆和一条直线B .一个圆和一条射线C . 一个圆D .一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x + y — 3= 0或②丿2 2& + y — 2x = 0.注意到圆x 2 + y 2 — 2x = 0上的点均位于直线x +y — 3= 0的左下方区域，即圆x 2 + y 2— 2x = 0上的点 均不满足x + y — 3>0,②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线 x + y — 3= 0.答案：D2 22. (2018呼和浩特调研)已知椭圆a 2+生=1(a >b >0), M 为椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点， 则线段MF i的中点P 的轨迹是()A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线1解析：设椭圆的右焦点是 F 2,由椭圆定义可得|MF 1|+ |MF 2|= 2a >2c ,所以|PF 11+ |PO|=別MF 1| + |MF 2|)=a >c ,所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆.答案：BC .椭圆解析：设P(x , y)，动圆P 的半径为R , •••△ ABP 为正三角形，••• P 至U y 轴的距离d = -^R ,轨迹为(A .直线)B .圆 3.有一动圆P 恒过定点F(a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A , B ,若△ ABP 为正三角形，则点P 的D .双曲线即x|=23 R.整理得(x + 3a)2 — 3y 2 = 12a 2,2 —纭1 4a . •••点P 的轨迹为双曲线.故选D. 答案：D4.已知动点P(x , y)与两定点M( —1,0), N(1,0)连线的斜率之积等于常数曲0).贝劇点P 的轨迹C 的方程为 _____________________ .解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM k PN=扭x ——入2整理得 X 2—字 1(M0, XM±).2即动点P 的轨迹C 的方程为x 2— + = 1( AM0, XM ±1)人2答案：x 2 —1( M0, x M ±1)5.在△ ABC 中，A 为动点，B , C 为定点，B — |, 0 , C 2, 0 (a >0),且满足条件sin C — sin B二2sin A ,则动点A 的轨迹方程是 解析：由正弦定理得紫-2x *BR J ,1即 AB —AC 匸 JBCI ,2 216x16y a 口答案：孑—15a2=1(x > 4 且 yM 0) 6. (2018杭州市质检)在平面直角坐标系内，点A(0,1), B(0, — 1),C(1,0),点P 满足A P BP = k|PC |2.(1)若k = 2,求点P 的轨迹方程；⑵当k = 0时，若|朋+ BP| max = 4, 求实数入的值.解析：⑴设 P(x , y),则AP = (x , y — 1), BP = (x , y + 1), PC = (1 — x ,— y). 因为 k = 2,所以 AP BP = 2|PCf , 所以(x , y —1)(x , y + 1)二2[(1 -x)2+ y 2],化简整理，得(x - 2)2 + y 2= 1, 故点P 的轨迹方程为(x - 2)2 + y 2= 1. ⑵因为k = 0,所以AP B P = 0,故动点A 是以B , C 为焦点,2为实轴长的双曲线右支.即动点A 的轨迹方程为绥a=i(x> 4 且 yM 0).即所以x2+ y2= 1,所以|A>+ BPf= fAP2+BP2 二帀x2+ (y-1)2] + x2+ (y+ 1)2 =(2 - 2 办y+ 2^+ 2(y€ [ - 1,1]). 当 2 -2；2>0 时，即一1< :<1,(|；AP+E3P|max)2= 2- 2^+ 2^+ 2= 4工16,不合题意，舍去; 当2 -2社0时，即1或冶一1时，(|:AP+ BP|max)2= 2 ^2—2+ 2 *+ 2= 16,解得=吃7.已知坐标平面上动点M(x, y)与两个定点P(26,1), Q(2,1)，且|MP|= 5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；⑵记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.解析：⑴由题意，得MQ|= 5,卄Q(x—26$+( y-1 f「即0+刁=5 ,化简，得x2+ y2-2x-2y-23= 0,所以点M的轨迹方程是(x- 1)2+ (y- 1)2= 25.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.⑵当直线l的斜率不存在时，l: x=- 2, 此时所截得的线段长度为2 52-32= 8, 所以l: x= —2符合题意.当直线I的斜率存在时，设I的方程为y- 3= k(x+ 2),即kx-y+ 2k+ 3 = 0,圆心(1,1)到直线I的距离d=目:訂：,由题意，得(坊訐斗)2 + 42 = 52,解得k = 12523所以直线I 的方程为12X~ y + ~Q = °，即5x — 12y + 46= 0.综上，直线I 的方程为x = — 2或5x — 12y + 46= 0.B 组一一能力提升练1. (2017深圳调研)已知点F(0,1)，直线I : y =— 1, P 为平面上的动点，过点P 作直线I 的垂线,垂足为Q ,且QP QF = FP FQ ,则动点P 的轨迹C 的方程为()A . x 2= 4y C . x 2= 2y解析：设点 P(x ， y)，则 Q(x ，— 1).••• QP QF = FP FQ ，•- (0，y + 1) (— x,2) = (x ，y — 1) (x ，— 2)， 即 2(y + 1) = x 2— 2(y — 1),整理得 x 2 = 4y ，•••动点P 的轨迹C 的方程为x 2= 4y. 答案：A2.已知两定点A( — 2,0), B(1,0),如果动点 A .直线 C .椭圆解析：设 P(x , y),则 (x + 2f + y 2 = 2寸(x —仃+ y 2,2 2 整理得x + y — 4x = 0, 又D 2+ E 2— 4F = 16>0,所以动点P 的轨迹是圆. 答案：B3. 已知过点A( — 2,0)的直线与x = 2相交于点C ,过点B(2,0)的直线与x = — 2相交于点D ，若直线CD 与圆x 2+ y 2 = 4相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 _____________________________ . 解析：设点 M(x , y), C(2, m), D(— 2, n),则直线 CD 的方程为(m — n)x —4y + 2(m + n)= 0,因B . y 2 = 3x D . y 2 = 4xP 满足|PA| = 2|PB|,则动点P 的轨迹是( B .圆 D .双曲线为直线CD 与圆x 2+ y 2= 4相切，所以__ 2|m + n| __7(m — n f + 16=2,所以mn =4,又直线AC 与BD 的交点1姑 0).X 22答案：-4+y 2二i(yz0)2 24. 过椭圆字+詁=1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ,则线段MN 中点的轨迹方 程为解析：设MN 的中点P(x , y),则点M (x,2y)在椭圆上,5. 在△ ABC 中，|BC|= 4,AABC 的内切圆切BC 于D 点且|BD|— |CD|= 2 2，求顶点A 的轨迹方 程.解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点. 则|BE|=|BD|, |CD 匸 |CF|,AE 匸 |AF|.「. AB|— AC| = 2 2< |BC|= 4,•••点A 的轨迹为以B , C 为焦点的双曲线的右支 屮0),且a = 2, c = 2,二b = 2,2 2•轨迹方程为x—牙=1(x > 2).6. (2017唐山统考)已知动点P 到直线I : x =— 1的距离等于它到圆C : x 2+ y 2— 4x + 1= 0的切线 长(P 到切点的距离).记动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程；⑵点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A , B 两点，设AB 的中点为D , 求fS 的取值范围.l ABl解析：(1)由已知得，圆心为C(2,0),半径r = 3.设P(x , y)，依题意可得|x + 1= . x — 22 + y 2— 3, 整理得y 2= 6x.「y y — m r x^2 = x —2，所以y = y —n x —2—x+2,所以m = 4y x + 2,—4yx —2，所以—x 2—4=4,所以点2M 的轨迹方程为)4 + y 2=答案: x 2 a 2+4y^即所求的轨迹方程为故曲线E的方程为y2= 6x.(2)设直线AB的方程为my= x-2, 则直线CQ的方程为y= —m(x- 2),可得Q(- 1,3m).将my= x—2代入y2= 6x并整理可得y2—6my—12= 0,设A(x i, y i), B(X2, y2),则y i + y2 = 6m, y i y2=—12, D(3m2+ 2,3m), |QD| = 3m2+ 3.AB| = 2 ,3「1 + m2_3m2+ 4- 所以翳亦= 故JQDJg 能 1 ；故|AB| €_ 4，2 .7 •定圆M : (x+ 3)2+ y2= 16,动圆N过点F(.3, 0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；⑵设点A, B, C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|BC|，当△ ABC的面积最小时，求直线AB 的方程.解析：(1)v F( .3, 0)在圆M: (x+ 3)2+ y2= 16 内,•••圆N内切于圆M.•••|NM|+|NF|= 4> |FM|,•••点N的轨迹E为椭圆，且2a = 4,c= 3,二b= 1,2•轨迹E的方程为专+ y2= 1.(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S^ABC= AB| = 2.②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y= kx,A(X A, y A),联立方程4+ y2= 1y= kx 得, x A=炸，y A=旣2, 2,― .2•••|0A|2二x A+ y A二二k2 .2将上式中的k替换为—1可得0C|J辛+忙4 1 + k2 4 1 + k2 _V 1+ 4k2•_k + 4认1 + 4k2]k2+ 4,2 2 2•••「1 + 4k2 k2+ 4 = 3 二,•-& ABC>I，且仅当1+ 4" k2+ 4,即k=±时等号成立，此时△ABC面积的最小值是8.I I••• 2>5，「仏ABC面积的最小值是5，此时直线AB的方程为y= x或y= —x. •i ABC=2S S OC= |0A| |OC| =。