广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析

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广西桂林市、北海市高考数学一模试卷(文)含答案解析

广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}2．复数=（）A．﹣i B．i C． i D．﹣ i3．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣4．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．15．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx6．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣D．﹣7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．159．函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）10．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=ax﹣lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a 的值为（）A．e B．e2C．2e D．2e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为．15．若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是．16．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（2）求sinB+sinC的最大值．18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=，AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求三棱锥B﹣FCD的体积．20．如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N 的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．（I）求圆C和椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P， =，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，∴A∩∁U B={x|1≤x≤3}∩{x|x≤2}={x|1≤x≤2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．复数=（）A．﹣i B．i C． i D．﹣ i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： ===．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．【点评】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”．5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，A：y=lgx是非奇非偶函数，错误B：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误D：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确故选D【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验．6．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图得此几何体的几何特征：上球、下圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体：上球、下圆柱组成，且球的底面半径是2，圆柱的底面半径是2、高是6，所以几何体的体积V==，故选：D．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征及测度．8．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】根据所给s、i的值先执行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判断i与4的关系，满足条件算法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论．【解答】解：因为s=1，i=1，执行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判断2＜4，执行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判断3＜4，执行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此时4≥4，满足条件，输出s的值为15．故选D．【点评】本题考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件进入循环，满足条件算法结束．9．函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由题意可得f（2）＜0，f（3）＞0，满足f（2）f（3）＜0，由零点的存在性定理可判．【解答】解：∵函数，∴f（2）==＜0，f（3）==＞0，∴f（2）f（3）＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选B【点评】本题考查函数零点的判定，涉及对数的运算，属基础题．10．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解：∵ =+，且⊥，∴•=（+）•（）===0．∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．已知函数f（x）=ax﹣lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a 的值为（）A．e B．e2C．2e D．2e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；分类讨论；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；②当a＞0时，f′（x）=0的根为当时，，解得a=e2，③当时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；综上所述a=e2，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用．利用函数单调性最值和导数的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）为奇函数便可得到，进行分子有理化和对数的运算便可得到=，从而便可得出lna=0，这便得到a=1．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴lna=0；∴a=1．故答案为：1．【点评】考查奇函数的定义，以及分子有理化和对数的运算性质．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为﹣4．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×3=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=13．【考点】圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】直线与圆．【分析】确定抛物线的准线方程及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，∵圆C截此抛物线的准线所得弦长为6，∴圆的半径为=∴圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=13故答案为：（x﹣1）2+y2=13【点评】本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故答案为：．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（2）求sinB+sinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2﹣bc，根据余弦定理可求cosA==，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=sin（B+），结合范围B∈（0，），可求B+∈（，），利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c（acosB﹣b）=a2﹣b2．∴由余弦定理可得：a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2．可得：a2=c2+b2﹣bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），sin（B+）∈（，1]，∴sinB+sinC的最大值为．…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB 共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=，AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求三棱锥B﹣FCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】整体思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可确定F的位置（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式进行求解即可求三棱锥B﹣FCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取线段CE的中点F，连接BF，则BF∥平面ACD；（Ⅱ）∵AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD，∵DE⊥平面ACD，∴AC⊥DE，∵DE∩CD=D，∴AC⊥平面CDE，∵DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，∴AB∥DE，∵AB⊄平面CED，DE⊂平面CED，∴AB∥平面CDE，∴B到平面FCD的距离为AC，∵S△FCD=S△ECD=，∴三棱锥B﹣FCD的体积V=S△FCD=．【点评】本题主要考查线面平行的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键．比较基础．20．如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N 的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．（I）求圆C和椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，利用垂径定理得即可解得r．于是得到圆的方程，可求得点N，M的坐标．②由①得到2c，得到a2=b2+c2；又椭圆过点，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程．（II）设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出k AN+k BN，证明其和等于0即可．【解答】（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，得=，解得r=．所以⊙C的方程为．令y=0，解得x=1或4．∴N（1，0），M（4，0）．∴2c=2，得c=1．②∵椭圆过点，∴．联立，解得．∴椭圆的方程为．（II）设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立消去y得到（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．∵k AN+k BN=== [2x1x2﹣5（x1+x2）+8]==0．∴k AN=﹣k BN．当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．因此直线NA与直线NB的倾角互补．【点评】熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、直线NA与直线NB的倾角互补（斜率存在）⇔k AN+k BN=0等是解决问题的关键．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P， =，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】压轴题；选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，设PA=x，PD=y则有，所以…（Ⅱ）因为PA=1， =，所以PB=4，因为PA•PB=PD•PC， =，所以PC=2，因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，所以BC==2．…【点评】本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．。

2023年广西桂林市、河池市、防城港市高考数学调研试卷(文科)(3月份)+答案解析(附后)

2023年广西桂林市、河池市、防城港市高考数学调研试卷（文科）（3月份）1. 若集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )A. B. 26 C. D. 133. 命题p：，的否定是( )A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，4. 若是角的终边上一点，则( )A. B. C. D.5. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 95006. 某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输入的，那么输出的( )A. 8B. 9C. 16D. 258. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C的方程为( )A. B. C. D.9. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式为，其中在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )A. 28hB.C. 29hD.10. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则( )A. 0B. 1C. 2D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意都有，则m的取值范围是( )A. B. C. D.13. 若x，y满足约束条件则的最大值为______.14. 若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______ .15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则______ .16. 椭圆的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，与x轴切于F点，与y轴交于A，B两点，若为锐角三角形，则C的离心率范围是______ . 17. 甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图.求这些参赛考生的竞赛平均成绩同一组中数据用该组区间中点值作代表；若竞赛成绩排在前的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.18.如图，三棱柱的侧面为菱形，，证明：；若，，求四棱锥的体积.19. 记为等比数列的前n项和.已知求；设求数列的前2n项和20. 已知函数当时，讨论的单调性；若有两个不同的零点，求a的取值范围.21. 已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为求C的方程；若P为直线l：上的一动点，过P作抛物线C的切线PA，PB，A，B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB的垂线交l于点N，当最小时.求22. 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点分别写出半圆，圆的极坐标方程；直线与曲线，分别交于M、N两点异于极点，求的面积.23. 已知对任意的恒成立.求实数m的取值范围；设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，，所以，中元素的个数为故选：由交集的定义即可得出答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，则复数的虚部为故选：将复数z化简，即可得到结果．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，p：，，是全称命题，其否定为：，，故选：根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的关系，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：是角终边上一点，，，故选：由三角函数定义可求得，，由二倍角正弦公式可求得结果．本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正弦公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为：故选：通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：，从而得出目前的就医费用为850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资．考查对条形图和折线图的认识和应用．6.【答案】D【解析】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以该扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为r，则，解得：，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，该圆锥的体积为故选：求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可．本题主要考查圆锥的体积，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟循序的运行，可得：输入，，第一次循环：，满足，，第二次循环：，满足，，第三次循环：，满足，，第四次循环：，不满足，输出S的值为16，故选：模拟程序的运行，计算出每次循环的结果，直到不满足条件，结束循环，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【解析】解：右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，所以，即C的方程为故选：由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程．本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意得，当时，则，，故选：根据题意结合指、对数运算，求解即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意，，故，又的周期T满足，得，所以，所以，又，得，，又，所以，所以，所以故选：由三角函数的图象变换得到的解析式，再由其图象性质得出A，，后计算原式．本题考查了余弦函数的图象及性质，熟记性质是解题关键，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，平面BCD，，在中，，，的外接圆的直径为，，外接球的半径为，该几何体外接球的表面积为故选：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段AB的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可．本题主要考查了由三视图还原几何体的形状，考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当时，则，即当时，，同理当时，；当时，以此类推，当时，都有函数和函数在上的图象如下图所示：由图可知，，解得，即对任意都有，即m的取值范围是故选：由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出m的取值范围．本题考查抽象函数及其运用，解决本题的关键是对的理解，并结合图象，可以非常直观的得出满足条件的m的取值范围，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．【解答】解：x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，由，可得时，目标函数，可得，当直线，过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：故答案为：14.【答案】3【解析】解：已知，则，，因为曲线在处的切线与直线相互垂直，所以，解得故答案为：先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案．本题考查导数的几何意义以及两直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，，所以，即，又，所以，所以故答案为：根据正弦定理可得，然后利用余弦定理即得．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为与x轴切于F点，所以轴，可设，则，解得，圆P的半径为，又与y轴交于A，B两点，则，又因为为锐角三角形，则，，，即，解得，即椭圆离心率的取值范围为故答案为：根据题意可得的半径，根据为锐角三角形，可构造关于a，c的齐次不等式，解不等式即可求得结果．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意知：，这些参赛考生的竞赛平均成绩x为由图可知，的考生占比；的考生占比，设进入复赛的分数线为x，则x在之间，有，解得，故进人复赛的分数线为【解析】根据频率分布直方图中的中点值求平均成绩即可；根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．18.【答案】解：证明：连接，，设，连接为菱形，，且O为，的中点，又，，，平面，平面，平面，；由知平面，又平面，，又，O为的中点，，由菱形，，，则为正三角形，，，，，，平面，平面，而，【解析】根据线面垂直的判定定理证明平面，即可根据线面垂直的性质证明结论；证明平面，即可求出四棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案．本题考查线面垂直的判定及性质，考查四棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：根据题意可得，解得，；由题设及可知：当n为奇数时，，当n为偶数时，，，【解析】设等比数列的公比为q，根据题目条件列方程组求解即可；由题意可得，然后利用分组求和法求解即可．本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，方程思想，分类讨论思想，属中档题．20.【答案】解：当时，，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．，当时，，在R上单调递增，此时无两个零点；当时，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．因为x趋于负无穷，趋于正无穷；因为x趋于正无穷，趋于正无穷；故有两不同零点，则，即令则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，，又，当时，，综上，a的范围为【解析】对求导，根据导函数的正负确定的单调性；求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于a的不等式，即可求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题知，，则C的方程为抛物线C：的焦点，设，过P点的抛物线C的切线方程为：，联立，消去x得：，①，，即，②此时①可化为，解得，设直线PA：，直线PB：，则，为方程②的两根，故，，且，，可得，令点，，由②知，，故，则直线AB方程为：，显然，因为直线NF与直线AB垂直，则直线NF方程为：，故，，当且仅当时，时取等号，则，由得，【解析】由题意求得，即可得得到抛物线C的方程；设，，利用导数的几何意义求得在点A，B的切线方程，得出直线AB方程为，令，得到点，根据直线NF与直线AB垂直，求得直线NF方程为，进而得到点，进而求得，结合基本不等式求得的最小值，联立方程组，结合弦长公式求得弦的长．本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为故半圆，圆的极坐标方程分别为：，；由得：，点到直线MN的距离，所以，故的面积为【解析】直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程；利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题主要考查了圆的极坐标方程，考查了曲线极坐标方程的应用，属于中档题．23.【答案】解：令，对任意的恒成立，转化为，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递增，，综上所述，，实数m的取值范围；由得实数m的取值范围则，，即，由柯西不等式得，当且仅当，即，，时等号成立，即，，故的最小值为【解析】构造函数，题意转化为为，结合分段函数的性质，即可得出答案；由得，即，利用柯西不等式，即可得出答案．本题考查绝对值函数和分段函数的性质、柯西不等式的应用，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有答案解析)

2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.等差数列{a n}中，已知a1+a9=10，则a3+a4+a5+a6+a7=()A. 5B. 10C. 15D. 253.已知集合A={x|x<1}，B={x|e x<1}，则()A. A∩B={x|x<1}B. A∪B={x|x<e}C. A∪B={x|x<1}D. A∩B={x|0<x<1}4.已知α满足sinα=13，则cos2α=()A. 79B. 718C. −79D. −7185.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x≤5π12)的值域为()A. [−12,1] B. [0,12] C. [0,1] D. [−12,0]7.在区间[−1,1]上随机取一个数k，使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A. 12B. 13C. √24D. √238.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为()A. 5B. 6C. 7D. 89.设m=ln2，n=lg2，则()A. m−n>mn>m+nB. m−n>m+n>mnC. m+n>mn>m−nD. m+n>m−n>mn10.过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√311.已知函数f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则2a+b的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. [2√2,+∞)D. (2√2,+∞)12.在一个数列中，如果∀n∈N∗，都有a n a n+1a n+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+⋯+ a2020=()A. 4711B. 4712C. 4713D. 4715二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则m=______．14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为______．15.点P在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为______．16.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令．游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组．如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色．已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理(如表)，得到了散点图x −y −w −∑(10i=1x i −x −)2∑(10i=1w i −w −)2∑(10i=1x i −x −)(y i −y −) ∑(10i=1w i −w −)(y i −y −)1.47 20.6 0.782.350.81 −19.3 16.2表中w i =1x i2,w −=110∑w i 10i=1．(1)根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +dx 2哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，(u 3,v 3)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i −v )ni=1i −u )∑(u −u )2n ，α̂=v −β̂u ．18. △ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若√5b =4c ，B =2C(Ⅰ)求cos B(Ⅱ)若c =5，点D 为边BC 上一点，且BD =6，求△ADC 的面积19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求三棱锥F−BEG的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1y1+1y2=1y3+1y4，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21.设函数f(x)=1+ln(x+1)x(x>0)．(1)设ℎ(x)=(x+1)f(x)，求曲线y=ℎ(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)>kx+1恒成立，求整数k的最大值．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．23. 已知f(x)=|x −1|+1，F(x)={f(x),x ≤312−3x,x >3．(1)解不等式f(x)≤2x +3；(2)若方程F(x)=a 有三个解，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z =1−i 在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．故选：D ．由已知求得z 的坐标得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.答案：D解析：解：等差数列{a n }中，已知a 1+a 9=10=2a 5，∴a 5=5，则a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25，故选：D ．由题意利用等差数列的性质，求得要求式子的值．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 3.答案：C解析：解：∵A ={x|x <1}，B ={x|x <0}， ∴A ∩B ={x|x <0}，A ∪B ={x|x <1}．故选：C ．可以求出集合B ，然后进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵α满足sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．故选：A ．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5.答案：A解析：解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立，若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键． 6.答案：A解析：解：∵0≤x ≤5π12，∴π3≤2x +π3≤7π6，∴y =sin (2x +π3)∈[−12,1]．故选：A．由0≤x≤5π12，可得π3≤2x+π3≤7π6，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解析：解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)圆心到直线y=k(x+3)的距离为√k2+1要使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交，则|3k|√k2+1<1，解得−√24<k<√24．∴在区间[−1,1]上随机取一个数k，使y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为2√242=√24．故选：C．8.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得i=0n=10不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=5，i=1不满足条件n=1，不满足条件n是偶数，n=16，i=2不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=8，i=3不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=4，i=4不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=2，i=5不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=1，i=6此时，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：解：∵0<m<1，0<n<1，m>n，1 n −1m=m−nmn=log210−log2e=log 210e>1，故m −n >mn ，所以1m +1n =log 2(10e)>1，故m +n >mn ，由m +n >m −n故m +n >m −n >mn ，故选：D ．利用倒数，作差法，判断即可．考查对数换底公式，对数的运算性质和不等式比较大小，基础题． 10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1,0)，过F(1,0)且斜率为√3的直线的方程为y =√3(x −1)，过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，由：{y 2=4x y =√3(x −1)，解得M(3,2√3).可得N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即√3x +y −√3=0，则M 到直线NF 的距离为：√3+2√3−√3|√3+1=2√3．故选C ． 11.答案：C解析：解：∵f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1，画出图象：∵0<a <b 且f(a)=f(b)，∴0<a <1<b ，−lna =lnb ， ∴ln (ab)=0，则ab =1．∴2a +b ≥2√2ab =2√2，当且仅当ab =1，2a =b >0，即a =√22，b =√2时取等号．∴2a +b 的取值范围是[2√2,+∞)．故选：C ．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出2a +b 的取值范围．本题考查函数的零点与方程的根的关系，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和基本不等式的性质是解题的关键，是中档题． 12.答案：B解析：解：a n a n+1a n+2=k(k 为常数)，且a 1=1，a 2=2，公积为8， ∴a n a n+1a n+2=8，a 1=1，a 2=2，∴1×2a3=8，解得a3=4，∴2×4a4=8，a4=1，同理可得：a5=2，a6=4．∴a n+3=a n．则a1+a2+⋯+a2020=a1+(1+2+4)×673=4712．故选：B．a n a n+1a n+2=k(k为常数)，且a1=1，a2=2，公积为8，可得a n a n+1a n+2=8，a1=1，a2=2，可得其周期性，进而得出数列的和．本题考查了数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：1解析：【分析】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．由题意可得a⋅b⃗=0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．【解答】解：∵向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⋅b⃗=0，即2×3−6m=0，则m=1，故答案为：1．14.答案：24=30人，则高三被抽取的人数90−36−30=24，解析：解：高二年级抽取的人数为：2000×362400故答案为：24．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．15.答案：53解析：解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，即4b−2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=(a+c)2，即4(c2−a2)=(a+c)2，c，可得a=35即e =53，故答案为：53．运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得|MF 2|=2a ，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b −2c =2a ，结合a ，b ，c 的关系，可得a ，c 的关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 16.答案：9解析：解：根据题意：14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；①若新加入的学生是土兵，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令；所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组下：3名士兵；连长、营长、団长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知加入的学生也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；所以新加入的学生可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令答1名；2名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长；所以新加入的学生可以是团长；综上所述：新加入学生可以扮演9种角色；故答案为：9根据题意，分析可得14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；据此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，分析其中的关系．17.答案：解：(1)y =c +dx 更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型．(2)由公式可得：d̂=i −w )10i=1i −y )∑(w −w )210=16.20.81=20，ĉ=y −d̂w =20.6−20×0.78=5，所以所求回归方程为y =5+20x 2．(3)设t =kx ，则煤气用量S =yt =kx(5+20x 2)=5kx +20k x≥2√5kx ⋅20k x=20k ，当且仅当5kx =20k x时取“=”，即x =2时，煤气用量最小．所以x为2时，烧开一壶水最省煤气．解析：(1)根据散点图作答；(2)根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC又√5b=4c，所以cosC=sinB2sinC =b2c=2√55…(4分)所以cosB=cos2C=2cos2C−1=35…(6分)(Ⅱ)因为c=5，√5b=4c，所以b=4√5…(7分)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，则80=a2+25−2×5×35×a，化简得，a2−6a−55=0，解得a=11，或a=−5(舍去)，…(9分)由BD=6得，CD=5，由cosC=2√55，得sinC=√1−cos2C=√55…(10分)所以△ADC的面积s=12DC⋅AC⋅sinC=12×5×4√5×√55=10…(12分)解析：(Ⅰ)利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果．(Ⅱ)利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．19.答案：(1)证明：连接AC，由AE//CG，AE=CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG//AC，由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，∵BD∩BF=B，∴EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF；(2)解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE//平面BCGF，平面ADHE∩平面EFGH=EH，平面BCGF∩平面EFGH=FG，∴EH//FG，同理可得：EF//HG，∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP//AE且OP=AE，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．∴S △BFG =12×BF ×BC =4．∵EA//FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊄平面BCGF ，∴EA//平面BCGF ， ∴点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为2√3． ∴V F−BEG =V E−BGF =V A−BGF =13S △BFG ×2√3=8√33．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题．(1)连接AC ，由题意可知四边形AEGC 为平行四边形，得到EG//AC ，再由已知证明EG ⊥BF ，可得EG ⊥平面BDHF ，进一步得到EG ⊥DF ；(2)设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ，由已知证明EH//FG ，EF//HG ，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P 为EG 的中点，由OP =3，DH =4，由梯形中位线定理得BF =2.求出三角形BFG 的面积，再证明EA//平面BCGF ，可得点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离．然后利用等体积法求三棱锥F −BEG 的体积．20.答案：解：(1)由题有a =2，e =c a =12.∴c =1，∴b 2=a 2−c 2=3．∴椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0⇒m 2<12k 2+9， x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．又k AM =k AE ∴y 1−0x 1+2=y 3−04+2⇒y 3=6y 1x1+2同理y 4=6y 2x2+2又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4∴y 1+y 2y 1y 2=x 1+26y 1+x 2+26y 2=x 1y 2+x 2y 1+2(y 1+y 2)6y 1y 2⇒4(y 1+y 2)=x 1y 2+x 2y 1⇒4(kx 1+m +kx 2+m)=x 1(kx 2+m)+x 2(kx 1+m)⇒(4k −m)(x 1+x 2)−2kx 1x 2+8m =0， ⇒(4k −m)−8km3+4k 2−2k(4m 2−12)3+4k 2+8m =0⇒24(k+m)3+4k 2=0．∴m =−k ，此时满足m 2<12k 2+9∴y =kx +m =k(x −1)∴直线MN 恒过定点(1,0)．法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2 则{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0， ∴y =0或y 1=12t3t 12+4，∴x 1=t 1y 1−2=t 112t13t 12+4−2=6t 12−83t 12+4同理x 2=6t 22−83t 22+4，y 2=12t23t 22+4，当x 3=4时，由x 3=t 1y 3−2有y 3=6t 1．∴E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4，∴3t 12+412t 1+3t 22+412t 2=t 16+t 26，⇒(t 1+t 2)(3t 1t 2+4)12t 1t 2=t 1+t 26，当t 1+t 2≠0时，t 1t 2=−4，∴直线MN 的方程为y −y 1=y 1−y2x 1−x 2(x −x 1) ⇒y −12t 13t 12+4=12t 13t 12+4−12t23t 22+46t 12−83t 12+4−6t 22−83t 22+4(x −6t 12−83t 12+4)⇒y −12t 13t 12+4=4t 1+t 2(x −6t 12−83t 12+4)⇒y =4t 1+t 2x −4t 1+t 2⋅6t 12−83t 12+4+12t 13t 12+4=4t 1+t 2x −4(3t 12+4)(3t 12+4)(t 1+t 2)=4t 1+t 2(x −1)，∴直线MN 恒过定点(1,0)当t 1+t 2=0时，此时也过定点(1,0)综上直线MN 恒过定点(1,0)．解析：(1)利用已知条件求出a 、c ，得到b ，即可求椭圆C 的方程；(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，通过韦达定理，结合k AM =k AE 推出y =kx +m =k(x −1)，说明直线MN 恒过定点(1,0)．法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2，通过{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0求出E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，得到直线系方程说明直线过定点(1,0)．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查发现问题解决问题的能力，是难题．21.答案：解：(1)由已知得ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x，所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，∴ℎ(1)=2+2ln2，ℎ′(1)=−ln2．∴切线方程为y −(2+2ln2)=−ln2×(x −1)，即xln2+y −2−3ln2=0．(2)若f(x)>kx+1恒成立，由x >0得，原式可化为：k <(x+1)+(x+1)ln (x+1)x．令ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x，则以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，又令m(x)=x −1−ln (x +1)，∵m′(x)=1−1x+1=xx+1>0，∴m(x)在(0,+∞)上递增，而m(2)=1−ln3<0，m(3)=2−ln4>0．∴存在t ∈(2,3)，使得t −1−ln (t +1)=0……①，且当x ∈(−∞,t)时，m(x)<0；x ∈(t,+∞)时，m(x)>0． ∴x =t 即为函数ℎ(x)的最小值点， ∴ℎ(x)min =ℎ(t)=t+1+(t+1)ln (t+1)t，结合①式得ln (t +1)=t −1．∴ℎ(t)=t+1+(t+1)(t−1)t=t +1，2<t <3∴3<ℎ(t)min <4．所以整数k 的最大值取3．解析：(1)先将x =1代入函数求出切点坐标，然后对原函数求导，进一步求出斜率，代入直线的点斜式方程即可．(2)将k 分离出来，然后研究函数ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x的最小值，因为ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，.再研究分子的符号、零点，确定函数ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等．同时考查了学生利用函数思想、转化与化归思想等解决问题的能力．是一道压轴题．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1，曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ；(2)设直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数) 又直线l 与曲线C 2：y 2=4x 存在两个交点，因此sinα≠0．联立直线l 与曲线C 1：x 22+y 2=1，可得(1+sin 2α)t 2+2tcosα−1=0，则：|FA|⋅|FB|=|t 1t 2|=11+sin 2α，联立直线l 与曲线C 2：y 2=4x 可得t 2sin 2α−4tcosα−4=0，则|FM|⋅|FN|=|t 3t 4|=4sin 2α，即|FA|⋅|FB||FM|⋅|FN|=11+sin 2α4sin 2α=14⋅sin 2α1+sin 2α=14⋅11+1sin 2α∈(0,18]．解析：(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：解：(1)f(x)=|x −1|+1={x(x ≥1)−x +2(x <1)，①当x ≥1时，解不等式x ≤2x +3得：x ≥1，②当x <1时，解不等式−x +2≤2x +3得：−13≤x <1，综合①②得：不等式f(x)≤2x +3的解集为：[−13,+∞)(2)F(x)={|x −1|+1,x ≤312−3x,x >3，即F(x)={2−x,x <1x,1≤x ≤312−3x,x >3．作出函数F(x)的图象如图所示，当直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点时，方程F(x)=a 有三个解，所以1<a <3．所以实数a 的取值范围是(1,3)．解析：(1)由f(x)=|x −1|+1为分段函数，可分段讨论①当x ≥1时，②当x <1时，求不等式的解集，(2)方程F(x)=a 有三个解等价于直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点，先画出y =F(x)的图象，再画直线y =a 观察图象即可本题考查了分段函数及数形结合的思想方法，属中档题。

广西省桂林市、北海市2023届高三联合模拟考试文科数学试题及答案解析

广西省桂林市、北海市2023届高三联合模拟考试文科数学试题及答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}{}=<+=>-=B A x x B x x A ，则，01|03|（）A 、()3,1-B 、()1-∞-，C 、()3,1D 、()3，∞-2、若复数z 满足i iz 21-=，则=z （）A 、i +-2B 、i--2C 、i-2D 、i+23、函数()2sin 2cos22xx x f-=的最小正周期为（）A 、2πB 、πC 、4πD 、2π4、大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校学生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，其中高一抽取了40人，高二抽取了30人，高三抽取了30人.达标率如图所示，则估计该校学生的平均达标率为（）A 、%42B 、%46C 、%48D 、%545、已知实数y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0102y x y x x ，则12-+=y x z 的最大值是（）A 、9B 、6C 、2D 、-16、从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是奇数的概率为（）A 、0.6B 、0.4C 、0.3D 、0.17、函数()ax x x f +=3在1=x 处取得极小值，则极小值为（）A 、1B 、2C 、-2D 、-18、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为11,DD BB 的中点，则异面直线MN 和1BC 所成角的余弦值为（）A 、63B 、43C 、33D 、239、已知2log ,30sin ,31521=︒=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ，则（）A 、cb a <<B 、ab c <<C 、ac b <<D 、ba c <<10、一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球O 的球面上，且球心O 在圆锥体内部，若球O 的表面积为π16，O 到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（）A 、π6B 、π4C 、π3D 、π211、已知函数()()1ln --=x k x x f 恰有两个零点，则k 的取值范围为（）A 、()()∞+-，10,1B 、()()∞+-∞-，，11 C 、()()1,00,1 -D 、()()1,01 -∞-，12、某园区有一块三角形空地△ABC （如图），其中2,40,310π=∠==ABC m BC m AB ，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求32π=∠APB ，则CP 的最小值为（）A 、()m 101910-B 、()m 102110-C 、25mD 、30m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年广西河池、来宾、白色、南宁市高考数学调研试卷(文科)+答案解析(附后)

2023年广西河池、来宾、白色、南宁市高考数学调研试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设，则( )A. B. C. D.3. 在区间内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为( )A. B. C. D.4. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为( )A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6. 已知正项等比数列满足为与的等比中项，则( )A. B. C. D. 27. 圆C：上一点P到直线l：的最大距离为( )A. 2B. 4C.D.8. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 的一条对称轴为B. 的一个对称中心为C. 在上的值域为D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到9. 是定义在R上的函数，为奇函数，则( )A. B. C. D. 110. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要参考数据：，( )A. 8分钟B. 9分钟C. 10分钟D. 11分钟11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，，则( )A. 1B. 3C. 2D. 412. 已知，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，，则实数m的值为______ .14. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：年份20182019202020212022年份序号x12345报考人数万人2m根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为______ .15. 记为等差数列的前n项和.若，，则______ .16.已知棱长为8的正方体中，点E为棱BC上一点，满足，以点E为球心，为半径的球面与对角面的交线长为______ .17. 4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动.活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分如下：男生235151812女生051010713若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，若得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据①完成下列列联表阅读爱好者非阅读爱好者总计男生女生总计②请根据所学知识判断是否有的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在内的概率.附：，其中18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求若点D在边AC上，且，求19. 在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.证明：；若，求点M到平面PAB的距离.20. 已知函数当时，求函数的最大值；若关于x的方有两个不同的实根，求实数a的取值范围.21. 已知椭圆的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为求椭圆E的标准方程；设点F为E的右焦点，，直线l交E于P，均不与点A重合两点，直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，求的周长.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求23. 已知函数，当时，求的最小值；若对，，不等式恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，解得，故故选：解出B中不等式，根据交集含义即可得到答案．本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由题知，，所以故选：根据复数除法运算解决即可．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由可得，由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：故选：由可得，再根据几何概型的计算方法求解即可．本题考查几何概型的概率计算方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意得：，解得：，故C的方程为：故选：根据焦点坐标与渐近线方程，列出方程组，求出，得到C的方程．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．5.【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为的正方体内挖去一个底面半径为，高为的圆锥，由正方体和圆锥的体积计算公式可得：，故选：根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解．本题考查正方体的体积与圆锥的体积的计算，属基础题．6.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为q，由题意得，即，，，，，故选：根据等比中项定义和等比数列通项公式先求出q，进而可求．本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：圆C方程可化为，圆心坐标为，半径，圆心到直线l：的距离为：，圆C上一点P到直线l：的最大距离为故选：根据圆的一般方程写出圆心坐标和半径，则点P到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求得结果．本题考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．8.【答案】C【解析】解：，因为，故不是对称轴，故A错误；，不是的一个对称中心，故B错误；当时，，故，所以，即在上的值域为，故C正确；的图象向右平移后对应的解析式为，当时，此时函数对应的函数值为，而，故与不是同一函数，故D错误．故选：化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误；利用正弦函数的性质可判断C的正误；求出平移后的解析式可判断D的正误．本题主要考查三角函数的恒等变换公式，考查转化能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：是定义在R上的函数，为奇函数，则故选：由奇函数定义得，及即可求值．本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由题意可得，，，，，两边取常用对数得，，水温从降至，大约还需要10分钟，故选：由题意可得，代入，得，两边取常用对数得，再利用对数的运算性质即可求出t的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设准线与x轴的交点为K，作，，垂足分别为，，则根据抛物线定义知，，又，，所以，，设，因为，所以，则，所以，又，可得，所以，所以，可得，即故选：作出辅助线，由抛物线定义得到，，设，则，根据，求出，进而根据求出，得到答案．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：，，，设，则，当时，，函数单调递增，故，即故选：变换，，，构造，确定函数的单调区间得到，得到答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查实数的大小比较，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：向量，，，，求得实数，故答案为：由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，，，解得故答案为：求出的值，以及用m表示出，代入线性回归方程得到关于m的方程，解出即可．本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点，属于基础题．15.【答案】144【解析】解：设等差数列的公差为d，则解得，，所以故答案为：利用等差数列的前n项和公式求解即可．本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图所示：过点E作于O，P为球面与对角面的交线上一点，平面ABCD，平面ABCD，故，，且，BD，平面，故平面，，故，，则，故P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆的一部分，如图所示：，，故，交线长为：故答案为：过点E作于O，确定P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆的一部分，计算得到答案．本题主要考查球内接多面体问题，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解；根据题意可知，100名学生中男生55人，女生45人；男生中“阅读爱好者”为人，“非阅读爱好者”10人；同理，女生中“阅读爱好者”为30人，“非阅读爱好者”15人；所以列联表如下：阅读爱好者非阅读爱好者总计男生451055女生301545总计7525100利用表中数据可得，所以，没有的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；由表可知，男生中“阅读达人”共30人，若按分层抽样的方式抽取5人，则得分在内的人数为人，得分在内的人数为人；则再从这5人中随机抽取3人共有种，其中没有人得分在内的情况为种；所以这3人中至少有1人得分在内的概率为；故这3人中至少有1人得分在内的概率为【解析】根据100名学生的检测得分表，即可完成列联表，利用计算出的值，查表即可得出结论；根据分层抽样方法分别计算出不同成绩区间的人数，再利用“正难则反”的思想计算出不合题意的概率，即可得出结果．本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：，在中，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，则，，；，，即，，即，，故，即，，，则【解析】根据正弦定理进行角换边得，结合余弦定理，即可得出答案；利用转化法得，两边同平方得，结合中整理的式子，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：分别连接AO，AM，为BC中点，为等边三角形，，点P在底面ABC上的投影为点O，平面ABC，又平面ABC，，又，平面APO，平面APO，面APO，又面APO，解：设点M到平面PAB的距离为h，点O到面PAB的距离为d，，，为PB在底面ABC上的投影，为PB与面ABC所成角，，垂直平分BC，，为正三角形，，中，易得，，到PA的距离为，，又，由，，，，点M到平面PAB的距离为【解析】由三线合一得，再根据线面垂直的性质定理得，最后根据线面垂直的判定定理得到面APO，则；设点M到平面PAB的距离为h，点O到面PAB的距离为d，利用等体积法有，即，代入相关数据求出d，则本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了等体积法求点到直线距离，属于中档题．20.【答案】解：当时，，故，当时，，故在上为增函数，当时，，故在上为减函数，故方程即为，整理得到：，令，故，因为，均为R上的增函数，故为R上的增函数，而，故的解为，因为方程有两个不同的实数根，故有两个不同的正数根，设，则，若，则，故在上为增函数，在上至多一个零点，与题设矛盾；若，则时，；时，，故在上为增函数，在上为减函数，由有两个不同的零点可得，故当时，，而，故在有且只有一个零点，又，设，令，，则，故在上为减函数，故，故，故在有且只有一个零点，综上，即实数a的取值范围为【解析】求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值．利用同构可将原方程转化为有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：依题意，，解得，故椭圆方程为：设直线l：，，，则，，故，故，由，可得，故，整理得到，又，故，故或，此时均满足若，则直线l：，此时直线恒过，与题设矛盾，若，则直线l：，此时直线恒过，而为椭圆的左焦点，设为，故的周长为【解析】由题设可得基本量的方程组，求出其解后可得椭圆的方程；设直线l：，由题设条件可证明该直线过定点，根据椭圆的定义可求周长．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：变形为，即，因为，故，即；变形为，与联立得：，故，故【解析】对曲线C的极坐标方程变形后，利用求出答案；将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用t的几何意义求弦长．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：化简得，当时，，当时等号成立，所以的最小值为2；由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立．又因为，当且仅当时，等号成立．所以，解得或，即a的取值范围为或【解析】首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．。

广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-4x＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2.复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则|z|=（）A. lB.C. 2D. 43.若向量=（2，3），=（-1，2），则•（）=（）A. 5B. 6C. 7D. 84.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万5.已知双曲线C：=1（a＞0）的一个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n-2，则a6＝（）A. 0B. 1C. 2D. 68.已知将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象.若g（x）是偶函数，则f（）=（）A. B. C. D. 19.已知x，y满足条件，若z=x+2y的最小值为0，则m=（）A. 1B. 2C. 3D. 410.函数y=2sin x cosx-cos 2x的单调增区间是（）A. [kπ-，k]（k∈Z）B. [kπ，kπ+]（k∈Z）C. [kπ，kπ+]（k∈Z）D. [k，kπ+]（k∈Z）11.已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y=2x-5上，若||=2，则△ABC面积的最小值为（）A. 5B. 4C.D. 112.设过点的直线l与圆C：的两个交点为A，B，若，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=xe x-2x2+1在点（0，1）处的切线方程为______．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=7，则S9=______．15.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的T=______．16.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）-a2有3个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2-c2＝8，△ABC的面积为．（1）求角C的大小；（2）若，求sin A+sin B的值．18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料利用散点图可知，线性相关（1）求出y关于x的线性回归方程=x；（2）若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y（辆）的值．参考公式：==，=19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC，M是侧面AA1C1C的对角线的交点，D，E分别是AB，BC中点（1）求证：MD∥平面A1BC1；（2）求证：平面MAE⊥平面BCC1B120.已知曲线C上动点M与定点F（）的距离和它到定直线l1：x=-2的距离的比是常数，若过P（0，1）的动直线l与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21.已知函数f（x）=ax2-x-2ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）的一个极值点为x=1，求函数f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．22.已知曲线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+3|-2．（1）解不等式f（x）＜|x-1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x-1|+b成立，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|0＜x＜4}；∴A∩B={1，2}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），∴-i2z=-i（1+i），化为z=1-i．∴|z|=．故选：B．利用复数的运算法则即可化简，再利用复数模的计算公式即可得出．熟练掌握复数的运算法则、复数模的计算公式事件他的关键．3.【答案】A【解析】解：∵向量=（2，3），=（-1，2），∴=（2，3）-（-2，4）=（4，-1），∴•（）=8-3=5故选：A．由向量的坐标运算可得的坐标，结合数量积的坐标运算可得结果．本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．4.【答案】C【解析】解：由统计图可得，丙县人口占四个县总人口20%，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为=350万，又因为甲县人口占四个县总人口的52%，所以甲县的人口为350×52%=182万．故选：C．根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果．本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：因为双曲线C：=1（a＞0）的一个焦点为（2，0），所以a2+3=4，故a2=1，因此双曲线的方程为：x2=1，所以其渐近线方程为：y=±x．故选：C．先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程．本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.【答案】B【解析】【解答】解：因为a1=1，a n+1=3a n-2，所以a2=3-2=1，以此类推可得a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1．故选：B．【分析】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型．由a1=1，a n+1=3a n-2，可得a2=1，以此类推，即可得出结果．8.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出g（x），根据g（x）是偶函数求出φ，即可得出结果．本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．【解答】解：由题意可得：g（x）=sin（2x+3φ），因为g（x）是偶函数，所以3φ=，k∈Z，即φ=，k∈Z，又0＜φ＜，所以0，解得，所以k=0，故φ=；所以f（）=．故选：A．9.【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数z=x+2y化为y=-x+，结合图象以及z=x+2y的最小值，即可求出结果．本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型．【解答】解：由x，y满足条件，作出可行域，又目标函数z=x+2y表示直线y=-x+在y轴截距的二倍，因此截距越小，z就越小；由图象可得，当直线y=-x+过点A时，在y轴截距最小；由解得A（m，1-m），所以z min=m+2（1-m），又z=x+2y的最小值为0，所以2-m=0，解得m=2．故选B．10.【答案】D【解析】解：∵函数y=2sin x cosx-cos2x=sin2x-cos2x=2sin（2x-），令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：D．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-1，抛物线方程为x2=4y；又||=2，所以||=2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC面积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d====，故≥1．故选：D．先由题意求出P，得到抛物线方程，再由||=2，得||=2，设点A到直线BC的距离为d，求出△ABC面积的表达式，由点到直线的距离公式求出d的最小值即可得出结果．本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型．12.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设直线l的参数方程为（t为参数），进而设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），将直线的参数方程与圆的方程联立可得（-2+t cosθ）2+（t sinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0；又由8=5，分析可得=，即t2=t1，结合根与系数的关系分析可得t12=13，解可得t1=±，由直线的参数方程的意义分析可得|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|，计算即可得答案．本题考查直线的参数方程的应用，涉及向量的数乘运算，属于基础题．【解答】解：根据题意，直线l过点P（-2，0），设直线l的参数方程为（t为参数），又由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），则有（-2+t cosθ）2+（t sinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0，又由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，若8=5，则=，即t2=t1，又由t1t2=13，则有t12=13，解可得t1=±，则|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|=；故选：A．13.【答案】y=x+1【解析】解：求导函数可得，y′=（1+x）e x-4x当x=0时，y′=1∴曲线y=xe x-2x2+1在点（0，1）处的切线方程为y-1=x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题．14.【答案】63【解析】解：因为a5=7，所以=9a5=63．故答案为：63．直接根据等差中项的性质将S9转化为用a5表达的算式，即可得到结果．本题主要考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型．15.【答案】65【解析】解：执行程序框图，T=0，a=-1，i=1，满足条件i≤5，执行循环，T=0，a=-1，i=1；满足条件i≤5，执行循环，T=1，a=0，i=2；满足条件i≤5，执行循环，T=1，a=1，i=3；满足条件i≤5，执行循环，T=4，a=2，i=4；满足条件i≤5，执行循环，T=20，a=3，i=5；满足条件i≤5，执行循环，T=65，a=4，i=6；此时，不满足条件i≤5，退出循环输出T的值为65．故答案为：65．执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，a，i值，当i=6时，程序终止即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．16.【答案】[-1，0）∪（0，1]【解析】解：由题意，作出函数函数f（x）=，的图象如下，因为函数y=f（x）-a2有3个零点，所以关于x的方程f（x）-a2=0有三个不等实根；即函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，由图象可得：0＜a2≤1，解得-1≤a＜0或0＜a≤1．故答案为[-1，0）∪（0，1]．先作出函数f（x）图象，根据函数y=f（x）-a2有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，结合图象即可得出结果．本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型．17.【答案】解：（1）由△ABC的面积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，故：tan C=，可得：C=；（2）∵C=，2ab cos C=8，∴解得：ab=8，又a2+b2-c2=8，c=2，可得a+b=6，由正弦定理，，得：sin A+sin B==（a+b）=．【解析】（1）由△ABC的面积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，可得tan C=，得到角C；（2）由（1）的结果，先求出ab，根据c，即可求出a+b，再由正弦定理可得sin A+sin B=，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由题中数据可得x=×（10+11+13+12）=11.5，=×（22+24+31+27）=26，x i y i=10×22+11×24+13×31+12×27=1211，=102+112+132+122=534；∴====3；故=-=26-3×11.5=-8.5，∴=3x-8.5；（2）由（1）得，当x=8.5时，=3×8.5-8.5=17，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．【解析】（1）先由题中数据求出、，再根据线性回归方程系数和，即可得出回归方程；（2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值．本题主要考查了线性回归分析应用问题，熟记最小二乘法求回归系数，是常考题型．19.【答案】证明：（1）∵M是棱柱的侧面AA1C1C对角线的交点，∴M是AC1中点．∵D是AB中点，∴MD∥BC1，∵MD⊄平面A1BC1，BC⊂平面A1BC1∴MD∥平面A1BC1．（2）∵AB=AC，E是BC中点，∴AE⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AA1⊥AE．∵在棱柱中BB1∥AA1，∴BB1⊥AE．∵BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AE⊥平面BCC1B1．∵AE⊂平面MAE，∴平面MAE⊥平面BCC1B1．【解析】（1）要证MD∥平面A1BC1，即证MD∥BC1，利用中位线定理可得MD∥BC1；（2）要证平面MAE⊥平面BCC1B1，即证AE⊥平面BCC1B1，即证AE⊥BC，BB1⊥AE．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1：x=-2的距离为d．依题意可知=，则=，化简得+=1，所以曲线C是椭圆，它的标准方程为+=1，（2）①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA|=|PB|，又因为得=，则|QA|=|QB|，从而点Q必在y轴上．②当直线l与x轴垂直时，则A（0，），B（0，-），由①可设Q（0，y0），（y0≠1），由=得=，解得y0=1（舍去），或y0=2．则点Q的坐标只可能是Q（0，2）．下面只需证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有由=即可．设直线l的方程为y=kx+1，代入+=1得（2k2+1）x2+4kx-2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=-，∴+==2k，设点B关于y轴对称的点坐标B′（-x2，y2），因为直线QA的斜率k QA===k-，同理得直线QB′的斜率k QB′===-k+，∴k QA-k QB′=2k-（+）=2k-2k=0，∴k QA=k QB′，三点Q，A，B′共线．故由===．所以存在点Q（0，2）满足题意．【解析】（1）先设动点M坐标为M（x，y），根据题意列出等式=，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线l与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上．；当直线l与x 轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是Q（0，2）；再证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有=即可．本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．21.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-1-（x＞0），∵x=1是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=2a-1-2=0，∴a=．∴f（x）=x2-x-2ln x，f′（x）=3x-1-==．∴0＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调减区间为（0，1]，单调增区间为（1，+∞），∴f（x）的极小值为f（1）=-1=，没有极大值，（2）f′（x）=2ax-1-=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，当a＞0，由f′（x）=0，得x1=，x2=，显然得x1＜0，x2＞0，且当x∈（0，x2）时，f′（x2）＜0，f（x）是减函数；x∈（x2，+∞）时，f′（x2）＞0，f（x）是增函数，综上，a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），没有增区间，a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．【解析】（1）由函数f（x）的一个极值点为x=1可得f′（1）=0，求得a值，进而验证即可．（2）求出f′（x），对a分类讨论，解不等式即可得到f（x）的单调性．本题考查利用利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解（1）由ρ=4cos（θ-）得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+（y-2）2=8．（2）将代入C的直角坐标方程，得t2+（-t-1）2=8，∴t2+t-7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=-7．则|PA||PB|=|t1t2|=7．【解析】（1）先将ρ=4cos（θ-）化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到t2+t-7=0，再设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，进而可得|PA||PB|=|t1t2|，即可求出结果本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于中档题型．23.【答案】解：（1）由f（x）＜|x-1|，可得|x+3|-2＜|x-1|，当x≥1时，x+3-2＜x-1不成立，当-3＜x＜1时，x+3-2＜1-x，∴-3＜x＜0，当x≤-3时，-x-3-2＜1-x，-5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x-1|的解集为{x|x＜0}．（2）根据题意，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2=，易知g（x）max=g（）=，则有≥b，即实数b的取值范围是（-∞，]．【解析】本题主要了考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于中档题．（1）分三种情况讨论，去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）先由题意得，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2，求出g（x）的最小值，即可得出结果．。

广西2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷(解析版)

广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行，故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知，对于A ，显然，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则，故C 正确；对于D ，，或，则，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由可得，所以或，即或，当时，当时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析．（2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x -''==-。

玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷(文)含答案解析

广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．33．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．25．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30πB．28πC．26πD．25π9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．3110．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．7212．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC 的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B={0，1，2}故选：D．2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．【解答】解：z===﹣3﹣2i，则复数z=的虚部为﹣2，故选：A．3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．故选：C．4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，所以cosα＞0，α是第一象限角，cosα==．∴tanα==．故选：B．5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【考点】线性回归方程．【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．【解答】解：==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．∴，解得m=5．故选B．6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，∴c＞b＞a，故选：C．7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由题意知：=π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），因为，所得图象关于x=轴对称，所以， ++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因为，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30πB．28πC．26πD．25π【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，联立，解得B（5，3）；联立，解得C（3，5）；又A（0，2），∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．则圆环的面积为34π﹣4π=30π．故选：A．9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．∵a2=2﹣=a1×，解得a1=﹣1．则数列{a n}的前10项和S10==25﹣1=31，故选：D．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1 ∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，故选：A．11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，且长方体长、宽、高为4、4、6；三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，故选：C．12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：根据条件：；∴=16+16+16=16×3；∴．故答案为：．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为1．【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，n=3执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．故答案为：1．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为﹣4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：a n，S n．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=8，a3=4．∴8a1+d=8，a1+2d=4，解得a1=8，d=﹣2．∴a n=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，S n==9n﹣n2．则==+n﹣15，令f（x）=﹣15，（x≥1）．f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．∴f（n）的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB ≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，…因为sinB≠0，所以，…因为0＜A＜π，所以．…（Ⅱ）由余弦定理可知：，…所以：，解得：．…设BC边上的高为h，由，…得：，…解得：h=1．…18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，x2==8；=×（1.52×4）=2.25，=×（1×2+4×2）=2.5；…（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10；则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…其中满足条件的有：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…故所求的概率为．…19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．【解答】解：（1）连接BD，B1D1，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，∴E是B1D1的中点，∴BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，∴S△ABC===，∴=S△ABC•AA1==．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴椭圆C的方程为+=1；由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），即有r2=65，则圆M的方程：x2+y2=65；（2）如图，①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±4，∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直线与椭圆相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．【解答】解：（1）依题意，，故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，故，对∀x＞1恒成立；…令，则，令h'（x）=0，得，当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…所以当时，h（x）取得最小值…∴…又∵，∴…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC 的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，∴∠B=∠CAD，∵∠ADB=∠CDA，∴△ABD∽△CAD，∴=，∴AC•AD=AB•CD；（2）解：∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵ED∥AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，∴∠CAD=∠CDE，∵DE=4，DC=5，∴CE=3，∴sin∠CAD==sin∠CDE=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得：x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A （2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（1）由题意得：m2+n﹣（mn+m）=m2﹣mn+n﹣m=（m﹣1）（m﹣n），∵n＞1，故m＞1，故（m﹣1）（m﹣n）＞0，即m2+n＞mn+m；（2）由题意得：+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，当且仅当m=2n=时“=”成立．9月12日。

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广西高考数学（文科）模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知{}01M x x =<<和{}1N x x =≥-，则M N ⋃=（） A ．{}01x x << B ．{}11x x -≤< C ．{}1x x ≥-D ．{}1,0,1-2．设()1i i z +=，则z =（） A ．11i 22-+B ．11i 22+C ．1i -+D ．1i +3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（） A ．y x = B ．y x = C ．21y x =-+D ．2y x=-4．在平面直角坐标系xOy 中，角α以x 轴的非负半轴为始边，且点(P -在角α的终边上，则sin 2α=（）A ．BC ．13-D ．135．某个高级中学组织物理､化学学科能力竞赛，全校1000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一､二､三等奖和淘汰的这四个等级，现有某考场的两科考试数据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人.如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是（）①该考场化学考试获得一等奖的有4人； ②全校物理考试获得二等奖的有240人；③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人. A ．①②③ B ．②③C ．①②D ．①③6．在等差数列{}n a 中，若1241,0a a a ==，则公差d =（） A ．1B ．13C ．14D ．1-或13-7．已知0.13a =，0.30.3b =和lg0.3c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．已知圆()221:31O x y ++=，圆()222:11O x y -+=，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PA ，PB （A ，B为切点），使得PA ，则动点P 的轨迹方程为（）． A ．22195x y +=B ．24x y =C ．2213x y -=D ．()22533x y -+=9．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（）A ．B ．C ．D ．10．函数()()1sin π1f x x x =+-，则()=y f x 的图象在()24-，内的零点之和为（） A ．2B ．4C ．6D ．811．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（） A ．2yxB ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．y x =-12．已知双曲线221:162x y C -=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率相同，且双曲线2C 的左、右焦点分别为12,F F ，M 是双曲线2C 一条渐近线上的某一点，且2OM MF ⊥，2OMF S =2C 的实轴长为（）A ．4B ．C ．8D ．二、填空题13．已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =-与(1,2)AD m =-，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.14．函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是________.15．数列{}n a 满足13a =，1(2)(1)20n n a a +-++=则n a =_________.16．在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥且4AB BC AC ===则该三棱锥外接球的表面积是___________. 三、解答题 17．求值：（1）5sinsin1212ππ；（2）tan 20tan 403tan 20tan 40++.18．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a =+dy c =+建立y 关于x 的回归方程，令s =1t =得到如下数据： 2t131i y=∑21.22且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r 且2r ＝﹣0.9953．（1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适；（2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-相关系数ni i u vnu vr -⋅∑19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形PAD△为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)若M 为PB 的中点，证明：CM ∥面PAD ； (2)求三棱锥C PBD -的体积.20．已知函数()f x 满足()()()220f x f x x x x+-=+≠. (1)求()y f x =的解析式；(2)若对1x ∀、()22,4x ∈且12x x ≠，都有()()()212121f x f x kk x x x x ->∈-⋅R 成立，求实数k 的取值范围.21．已知抛物线22x py =上一点()2,1P -，焦点为F ． (1)求PF 的值；(2)已知A ，B 为抛物线上异于P 点的不同两个动点，且PA PB ⊥，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为C ，求C 点的轨迹方程．22．已知△ABC 的外接圆的半径为23R =，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，又向量()()sin sin ,3m A C b a =--，sin sin sin ,12B n A C →⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且m n →→⊥. (1)求角C ；(2)求△ABC 的面积S 的最大值，并求此时△ABC 的周长.23．已知函数15()2f x x x x x=-+-. （1）若f (x )≥a 对任意x ∈[1，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围. （2）证明：2()23f x x x +->.参考答案与解析1．C【分析】应用集合的并运算求M N ⋃即可.【详解】由题设，M N ⋃={}01x x <<⋃{}1{|1}x x x x ≥-=≥-. 故选：C. 2．B【分析】根据复数除法运算解决即可. 【详解】由题知，()1i i z += 所以i i 111i 1i 222z +===++ 故选：B 3．B【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，即得．【详解】选项A ，函数y x =不是偶函数，故A 不满足.选项B ，对于函数y x =，f (－x )＝|－x |＝|x |＝f (x )，所以y ＝|x |是偶函数，当x >0时y ＝x ，所以在(0，＋∞)上单调递增，故B 满足；选项C ，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，故C 不满足；选项D ，2y x=-不是偶函数．故D 不满足.故选：B. 4．A【分析】由三角函数定义求得sin ,cos αα，然后由正弦的二倍角公式计算．【详解】OP =由角α的正、余弦值的定义可得sinαα===于是sin 22sin cos ααα==故选：A. 5．C【分析】由物理二等奖的人数和频率可得该考场总共人数，乘以化学考试获得一等奖的频率可判断①；计算出全校获得物理考试二等奖的频率和总人数相乘可判断②；采用分层抽样从全校抽取200人，乘以化学考试被淘汰的人数的频率可判断③. 【详解】由于125010.40.10.26=---，所以该考场总共有50人，所以化学考试获得一等奖的有50(10.16⋅-0.380.38)4--=人，所以①正确；全校获得物理考试二等奖的有10000.24240⨯=人，所以②正确；如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰的人数为2000.3876⨯=人，所以③错误. 故选：C. 6．D【分析】根据等差数列的通项公式，可得()()240311d a d a +=+=，由此即可求出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，1241,0a a a ==所以()()()()124103131a a d d d a a d =++++==，所以1d =-或13-.故选：D. 7．A【分析】根据指数函数对数函数单调性,分别计算出,,a b c 范围比较即可.【详解】因为0.131a =>，()0.30.30,1b =∈与lg0.30c =<，所以a b c >>．故选:A . 8．D【分析】由条件结合圆的切线性质可得出()2212121PO PO -=-，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由PA =得222PA PB =．因为两圆的半径均为1，则()2212121PO PO -=-则()()222231211x y x y ⎡⎤++-=-+-⎣⎦，即()22533x y -+=．所以点P 的轨迹方程为()22533x y -+=．故选：D 9．A【分析】由正视图、侧视图画出原来的三棱锥可得答案.【详解】由正视图和侧视图可知，原三棱锥如图为B ACD -，其俯视图为故选：A. 10．B【分析】由题可知函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点，利用数形结合及函数的对称性即得. 【详解】由()()1sin π01f x x x =+=-可得()1sin π1x x =-- 则函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点又函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象都关于点()1,0对称作出函数()sin πy x =与函数11y x =--的大致图象由图象可知()=y f x 在()24-，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B. 11．D【解析】A 选项不是奇函数，判断A 选项错误；B 选项不是减函数，判断B 选项错误；C 选项不是减函数，判断C 选项错误；D 选项既是奇函数又是减函数，判断D 选项正确. 【详解】A 选项：因为函数2yx ，所以22()()()f x x x f x -=-==所以A 选项错误；B 选项：因为函数3()f x x =，所以(1)1f =，(2)8f =所以B 选项错误；C 选项：因为函数1()f x x=，所以(1)1f -=-，(1)1f =所以C 选项错误； D 选项：因为函数y x =-，函数过原点的正比例函数，所以是奇函数又是减函数，故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题. 12．D【分析】设2(,),(,0)bM t t F c a ，根据两双曲线的离心率相同求出b a，再根据2OM MF ⊥求出,t c 的关系，最后根据2OMF S=a ，即可得解.【详解】解：由题不妨可设2(,),(,0)bM t t F c a由题意可得c a ==则b a =2(),OM MF tM t k k t c==-1tt c=--，即34t c=代入12c=可得8c=，所以8aa==则2a=2C的实轴长为故选：D．13．23-【分析】由向量线性运算的坐标表示得(4,6)AC m=+，根据三点共线有AC ADλ=且Rλ∈，即可求m值. 【详解】由(4,6)AC AB BC m=+=+，又A，C，D三点共线所以AC ADλ=且Rλ∈，则426m mλλ-=⎧⎨=+⎩，可得423mλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.故答案为：23-14．y x=【解析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：由函数()xf x xe=求导可得()'(1)xf x x e=+所以()'01f=又()00f=即函数()xf x xe=在0x=处的切线方程是01(0)y x-=⨯-，即y x=故答案为：y x=.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.15．3?23?24nn-【分析】将1(2)(1)20n na a+-++=展开，两边同时除以1n na a+，再构造数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭结合等比数列即可得出答案.【详解】解：因为1(2)(1)20n na a+-++=所以1120n n n na a a a++-+=所以11210n n a a ++-= 所以1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭又11213a -=- 所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23-为首项，12为公比的等比数列所以1121132n n a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以3?23?24nn n a =-.故答案为3?23?24nn -.16．643π##643π 【分析】设点D 为AB 的中点，O 为ABC 外接圆的圆心，则OC OA OB ==，证得CD ⊥平面PAB ，则OA OB OP ==，O 即为三棱锥-P ABC 外接球的球心，再由球的表面积公式求解即可.【详解】如图所示：设点D 为AB 的中点，O 为ABC 外接圆的圆心，∵4AB BC AC ===，∴O 在CD 上，且1133OD CD ===23OC OA OB CD ====，∴CD AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面PAB又AB ，DP ⊂平面PAB ，∴CD AB ⊥，CD DP ⊥在PAB 中PA PB ⊥，D 为AB 的中点，∴DA DB DP == ∴OA OB OP ===O 即为三棱锥-P ABC 外接球的球心，且外接球半径R =∴该三棱锥外接球的表面积2264443S R πππ==⨯=⎝⎭. 故答案为643π. 17．(1)14.【详解】分析：（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得sin 12π•sin 512π的值;（2）在所求的式子中，把tan20°+tan40°用 tan （20°+40°）（1﹣tan20°tan40°）来代替，运算可得结果．详解：（1）5sin sin sin cos 12121212ππππ= 11sin 264π==；（2）tan20tan403tan20tan40++()tan601tan20tan40=-tan40点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，诱导公式以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．18．（1）用d y c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适；（2）10ˆ111.54y x=-；（3）当温度为20时这种草药的利润最大．【分析】（1）利用相关系数1r ，2r 比较1||r 与2||r 的大小，得出用模型d y c x =+建立回归方程更合适；（2）根据（1）的结论求出y 关于x 的回归方程即可；（3）由题意写出利润函数ˆz，利用基本不等式求得利润z 的最大值以及对应的x 值．【详解】（1）由题意知20.9953r =-10.8858r === 因为121r r <<，所有用d y c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适．（2）因为1311322113 2.1ˆ100.2113i ii i i t y t y d tt ==-⋅-===--∑∑ ˆˆ109.94100.16111.54cy dt =-=+⨯=所以ˆy 关于x 的回归方程为10ˆ111.54y x=- （3）由题意知11012020(111.54ˆˆ)22z y x x x =-=--20012230.8()2x x =-+ 2230.8202210.8≤-=，所以22.8ˆ10z≤，当且仅当20x 时等号成立所以当温度为20时这种草药的利润最大．19．(1)证明过程见解析；【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CDHM 为平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行；（2）利用C PBD P CBD V V --=求解三棱锥C PBD -的体积.【详解】（1）取AP 的中点H ，连接DH ，MH因为M 为PB 的中点所以HM //AB 且12HM AB =因为AB =BC CD ==AB//CD 所以12CD AB =所以HM //CD ，且HM =CD所以四边形CDHM 为平行四边形所以DH //CM因为CM ⊄平面PAD ，DH ⊂平面PAD所以CM //平面PAD .（2）取AD 的中点E ，连接PE因为PAD △为等边三角形所以PE ⊥AD因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PE ⊂平面PAD所以PE ⊥平面ABCD因为90ABC ∠=︒ AB CD ∥所以CD ⊥BC因为BC CD =所以11122BCD S BC CD =⋅= 过点D 作DN ⊥AB 于点N则四边形BCDN 为矩形，所以BN =CDBC DN ==因为AB =AN AB BC =-=由勾股定理得：2AD所以1AE DE ==tan 60PE AE =⋅︒=则三棱锥C PBD -的体积11133C PBD P CBD BCDV V S PE --==⋅=⨯=.20．(1)()()20f x x x x=+≠ (2)(],2-∞【分析】（1）根据已知条件可得出关于()f x 、()f x -的等式组，即可解得函数()f x 的解析式；（2）不妨设1224x x <<<，可得出()()2121k k f x f x x x +>+，则函数()()2k k g x f x x x x+=+=+在()2,4上为增函数，由()0g x '≥在()2,4上恒成立，结合参变量分离法可求得实数k 的取值范围.【详解】（1）解：由条件()()22f x f x x x+-=+，可知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠ 所以，()()22f x f x x x-+=--可得()()()()2222f x f x x x f x f x x x ⎧+-=+⎪⎪⎨⎪-+=--⎪⎩，解得()()20f x x x x =+≠. （2）解：对1x ∀、()22,4x ∈与12x x ≠都有()()()212121f x f x k k x x x x ->∈-⋅R 不妨设1224x x <<<，由()()212121f x f x k x x x x ->-⋅ 则()()()21212112k x x k k f x f x x x x x -->=-⋅，可得()()2121k k f x f x x x +>+ 也即可得函数()()2k k g x f x x x x +=+=+在区间()2,4上递增； ()2210k g x x+'=-≥对任意的()2,4x ∈恒成立，即22k x +≤ 当()2,4x ∈时2416x <<，故24k +≤，解得2k ≤.因此，实数k 的取值范围是(],2-∞.21．(1)2(2)()2238x y +-=【分析】（1）将点()2,1P -代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB 的方程为y kx t =+，()()1122,,,A x y x y 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，再根据PA PB ⊥，求得,k t 的关系，从而可得直线AB 过定点H ，再根据PC HC ⊥，可得C 点的轨迹为PH 为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵42p =，∴2p =∴抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =- 122p PF =+=；（2）解：由已知直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：y kx t =+由24x y y kx t⎧=⎨=+⎩，有2440x kx t --=，记()()1122,,,A x y x y 则124x x k += 124x x t =-∵22121212121211112244222244PA PBy y y y x x k k x x x x ------⋅=⋅=⋅=⋅++++ ()121224116x x x x -++==- ∴52t k =-则直线AB 的方程为：()25y k x =-+，过定点()2,5H∵PC HC ⊥，则C 点的轨迹为PH 为直径的圆，其方程为()2238x y +-=则轨迹方程为()2238x y +-=.22．(1)3C π=(2)max S =18【分析】（1）由m n →→⊥和正弦定理求得222c a b ab =+-，再用余弦定理求出3C π=；（2）利用正余弦定理得到2236a b ab +-=，利用基本不等式求得max S =判断出△ABC 为正三角形即可求出三角形的周长.（1）∵m n →→⊥，∴()())sin sin sin sin 0A C A siinC b a B -+-=且2R =()220222a c b b a R R R⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得：222c a b ab =+-由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 362a b ab c R C ab ab ab +-===≥-=（当且仅当6a b c ===时取“=”）∴11sin 3622S ab C =≤⨯=∴max S =ABC 为正三角形，所以三角形的周长为18.23．（1）(-∞，4]；（2）证明见解析.【解析】（1）分1x ≤<x ≥()f x 的单调性，求出()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围；（2）利用绝对值不等式和基本不等式可得()4f x ≥，又222(1)11x x x -=--≥-，即可得证.【详解】（1）当x ≥1时22222152|5|(|1|)x x x x f x x x x---+-=+=.当1x ≤<4()f x x x=+在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增此时f (x )min =f （2）=4；当x ≥2()3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间)+∞上单调递增此时min ()f x f =. 综上，当x ∈[1，+∞)时f (x )min =4所以a ≤4，即a 的取值范围为(-∞，4].（2）因为15154()22f x x x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭50x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭时等号成立.又44||4||x x x x +=+≥，当且仅当x =2或-2时等号成立所以()4f x ≥，当且仅当x =2或-2时等号成立.又222(1)11x x x -=--≥-，当且仅当x =1时取等号，所以2()23f x x x +->.【点睛】本题考查分类讨论法解决含绝对值函数问题，考查绝对值不等式和基本不等式的应用，属于中档题.。