数学期望的六个公式
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
概率论e和d计算公式
概率论e和d计算公式概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的规律。
在概率论中，e和d是两个关键的计算公式，分别代表期望和方差。
本文将介绍这两个公式的含义、计算方法以及其在概率论中的应用。
一、期望（e）在概率论中，期望是对随机变量的平均值的度量。
简而言之，期望表示随机变量取值的加权平均。
计算期望的公式如下：e(X) = Σx * P(X=x)其中，X代表随机变量，x代表该随机变量可能取到的值，P(X=x)代表随机变量取值为x的概率。
期望的计算方法可以通过将每个取值与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加得到。
期望在概率论中具有重要的意义。
它可以用来衡量随机变量的中心位置，即随机变量的平均值。
在实际应用中，期望可以用来计算风险、收益等指标，对于决策和预测具有重要意义。
二、方差（d）方差是用来度量随机变量的离散程度的指标。
方差越大，表示随机变量的取值越分散；方差越小，表示随机变量的取值越集中。
计算方差的公式如下：d(X) = Σ(x - e(X))^2 * P(X=x)其中，X代表随机变量，x代表该随机变量可能取到的值，e(X)代表随机变量的期望，P(X=x)代表随机变量取值为x的概率。
方差的计算方法可以通过将每个取值与期望的差值的平方与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加得到。
方差可以帮助我们了解随机变量的分布情况。
在实际应用中，方差可以用来评估风险，比较不同数据集的离散程度等。
三、期望和方差的应用期望和方差是概率论中常用的计算公式，它们在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，期望和方差被广泛应用于风险管理和资产定价模型中。
通过计算投资组合的期望和方差，可以评估投资组合的风险和收益，帮助投资者做出合理的投资决策。
在统计学中，期望和方差是描述数据分布和数据变异程度的重要指标。
通过计算样本的期望和方差，可以对数据进行统计分析，得出结论并进行预测。
在工程领域，期望和方差可以用来评估产品的可靠性和稳定性。
期望的有关公式（精选4篇）
期望的有关公式（精选4篇）以下是网友分享的关于期望的有关公式的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一：期望公式期望公式弗鲁姆认为，人们采取某项行动的动力或激励力取决于其对行动结果的价值评价和预期达成该结果可能性的估计。
换言之，激励力的大小取决于该行动所能达成目标并能导致某种结果的全部预期价值乘以他认为达成该目标并得到某种结果的期望概率。
用公式可以表示为：M = ∑ V × EM 表示激发力量，是指调动一个人的，激发人内部潜力的强度。
V 表示效价，是指达到目标对于满足个人需要的价值。
E 是期望值，是人们根据过去经验判断自己达到某种目标或满足需要的可能性是大还是小，即能够达到目标的主观概率。
期望理论的公式为：激励（motivation）取决于行动结果的价值评价（即“效价”valence）和其对应的期望值（expectancy）的乘积：M=∑V×E效价（V）——工作态度效价，是指达到目标对于满足他个人需要的价值。
同一目标，由于各个人所处的环境不同，需求不同，其需要的目标价值也就不同。
同一个目标对每一个人可能有三种效价：正、零、负。
如果个人喜欢其可得的结果，则为正效价；如果个人漠视其结果，则为零值；如果不喜欢其可得的结果，则为负效价。
效价越高，激励力量就越大。
该理论指出，效价受个人价值取向、主观态度、优势需要及个性特征的影响。
可以根据行为的选择方向进行推测，假如个人可以自由地选择X结果和Y结果的任一个，在相等的条件下：如果选择X，即表示X比Y具有正效价；如果选择Y，则表示Y比X具有正效价。
也可以根据观察到的需求完成行为来推测。
例如有人认为有价值的事物，另外的人可能认为全无价值。
如1000元奖金对生活困难者可能很有价值，而对百万富翁来说意义不大。
一个希望通过努力工作得到升迁机会的人，在他心中，“升迁”的效价就很高；如果他对升迁漠不关心，毫无要求，那么升迁对他来说效价就等于零；如果这个人对升迁不仅毫无要求，而且害怕升迁，那么，升迁对他来说，效价就是负值。
第六单元 数学期望
经济数学基础第10章随机变量与数字特征第六单元数学期望一、学习目标通过本节课的学习，认识数学期望是最好的代表性数字，并能利用定义和性质，熟练地进行数学期望的计算．二、内容讲解1.定义3.4数学期望如果随机变量X的概率分布为则称和数x1p1+x2p2+…+x k p k+…=kkkpx为X的数学期望或期望，记作E(X)．E（X）=∑kkkpx如果随机变量X的密度函数为f(x),则称xf x x()d-∞+∞⎰为X的数学期望或期望，记作E(X)．2.常见分布的期望（1）二点分布随机变量X的概率分布为则E(X)=1×p+0×(1－p)=p（2）二项分布X～B（n,p）经济数学基础第10章随机变量与数字特征E(X)=kpkkn=∑=⎛⎝⎫⎭⎪--=∑k nkp pk n kkn()10=np（3）泊松分布X～π(λ)P(X=k)=λkk-e!λ(k=0,1,2,…)E(X)=λ（4）均匀分布X～f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-],[],[1baxbaxabE(X)=⎰⎰-=+∞∞-ba abxxxxxfdd)(=2+212baxabba=-（5）正态分布X～f(x)=222)(e21σμπσ--xE(X)=⎰∞+∞---xx xde2222)(σμπσ=⎰∞+∞----xx xde21222)(σμσμπ+⎰∞+∞---xxde21222)(σμπσμ=μ3.随机变量函数的期望我们提这样一个问题，若X为随机变量，问X2是随机变量吗？若X的概率分布为你会计算E(X2)吗？下面我们讨论这个问题．经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征离散型E (X )=kkkp x连续型X ～f (x )，E (X )=xf x x()d -∞+∞⎰若X 为随机变量，则X 2也是随机变量，且有一般地，设X 是随机变量，Y =g (x )是连续函数，Y =g (X )亦是随机变量．且有E (Y )=E (g (X ))=⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞+∞-)((d )()())((p )(x f X X xx f x g p x X P X X xg k k kk k～是连续型～是离散型问题思考1: 数学期望E (X )是随机变量吗？能将数学期望写成E (x )吗？ 答案不是．不成．E (X )是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写成E (x ),因为x 是普通变量，有E (x )=x ．问题思考2: 数学期望E (X )=∑kkkp x视为加权平均，那么它的权是什么？答案它的权是随机变量X 取值x k 的概率值p k ．三、例题讲解例1：假设A ，B 两个工人生产同一种产品，日产量相同．在一天中出现的不合格品件数分别为X （件）和Y （件），它们的概率分布为经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征试比较两工人技术情况．解：E (X )=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1E (Y )＝0×0.5+1×0.1+2×0.2 +3×0.1+4×0.1=1.2 平均而言，工人A 比工人B 的技术好些.例2：设连续型随机变量X 的密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤--其它0112x x Ax 求E (X ).解：先确定常数A ．因为A x x Ax x x f 32)d (d )(1112===⎰⎰-+∞∞--所以23=A E (X )=⎰+∞∞-xx xf d )(=32)d 23(112⎰--=⋅x x x x - 例3：一管理员拿10把钥匙去试开一房门，只有1把钥匙能打开此房门．他随机拿出1把钥匙试开，如若打不开，就把这钥匙放在一旁，再随机取出1把试开，直至把房门打开为止．问平均试开几次能把房门打开．解：设X 为试开第x 次打开了房门，有X ＝1，2，…，10 P (X ＝1)=0.1P (X ＝2)＝9101901⨯=.P (X ＝10)＝91089121⋅⋅ =0.1 于是，能打开房门的平均次数为经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征E (X )＝1×0.1+2×0.1+…＋10×0.1＝01101102112.()⨯+⨯=例4 设X ～f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-],[0],[1b a x b a x a b ,求E (X 2－X +1).解:由随机变量函数的期望公式E (X 2－X ＋1)＝x a b x x d 1ba2⎰-+-=b ax x x a b ]23[123+--=1)+(21)(3122+-++a b a ab b四、课堂练习练习1假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球就不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的平均数．解：设X ＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X ＝0,1,2,3．旧球只有3个，X 表示取得的旧球个数．因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的平均，设终止前取得的旧球个数为随机变量X 为好．这是离散型随机变量的数学期望问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，最后代入数学期望的计算公式．练习2 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≥-<=-0e 100)(x x x F x 求：E (X )． 解：已知随机变量的分布函数F(x)，连续型随机变量的分布函数与其密度函数的关系为f(x)=F(x)，当x<0时，F(x)=0,故f(x)=0；当x 〉0时，f(x)=F(x)=(1经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征－e －x) =1－(e －x)=e －x 。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的期望、方差的计算方法
随机变量的期望、方差的计算方法随机变量的期望、方差的计算方法辛开远～杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。
这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征:数学期望、方差。
一、数学期望X 1(设离散型随机变量的分布律为:,,pX,x,px, ， 1，2，… kkk，,，,Xxpxp 如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，即 ,,kkkkk,1k,1,E(x),xp ,kkk1,，,X 2(设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分f(x)xf(x)dx,,,，,X的值为随机变量的数学期望，即 xf(x)dx,,, ，, E(x),xf(x)dx,,,3(数学期望的性质(1)，(为常数) E(C),CCX (2)，(为常数，是随机变量) E(kX),kE(X)kXY (3)，(，是两个随机变量) E(X，Y),E(X)，E(Y)XY (4)若，是相互独立的随机变量，则有 E(XY),E(X)E(Y)二、随机变量的函数的数学期望YX 设是的函数，Y,g(X)。
XX 1(当是离散型随机变量时，的分布律为,,pX,x,p ， 1，2，… k,kk，,Yg(x)p 若级数绝对收敛，则函数的数学期望为 ,kkk,1，,g(x)p E(Y),E[g(X)],,kkk,1，,XX 2(当是连续型随机变量时，的概率密度为f(x)，若积分绝对收g(x)f(x)dx,,,Y敛，则函数的数学期望为，, E(Y),E[g(X)], g(x)f(x)dx,,,三、方差2XX,,E[X,E(X)] 设是一个随机变量，若存在，则称它为的方差，记作D(X)，即2,,E[X,E(X)] D(X),X 则称为的均方差或者标准差。
D(X)X 1(若是离散型随机变量，则，,2[x,E(X)]p D(X),,kkk1,X 2(若是连续型随机变量，则，,2 D(X),[x,E(X)]f(x)dx,,,XX 方差反映了随机变量取值分散的程度，越小，的取值越集中。
数学期望
二、新课
• 数学期望（均值）：当离散型随机变量X有概率分布
pi P( X x j ), j 0,1,2,, n, 就称E ( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn 为X的数学期望或（均值） 。
三、例题
• 1.某校组织“上海世博会”知识竞赛。已知学生答 对第一题的概率0.6，答对第二题的概率是0.5，并 且他们回答问题相互之间没有影响。 • （1）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的 概率； • （2）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中 一题的人数，求 的概率分布及数学期望。 • （3）在（2）条件下，记X=2 +1，求X的数学 期望。
N
五、课后作业
• 1.课本62页，2题 • 2.《名师导学》42页-43页。
• 例2.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一 项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不 同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯 为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一 一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯 都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯， 则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元。 令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和 B两种饮料没有鉴别能力。 • （1）求X的概率分布； • （2）求此员工月工资Y的期望。
• 例3.在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、 3件三等品。从这10件产品中任取3件， • 求：（1）取出的产品中，一等品、二等品、三 等品恰好各一件的概率； • （2）取出的3件产品中一等品件数X的概率分布 与数学期望。
高一数学中的期望值与方差如何计算
高一数学中的期望值与方差如何计算在高一数学的学习中，期望值和方差是两个非常重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握这两个概念的计算方法，对于我们解决实际问题和深入理解数学知识都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是期望值。
期望值，简单来说，就是随机变量的平均取值。
如果我们把随机变量想象成一个“会变的数”，那么期望值就是它“平均会变成多少”。
假设我们有一个离散型随机变量X，它可能取值为x₁，x₂，x₃，，xₙ，对应的概率分别为 p₁，p₂，p₃，，pₙ。
那么这个随机变量 X的期望值 E(X)就可以通过以下公式计算：E(X) ＝ x₁p₁＋ x₂p₂＋ x₃p₃＋＋ xₙpₙ举个简单的例子，假设有一个掷骰子的游戏。
骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
我们设随机变量 X 表示掷骰子得到的点数。
那么X 可能取值为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率都是 1/6。
那么期望值 E(X)就等于：E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35这意味着，如果我们多次掷骰子，平均得到的点数大约是 35。
接下来，我们再看看方差。
方差反映的是随机变量取值相对于期望值的分散程度。
如果方差较小，说明随机变量的取值比较集中在期望值附近；如果方差较大，则说明随机变量的取值比较分散。
离散型随机变量 X 的方差 Var(X)的计算公式为：Var(X) ＝ E(（X E(X)）²)但为了计算方便，我们通常使用以下公式：Var(X) ＝ E(X²) E(X)²同样以上面掷骰子的例子来说明。
我们先计算 E(X²)：E(X²) ＝ 1²×（1/6) ＋ 2²×（1/6) ＋ 3²×（1/6) ＋ 4²×（1/6) ＋ 5²×（1/6) ＋ 6²×（1/6) ＝ 91/6然后，已知 E(X) ＝ 35，所以方差 Var(X)为：Var(X) ＝ 91/6 35²＝35/12 ≈ 292这表明掷骰子得到的点数相对期望值的分散程度。
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数学期望的六个公式
数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。
数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。
首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。
这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。
其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。
乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。
同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。
接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。
这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。
下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。
方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。
然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。
它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。
协方
差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。
最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。
它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。
以上就是数学期望的六个基本公式。
数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。