人教版数学高二 双曲线 同步测试
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
高二数学双曲线同步测试
高二数学双曲线同步测试(总分：50分)班级 姓名 座号 得分 每小题5分1、已知F 1 (-8，0)，F 2 (8，0)，动点P 满足|PF 1 |—|PF 2 |=16，则点P 的轨迹为( )A 双曲线B 双曲线的一支C 直线D 一射线2．双曲线的方程是161022=-y x ，则它的两个焦点坐标为（ ） A.)0,2(± B.)0,4(± C.)2,0(± D.)4,0(±3．双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为15,则P 到点(—5，0)的距离是( ) A.7 B.23 C.25或7 D.7或234．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的AB 长为6，则2ABF ∆的周长是（ ） A. 28 B. 22 C. 14 D. 125、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A -1<K<1 B k>1 C k≥0 D k>1 或k<-16．双曲线13422=-y x 的渐近线方程为_________________ 7．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的离心率为_______ 8．已知椭圆14222=+y ax 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点,则a 的值为_________ 9．渐近线为3x±4y=0，且经过点(1，22)的双曲线方程为_______________ 10．双曲线1422=-y x 两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2 ， 则|PF 1 |×|PF 2 |=_____补充题：1.双曲线x 2-8y 2=-32的长轴长=a 2 、短轴长=b 2 、焦距=c 2 、焦点坐标是 、顶点坐标是 、离心率=e 、准线方程是 、渐近线方程是 。
2.已知双曲线过点P ()3,2-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点，求双曲线的 标准方程．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-3-1双曲线的标准方程
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对 [答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0. 2．双曲线x 216－y29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5) [答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a . 又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×60.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 7．方程x 24－t ＋y2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4； ②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①②④[答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3. 当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确． 若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3， 故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．4[答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________． [答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k )＝9，∴k ＝－1.12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. [答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12.13．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 291的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P ) ∴2516－y 2P 91，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94.15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆． 当k <0时，方程y 24＋x24k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．当0<k <1时，方程x 24k ＋y 241，表示焦点在x 轴上的椭圆．当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，代入|sin C－sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)．17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36， 所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3.同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知PA ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则 |PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y2b2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 因此，双曲线方程为x2 625－y23750＝1(25≤x≤35，y≥0)，即为所求界线的方程．。
完整word版,高二数学椭圆双曲线同步测试题
高二数学椭圆双曲线同步测试题命题： 审核： 使用时间： 2015年 月 日一、选择题：1、椭圆1162522=+y x 上一点M 到一个焦点1F 的距离是2，则点M 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A. 10B. 8C. 6D. 12、已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点为()0,2，则椭圆的方程是（ ） A. 12422=+y x B. 12322=+y x C. 1222=+y x D. 12622=+y x3、椭圆19422=+y x 的焦点坐标是（ ）A. ()0,5±B. ()5,0± C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,65 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,365 4、焦点分别为（-2，0）、（2，0）且经过点（2，3）的双曲线标准方程为（ ）A 、1322=-y x B 、1322=-y x C 、1322=-x y D 、12222=-y x 5、设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或236、椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 97、已知直线y=x+1与椭圆12422=+y x 交于A 、B 两点，则 |AB| =（ ） A 、 54 B 、52 C 、352 D 、354 8、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 9、椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的取值是（ ） A.21 B. 2 C.41 D. 410、矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．26C ．4 2D ．4 3二、填空题：11、 已知椭圆方程14822=+y x ，离心率为 。
人教A版高中数学选修一高二同步测试(10)—双曲线
2
＝
1＋
3
2
k
，
y0＝
kx0
＋
m＝
1
＋
3k2
即
Q(
－
1
3km ＋ 3k
2，1ຫໍສະໝຸດ m ＋ 3k2)∵| MA| ＝ | MB| ，∴ M在 AB的中垂线上，
m
1＋ 3k2＋ 1
1＋ 3k2
∴ kl kAB＝ k·
3km ＝－ 1 ，解得 m＝ 2 …③
－
1＋
3
2
k
又由于 (*) 式有两个实数根，知△＞ 0，
∵ | PF1||
PF2|
≤(
|
PF1|
＋| 2
PF2|
)
2＝
a2，∴当且仅当
| PF1 | ＝| PF2| 时， | PF1|| PF2| 取得最大值
2
a
.
此时
cos∠ F1 PF2 取得最小值
2a2－ a2
4
－
1，由题意
2a2－ a2
4 －
1
＝－
1 ，解得
3
a2＝ 3，
b2
a2
c2
321
∴ P 点的轨迹方程为
| PF1 | 2＋| PF2| 2－ | F1F2| 2 (| PF1| ＋ | PF2 |) 2－ 2| PF1|| PF2| － | F1F2| 2
由 余 弦 定 理 有 cos ∠ F1PF2 ＝
2| PF1 || PF2|
＝
2| PF1|| PF2|
＝
2 a2－ 4 －1
| PF1|| PF2|
23
4．过点 M (3, 1) 且被点 M平分的双曲线 x 2 y 2 1 的弦所在直线方程为
高二数学双曲线练习题
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或233．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 94．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________5．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 的距离为( )A 1 B55C 2D 57．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（ ）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交8．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程9．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1．根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上。
_________；（2）6=c ，经过点（－5，2），且焦点在x 轴上。
_________；（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，_________； 2．设12,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=， 求△12F PF 的面积。
高二数学第二章第3节双曲线同步练习(理)新人教A版选修2-1
几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。 4、 D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除
A、 C，轨迹与已知直线
不能有交点，故排除 D。
5、 B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。
b3 a 依题意知 c 6 c2 a2 b2
a 2 9, b 2 27 ，所以双曲线的方程为 x 2 y 2 1 9 27
1
1
2k 2
| AB | | CD | 4 2(1
1 k2) －
k2 2 4 2(1 k 2)
3k 2 3 4 2(1 k 2 )
3 2 ，所以 存在常数 8
3 2 ， 使 得 | AB | | CD | ＝ 8
| AB | | CD |恒成立。
专心 爱心 用心
5
27 9
6、已知 F1 、 F2 为双曲线 C： x 2 y2 1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F1 P F2 ＝ 60 ，
则 PF1 PF2 （ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题：
7、点 A( x0， y0) 在双曲线 x2 y 2 1 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ，则 x0 4 32
1
3
2 | PF1 || PF2 | 2
解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，
a2
2x 0 3( x 0
) c
x0 2
得到 a＝ 2，c＝ 6， r e r 3d ， d
8、 ( 4,0) 3x y 0
9、 x2 y 2 1 4 12
专心 爱心 用心
3
解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
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双曲线方程化为： ，
∴双曲线方程为： ∴ ．
16．(12分) [解析]：（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．设双曲线方程为
则 又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，
17．一炮弹在A处的东偏北60°的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离．
参考答案
1. A 2. C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.A 10.A
11． 12． 13．t>4或t<114．
A．2B． C． D．
10．已知双曲线方程为 ，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）
A．4条B．3条C．2条D．1条
二、填空题
11．直线 与双曲线 相交于 两点，则 =__________________．
12．过点 且被点M平分的双曲线 的弦所在直线方程为．
13． 表示双曲线，则实数t的取值范围是．
14．焦点为F1（-4，0）和F2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是．
三、解答题
15．求一条渐近线方程是 ，一个焦点是 的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．
16．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．建立坐标系并写出该双曲线方程．
所以有 ①
②由题意知 ③
由①、②、③得 故双曲线方程为
17．[解析]：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A（3，0）、B（－3，0）
右支上的一点∵P在A的东偏北60°方向，∴ ．
∴线段AP所在的直线方程为
解方程组 ，
即P点的坐标为（8， ）∴A、P修2-1 2.3双曲线同步测试
一、选择题
1．“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
2．一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆心的轨迹为（）
A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆
3．双曲线虚半轴长为 ，焦距为6，则双曲线离心率是（）
A． B． C． D．
4．过点P（2，-2）且与 -y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）
A． B．
C． D．
5．双曲线 的焦距是（）
A．4B． C．8D．与 有关
6．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可
能是（）
A B C D
7．双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（）
A． B．3C． D．
8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为
（）
A． B． C． D．
9．设双曲线 （0<a<b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为 c，则双曲线的离心率为（）