大学物理静电场中的导体和电介质习题答案

. . .. . .

第13章 静电场中的导体

和电介质

P70．

13．1 一带电量为q ，半径为r A 的

金属球A ，与一原先不带电、外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将

A 和

B 连接起来，则

A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为

零）

[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳侧会感应出异种，但是高斯面只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为

2

04q E r

πε=

．

当金属球壳侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为

04c

q U r πε=

．

13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？ [解答]介质中

的电场强度和电位移是轴对称分布

的．在外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，

根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该

面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．

设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为

d d S

Φ=

??

D S

1

2

d d d 2S S S rlD π=?+?+?=???D S D S D S ，

可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．

电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ，

方向也垂直中心轴向外．

13．3 金属

球壳原来带有电量Q ，壳外半径分别为a 、b ，壳距球心为r 处有一点电荷

q ，求球心o 的电

势为多少？

[解答]点电荷q 在壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为

0001

11444o q q Q q

U r a b

πεπεπε-+=

++

13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q =

3×10-8C ，忽略边

缘效应．求 （1）B 、C

图14.3

（2）A 板电势为多少？

[解答](1)设A 的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ

2，所带电量分别为

q 1 = σ1S 和q 2 = σ2S ，

在B 、C 板上分别感应异号电荷-q 1和-q 2，

由电荷守恒得方程

q = q 1 + q 2 = σ1S + σ2S ． ① A 、B 间的场强为 E 1 = σ1/ε0， A 、C 间的场强为 E 2 = σ2/ε0．

设A 板与B 板的电势差和A 板与C 板的的电势差相等，设为ΔU ，则

ΔU = E 1d 1 = E 2d 2， ②

即 σ1d 1 = σ2d 2． ③

解联立方程①和③得

σ1 = qd 2/S (d 1 + d 2)，

所以 q 1 = σ1S = qd 2/(d 1+d 2) = 2×10-8(C)；

q 2 = q - q 1 = 1×10-8(C)．

B 、

C 板上的电荷分别为

q B = -q 1 = -2×10-8(C)； q C = -q 2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为

ΔU = E 1d 1 = σ1d 1/ε0 = qd 1d 2/ε0S (d 1+d 2)，

由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π，

因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B 板和C 板的电势为零，所以

U A = ΔU = 452.4(V)．

13．5 一无限大均匀带电平面A ，带

电量为q ，在它的附近放一块与A 平行的金属导体板B ，板B 有一定的厚度，如图所示．则在板B 的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？

[解答]由于板B 原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得

q 1 + q 2 = 0． ①

虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S ，则面电荷密度分别为

σ1 = q 1/S 、σ2 = q 2/S 、σ = q/S ， 它们产生的场强大小分别为

σ2/ε0、E = σ/ε0．

在B 板部任取一点P ，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A 板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得

E 1 - E 2 – E = 0，

即 σ1 - σ2 – σ = 0，

或者说 q 1 - q 2 + q = 0． ② 解得电量分别为

q 2 = q /2，q 1 = -q 2 = -q /2．

13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为

120V ，两板间相距为1.2mm ，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？

[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．

由于两板带等量异号的电荷，所以

σ2 = -σ3．

两板之间的场强为

E = σ3/ε0，

而 E = U/d ， 所以面电荷密度分别为

σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C ·m -2)，

σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m -2)． 13．7 一球形电容器，外球壳半径分别为R 1和R 2，球壳与地面及其他物体相距很远．将球用细导线接地．试证：球面间电容

可用公式2

02

21

4R C R R πε=-表示．

（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R >>R 2）

[证明]方法一：并联电容法．在

外球外面再接一个

图14.5 图14.6

半径为R 3大外球壳，外壳也接地．球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为

1210

01221

1

441/1/R R C R R R R πεπε==--

外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为

2023

1

41/1/C R R πε=-．

外球壳是一极，由于球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为

12

120

0221

44R R C C C R R R πεπε=+=+-

2

02

21

4R R R πε=

-． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则壳将感应电荷q`．球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于球接地，所以其电势为零；由于球是一个等势体，其球心的电势为

02

01

`044q q R R πεπε+

=，

因此感应电荷为

1

2

`R q q R =-

． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为

122

002`44R q q E r R r πεπε=

=-，

负号表示场强方向由外球壳指向球壳．

取外球壳指向球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为

1

1

2

2

d d R R R R U E r =

?=??E l

1

2

12

02()d 4R R R q

r R r

πε=

-

? 1212

021202

()11

()44R q R R q R R R R πεπε-=

-= 球面间的电容为

2

02

21

4R q C U R R πε==

-．

13．8 球形电容器的、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？

[解答]球形电容器的电容为

120

01221

1

441/1/R R C R R R R πεπε==--．

对于半球来说，由于相对面积减少了一

半，所以电容也减少一半：

012

121

2R R C R R πε=

-．

当电容器中充满介质时，电容为：

012

221

2r R R C R R πεε=

-．

由于球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：

012

1221

2(1)r R R C C C R R πεε+=+=

-．

13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．

[解答]假设在

两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电

容分别为

C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2．

总电容的倒数为

122112*********

d d d d C C C S S S

εεεεεε+=+=+=， 总电容为 122112

S

C d d εεεε=+．

13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1

的导线和与它同轴的半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：

（1）两极的电势差U ；

（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？

[解答]介质中

的电场强度和电位移是轴对称分布的．在外半径之间作一个半径为r 、长

为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上

下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为

d d S

Φ=

??

D S

1

2

d d d 2S S S rlD π=?+?+?=???D S D S D S ，

高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．

电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．

取一条电力线为积分路径，电势差为

2

1

d d d 2R L

L

R U E r r r λπε=?==

???E l 21

ln 2R R λ

πε=

． 电容为 212ln(/)

q l

C U R R πε=

=

． 在真空时的电容为

00212ln(/)

l q C U R R πε=

=， 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．

13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：

（1）介质层、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层、外表面的极化电荷面密度．

[解答]（1）在介质，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为

2d d 4d S

S

D S r D Φπ=

?=

=?

?

D S

高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为

D = Q 0r /4πr 3．

电场强度为

E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3， 方向沿着径向．

由于 D = ε0E + P ， 所以 P = D - ε0E = 03

1

(1)

4r

Q r επ-

r

． 在介质之外是真空，真空可当作介电常

量εr = 1的介质处理，所以

D = Q 0r /4πr 3，

E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0．

（2）在介质层靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为

E 0 = Q 0r /4πε0r 3；

极化电荷q 1`产生的场强为

E` = q 1`r /4πε0r 3；

总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，

解得极化电荷为 `

101(1)r

q Q ε=-，

介质层表面的极化电荷面密度为

`

`011

22

111

(1)44r Q q R R σπεπ==-． 在介质层外表面，极化电荷为

``21q q =-，

面密度为

``0

22

22

221(1)44r Q q R R σπεπ==-．

13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？

[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为

W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为

W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2．

13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间，求电容器的静电能为多少？

[解答]平行板电容器的电容为

C = ε0S/d ，

当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．

两个电容器并联，总电容为

C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，

静电能为

W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ．

13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：

（1）电容器的电容C ；

（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度． [解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为

C = (1 + εr )ε0S /2d ．

（2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ，

充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为

W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；

介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ．

设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则

Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以

U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得

0111221

1/C U C Q

Q C C C C =

=

++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为

001

12122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S d

εσε=

==

++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

0021222(/1)(1)r r C U U

C C S d

εεσε=

=

++．

13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器有一

块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：

（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？

（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？

[解答]平行板电容器的电容为

C 0 = ε0εr S/d ，

静电能为 W 0 = C 0U 2/2． 玻璃板抽出之后的电容为

C = ε0S/d ．

（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2， 电能器能量变化为

ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d =

-3.18×10-5(J)．

（2）充电后所带电量为 Q = C 0U ， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为

W = Q 2/2C ，

电能器能量变化为

2

000(1)

2

C C U W W W C ?=-=- 2

0(1)

2r r SU d

εεε=-= 1.59×10-4(J)．

13．16 设圆柱形电容器的、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半

储存在半径R =

[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ， 能量密度为 w = ε0E 2/2， 体积元为 d V = 2πrl d r ， 能量元为 d W = w d V ．

在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为

2

d d 2

V

V

W w V E V ε==??

2200d ln 44R

a

l l R

r r a λλπεπε==?．

当R = b 时，能量为

210ln

4l b W a

λπε=；

当R =

22200ln

48l l b W a

λλπεπε==， 所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存

在半径R =

13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：

（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？

（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？

（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？

[解答]（1）圆柱形柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，

根据介质是高斯定理，可知电位移为

D = λ/2πr = Q /2πrl ，

场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ， 能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．

薄壳的体积为d V = 2πrl d r ，

能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．

（2）电介质中总能量为

22d d ln 44b

V a

Q Q b

W W r lr l a πεπε===??．

（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为

222ln(/)

Q l

C W b a πε==

．

13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联

起来，等效电容多大？如果两端加上1000V

电压，是否会被击穿？

[解答]当两个电容串联时，由公式

21

1212

111C C C C C C C +=+=

， 得 12

12

120PF C C C C C =

=+．

加上U = 1000V 的电压后，带电量为

Q = CU ，

第一个电容器两端的电压为

U 1 = Q/C 1 = CU/C 1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为

U 2 = Q/C 2 = CU/C 2 = 400(V)． 由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．