第12章 结构的动力计算
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结构动力学基础
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A
y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
结构动力计算
5. 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下的 结构内力、位移等量值随时间而变化的规律，从 而找出其最大值以作为设计或验算的依据。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
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3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
结构力学习题集（下）_结构的动力计算习题与答案
结构⼒学习题集（下）_结构的动⼒计算习题与答案第九章结构的动⼒计算⼀、判断题：1、结构计算中，⼤⼩、⽅向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复⼒作⽤下的振动称为⾃由振动。
3、单⾃由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增⼤到原来的2倍，则周期⽐原来的周期减⼩1/2。
4、结构在动⼒荷载作⽤下，其动内⼒与动位移仅与动⼒荷载的变化规律有关。
5、图⽰刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动⾃由度为2，图b 刚架的振动⾃由度也为2。
6、图⽰组合结构，不计杆件的质量，其动⼒⾃由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图⽰结构的动⼒⾃由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同⼀体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的⾃振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
⼆、计算题：10、图⽰梁⾃重不计，求⾃振频率ω。
l l /411、图⽰梁⾃重不计，杆件⽆弯曲变形，弹性⽀座刚度为k ，求⾃振频率ω。
12、求图⽰体系的⾃振频率ω。
l l0.5l 0.513、求图⽰体系的⾃振频率ω。
EI = 常数。
ll 0.514、求图⽰结构的⾃振频率ω。
l l15、求图⽰体系的⾃振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图⽰体系的⾃振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图⽰结构的⾃振频率和振型。
l /218、图⽰梁⾃重不计，W EI ==??2002104kN kN m 2,，求⾃振圆频率ω。
B2m2m19、图⽰排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求⾃振周期ω。
EIEIW20、图⽰刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求⾃振周期T 。
EIEIWEI 221、求图⽰体系的⾃振频率ω。
各杆EI = 常数。
a aa22、图⽰两种⽀承情况的梁，不计梁的⾃重。
求图a 与图b的⾃振频率之⽐。
l /2/2(a)l /2l /2(b)23、图⽰桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求⽔平⾃振周期T 。
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
15.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 15.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 求图示体系的自振频率和周期 常数 解:
m
l
5l 3 δ 11 = ; 3EI
1 3EI = ω = mδ11 5ml3
2
l =1 l
ω=
3EI 3EI 5ml3
5ml3 = 2π T= ω 3EI
l
2π
10.图示体系,不计阻尼及杆件质量, 10.图示体系,不计阻尼及杆件质量,其振动微分方程为 图示体系
M 0 sin θ t单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 11.无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致 12.计算自振频率时可以不计阻尼。 12.计算自振频率时可以不计阻尼。 计算自振频率时可以不计阻尼 13.任何体系均能发生自由振动。 13.任何体系均能发生自由振动。 任何体系均能发生自由振动 14.图示体系的动力自由度为多少？ 14.图示体系的动力自由度为多少？ 图示体系的动力自由度为多少
动荷载及其分类第12章小结自由度及其确定运动方程的建立运动方程的求解方法动力特性计算动力反应计算确定动力特性的试验方法阻尼力假定及阻尼的影响简谐荷载周期荷载阶跃荷载冲击荷载一般荷载经典解法频域解法时域解法数值解法公式法能量守恒幅值方程惯性力法虚功法动荷载及其分类第12章小结自由度及其确定运动方程的建立运动方程的求解方法动力特性计算动力反应计算确定动力特性的试验方法阻尼力假定及阻尼的影响简谐荷载周期荷载阶跃荷载冲击荷载一般荷载经典解法频域解法时域解法数值解法公式法能量守恒幅值方程惯性力法虚功法1
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(12-15章)【圣才出品】
阶方阵）。
十、地震作用计算 ★★ 整节非考研初试重点，但为考研复试的考察重点，需重点掌握基本概念。地震作用的基 本概念见表 12-1-14。
表 12-1-14 地震作用的基本概念
十一、计算频率的近似法 ★★ 本节掌握集中质量位置选择的基本思路即可，其他的为非重点。具体内容见表 12-1-15。
表 12-1-15 计算频率的近似法
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••
•
简写为 MY＋cY＋KY＝F（t）。
式中，cij 为质点 j 处的运动速度引起质点 i 处的阻力系数；Fi（t）为作用在质点 i 处的
任意荷载；Y 为速度列向量；F（t）为任意荷载列向量（n×1 阶列矩阵）；c 为阻尼矩阵（n×n
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12.2 课后习题详解 复习思考题
1．怎样区别动力荷载与静力荷载？动力计算与静力计算的主要差别是什么？ 答：（1）静力荷载：指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去 惯性力影响的荷载； 动力荷载：指将使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。 主要差别在于是否考虑惯性力的影响。
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第 12 章 结构动力学
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12.1 复习笔记
【知识框架】
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【重点难点归纳】 一、基本概念 ★★★ 1．动力载荷与静力载荷（见表 12-1-1）
图 12-1-1 （1）刚度系数与柔度系数（见表 12-1-5）
表 12-1-5 刚度系数与柔度系数
结构力学Ⅱ课件：结构动力学(一)
• 结构的动力计算不但要考虑动力荷载的性质，还要 考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 阻尼特性分布的影响；
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
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刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
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三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
第12章结构动力学 ppt课件
§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
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EI124EI1 k 3 l 结构的自振频率和周期：
24EI1 g k 2 3 Wl 3 2 Wl T 2 24 EI1 g
3 3
1
1
m
EI1
EI1
T 2
20 10 6 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8
结构动力计算的特点
1.结构动力学的主要特征
由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。 考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。
2.结构动力计算的原理和方法
达朗贝尔原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的
所有的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式 上构成一平衡力系（即主动力、约束反力和质点的惯性力 的矢量和等于零）。 动静法：动力计算问题可以转化为静力平衡问题来求解
计算公式的几种形式
1 2 3
1 k m W g
k m
1
m
T 2 m k
T 2 m
T 2 W g
T 2 st g
g W
g st
4
W st
自振周期的特性
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关。与
自由振动的组成： 一部分由初始位移 y0引起的； 另一部分由初始速度 v0引起的。 方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得： a y02 v
2 0 2
(t) C1 cost C2 sin y v0 方程的解： y(t ) sin t y0 cos t
C2 y0 v C1 v0 C1 0
tg
1
y0 0 v
三、结构的自振周期
从微分方程的解： y(t) a sin(t ) 位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）” T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）” f 1 T 2 圆频率或频率：2 时间内的振动次数,单位:“弧度/s” ； 2 2 2f k 1 T m m
A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
• 结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。
例．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质 量不计,求其自振频率。
m
k 1
EI
EI
h
3EI/h2
3EI/h2 M1图 k1 3EI/h3 3EI/h3
k
6 EI h3
t 设解为： y(t ) Ce
(15.16)
特征方程为：
2 2 2 0
( 2 1
(15.17)
（1)ξ<1（低阻尼）情况
ir
r 1 2 其中：
低阻尼体系的自振圆频率
解为：
y e t C1 cos r t C2 sin r t
周期 确定 非周期 动荷载 不确定 随机荷载
冲击荷载 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载 随机振动分析 地震荷载 其他无法确定变化 规律的荷载
P(t )
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
θt
t 0时, y(0) y0 v(0) v0 引入，
有：
ye
t
v0 y0 sin r t y0 cos r t r
y e t a sin( r t ) a
2 (v0 y 0 ) y0 r2 2
(15.18)
2. 柔度法：根据体系变形协调条件 y 体系受惯性力： fI m y fI m y m的位移：
其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移： 1 k
二、自由振动微分方程的解
2 ky 0 微分方程： m 令： k 方程改为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比。刚度越 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有
从改变结构的质量或刚度着手。
自振周期的特性
（3）两个外形相似的结构，如果其自振周期相近，则在动 荷载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数 量标志。如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之， 两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在
动荷载作用下的动力性能基本一致。
例 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
例 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。
刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。
t
随机荷载
(random load)
结构动力学的任务
(1) 提供任意给定结构在任意动荷载作用下进
行响应分析的方法；
(2) 确定结构固有动力特性及结构固有动力特
性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结
构在动荷载作用下的响应规律；
(3) 为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依
据。
动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下 的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素：
动力计算与静力计算的区别：
2、荷载和响应随时间变化，动力问题必须建 立与时间有关的一系列解答，静力问题具有单 一解。动力分析比静力分析复杂、耗时间。 3、结构动力响应不仅与荷载如何随时间变化 有关系，还与结构的刚度分布、质量分布、能
量耗散等有关。
12.1.2 动荷载分类
简谐荷载 非简谐荷载
结构振动分析
(1）确定动力荷载；
(2）确定结构的动力特性；计算动位移及其
幅值；计算动内力及其幅值。
本课程的内容 — 基于杆系结构的动力学基础
研究的问题
自由振动：外部起振后，再没有外力的振动。
强迫振动：振动过程中，有外部干扰力作用。
计算内容
确定结构的动力特征：自振频率、振型和阻尼参数等。
计算结构的动力反应：在动荷载作用下的动内力、动位
动力计算与静力计算的区别：
在动荷载作用下，结构将发生振动，除了产生内力和位 移，还会产生速度和加速度，而且它们都是随时间而变化的。 故两者的区别就在于是否考虑惯性力。
1、数学处理复杂。
两者都是建立平衡方程。 动力计算：建立的是形式上的平衡方程。力系中包含 了惯性力(惯性力是必须考虑的重要问题)、阻尼力。考 虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的 方程是微分方程。 静力学的线弹性问题，方程是线性方程。
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载.
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。
P P(t )
P
tr t
P
突加荷载
tr
t
(Suddenly applied constant load)
爆炸荷载
P( t )
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载 在将来任一时刻的数值无法事先确 定。（如地震荷载、风荷载）
§12.1 概述
12.1.2 动荷载分类
静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随
时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性
力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是
确定的。
动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时
间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力 不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加 速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
第12章 结构的动力计算
都江堰震害图片（“都江之春”框架结构住宅楼）：
砼柱破坏，梁端无明显破坏
工业厂房交叉斜撑，保全了排架柱。
不正确设计的 结构在地震荷载 （动荷载的一种） 作用下的破坏给国 民经济带来的损失。 当然，动荷载不只 地震荷载，对承受 动荷载作用的结构， 只有按考虑动力响 应进行设计，才能 正常发挥其功能。
称为振幅的对数递减率。
r 1,
y y 1 r 1 ln k ln k 2 yk 1 2 yk 1
集中质量法
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I 2I
单自由度体系 三个自由度体系
(single degree-of-freedom system)
v( t ) θ( t )
三个自由度
u(t)
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
1 m 11
3EI mlh2
2.有阻尼的单自由度体系自由振动微分方程的解
(a)
m
cy ky 0 my
令 k y(t)
(15.14)
m
(b)
ky(t) m
(t ) cy
c 2m
( 阻尼比）
(15.15)
(t ) my
2 y 0 y 2 y
r , Tr T
②阻尼对振幅的影响. 振幅ae-ξωt 随时间衰减，相邻两个振幅的比：
24EI1 g k 2 3 Wl 3 2 Wl T 2 24 EI1 g
3 3
1
1
m
EI1
EI1
T 2
20 10 6 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8
结构动力计算的特点
1.结构动力学的主要特征
由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。 考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。
2.结构动力计算的原理和方法
达朗贝尔原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的
所有的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式 上构成一平衡力系（即主动力、约束反力和质点的惯性力 的矢量和等于零）。 动静法：动力计算问题可以转化为静力平衡问题来求解
计算公式的几种形式
1 2 3
1 k m W g
k m
1
m
T 2 m k
T 2 m
T 2 W g
T 2 st g
g W
g st
4
W st
自振周期的特性
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关。与
自由振动的组成： 一部分由初始位移 y0引起的； 另一部分由初始速度 v0引起的。 方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得： a y02 v
2 0 2
(t) C1 cost C2 sin y v0 方程的解： y(t ) sin t y0 cos t
C2 y0 v C1 v0 C1 0
tg
1
y0 0 v
三、结构的自振周期
从微分方程的解： y(t) a sin(t ) 位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）” T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）” f 1 T 2 圆频率或频率：2 时间内的振动次数,单位:“弧度/s” ； 2 2 2f k 1 T m m
A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
• 结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。
例．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质 量不计,求其自振频率。
m
k 1
EI
EI
h
3EI/h2
3EI/h2 M1图 k1 3EI/h3 3EI/h3
k
6 EI h3
t 设解为： y(t ) Ce
(15.16)
特征方程为：
2 2 2 0
( 2 1
(15.17)
（1)ξ<1（低阻尼）情况
ir
r 1 2 其中：
低阻尼体系的自振圆频率
解为：
y e t C1 cos r t C2 sin r t
周期 确定 非周期 动荷载 不确定 随机荷载
冲击荷载 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载 随机振动分析 地震荷载 其他无法确定变化 规律的荷载
P(t )
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
θt
t 0时, y(0) y0 v(0) v0 引入，
有：
ye
t
v0 y0 sin r t y0 cos r t r
y e t a sin( r t ) a
2 (v0 y 0 ) y0 r2 2
(15.18)
2. 柔度法：根据体系变形协调条件 y 体系受惯性力： fI m y fI m y m的位移：
其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移： 1 k
二、自由振动微分方程的解
2 ky 0 微分方程： m 令： k 方程改为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比。刚度越 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有
从改变结构的质量或刚度着手。
自振周期的特性
（3）两个外形相似的结构，如果其自振周期相近，则在动 荷载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数 量标志。如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之， 两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在
动荷载作用下的动力性能基本一致。
例 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
例 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。
刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。
t
随机荷载
(random load)
结构动力学的任务
(1) 提供任意给定结构在任意动荷载作用下进
行响应分析的方法；
(2) 确定结构固有动力特性及结构固有动力特
性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结
构在动荷载作用下的响应规律；
(3) 为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依
据。
动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下 的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素：
动力计算与静力计算的区别：
2、荷载和响应随时间变化，动力问题必须建 立与时间有关的一系列解答，静力问题具有单 一解。动力分析比静力分析复杂、耗时间。 3、结构动力响应不仅与荷载如何随时间变化 有关系，还与结构的刚度分布、质量分布、能
量耗散等有关。
12.1.2 动荷载分类
简谐荷载 非简谐荷载
结构振动分析
(1）确定动力荷载；
(2）确定结构的动力特性；计算动位移及其
幅值；计算动内力及其幅值。
本课程的内容 — 基于杆系结构的动力学基础
研究的问题
自由振动：外部起振后，再没有外力的振动。
强迫振动：振动过程中，有外部干扰力作用。
计算内容
确定结构的动力特征：自振频率、振型和阻尼参数等。
计算结构的动力反应：在动荷载作用下的动内力、动位
动力计算与静力计算的区别：
在动荷载作用下，结构将发生振动，除了产生内力和位 移，还会产生速度和加速度，而且它们都是随时间而变化的。 故两者的区别就在于是否考虑惯性力。
1、数学处理复杂。
两者都是建立平衡方程。 动力计算：建立的是形式上的平衡方程。力系中包含 了惯性力(惯性力是必须考虑的重要问题)、阻尼力。考 虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的 方程是微分方程。 静力学的线弹性问题，方程是线性方程。
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载.
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。
P P(t )
P
tr t
P
突加荷载
tr
t
(Suddenly applied constant load)
爆炸荷载
P( t )
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载 在将来任一时刻的数值无法事先确 定。（如地震荷载、风荷载）
§12.1 概述
12.1.2 动荷载分类
静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随
时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性
力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是
确定的。
动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时
间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力 不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加 速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
第12章 结构的动力计算
都江堰震害图片（“都江之春”框架结构住宅楼）：
砼柱破坏，梁端无明显破坏
工业厂房交叉斜撑，保全了排架柱。
不正确设计的 结构在地震荷载 （动荷载的一种） 作用下的破坏给国 民经济带来的损失。 当然，动荷载不只 地震荷载，对承受 动荷载作用的结构， 只有按考虑动力响 应进行设计，才能 正常发挥其功能。
称为振幅的对数递减率。
r 1,
y y 1 r 1 ln k ln k 2 yk 1 2 yk 1
集中质量法
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I 2I
单自由度体系 三个自由度体系
(single degree-of-freedom system)
v( t ) θ( t )
三个自由度
u(t)
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
1 m 11
3EI mlh2
2.有阻尼的单自由度体系自由振动微分方程的解
(a)
m
cy ky 0 my
令 k y(t)
(15.14)
m
(b)
ky(t) m
(t ) cy
c 2m
( 阻尼比）
(15.15)
(t ) my
2 y 0 y 2 y
r , Tr T
②阻尼对振幅的影响. 振幅ae-ξωt 随时间衰减，相邻两个振幅的比：