人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题质量专项训练
人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元易错题难题质量专项训练一、选择题
1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
2．在△ABC中，∠BCA=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（）
A．5 B．7
5
C．
14
5
D．
36
5
3．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）
A．20 B．24 C．99
4
D．
53
2
5．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1，2）
①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，D 为BC 边上的一点，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为（ ）
A ．2cm
B ．2.5cm
C ．3cm
D ．4cm
7．已知,,a b c 是ABC ?的三边，且满足2
2
2
()()0a b a b c ---=，则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则
点D 到AB 的距离是（ ）
A ．3
B ．4
C ．7(21)-
D ．7(21)+
9．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）
A ．杨辉
B ．刘徽
C ．祖冲之
D ．赵爽
10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使
点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）
A ．7
B ．
254
C ．6
D ．
112
二、填空题
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．
12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．
13．若ABC ?为直角三角形，90B ∠=?，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且
2AC BD =，则AD 的长为__________．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．
15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．
16．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝
AE＝CE，AD⊥AE，则AB
BD
的值为____________．
18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°
19．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，﹣2），连接PG，则线段PG的长度是_____．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；
（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．
24．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
25．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．
（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?）；
（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．
26．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动
2
3
秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．
设点E 的运动时间为t :（秒）
（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）
（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设
MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．
27．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
28．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这
个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持
不动，让
从重合位置开始绕点转动，在转动的
过程，观测
的大小和
的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD 中，AD=12，AB=15，∴DB=9 ∴BC=4
∴△ABC 的周长为：15+13+4=32 故选：C 【点睛】
本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.
2．C
解析：C 【分析】
根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出7
5
EH DG ==，即可得到BE. 【详解】
∵∠BCA=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810AB
AC BC ，
∵D 是AB 的中点， ∴AD=BD=CD=5，
由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6， ∴BD=DE ，
作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ， ∴∠DHE=∠EGD=90?，∠EDH=
12∠BDE=1
2
（180?-2∠EDC ）=90?-∠EDC ， ∴∠DEB= 90?-∠EDH=90?-(90?-∠EDC)=∠EDC ， ∵DE=DE ， ∴△DHE ≌△EGD ， ∴DH=EG ，EH=DG ， 设DG=x ，则CG=5-x ，
∵2EG =2222DE DG CE CG -=-， ∴2
2
2
2
56(5)x x -=--， ∴7
5
x =
， ∴75
EH DG ==， ∴BE=2EH=145
， 故选：C.
【点睛】
此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度.
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE为等腰直角三角形，∴2AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本结论错误．
综上所述，正确的个数为3个．故选C．
4．B
解析：B
【分析】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出
x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.
【详解】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意
得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.
【详解】
解：由AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得，①正确；
1
>，②正确；
由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；
△DCE的周长，△BDF的周长+4-
4个，故选：D.
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.
6．C
解析：C
【分析】
-，在首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8x
△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：
==，
10
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°，
设DC=x，则BD=8-x，DE=x，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=(8-x)2，
解得：x=3，
∴CD=3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
由（a-b ）（a 2-b 2-c 2）=0，可得：a-b=0，或a 2-b 2-c 2=0，进而可得a=b 或a 2=b 2+c 2，进而判断△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形． 【详解】
解：∵（a-b ）（a 2-b 2-c 2）=0， ∴a-b=0，或a 2-b 2-c 2=0， 即a=b 或a 2=b 2+c 2，
∴△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a 2+b 2=c 2的三角形是直角三角形．
8．C
解析：C 【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解． 【详解】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7， ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC ＝AC ＝7，AB 在Rt △AED 和Rt △ACD 中， AE ＝AC ，DE ＝DC ， ∴Rt △AED ≌Rt △ACD ， ∴AE ＝AC ＝7，
设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ， 在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ，
即：()
()2
2
27
7-x x +=，
解得： 1)x =-， 故选：C ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【详解】
由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选D．
【点睛】
考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．
10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．
【详解】
解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=8-x，
在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
∴62+（8-x）2=x2，
解得x= 25 4
∴BD=25
4
．
故选：B．【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题
11．8
【解析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值
作交于，则为所求；
设,,
由，，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8.
点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．2
【分析】
根据S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关
于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AD?h＝
1
3
AD?AB，
∴h ＝
2
3
AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8， DE ＝
22228882AE AD +=+= ,
即PA +PD 的最小值为82 ． 故答案82． 【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键． 13．5 【分析】
在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长. 【详解】
解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=?,90BED ∠=?,
∵直角ABC 中，90B ∠=?，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=, 又∵2ABC
S
AB BC AC BE =?=?，2AC BD =
∴6810BE ?=，5BD =, ∴=4.8BE ,
∵90BEA ∠=?,90BED ∠=?
∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=, ∴5AD AE ED =+=. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形. 14．75或6或94
【分析】
当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值． 【详解】
在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36， ∴BC ＝6（cm ）；
①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝
7.5
2
＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；
③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2， 所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2， 解得：t ＝
9
4
， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94
． 故答案为：3.75或6或
94
．
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解. 15．2 【分析】
连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222
BD AD AB +=，由此可得△ABD 为
直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解. 【详解】
连接AD 、CD ，如图所示：
由勾股定理可得，
22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+，
∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=， ∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°， 同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°， ∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===， 在△ABC 和△DEB 中，
AB DE BC EB AC BD =??
??=?
＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ， ∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°， ∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ， ∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ， ∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2. 【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理. 16．72965【分析】
分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时． 【详解】
（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时． ∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229
DE BE
=+=；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265
DE BE
=+=．
故答案为：7或29或65．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
1762 +
【解析】
【分析】
过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出
∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到
DG=AG=2a，332)a，31)a，231)a,代入计算即可.
【详解】
过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.
∵∠BCA＝30°，AE=EC
∴AM=1
2
AC，AN=
1
2
AC
∴AM=AN
又∵AD=AE
∴R t?ADM? R t?AEN(HL)
初二数学勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)
【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)
八年级下册易错题
第一章 三角形的证明
1.已知等腰三角形的两边长分别为 5 ㎝、2 ㎝，则该等腰三角形的周长是（D ）
A．7 ㎝
B．9 ㎝
C．12 ㎝或者 9 ㎝
D．12 ㎝
考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三
角形两腰相等，
因此只能是：5cm，5cm,2cm.
2.一个等腰三角形的一个角是 40°，则它的底角是（D）
A．40° B．50°
C．60°
D．40°或 70°
考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当 40°是顶角时，底角就是 70°；
②40°就是一个底角.
3.已知△ABC 的三边长分别是 6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（D）
A.2.4cm
B.3cm
C.4cm
D. 4.8cm
提示：设最长边上的高为
1 .6.8 1 .10.h
2
2
h,由题意可得△ ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即
解得 h=4.8
3 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 ，腰长为 6，则其底边上的高是3 或
3.
0
解：①三角形是钝角三角形时，如图 1，∵∠ABD=30°
11 ∴AD= 2 AB= 2 ×6=3，
∵AB=AC，
1
1
∴∠ABC=∠ACB= 2 ∠BAD= 2 (90°-30°)=30°，
∴∠ABD=∠ABC，
∴底边上的高 AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图 2，∵∠ABD=30°
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴底边上的高为
3 ×6=3 2
3
综上所述，底边上的高是
3
3 或
3
5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B）的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高 考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点 到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题检测试题
一、选择题 1．若01x <<=( ). A ． 2 x B ．2x - C ．2x - D ．2x 2．下列计算结果正确的是（ ） A B ．3= C =D =3．下列计算正确的是（ ） A B C D 4．已知x 1x 2，则x?2＋x ?2等于( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 5．下列各式计算正确的是（ ） A ．6 23 212 6()b a b a b a ---?= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C = D ．2x ?3x 5=6x 6 6．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A B C D 7．= a 、x 、y 是 两两不同的实数，则22 22 3x xy y x xy y +--+的值是( ) A ．3 B ． 13 C ．2 D ． 53 8．已知实数x ，y 满足（x y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007 的值为（ ） A ．-2008 B ．2008 C ．-1 D ．1 9．已知实数x 、y 满足2y =，则yx 值是（ ） A ．﹣2 B ．4 C ．﹣4 D ．无法确定 10．230x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题
11．将2 (3)(0)3a a a a -<-化简的结果是___________________. 12．若m ＝ 20161 -，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①(3)f =z __________；②2(33)f +=z __________； ③2 2 2 2 2 2 (11)(22) (22)(33) (33)(44) f f f f f f + + + +?++?++?+z z z z z z 2 2 (20172017)(20182018) f f + =+?+z z __________． 14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____． 15．已知实数m 、n 、p 满足等式 33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________． 16．已知x ，y 为实数，y 22991 x x -+-+求5x +6y 的值________. 17．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 18．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 19．2121=-+3232 =+4343 =+20202324320202019+++++……=___________． 20．已知23x =243x x --的值为_______． 三、解答题 21．计算：
初二数学勾股定理试卷
初二数学勾股定理试卷 一．选择题（共2小题） 1．下列说法正确的是（） A．a0=1 B．夹在两条平行线间的线段相等 C．勾股定理是a2+b2=c2 D．若有意义，则x≥1且x≠2 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（） A． B．27 C．3 D．25 二．填空题（共1小题） 3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米． 三．解答题（共5小题） 4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE． 6．阅读： （1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0． 利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题． 问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长． 7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC， （1）求证：CE平分∠BCD； （2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积； （3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解） 8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）
初二数学下册易错题集
初二数学下册易错题集 ?(P18)如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街市互相平行 的，在地图上量的角1等于90度，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由。 ?（p135）当x满足什么条件的时候，3x-1表示正整数。 ?（p135）某商店以每辆250元的进价购入200辆自行车，并以每 辆275元的价格销售，两个月后自行车的销售款已经超过这批自行车的进货款，这时至少已经售出多少辆自行车。
?（p134）根据下列条件求正整数x ?（p134）解下列不等式，并把他们的解集在数轴上表示出来。 ?（p129）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以每 秒4m的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需要以多块的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点。
?（p129）一部电梯最大负荷为1000Kg，有12人共携带40kg的 东西乘电梯，他们的平均体重x应满足什么条件。 ?（p128）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集。 ?（p119）甲地到乙地全称是3.3千米，一段上坡，一段下坡，一 段平路，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需要行驶51分钟，从乙地到甲地需要行驶53.4分钟，球从甲地到乙地时上坡，平路，下坡的路程各是多少。
?（p118）解方程： ?（p108）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上 坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需要54分钟，从乙地到甲地需要42分钟，甲地到乙地全程是多少。 ?（p108）有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货 15.5吨，5两大车与6辆小车一次可以运货35吨，3；辆大车与5 辆小车一次可以运货多少吨。
人教版八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题提高题检测试题
一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列计算正确的是（ ） A = B ．2= C ．(26= D == 3．下列运算结果正确的是（ ） A 9=- B 3= C ．(22= D 5=- 4．2= ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．下列计算正确的是（ ） A = B = C 4= D 3=- 6．2的结果是（ ） A ．±3 B ．﹣3 C ．3 D ．9 7．使式子 214x -x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＞﹣2，且x ≠2 D ．x≥﹣2，且x ≠2 8．下列运算中正确的是（ ） A ．= B () 23=== C 3=== D 1== 9．下面计算正确的是（ ） A ． B C D 2- 10．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D 二、填空题 11．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以
对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……． ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值； ⑵根据以上规律写出n a 的表达式． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____． 15．已知a 73+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 17．(623÷ =________________ . 18．已知：5+22可用含x 2=_____． 19．11882 ． 20．若0xy >，则二次根式2y x - ________． 三、解答题 21．计算： （18322（2） )((25225382 +-+． 【答案】(1)52 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.
初二数学上学期易错题集锦
初二数学上学期易错题集锦 1、当x= 时，分式14 -x 的值为整数．2、化简a a 3-为___________． 3、若分式4 422+--a a a 的值为正整数，则整数a 的值是____________． 4、若代数式 11-+x x 有意义，则x 的取值范围是____________． 5、若关于x 的方程 2 -32-1x x a x +=+的解为正数，则a 的取值范围是____________． 6、若=+=+>>a b a b ab b a b a -,06-,022则____________． 7、已知122 432+--=--+x B x A x x x ，其中A,B 为常数，则4A-B 的值为____________． 8、若b a b a +=-111，则3--b a a b 的值是____________． 9、如果x>y>0，那么x y x y -++11的值是___________．（填“正数或负数”） 10、若分式方程2 321-+=+-x x a x 有增根，则a 的值是____________． 11、若关于x 的分式方程11+=+x m x x 无解，则m 的值为___________． 12、关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则a 的值为___________． 13、若221=42y +3y+7，则214y +6y-1 的值为___________． 14、若的值等于那么y x y x y xy x +-=+-,04422___________． 15、若分式x x x 24122-+-的值为正数，则x 的取值范围是 ． 16、若x x x x x 1-6110，求，且=+ <<的值是 ． 17、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 . 18、若分式212x x m -+不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 . 19、已知x x 2 320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是 . 20、当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可在实数范围内因式分解为 . 21、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝ .
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题提优专项训练试题
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A B C D 2． 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＞－3 C ．x≥－3 D ．x≤－3 3． (2的结果正确的是( ) A B ．3 C ．6 D ．3 4．下列各式是二次根式的是（ ） A B C D 5．已知：x ，y 1，求x 2﹣y 2的值（ ） A ．1 B ．2 C D ． 6． a b =--则（ ） A ．0a b += B ．0a b -= C ．0ab = D ．22 0a b += 7． 已知 4 4 2 2 0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．关于代数式1 2 a a + +，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1 2 a a ++的值为-4. ②若1 2 a a + +值为2 ，则a = ③若2a >-，则1 2 a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 9．当4x = - 的值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 10．若化简 2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4 C ．x ≥1 D ． x ≤4 二、填空题
11．比较实数的大小 :(1) ______ ；（2 ）1 4 _______12 12．若0a > 化成最简二次根式为________． 13．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则 2b c +=________． 14． 3=，且01x << =______． 15．已知a a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16． 化简二次根式_____. 17．已知|a ﹣2007 =a ，则a ﹣20072的值是_____． 18．已知1＜x ＜2，1 71 x x + =- _____． 19 _____． 20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题 21．计算及解方程组： （1 -1-） （2 ) 2 + （3）解方程组：25103 2x y x y x y -=?? +-?=?? 【答案】（1 ）2 ）7；（3）102x y =??=? ． 【分析】 （1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及答案
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案 一、选择题 1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（） 53 A．5B．53C．53D． 4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（） A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（） A．3．5 B．3C13D 36 9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）
初二数学 勾股定理 单元测试题及答案
勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）． A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）． A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）． 7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______． 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以 对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正 方形AEGH ，如此下去． （1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形150o 20米30米
八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)
(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名： 分数： 一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。 二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（ ） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )
新北师大版八年级数学(上册)勾股定理专题训练优质讲义全
勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见勾股数有： 3、常见平方数： 121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=?90,a=5,c=3.， 则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。 5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。 7、如图1，?=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？ 7、如下图，在?ABC 中，?=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示，?=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7 米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1 B C P
八年级数学勾股定理测试题
图1 勾股定理（第一周周清试卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、 如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ .8 C 2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 3、 一架 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m 4、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上 答案都不对 5、一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离 树底部4米处，则树折断之前有 （ ） A ．5米 B ．7米 C ．8米 D ．10米 6、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行， 离开港口2小时后，则两船相距（ ） 海里 海里 海里 海里 _C _B _A
7、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( ) 8、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是 ㎝2 ㎝2 C.22㎝2 ㎝2 9、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ． B ． C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C 10、如图1，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为_________三角形 12、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 。 13、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 14、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 15．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原
浙教版八年级上学期数学易错题较难题精华题整理
八年级上册数学易错题较难题整理 一、不等式和不等式组 1、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.1x －3x ≥0 2、若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______. 3、不等式组?? ?+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 4、已知关于x ，y 的方程组? ??-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 5、已知方程组???-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 6、适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： （1） x 只有一个整数解； （2）x 一个整数解也没有． 7、当310)3(2k k -< -时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集． 8、 已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小． 9、 已知a 是自然数，关于x 的不等式组???>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 10、关于x 的不等式组???->-≥-1 23,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 11、若不等式组 有解，则a 的取值范围是 12、若不等式组无解，则a 的取值范围是 13、如果关于x 的不等式组无解，那么不等式组的解集是 14、不等式组的解集是3＜x ＜a+2，则a 的取值范围是 15、关于x 的不等式组的解集是x ＞﹣1，则m=
八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题
八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题 一、选择题 1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600m B ．500m C ．400m D ．300m 2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ． A ．25 B ．20 C ．24 D ．105 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是 （ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为( ) 22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长 等于BC 的长． A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④ 4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 5．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 6．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ） A ．217 B ．25 C ．42 D ．7 9．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．1510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的
最新人教版初二数学下册勾股定理 试卷
2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03） 理想文化教育培训中心 学生姓名：__________ 得分：_______ 一、知识点梳理： 1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a 2＋b 2＝c 2。 （1）变式：a c b c b a b a c 2 2 2 2 2 2 ;;-= -= += （2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果c b a 2 2 2 =+，那么△ABC 是直角三角形. 勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等. 二、典型例题： 例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。 （2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. （3）蚂蚁沿图3中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米） 图(1) 图(2) 图(3) 课堂练习1： （1）要登上12 m 高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m ，则梯子的长度至少为（ ） A ．12 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m （2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．1.5，2，2.5 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．20，30，40 （3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ） ①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5 ③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 (第4题图)
初二数学三角形易错题
初二数学三角形易错题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
A B M C N O 第13题 数学三角形易错题 一、填空题 1.已知一个三角形的三边长3、a+2、8，则a 的取值范围是。 2.如图②，△ABC 中，∠C=70°，若沿虚线截去∠C ，则∠1+∠2=。 3.如图③，一张△ABC 纸片，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A ′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=。 4.△ABC 中，∠A=80°，则∠B 、∠C 的内角平分线相交所形成的钝角为；∠B 、∠C 的外角平分线相交所形成的锐角为；∠B 的内角平分线与∠C 的外角平分线相交所形成的锐角为；高BD 与高CE 相交所形成的钝角为；若AB 、AC 边上的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 为。 5．等腰三角形的周长为20cm ，若腰不大于底边，则腰长x 的取值范围是 _________ ． 6．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x 千米，那么x 的取值范围是 ． 7．已知△ABC 两边长a ，b 满足，则△ABC 周长的取值范围是 ． 8．两边分别长4cm 和10cm 的等腰三角形的周长是 _________ cm ． 9.若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是。 10.三角形有两条边的长度分别是5和7，则周长的取值范围是___________。 11.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|—|a －b －c|-|a+b －c|=______。 12.在 ABC 中，如果∠B －∠A －∠C=50°，∠B=____________。 13．如图，已知△ABC 中，AC +BC =24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 易错知识点1 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，也就是其中一边 大于两边之差，小于两边之和。 1、三角形周长为16，其中一边为6，则另一边是（） 2、等腰三角形周长为10，设腰长为x,则x 的范围是（) 3、希腊数学教把数1,3,6,10,15,21......等叫做三角形数，则第n 个三角形数比第（n-2）个三角形数多（） 4、已知三角形ABC 的三边分别为a,b,c 化简下面试子： 易错知识点2 三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分。 1、如左图， 三角形ABC 中，E 是BC 上的一点，EC=2BE,D 是AC 的中点，设三角形ABC 为12，则图中阴影部分面积之差是（）
最新鲁教版数学八年级上册各章易错题汇总
最新鲁教版数学八年级上册各章易错题汇总 1、代数式x x 2 1-是（ ）. （A ）单项式 （B ）多项式 （C ）分式 （D ）整式 2、若 a a -33有意义，则a a -33( ). （A ）无意义 （B ）有意义 （C ）值为0 （D ）以上答案都不对 3、分式 x -- 11 11有意义的条件是 . 4、要使分式 9 632+--x x x 的值为0，只须（ ）. （A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对 . 5、若A 、B 表示不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）. （A ） M B M A B A ??= （M 为整式） （B ）M B M A B A ++=（M 为整式） （C ）22B A B A = （D ）) 1()1(2 2++=x B x A B A . 6、把分式 2 a b a +中的a 、 b 都扩大2倍，则分式的值（ ）. （A ）扩大2倍 （B ）扩大4倍 （C ）缩小2倍 （D ）不变. 1、分析：分式的定义中包含三个要点：（1）. 分子、分母都是整式，（2）. 分母中含有字母，（3.） 分母不为0. 实际上，分式的形式除了B A 外，由整式与B A 这样的式子之间的运算所组成的式子，也属于分式的范围. 此题中的第二项x x 2 -分子、分母都是整式，含有分母x ，分母中的字母也是x ，隐藏的 条件是x 0≠， 符合分式定义，是分式，所以代数式x x 2 1-也是分式. 可能有的学生这样理解：x x 21-=x -1，因为x -1是多项式，所以x x 2 1-是多项式，这
种理解的错误在于忽略了两式中字母的取值范围不同，x -1中x 可以为0，而x x 2 1-中 x 0≠，所以两式不一样，x -1是多项式而x x 2 1-是分式. 2、分析：分式有意义的条件是分母不为0，此题中两分式的分母不同，有意义的条件也不同. a a -33有意义的条件为03≠-a ， 3≠a . 同理a a -33有意义的条件为3±≠a . 所以 a a -33有意义，a a -33不一定有意义，所以选项（A ）.（B ）错误，选项（C ）很显然错误， 所以正确答案选（D ）. 解：据题意得?? ? ??≠--≠-.011 1, 01x x 解得：???≠≠.0,1x x ∴原分式有意义的条件是1≠x 且0≠x . 5、分析：分式的基本性质包含5个要点：（1） 分式的分子与分母； （2） 都乘以（或除以）； （3 ） 同一个； （4） 不等于零的整式； （5） 分式的值不变. 选项（A ）不符要点4，当M 为0时，不成立. （B ）不符要点2，分子与分母应是都乘以（或除以）而不是都加上或减去. （C ）不符要点3，分子乘的是A ，而分母乘的是B. （D ）中，因为12 +x >1，即12 +x 不为0，所以（D ）符合分式的基本性质，正确答案应选（D ）. 6、分析：题目中将a 、b 都扩大2倍，即a 变为2a ，b 变为2b ，所以可把分式中的a 、b 分别用2a ，2b 代替，得： 224)(2)2(22a b a a b a +=+=221a b a +? 所以答案选（C ）. 点评：注意此题的条件是a 、b 都扩大2倍，而不是分子、分母同时扩大2倍，因此不能利用分式的基本性质写成： 2 a b a +=.)2(222a b a + 二、分式方程增根问题及应用题