如何求球体的体积和表面积PPT课件
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《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
2第2课时 球的体积和表面积PPT课件(人教版)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
球的表面积和体积 课件
[思路点Байду номын сангаас] 根据已知条件，通过解三角形列出方 程式，求出球的半径．
[精解详析] 如图所示，设以 r1 为半 径的截面面积为 5π，以 r2 为半径的截面 面积为 8π，O1O2＝1，球的半径为 R， OO2＝x，那么可得下列关系式：
r22＝R2－x2 且 πr22＝π(R2－x2)＝8π， r21＝R2－(x＋1)2 且 πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
[精解详析] (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π.
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
(4 分) (6 分)
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.
(8分)
又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
(10分)
球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
(12分)
[一点通] 与球有关的截面问题在解决时多转化 为平面图形，即作出轴截面进而计算，作平面图时， 要注意区别大圆与小圆．
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝ 4πR2 ，即球的
表面积等于它的大圆面积的 4 倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ 43πR3 .
1．要求球的表面积和体积，只需求出球的半径． 2．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体 积是关于球的半径的增函数．
[精解详析] 如图所示，设以 r1 为半 径的截面面积为 5π，以 r2 为半径的截面 面积为 8π，O1O2＝1，球的半径为 R， OO2＝x，那么可得下列关系式：
r22＝R2－x2 且 πr22＝π(R2－x2)＝8π， r21＝R2－(x＋1)2 且 πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
[精解详析] (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π.
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
(4 分) (6 分)
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.
(8分)
又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
(10分)
球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
(12分)
[一点通] 与球有关的截面问题在解决时多转化 为平面图形，即作出轴截面进而计算，作平面图时， 要注意区别大圆与小圆．
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝ 4πR2 ，即球的
表面积等于它的大圆面积的 4 倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ 43πR3 .
1．要求球的表面积和体积，只需求出球的半径． 2．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体 积是关于球的半径的增函数．
《球的体积与面积》课件
《球的体积与面积》PPT 课件
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
8.3.2球体的体积与表面积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1
1
V
S 底面积 h
S全面积 r
3
3
S底面积 h S全面积 r
1
r h
4
h
R:r=3:1
6
a
3
S底面积
r
1
S全面积
h 4
6
r
a
12
6
R＝
a
4
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
（2）正四面体与球
（正四面体的棱长为a）
1.正四面体的高h
6
a
3
6
2.正四面体的外接球半径R＝
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多
面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
正四面体的棱长为a，则其内切球和外
接球的半径是多少？
解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体
棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球
心．设内切球半径为r，外接球半径为R．
正四面体的表面积 S 4 3 a 3a
2
表
正四面体的体积 V A BCD
1
3 2
3 2
a AE
一、球体的体积与表面积
课程目标
1．掌握球的表面积和体积计算公式．
2．能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际
问题．
3.掌握球的有关切、接问题
祖暅简介
祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁，
1
V
S 底面积 h
S全面积 r
3
3
S底面积 h S全面积 r
1
r h
4
h
R:r=3:1
6
a
3
S底面积
r
1
S全面积
h 4
6
r
a
12
6
R＝
a
4
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
（2）正四面体与球
（正四面体的棱长为a）
1.正四面体的高h
6
a
3
6
2.正四面体的外接球半径R＝
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多
面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
正四面体的棱长为a，则其内切球和外
接球的半径是多少？
解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体
棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球
心．设内切球半径为r，外接球半径为R．
正四面体的表面积 S 4 3 a 3a
2
表
正四面体的体积 V A BCD
1
3 2
3 2
a AE
一、球体的体积与表面积
课程目标
1．掌握球的表面积和体积计算公式．
2．能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际
问题．
3.掌握球的有关切、接问题
祖暅简介
祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁，
《球的表面积和体积》课件
球的体积公式
推导过程
利用积分计算，已知球的半径r，体积可表示为V = (4/3)πr³。
应用举例
通过体积公式，可以计算球体的容积，如水球、篮 球、地球等。
球的表面积公式
推导过程
通过对球体进行分割并求和的方法，球的表面积公 式为S = 4πr²。
应用举例
利用表面积公式，可以计算球体的表面积，如足球、 地球等。
比较表面积和体积
实例分析
比较具有相同体积的球体，但却具有不同表面积 的特点，例如小球和大球之间的关系。
球的变形对比
探索球体变形对表面积和体积的影响，比如椭球 和球体之间的对比。
延伸思考
三维几何问题
如何应用球的表面积和体积的知识解决其他三维 几何问题，例如球的切割、组合等。
实际应用场景
探索球的表面积和体积在实际生活中的应用，如 建筑、工程和科学研究中的应用。
《球的表面积和体积》 PPT课件
探索球体的奇妙之处，从定义和性质开始，一步一步深入了解球的表面积和 体积的计算公式，并探讨实际应用场景。
球的定义和性质
定义
球是由无数个离心并以相同半径旋转的点所构成 的，是一种几何体。它是完全确定的，没有面， 没有边。
性质
球体具有对称性，无论从哪个角度观察，都是完 全相同的。此外，球是能够容纳最大体积的几何 形状。
总结
1 知识点回顾
通过课程的学习，我们深入了解了球的定义、性质、体积公式、表面积公式，以及与其 他形状的比较。
2 学习感悟
通过探索球的表面积和体积的奥秘，我们对三维几何有了更深入的理解，也拓展了实际 应用的思维。
球的体积和表面积 课件
因为V球
4 R3 ,V 圆柱 3
所以，V球
2
V 圆柱
3
R2 2R 2 R3,
（2）因为 S球 4 R2 ，
S = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球
S 圆柱侧.
A
球体的分割
O
球体由N个这样形状的几何体 组成
这样可以求出球体的体积为
V = 4 R3 3
球的表面积
O
球面被分割成n个网格，表面积分别为
S
，
1
S
，
2
S
3
,
,
S
n
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
半径是R 的球的表面积：S = 4 R 2
球的表面积是大圆 面积的4倍
球的体积和表面积
知识探究
怎样求球的体积?
怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
实验：排液Leabharlann 测小球的体积放入小球后H h
小球的体积 等于它排开 液体的体积
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R3. 3
2.球的表面积公式： S = 4 R 2 .
知识应用 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
球的表面积和体积.ppt
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
Aห้องสมุดไป่ตู้
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
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1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
.
6
A
O
O
n 等分O A n 切割半球为 层
每层近似于“薄圆片”
每个“薄圆片”近似于薄圆柱
（取其底面为“薄圆片”的下底面）
i 计算第 层“薄圆片“的体积 由勾股定理 ri R2 R ni 1 2,
积是___9 ____。
2
2.一个球的表面积是100 , 那么它的体积是__5 _0 _0 _。
3
3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是__3 _6__.
.
17
1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。
2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算体积变为原来的几倍？
i
三个近似
S i
s i
Rh i
当“小锥体”的底面非常小时，V v
i
i
已知棱锥的体积公式为
1
v h s ,
3 i
ii
用近似量代换得
1
V RS ,
i3
i
.
S i
O
O
R
s i v i
h i
11
球体积为
V 1 RS ,
i3
i
V V V V ,
1
2
i
O
11
1
V SR SR SR .
31 32
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
.
3
教学重难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想方
.
4
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
3i
1RSS S O
31
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
.
12
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
从而
V 4 R3
3
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理 半径是 R 的球的表面积是
S 4R2
.
O
O O
13
例1 有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等
于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就. 近似于等R2 .
5
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
V半球
2 R3
3
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
.
9
思考：我们能用同样的方法推导球
的表面积公式吗？
S i
o
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用S,S, ,S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
为顶点的“小锥体”
为第 i 个小锥体，则球表面积为
S S S S,
1
2
3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里 所装的水深度为8cm，将一个钢球完全 浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm， 求钢球的半径。
P74 习题9.11 5.6.7
.
18
分割
近似
求和
逼近
.
V 4 R3
3
S 4R2 19
设空心球的内径为2x cm,那么钢球的质量是
7.94352334x3142,
x3
523
1423 11.3. 7.943.14
得 x 2.24, 直径 2x4.5cm.
答：
空心钢球的内径约为 .
4.5cm.
14
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
R3 1222 n12
R
n n
n2
n
R3 1n1n2n1
n nn2
6
R3
n12n1
1
6n2
第i 层
.
ri
8
V半球
R3
1
1
1 n
6
2
1 n
.
①
随着 n
1 的增大，n
越来越小
当
n1000时，
1 n
1 1000
当
n10000时，
1 n
100100
当 n 时，1n 0
由①式得
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
.
6
A
O
O
n 等分O A n 切割半球为 层
每层近似于“薄圆片”
每个“薄圆片”近似于薄圆柱
（取其底面为“薄圆片”的下底面）
i 计算第 层“薄圆片“的体积 由勾股定理 ri R2 R ni 1 2,
积是___9 ____。
2
2.一个球的表面积是100 , 那么它的体积是__5 _0 _0 _。
3
3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是__3 _6__.
.
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1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。
2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算体积变为原来的几倍？
i
三个近似
S i
s i
Rh i
当“小锥体”的底面非常小时，V v
i
i
已知棱锥的体积公式为
1
v h s ,
3 i
ii
用近似量代换得
1
V RS ,
i3
i
.
S i
O
O
R
s i v i
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11
球体积为
V 1 RS ,
i3
i
V V V V ,
1
2
i
O
11
1
V SR SR SR .
31 32
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
.
3
教学重难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想方
.
4
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
3i
1RSS S O
31
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
.
12
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
从而
V 4 R3
3
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理 半径是 R 的球的表面积是
S 4R2
.
O
O O
13
例1 有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等
于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就. 近似于等R2 .
5
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
V半球
2 R3
3
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
.
9
思考：我们能用同样的方法推导球
的表面积公式吗？
S i
o
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用S,S, ,S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
为顶点的“小锥体”
为第 i 个小锥体，则球表面积为
S S S S,
1
2
3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里 所装的水深度为8cm，将一个钢球完全 浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm， 求钢球的半径。
P74 习题9.11 5.6.7
.
18
分割
近似
求和
逼近
.
V 4 R3
3
S 4R2 19
设空心球的内径为2x cm,那么钢球的质量是
7.94352334x3142,
x3
523
1423 11.3. 7.943.14
得 x 2.24, 直径 2x4.5cm.
答：
空心钢球的内径约为 .
4.5cm.
14
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
R3 1222 n12
R
n n
n2
n
R3 1n1n2n1
n nn2
6
R3
n12n1
1
6n2
第i 层
.
ri
8
V半球
R3
1
1
1 n
6
2
1 n
.
①
随着 n
1 的增大，n
越来越小
当
n1000时，
1 n
1 1000
当
n10000时，
1 n
100100
当 n 时，1n 0
由①式得