1.3.2 球的体积和表面积-课件ppt
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《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
人教版高中数学课件1.3.2 球的体积和表面积
怎样求球的体积?
怎样求球的体积?
m r
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
小球的体积 等于它排开 液体的体积
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
球的表面积是大圆 面积的4倍
球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R3. 3
2.球的表面积公式： S = 4 R 2 .
知识应用 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 . 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
一个倒立的圆锥组成的组合体.
V = 1π×32×4 + 1×4π×33 = 30π.
3
23
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它 的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
（B）
A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
3.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大 到原来的__9_倍，体积扩大到原来的_2_7_倍.
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V，
则扩大后的半径为3R，表面积为 S表 ，体积为V′,
所以
S表 S表
= 4π(3R)2 4πR2
= 9，VV =
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
球的表面积和体积.ppt
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
Aห้องสมุดไป่ตู้
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
1.3.2 球的体积和表面积
题型三 与球相关的“切”“接”问题 【例3-1】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边 长为4,则该球的表面积为( )
(A) 44 π 3
(B) 484 π 9
(C) 81 π 4
(D)16π
解析:如图,正四棱锥 P-ABCD 中,PE 为四棱锥的高,根据球的 相关知识可知,四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上,因为底面边长为 4,
自我检测(教师备用)
1.一个球的大圆面积为9π ,则它的表面积和体积分别是( C )
(A)9π ,27π
(B)9π ,36π
(C)36π ,36π (D)36π ,48π
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( D ) (A)R (B)2R (C)3R (D)4R
3.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2 ,则此 球的体积为( B )
答案: 6 π ∶2
方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略: (1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特 殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径, 关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平 面问题来计算.
3
3
(B) 15 π 3
(D) 4 π + 15 π
3
3
解析:(1)由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该器物的 体积 V=V 球+V 圆锥
= 4 π+ 1 ·π× 15 33
= 4 π+ 15 π.
3
课件2：1.3 球的表面积和体积
(1)当截面在球心的同侧时, (2)当截面在球心的两侧时, 如图(1)所示为球的轴截面, 如图(2)所示为球的轴截面,
课堂练习 2
过球半径的中点作一垂直于这个半径的截面，截 面积为48πcm，2 求球的半径。
『解』 ：设截面的半径为r,球半径为R
∵ πr2=48 π R/2
∴ r=4√3
∴在Rt△OO1M中，O1O=R/2， OM=R，O1M=r
当 d 增大时，截面圆越来越小，当 0<d<R 时，截 面是小圆.
问题3：在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系 是垂直．那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的 位置关系是什么呢？
性质1：球心和截面圆心的 连线垂直于截面．
性质2：球心到截面的距离 d 系：r R2 d 2
课堂练习 1
判断正误： （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球.（×） （2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点的 集合叫球.（×） （3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小 圆所在平面.（√） （4）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面圆所 在平面的距离为4.（√）
3.球的表面积和体积
1.3.2 球的表面积和体积
1
问题情景 请同学们举出现实生活中一些球形物体
问题1：圆的定义？
答：在一个平面内到一个定点的距离为定长的 点的集合是一个圆．
问题2：在空间内到一个定点的距离为定长的点的 集合是什么？
答：是球面． 问题3：球面还有其它定义吗？
新知识讲解
1.球的相关概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面． 球面所围成的几何体叫做球体．简称球． 半圆的圆心叫做球心． 连结球心和球面上任意一点的线
• 体积=4/3πR³， • 表面积为S=4πR² 应用：已知正方体的棱长为2，求正方体的外
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用一组平行的平面来切球， 可以得到一个一个类似圆柱的 薄片。
当分 割的层 数不断 增加， 每一层 就越接 近一个 圆柱体。
思考： 古希腊著名物理学家阿基米德的排水法
原理，谁来解释一下？
V V 球 排开水 Hh
思考：如何求球体的表面积呢？
o
S球 S1 + S2 + S3 + ... + Sn
4
3
R3
争先恐后
4、一个球的表面积是100 , 那么它的体积_5_03_0__。 5、 若两球表面积之比为 1:2，则其体积比____2_：_4_。
课后 作业
课堂小结
课后思考
课堂 小结
球 213 球的
表概体面念积积
思考：
把一个直径为5cm 的钢球放入一个正方 体的有盖纸盒中,至少 要用多大的纸?
V
1 3
R(S1
+
S2
+
S3
+ ...)
=
1 3
RS球
已知球的体积 V 4 R3
3
所以
4 3
R3
1 3
RS球
O
R
O
从而 S球 4 R2
H
合作 探究
半径为R的球的表面积公式：
S 4 R2
球的表面积是大 圆面积的4倍
师生
例题讲解
展示 例2：火星的半径约是地球的一半，地
球表面积是火星的多少倍？
3
32 6
答：此球体体积为 125cm3
6
小试牛刀
1、将一个球的半径扩大原来的 一倍，则它的体积是原来的__8_ 倍。 2、两个球的体积之比为8：27， 则两个球的半径之比为2_:_3_
延伸阅读： 割圆术
我国数学家刘徽“割圆术”所
谓“割之弥细，所失弥小，割之又 割，以至于不可再割，则与圆合体 而无所失矣”。
球体的体积和表面积
豫海回民中学 韩雪
复习思考：圆柱和圆锥的体积公式是什么？
思考：生活中常见的球体有哪些？
思 考：
球 体 是
如
何
形
成
的
？
巩固
旧知 球的概念
以半圆的直径所 在的直线为旋转轴， 将半圆旋转所形成 的曲面叫作球面， 球面所围成的几何 体叫作球体，简称 球.
球直径 球半径
球心
大圆小圆 思考：球被平面所截得到什么样的图形？
模 拟 演 示
用一个截面去截 一个球，截面是圆面.
球面被经过球
O
心的平面截得的
圆叫做大圆.
球面被不过球 心的截面截得的 圆叫球的小圆.
球没有底面，也无法像柱体、椎 体那样展成平面图形，怎样求球的 体积呢？
用“祖暅原理”得到球体积公式 高与底面半径均为R的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 R3
3
V半球 ?
V圆柱
R3
3
3
R3
R
oR
oR
R
oR
1
3
R3 =V圆锥
V半球
V圆柱
3
3
R3
大家猜测一下半球的体积会是多少？
实验
V V V 半球
圆柱
圆锥
2
R R 3
3
V球
4 3
3
等积 原理
合作 探究
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 (5)3 125cm3
解：设地球的半径为R，火星的半径
为r，则R=2r.由题意可知
4r 2 4
S火
4r 2
r2
答：地球表面积是火星的4倍.
小试牛刀
3、若球的表面积变为 原来的2倍，则半径变 为原来的 2 倍？
球的体积和表面积公式：
R O
V球体