计算e的近似值
e的计算
e的计算——by 宋钊、郭洪一一、实验目的通过求e的近似值,了解历史上计算e值的一些方法.复习微积分中相关知识,比较它们的差异,了解计算方法对提高计算效率的意义.二、实际问题自然对数e是一个我们十分熟悉的数.我们都知道e的近似值2.7.如果利用数学软件MATLAB,键入:exp(1)按回车键可以得到ans =2.71828182845905那么应该如何计算e的值呢? 又有多少种方法来计算e的值?三、近似算法Ⅰ.Taylor幂级数展开式e x=1+x1!+x22!+⋯+x nn!+⋯（−∞<x<+∞)Code: e_1.mfunction E=e_1(n)sum = 1; f = 1;for i = 1:nsum = sum + 1/(f);f = f*(i+1);endE = sum;运行结果:Ⅱ.e x的Chebyshev级数若f(x)在-1≤x≤1中是连续并有有界变差,则有以下形式的展开式:f(x)=12a0+a1T1(x)+a2T2(x)+⋯=Σa r T r(x)…而且在整个区域内,上式是一致收敛的.在给定的误差范围内我们有:f(x)=∑′a r T r(x)nr=0其中: Tr(x)是Chebyshev多项式,它的定义是:T r(x)=cos(rcos−1x) (−1≤x≤1)ar是Chebyshev多项式的系数:a r=2n∑′′f(cosπjn)cosπrjn nf=0Code: e_2.mfunction E = e_3(n)result = 0;for i = 0:nresult = result + a(n,i); endE = result;endfunction A = a(n,i)sum = 0;for k = 0:nsum = sum + F(n,i,k);endif (i==0)sum = sum/2;endA = 2*sum/n;endfunction f = F(n,r,j)res = exp(cos(pi*j/n))*cos(pi*r*j/n);if (j==0)||(j==14)res = res/2;endf = res;end运行结果:Ⅲ.极限方法一利用极限e=limn→∞(1+1n)nCode:e_3.mfunction E = work_e(n) result = 1;for i = 1:nresult = result*(1+1/n); endE = result;运行结果:Ⅳ.极限方法二利用极限e=limn→∞(1+1n+kn2)nCode:e_4.mfunction f = e_1(n)f = (1 + 1/n + 1/(n*n)) ^ n;运行结果:四、方法总结方法Ⅰ运算相对较快,代码简单直观,但要想达到较高精度需要循环的次数较多.方法Ⅱ代码量较大,程序和算法复杂,但在n=14时其精度就已经可以和方法Ⅰ的n=1,000,000时相媲美,事实上在n=14时其计算有效数字位数达到最大值.方法Ⅲ、方法Ⅳ属于利用高等数学中的极限来计算e的近似值的方法.思路简单程序简洁,但是精度有所不足.由此可见,往往复杂的算法可以带来较高的精度,但是在程序没有必要使用太高精度的时候高级算法的性价比就不如简单的级数算法.因此,我们应该根据实际需要来选择合适的方法计算e的近似值.其实,实际问题中还是直接使用MATLAB自带的exp函数来的方便……五、小组成员及分工。
4种计算自然常数e的方法及精度比较
4种计算自然常数e的方法及精度比较自然常数e是数学中的一个重要常数，也是一个非常神奇的数。
它是指数函数 e^x 的自变量为 1 时的值，其数值约为 2.71828。
它在数学中的应用众多，不仅在微积分、概率论、差分方程、复变函数等方面有着广泛的应用，同时还在物理学、化学、经济学等领域中有重要作用。
在这里，我们将介绍四种计算自然常数 e 的方法，并对其进行精度比较。
第一种方法：近似值法自然常数 e 的近似值约为 2.71828，可以使用这个近似值来计算自然常数。
例如，将 e 的值近似为 2.71828，则 e ≈ 2.71828，这种方法通常用于简单的计算中，比如计算复利和连续复利等。
这种方法的优点是简单易行，缺点是精度不够高，在进行高精度计算时，可能会产生误差。
第二种方法：泰勒级数展开法泰勒级数展开法求自然常数 e 的精度较高。
泰勒级数可以将函数展开成无限个项式之和的形式，而且当项数足够多时，其近似值可以接近函数的准确值。
首先，我们将 e 的幂级数展开：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ……将 x 置为 1，则有：e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ……通过计算可知，当级数中的项数足够多时，其近似值可以达到自然常数 e 的精度要求。
但这样的方法也存在一定缺陷，随着级数项数的增加，计算量也会不断增加，不能处理高精度计算。
第三种方法：连分数展开法连分数是一种特殊的分数形式，其分子或分母为整数，其余为正数的分数。
在这种数学技巧中，用连续的分数的形式表示自然常数 e 可以得到自然常数的精确值。
自然常数 e 的连分数展开可以表示为：e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ……]这说明连分数展开法可以得到自然常数 e 的精确度要求。
但是，通过这种方法计算自然常数 e 的速度比较慢，并且连分数形式的计算也可能因为数值精度问题导致输出结果不够准确。
根据以下公式编程序计算e的近似值,精度要求为：10E-6：
1、请编写程序求解下式的值（n、k的值从键盘转入）：2、张教授最近正在研究一个项目，其间涉及到十进制与十六进制之间的转换，然而，手工将大量的十进制转换成十六进制是十分困难的。
请编写程序，将给定的非负十进制数转化成相应的十六进制数并输出（用A、B、C、D、E、F分别表示十六进制的10、11、12、13、14、15）。
3、输入一个字母打印图示图形，该图形中间一行由输入字母组成，其相邻的上下两行由它前面的字母组成，按此规律，直到字母A出现在第一行和最末行为止。
如下图：ABBCCCDDDDCCCBBA4、试编程从N位数字串中删去M个数使剩下的数字串所表示的数值最小。
5、孪生数是指两个相差为2的素数，如3和5，5和7，11和13。
请编写程序输出15对孪生数。
6、编写程序找出文件中最长和最短的正文行并统计文件中的行数（假定最长行不超过80个字符）。
7、数列总是有一些奇妙的性质。
现有一数列A，它是以递增顺序排列的，并且该数列中所有的数的质因子只有可能是2、3和5。
请编写程序输出这个数列中的前N个数字。
8、试编写程序实现两个大的整数的乘法运算。
参考答案：//1、请编写程序求解下式的值（n、k的值从键盘转入）：#include <stdio.h>#include <math.h>void main(void){int n,k,x;double sum=0;printf("请输入n和k的值：");scanf("%d%d",&n,&k);for(x=1;x<=n;x++)sum+=pow(x,k);//注意计算次方的函数printf("所求结果为：%f\n",sum);}//2、张教授最近正在研究一个项目，其间涉及到十进制与十六进制之间的转换，然而，手工将大量的十进制转换成十六进制是十分困难的。
请编写程序，将给定的非负十进制数转化成相应的十六进制数并输出（用A、B、C、D、E、F分别表示十六进制的10、11、12、13、14、15）。
用有理方法求e的近似值
用有理方法实现无理数e的近似计算摘要e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 无理数e的出现,对于数学学科而言,除了自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用之外,与e有关的研究与结果极为丰富,如欧拉公式的复数形式i e +1=0,被人们称为人类最宝贵财富之一,这一公式巧妙地把纳皮尔常数、虚数单位、圆周率、以及0与1联系在一起.对于e而言,除了在数学学科的发展中的重要意义外,其它自然科学的发展也会处处可见与无理数e有关的痕迹,如物体的冷却、细胞的分裂、细菌的繁殖、放射性元素的衰变等,它也是在今天的银行业中对银行家最有帮助的一个数,此外在考古学的碳-14定年法、古画的铅-210或镭-226鉴定法中也有所涉及.所以精确计算出e的近似值就是一件非常重要和有意义的事情了.关键词：超越数; 无理数; 近似值TO REALIZE THE APPROXIMATE CALCULATION OFIRRATIONAL NUMBER E USING THE RATIONALMETHODABSTRACTE is the base number of natural logarithm,it is infinite and not repeating decimal, Its value is2.71828 ,the emergence of the irrational number e, for the mathematical subject, except the related application of natural exponential function, natural logarithm function, hyperbolic function , the study and results of e is extremely abundant , such as the form of the complex number of Euler Formula i e +1=0. Known as one of the most precious human wealth, this formula take the Napierian logarithm, the imaginary unit, the PI, 0 and 1 are linked subtly. For e, except the important meaning in the development of the mathematical subject ,outside the development of other natural science can everywhere find the trace of irrational number e, such as object cooling, cells dividing,bacterial breeding, the decay of radioactive elements and so on.It is a number that is most helpful for bankers in bank now , in addition it is also involved in Carbon dating-14, Ancient paintings of Pb-210or Ra-226methods produced. So, accurate calculate the approximation of e is very important and meaningful.Key words:transcendental number; irrational number; approximate value目录1.前言 (1)2.e的相关理论 (3)2.1e的定义及证明 (3)2.2以e为底的对数叫做自然对数的原因 (4)2.3e在数学分析方面的应用 (5)3.e是无理数及超越数的证明 (8)3.1证明e是无理数 (8)3.2证明e是超越数 (8)4.e的近似计算 (11)4.1利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值 (11)4.2利用x e幂级数展开求e的近似值 (13)4.3通过匹配试验计算e的近似值 (15)5.结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1.前 言e ,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number ）,以瑞士数学家欧拉命名,也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e 是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e ,是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e 看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e ,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b 表示.1727年欧拉开始用e 来表示这常数;而e 第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c 表示,但e 较常用,终于成为标准.用e 表示的确实原因不明,但可能因为e 是“指数”(exponential)一字的首字母.另一看法则称a,b,c 和d 有其他经常用途,而e 是第一个可用字母.不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler 的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作.林德曼在魏尔斯特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)中提到了e 是无理数和超越数,由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明.e 是第一个获证为超越数,而不是像刘维尔数故意构造的.1lim 1xx e x →±∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭实际上e 就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828…….以e 为底的对数叫做自然对数,用符号“ln ”表示.以e 为底的对数（自然对数）和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“x e ”对x 的微分和积分都仍然是函数本身.后人把这个规律叫做“自然律”,其中e 是自然律的精髓.因此,上述求极限e 的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二.e 在数学中和自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用有着密切的联系,此外e 在医学中也有所涉及,很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟.指数函数还有一个比较重要的方面在于它是唯一的函数与其导数相等,而且e 是无理数和超越数,由于e 具有很多特有的性质,所以研究e 的近似值,无论对于数学的学习还是其它学科的研究和应用,意义都是非常大的.通过对e 的一些性质的了解就更能激发我们进一步探索它的渊源、演变过程及对数学和各个学科的影响,更希望对以后更深入的学习数学分析和高等数学有所帮助.2. e 的相关理论2.1 e 的定义及证明e 是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 ,它是这样定义的：当n →∞时,11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限记做e ,即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.下面先给出e 做为数列极限的一种证明，后面在求e 的近似值的时候将具体给出1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明过程.证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：所求证的极限等价于同时成立以下两个极限：1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()21-1lim 1xx e x →-∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()22-先利用数列极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明(1)式成立.为此,作定义[)1,+∞上的两个阶梯函数如下：()11,1,1,21nf x n x n n n ⎛⎫=+≤≤+= ⎪+⎝⎭()111,1,1,2n g x n x n n n +⎛⎫=+≤≤+= ⎪⎝⎭易见f 增且有上界,g 减且有下界.()lim x f x →+∞与()lim x g x →+∞皆存在.于是,由归结原则（取{}{}n x n =）得到()1lim 11nx f x e n →+∞⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭()11lim 1n x g x e n +→+∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭另一方面,当1n x n ≤<+时有 1111111n x n+<+≤++ 以及 11111111nxn n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即有 ()()11xfx g x x ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭,[)1,x ∈+∞.从而根据迫敛性定理(1)式得证. 现证(2)为此作代换x y =-,则1111111yyxx y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且当x →-∞时y →+∞,从而有1111l i m 1l i m 1111y xx y e x y y -→-∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭以后还常用到e 的另一种极限形式：()1l i m 1aa a e →+= 事实上,令1a x=,则0x a →∞⇔→,所以 ()11l i m 1l i m 1xa x a e a x →∞→⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2.2以e 为底的对数叫做自然对数的原因对数函数()log 01a x a a >≠且的导数1log a y e x'=,对于a e =便有1y x '=,即ln y x =有()ln y x ''==1x ,而且只有ln x 的导数才等于1x,其他代数函数如:2y x =等的导数是不可能等于1x 的.这就是说代数函数n y x =不能得到微分为1x dx -的形式,积分是微分的逆运算.所以ln dxx C x=+⎰,就是说一个分式的分子是分母的微分.此分式的积分就是分母以e 为底的对数,只要形状呈()()()()f x dx df x f x f x '=⎰⎰,则()()()ln f x dxf x C f x '=+⎰,这反映了自然界的现象有种种函数关系.而要确立变量之间的函数关系往往需要确立函数的导数或微分的关系式.即微分方程,通过解这种方程,得出所要求的函数关系若方程中存在()()f x dxf x '⎰的项.那么积分后便会出现以e 为底的对数,而且,反映自然界规律的函数关系.总是以指数形式或对数形式出现的,所以必定是以e 为底的对数最能说明以e 为底的指数或对数和自然数界的关系是自然界的复利律(凡函数的导数和函数本身成正比的性质均叫做复利律).我们知道,()x x e e '=即x e 的导数等于其本身.而且一个函数其导数等于其本身的只有x e 所以, 若发现一个函数y , 其导数(变化率)与函数本身成正比.我们便可断定所研究的函数是以e 为底的指数函数或对数函数即dyay dx=±则ax y ce =或ax y ce -=( 其中ac 为常数).若函数的数量是增加的则为正,减少的则为负.由此可知,若写成对数形式,则是以e 为底的对数,除一些经验式外,一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现.所以,人们将以e 为底的对数称作自然对数.e 作为数学符号使用最早是欧拉人们为纪念他,才确定用“e ”作为自然对数的底数.2.3 e 在数学分析方面的应用由于数e 不仅是数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭也是函数()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当x →∞时的极限,而数学分析的研究对象是函数,确切地说是用极限的方法来研究函数,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,因此数e 这一重要的函数值,在数学分析方面有诸多应用. 1、应用e 求极限利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭这一重要的极限求出一些函数极限.例:求 2225lim 5x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭解: 原式=()2105510221010lim 11log 55x a x f x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦10e = ()010a x <≠> 2、应用e 求导数对数函数()()log 010a f x x a x =<≠> 关于x 的导数就是数e 的典型运用. ()()()00limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()0log log lima a x x x xx∆→+∆-=∆0log 1lim a x x x x∆→∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆01limlog 1xxa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 01log lim 1x xa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln x a=3、应用e 计算积分由于()1ln x x '=于是有积分基本公式1ln dx x c x=+⎰.利用这一公式可计算一些积分. 例：计算24dxx x-⎰解: ()()22242222111dx dx x x dx x x x x x x -+==---⎰⎰⎰ 221dx dxx x =+-⎰⎰ 2112121dx dx dxx x x=++-+⎰⎰⎰11121xin C x x+=-++-4 、应用e 判别级数的敛散性这主要是对于含有!n 的数项级数, 可运用司特林公式(()12!201nn n n n e e θπθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭)将!n 表为含有e 的关系式,然后再用柯西或达朗贝尔判别法来判定级数的敛散性.例：判别正项级数12!n n n n n∞=∑的敛散性解:使用柯西判别法2!lim lim n n n n n n n n a n→∞→∞=2!lim nn n n→∞=2212122lim 22lim 221n n n n n n n n e n en e eeθθππ→∞→∞=⋅=⋅⋅=< ∴正项级数12!n n n n n∞=∑收敛5、应用e 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解主要是根据指数函数的导数仍然是指数函数这一特性,将二阶常系数齐次线性微分方程转化为特征方程,进而求出此微分方程的通解. 例：求微分方程：250y y y '''++=的通解 解：它的特征方程为:2250r r ++=有一对共轭复根：112r i =-+ ,212r i =--.方程250y y y '''++=的通解 是：()12cos 2sin 2xy eC x C x -=+3. e 是无理数及超越数的证明3.1证明e 是无理数证明：假设e 是有理数,设为q p ,(,p q 为互素自然数) , 任取n p >,则由01!k e k ∞==∑两边同乘以!n 可得()()()11!!!1431,112n e n n n n n n n =++-⋅++++++++ ()*上式左端为正整数,故右端也应为正整数,但右端前1n + 项之和为正整数,而余项之和1n R + 却满足()()()()()11110112123n R n n n n n n +<=+++++++++ ()()()()222211111122111121121112n n n n n n n n n n ⎡⎤++<+++=⋅=<=≤⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦-+ 即1n R +不是整数,从而()* 式右端不是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.3.2证明e 是超越数微积分的出现,使人们对使用以e 为底的指数函数x e 及其反函数ln x 的好处有了更为清醒的认识.如下列运算中不可避免地要出现以e 为底的自然对数:()()1ln ,log ln xxa a aa x x a''==而以e 为底的指数、对数函数在形式上却简单得多: ()ln x '= 1x , 从而ln dx x c x=+⎰, xe 更为特殊,它有任意阶导数且形式不变, 即()()n x x e e = 它是唯一具有这一特性的函数,并有()()n kx n x e k e =, 这一性质在求解微分方程中得到充分的应用.此外,利用以e 为底的指数函数还可定义出一类新的函数--双曲函数: ,22x x x xe e e e shx chx ---+==等.它们与三角函数有许多类似之处,所以猜测e 可能是一个超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数).1873 年, 厄尔米特证明了e 的超越性,具体证明过程如下: 证明：假使e 是代数数, 即存在不全为零的整数01,,,m a a a 使20120m m a a e a e a e +++=()31-第一步,设()f x 是任意n 次多项式,因()()10n f x +=由分部积分公式, 得()()()()()00b bxxnf x e dx ef x f x f x --⎡⎤'=-+++⎣⎦⎰记 ()()()()n F x f x f x f x '=+++ 则 ()()()00bbbx e F F b ef x e dx -=+⎰()32-在()32- 式中依次令0,1,2,,,b m =得 ()()000,e F F =()()()11101xe F F ef x edx -=+⎰()()()222002x e F F e f x e dx -=+⎰()()()00mm m x e F F m e f x e dx -=+⎰ 将以上各式依次乘以01,,,m a a a 并相加.得()()()()()201201001mm m F a a e a e a ea F a F a F m +++=++++()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰0=()33-第二步,由()1 式可知,对任意一个多项式()f x ,()3式均成立.因此只要能找到一个多项式()f x ,使()3 式不成立即可. 令()()()()()11121p p pp f x x x x x m p -=---- 其中p 是大于m 和0a 的素数, 这个多项式的p 阶或更高阶导数具有整系数.且由于()()11!p n n n n p c p --+=⋅所以()f x 的p 阶或更高阶导数必能被p 整除,因()f x 及其前1p -阶导数在1,2x m = 处均为零,则()()()1,2,F F F m 都是p 的整数倍,但当0x =时, ()f x 只有()()()()20000p f f f-'==== 且()()()101!pmp fm -⎡⎤=-⎣⎦, 此时 ()()()()()()()110000p p mp p F f f f -+-=+++ 于是()0F 不能被p 整除.又因p 是大于m 与0a的素数,所以0a 不能被p 整除, 从而()()()0101m a F a F a F m +++ 不能被p 整除,故不等于零.再考察()3中另一部分()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰在区间[]0,m 上,有()()()()11001!1!mp p mp p ii x xm m f x e dx f x e dx p p +-+---<<--⎰⎰而且, 若令01m a a a a =+++ 则 ()()()()()11111!1!p m mp p mii x m m mi i m ma e f x e dx ae ae mp p -++--=<⋅=--∑⎰,因()1lim 01!mp p p m p +-→∞=- 所以当p 充分大时,()01m i ix i i a e f x e dx -=∑⎰可任意小, 可见()3 式右端之和不能等于零,这就产生了矛盾.所以e 不是代数数,故e 是超越数.4. e 的近似计算4.1利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭极限求e 的近似值利用熟知的几何平均与算术平均关系不等式, 即对()01,2,i x i n ∀>= 有1212n nn x x x x x x n++≥ ()1成立, 其中等号当且仅当: 12n x x x === 时成立. 1)单调性因()1对任意自然数n 成立,对1n +也成立. 令()111,1,2,,1i n x i n x n+=+== 则由()1有 11111111111n n n n n n n +⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅<=+⎪++⎝⎭()2 111111n n n n +⎛⎫⎛⎫∴+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增.2)有界性令()11111,2,,1ni n n n x i n x k k -+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭,其中k 为大于1的正整数.代入()1有1111111111nnnn n n n n n k k k k n --+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭整理得()111111nn n k n n k k k -⎛⎫⎛⎫-+>+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即 111nk kn k k k ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3由()2,()3有 1111nk nn n k ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有上界.根据数列极限的单调有界准则知11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭必定收敛.我们用常用对数的工具,能求出e 的近似值,并由误差估计可知,这种近似值可以达到相当高的精确度.为此,我们先证()4式右端随k 的增大而单调减少.对正整数(),1n k k >,改写 ()4为1111nk kkn k k k k k ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫<+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4'由()2知,()4'左端随k 增大而单调增加.现证右端单调减少.事实上,令 ()11,1,2,,i x i n k =-= 11k x += ,由()1有 111111111k k k k k k k k +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅<=⎪++⎝⎭11111111k kk k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴-<-++即 111kkk k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调增加序列,从而1kk k ⎛⎫⎪-⎝⎭为单调减少序列.将()4'两端相减得121111101111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12111111k kk k k k k k k k k k k --+-⎛⎫⎛⎫<⋅= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭1kk k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 为单调减少序列,故当2k ≥时,都有224121nk k ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又1lim 0k k →+∞= , 1lim 01k k k k k k k →+∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此()4'两端当k →∞时都趋于e ,如果将()4'左端作为e 的不足近似值,右端作为过剩近似值,随着k 的增大,其相对误差将越来越小.从而这些近似值的精确度将越来越高.令1,1kkk k k k A B k k +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,利用常用对数的工具,取不同的k 值,就得到e 的具有不同精确度的近似值,如果取此两者的算术平均值()12k k k C A B =+作为e 的近似值,则其精确度将会更高我们选取某些特定k 值,制成下表ke 的不足近似值e 的过剩近似值两者的算数平均值1kk k A k +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 相对误差 1kk k B k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相对误差 ()12k k k C A B =+ 相对误差2 2.25 21710-⨯ 4 24710-⨯ 3.125 21510-⨯3 2.370370 21310-⨯ 3.375 22410-⨯ 2.872685 2610-⨯ 10 2.593742 2510-⨯ 2.867972 2910-⨯ 2.730857 3510-⨯ 1002.7048143510-⨯ 2.731999 3510-⨯ 2.718407 5510-⨯ 1000 2.716924 4510-⨯ 2.719642 4510-⨯ 2.718283 7410-⨯ 10000 2.7181465510-⨯2.7184185510-⨯2.7182829810-⨯由此可见, 在证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限存在之后, 利用常用对数作为工具,就能顺利求出e 的近似值.因此本文介绍的方法是行之有效的, 也是比较容易掌握的,4.2利用x e 幂级数展开求e 的近似值上面我们提到利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限求e 的近似值,由于在n 取值较小时收敛速度较慢，通过改进，从等式1lim 1nx e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出发, 11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开1111211111112!!n k x n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++---++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111!n n n n -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,在此等式中固定自然数k ()k n ≤,弃去1k +项以后各项, 可得 111121211112!!k e n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-++--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,当n →∞时,有11122!3!!n e y k ≥+++++=对任何自然数k 成立, 即n y e ≤,又根据n x 的表达式,得11122!3!!n n x y n <+++++=由夹逼准则, 有 01lim !n n n y e n ∞→∞===∑事实上, 这正是xe 的幂级数展开式 0!nxn x e n ∞==∑中令1x =时所得结果. 当0x =时有)()()()()()200002!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++()麦克劳林公式（其中()n R x 是拉格朗日余项,泰勒公式还有佩亚诺型余项()(())n n o x R a x =-,柯西余项()(1)(1)(())()/!n n f n a x x x R a a n θ+=++--等）当1x =时有 ()()11111,012!3!!1!e e n n θθ=++++++<<+ 故 ()()()311!1!n e R n n θ=<++, 故 ()()111311,012!3!!1!e n n θ≈++++++<<+ 当2n =时,便有 2 2.5e = ,()2310.53!R <=, 3e ≈ 同理 当5n =时 5 2.758333333e =,()25311106!720R -<=<, 2.762433333e ≈ 当7n =时 7e =2.75992063,()47311108!40320R -<=<, 2.759994634e ≈ 从而略去()1n R 而求得e 的近似值 2.71828183e ≈这种计算e 的近似值的方法在知道了111112!3!!e n =+++++ 和误差估计公式的情况下收敛速度较快，误差较小.4.3通过匹配试验计算e 的近似值通过一个著名试验——匹配试验, 来构造无理数e 的估计公式. 在高等数学中, e 常通过下列两式近似得到：1、由1lim 1n n e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得到 11nn e e n ⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭ ()n 充分大 ()12、由01!n e n ∞==∑,得到 01!nn i e e i ==≈∑()2 ()2式的近似误差为()31!n e e n -≤+因而近似效果很好.下面通过“匹配试验”构造e 的估计公式的基本思想是: 在“匹配试验”中寻找概念与e 或e 的近似值相关的随机事件, 利用“频率稳定于概率”的结论, 得到e 的频率估计公式.e 的估计公式概率论中著名的“匹配试验”是: 某人写了n 封不同的信, 又写了n 个不同地址的信封, 然后将n 封信随机地放入n 个信封内. 在此试验中我们关心 {}n A =没有一封信装对地址 显然 ()()()001=!knn n P A p n k =-∑,故 ()10p n e -≈ ()3 不妨令 ()10n r e p n -=- ,即()10n e p n r -=+ 其中()31!n r n ≤+ ,因而()3式近似程度很高.若将匹配试验独立地重复N 次, 若n A 发生()k N 次, 由贝努里大数定律()()0k N pNp n −−−→ ()N →∞ , 即 ()()0k N p n N ≈ ,所以 ()1k N e N-≈.从而得到e 的估计公式()()ˆNeN k N = ()4 匹配试验的模拟与e 的估计在实际试验时, 考虑n A 不如考虑n A 方便. {} n A =至少有一封信与地址一致, 显然 ()11n p A e -≈-利用扑克进行匹配试验并对e 进行了估计.方法是：取扑克中两种花色共26张牌, 每次随机取两张,若成对则认为是一个匹配.试验时,先将牌充分洗匀,若出现对子时停止试验.洗匀后再进行下一轮试验,否则摸完26张牌.共进行了2500次试验,有对子出现的有1578次.则()922k N =由()4 ,()()ˆ 2.711496746eN N k N == 而 2.718281828e ≈ ,故 ()3ˆ 6.810eN e --<⨯ 在给定置信概率1α-时, e 的近似区间估计为e 的()()()()()()111\1\221,1N N k N k N k N k N U k N U k N N N N N αα----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪+--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 证：由于()()()()()0110,1k N p n Nk N k N N N N N -⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭−−−−−−→ ()N →∞对置信概率1α-,()0p n 的置信上、下限分别为 上限：()()01\2N k N p n U N α-=+ ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ;下限：()()01\2N k N p n U N α-=- ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由于()10p n e -≈,故e 的近似置信上、下限分别为:()01\u e p n ≈ ,()01\L e p n ≈ 利用上述性质可以得到e 的 95%的区间估计为 []2.579226,2.858067若要使()ˆeN 估计e 的精度达到410- (()195%α-=,N 需94.87710⨯次, 显然手工试验是十分困难的. 随着计算机的出现和发展, 可以把真正的匹配试验利用统计模拟试验方法来代替, 即把匹配试验在计算机上实现.5.结论通过对e的近似值的研究,我们知道了e在生产生活中的重要性,它和数学研究以及其他自然科学都有着密切的联系.通过几种求e的近似值的方法的比较,可以看出利用x e幂级数展开求e的近似值是传统的方法,按部就班,便于理解;利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值在n取到10k,k的值较大时精确度较高,操作简便;匹配试验的模拟与e的估计是试验的方法虽然理论性强,但是操作复杂,有了计算机的辅助作用也不失为一种求e的近似值的好的方法.以上几种方法都能达到 2.71828183e≈ 的效果.通过本文更是证明了数学是一门基础科学,它是描述大自然与社会规律的语言,是科学与技术的基础,也是推动科学技术发展的重要力量,它是人类生产生活必不可少的工具,它使我们的生活变得更快捷,更准确.[1] 华东师范大学数学系,《数学分析》,上册,高等教育出版社,1997年:134页-139页[2]M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社,1979.[3]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1981.[4]闵鹤嗣，严士健.初等数论[M].北京：人民教育出版社,1982.[5]张楚廷. 数学文化[M]. 北京:高等教育出版社,2000.[6]刘玉琏．教学分析．北京：高等教育出版社，1994[7]吕世虎等.从高等数学看中学数学[M].北京: 科学出版社, 1995年:47页-57页.[8]宋秉信.湘潭教育学院.怀化师专学报,1998年;第17 卷:第2 期.[9]孙本旺译. 数学分析[M]. 湖南: 湖南人民出版社, 1981年:318页- 322页.[10]格.马.菲赫金哥尔茨.吴亲仁.陆秀丽译.数学分析原理( 第一卷, 第一分册) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 1979年:96页- 102页.[11]张新仁,徐化忠山.东电大学报,2002 年第3 期.致 谢本文是在刘文莉老师精心指导下完成的.刘老师以其严谨求实的治学态度、认真踏实的工作作风对我产生了深刻的影响.通过此次毕业论文写作,我也学到了许多数学教学理论方面的知识,对于现在数学在生活中的应用也有了较深入的了解.其次,我要感谢父母对我的供养与支持,使我得以完成学业.诚挚的感谢鞍山师范学院教过我的所有老师,四年来精心的教导与栽培.感谢四年来与我朝夕相伴、同甘共苦的同学们.在老师和同学的细心帮助下,使得我的论文得以顺利完成.谢谢！。
常数e的近似值和计算方法
常数e的近似值和计算方法数学中的常数e在许多领域中都有着重要的应用。
从金融学到工程学，从物理学到计算机科学，数学常数e的应用无处不在。
而要计算这个数学常数最为准确的近似值，需要借助一些特殊的方法和工具。
在本文中，我们将深入探讨常数e的计算方法，并介绍一些常用的近似值。
常数e的定义常数e是一种无理数，大约等于2.71828。
e的定义方式相对简单，是通过以下方式得出的极限：e = lim (1+1/n)^n as n approaches infinity即当n无限大时，(1+1/n)^n趋近于常数e。
这个定义方式比较复杂，但它确立了e在数学领域中的地位。
在实际应用中，我们需要使用一些近似值来计算e，以便更加准确地进行数学计算。
常数e的近似值的计算方法在数学计算中，有许多不同的方法可以找到常数e的近似值。
以下是一些常用的方法：1. 借助级数计算常数e可以通过以下的无穷级数进行计算：e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...级数中的每一项都是1/factorial(n)，其中factorial(n)表示n的阶乘。
通过计算级数的前几项，我们可以得到足够精确的e的近似值。
2. 借助连续分数计算常数e还可以通过以下的连续分数进行计算：e = 2 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(1 + 2/(1 + 1/(4 + 1/(1 + 1/(6 + ...))))))这是一个以2为初始条件的连续分数，其中每一项都是形如k/(n+k)的分数。
通过计算连续分数的前几项，我们可以得到足够精确的e的近似值。
3. 使用微积分的方法常数e还可以用微积分中的极限计算方法来计算。
具体来说，我们可以使用以下的极限：e = lim (1+h)^1/h as h approaches 0该极限表示当h无限小时，(1+h)^1/h趋近于常数e。
通过该极限的计算，我们可以得到一个足够精确的e的近似值。
e指数泰勒展开公式
e指数泰勒展开公式E指数泰勒展开公式1. 什么是E指数泰勒展开公式E指数泰勒展开公式是数学中常用的一种将指数函数展开成幂级数的方法。
根据这个公式，我们可以利用已知的数值计算出指数函数在某个点周围的近似值。
2. E指数泰勒展开公式的公式形式E指数泰勒展开公式的一般形式为：e^x = 1 + x + (x^2 / 2!) + (x^3 / 3!) + (x^4 / 4!) + ...其中，e表示自然对数的底数近似为，x表示展开点的值，x^k表示x的k次方，k!表示k的阶乘。
3. E指数泰勒展开公式的应用示例以展开点为0，我们可以得到E指数泰勒展开公式的简化形式：e^x ≈ 1 + x + (x^2 / 2!) + (x^3 / 3!) + (x^4 / 4!) + ...假设我们要计算e^的近似值，可以使用展开点为0的E指数泰勒展开公式：e^ ≈ 1 + + (^2 / 2!) + (^3 / 3!) + (^4 / 4!) + ...≈ 1 + + ( / 2) + ( / 6) + ( / 24) + ...≈ 1 + + + + + ...≈ 1 + + + + ...≈通过计算得到，e^的近似值约为。
4. 总结E指数泰勒展开公式是一种将指数函数展开成幂级数的方法。
通过展开公式，我们可以利用已知的数值计算出指数函数在某个点周围的近似值。
在实际应用中，通过调整展开的阶数，我们可以得到更高精度的近似值。
5. E指数泰勒展开公式的优缺点优点•可以利用已知的数值计算出指数函数在某个点周围的近似值，方便数值计算。
•可以通过调整展开的阶数，得到更高精度的近似值。
缺点•E指数泰勒展开公式只适用于展开点附近的近似计算，对于远离展开点的值，误差较大。
•当展开的阶数过高时，展开公式中的阶乘计算会变得复杂且计算量较大。
6. 应用领域E指数泰勒展开公式在科学计算、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
在计算机科学中，该公式在优化算法、误差分析和数值计算等方面也有重要作用。
数值计算课后答案1
数值计算课后答案1习题⼀解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各⾃的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的⽅法是按定义直接计算。
求相对误差的⼀般⽅法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那⼀位的半个单位，再确定有效数的末位是哪⼀位，进⼀步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，⾸先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
⽽π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--?=?所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
⽽π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--?=?所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==?，m=1。
利用泰勒级数计算无理数和以及其他任意无理数的近似值
利用泰勒级数计算无理数和以及其他任意无理数的近似值泰勒级数是数学中一种用来近似复杂函数的方法，通过使用一系列的多项式来逼近函数的曲线。
它在计算机科学，工程学和自然科学等领域中广泛应用。
对于一个函数f(x)，泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中f'(x)表示函数f关于自变量x的导数，a是泰勒级数的展开点。
对于一个定义良好的函数，泰勒级数越多项参与计算，得到的近似结果就越精确。
因此，使用泰勒级数来计算无理数的和或近似值，可以通过增加级数中的项数来提高结果的准确性。
例如，让我们考虑计算无理数π的近似值。
泰勒级数展开点的选择可以根据需求而定，但通常可以选择靠近欲计算点的已知有理数。
在本例中，我们可以选择展开点为0，即泰勒级数的形式为：π=3+0*(x-0)+(-1/2!)*(x-0)^2+0*(x-0)^3/3!+…这是因为我们知道π的整数部分为3，故取此值作为泰勒级数展开的第一项。
我们可以通过计算更多的项数来获得更精确的近似值。
计算的次数越多，结果将越接近真正的π值。
另一个例子是计算自然对数e的近似值。
自然对数的底数e是一个无理数，可以通过以下泰勒级数展开进行近似计算：e=1+1*(x-0)+1*(x-0)^2/2!+1*(x-0)^3/3!+...以展开点0为例，我们可以通过计算更多的项数来获得更准确的近似值。
需要注意的是，泰勒级数只能提供函数的近似值，而不是确切值。
级数中的每一项都引入了一定的误差，所以在实际应用中，需要根据所需的精度和效率来选择级数中的项数。
由于泰勒级数的计算过程相对复杂，通常使用计算机编程语言来实现。
在实际计算无理数和其他函数的近似值时，可以使用数值计算库或编程语言中的内置函数来执行泰勒级数的计算过程。
总结起来，泰勒级数是一种用于近似复杂函数的方法，通过使用一系列多项式来逼近函数的曲线。