算法收敛性和收敛速度定义式共42页
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。
显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。
因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。
但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。
可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
牛顿法及其收敛性课件
2 xk 2 xk . 4 xk
2 是二重根，
（1） 牛顿法
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（2） 用（4.13）式
xk 1
2 xk 2 xk . 2 xk 2 xk ( x k 2) xk . 2 xk 2
（3） 用（4.14）式 xk 1
取初值 x0 1.5，计算结果如表7-7.
若用此法解方程（4.8），当 x0 0.6 时由（4.9）求得
14
x1 17.9，它不满足条件（4.10）.
通过 逐次取半进行试算，当 1 / 32时可求得 f ( x0 ) 1.384 x1 1.140625 f ( x1 ) 0.656643，而 . 此时有 显然 f ( x1 ) f ( x0 ) . 由 x1 计算 x2 , x3 , 时 1 , 成立. 计算结果如下 ：
x2 1.36181, x3 1.32628, x4 1.32472,
均能使条件（4.10）
f ( x2 ) 0.1866; f ( x3 ) 0.00667; f ( x4 ) 0.0000086.
x4 即为 x *的近似. 一般情况只要能使条件（4.10）成立， 则可得到 lim f ( xk ) 0 ，从而使 {xk } 收敛.
( x)
( x x*) g ( x) , mg ( x) ( x x*) g ( x)
故 x *是 ( x) 0 的单根.
对它用牛顿法，其迭代函数为
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( x) x
( x) f ( x) f ( x) x . 2 ( x) [ f ( x)] f ( x) f ( x)
f ( x) , f ( x)
第5节_迭代法的收敛性
0
-1 2
-
1 2
Ja co b i迭
代
法
的
迭
代
矩
阵
为
B
I
-
D
-1 A
-
1 2
0
-
1 2
精选完整ppt课件
-
1
-1
0
2 2
17
Gauss-Seidel迭代收敛性：
其特征方程
11 22
I-B 1 1 3-3 1
2
2
44
11 22
( - 1 )2( 1) 0 2
得
1
2
1 2
x* ( I - M )-1 g x(k) - x* M k (x(0) x*)
M k [ x (0) ( I M )-1 g ] M k ( I M )-1[( I M ) x (0) g ] M k ( I M ) -1[ x (0) x（1）]
精选完整ppt课件
21
线性方程组迭代法收敛速度
即：k为矩阵Ak的特征值。
所以：（Ak）[(A)]k
精选完整ppt课件
4
线性方程组迭代法收敛性
证 ：充 分 性 ： 若 ( A ) 1， 取 1 - ( A ) 0， 2
存在矩阵范数 ，使得
定 理 ： 设 A为 任 意 n阶 方 阵 ，
A (A) 1 (A) 1 2
则对任意正数,存在矩阵 范数 ，使得：
定 理 ： 设 有 迭 代 公 式 x (k 1 ) M x (k ) g ,若 M 1 ,x (k )收 敛 于 x * ,则 有 误 差 估 计 式 ：
x (k )-x *M k x (1 )-x (0 ) 1 -M
级数的收敛性
a, n为奇数
,
故
lim
n
S
n不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n1)(2n1)
解： (2n1)12 (n1)1 2 2n 1 12n 1 1
n! nn
,则
5
an
n1
=______________________；
3、若 级 数 为
x 2
x 24
xx 246
则an
_______；
4、若 级 数 为
a2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1 则 当 n _____
变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x ) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1111；
n12n 2 4
2n
n12n;
n1
( 1 )n 11 1 1 1 ( 1 )n 1 ;
n 1
co n sco 1sco 2 s co n s .
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1xn 1 1 x x2 ( 1 )n 1xn 1 , xR.
n 1
anxna0a 1xa2x2 anxn ,| x |1.
7.2 迭代法及其收敛性
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40 45
1.358484290 1.355301399 1.355302727 1.355301425 1.355301394
由上表数据可看出，若取迭代函数为(c )， (d )和 (e )三种情形，算法表现良好，均能较快得到方程 的近似根.
下面讨论用迭代的方法求 ( x )的不动点x * .取 方程(7.2.1)解的初始近似值x0 , 通过如下迭代
xk xk 1 , k 1,2,, 产生迭代序列 xk . (7.2.2)
如果序列 xk 收敛到x * ,即 lim xk x * ,因 ( x )
x k x * x k 1 x * L x k 1 x * L x k 2 x L x0 x .
* k *
2
7.2.3
由0 L 1可得 lim Lk 0,因此对上式取极限可得
k
lim xk x * lim Lk x0 x * 0
4 x 在[1,2] 的值域为[ 1.6, 2].此外
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
因此, 对于方程f ( x ) 0,为求出它的一个实根, 常 常将其化为求解等价的不动点问题,因为不动点 问题的形式往往更易于分析求解.
但对于情形(a )，迭代序列发散;在情形(b)中， 出现负数开根号，从而迭代不能继续下去.
因此, 迭代函数 ( x )的选取将会对迭代过程的收 敛性产生很大的影响.事实上, 要使迭代法产生的序 列 xk 收敛,则迭代函数 ( x )应满足一定的条件.
6.3迭代法的收敛定理PPT课件
由于精确解X *自然满足
X BXf
因此有
X X ( k 1 ) B X X ( k )
或
k1 Bk
再递推出
k Bk0
所以，迭代法收敛性与迭代矩阵的幂B k，随着k的增加 而趋向于零矩阵是等价的。
返回节2021/3/10
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一、基本收敛定理
由 可推知
由第（2）式可知
X (k ) X (k 1 ) X * X (k 1 ) X * X (k )
再将上两式联立，可以得出以下结果
X*X(k) B X(k)X(k1) (1B)
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证明完毕。
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将定理6.1和6.2用于Jacobi迭代法及Seidel迭代法， 则有
1.解线性方程组AXb的JacobiSeidel迭代法
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引子
虽然利用定理6.1和定理6.2可以判定Jacobi 迭代 法和G-S迭代法的收敛性，但其中只有定理6.2对 Jacobi 迭代法使用比较方便，此外，对于大型方程 组，要求出G-S迭代矩阵BG和ρ(BG)以及Jacobi 迭代矩 阵BJ和ρ(BJ)都不是容易的事。
这里介绍一些判定收敛的充分条件，它们是利 用原方程组系数矩阵A和迭代矩阵B的特殊性质建立 的，很实用，用起来也很方便。这些判定定理的建 立也都是以定理6.1和定理6.2为理论基础的。
另一方面，‖B‖越小，序列{ X (k)}收敛越快。 更精确的说法是：ρ(B) 越小，序列{ X (k) }收敛越快。
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收敛速度的概念
下面我们给出收敛速度的概念： 定义6.1 R(B)= -lnρ(B)，称为迭代法的渐进收 敛速度。
算法收敛速度
算法收敛速度一、什么是算法收敛速度？算法收敛速度指的是算法在运行过程中逐渐接近最优解的速度。
在实际问题中，我们通常需要在有限时间内得到一个尽可能接近最优解的结果，因此算法的收敛速度对于问题求解的效率和准确性具有重要影响。
二、影响算法收敛速度的因素1. 初始值：算法初始值对于收敛速度影响很大。
如果初始值距离最优解较远，则需要更多次迭代才能达到最优解，从而降低了收敛速度。
2. 学习率：学习率是指每次迭代时更新参数的步长。
学习率较大会导致参数更新过快，容易出现震荡现象，从而降低了收敛速度；学习率较小则会导致参数更新缓慢，需要更多次迭代才能达到最优解，也会降低收敛速度。
3. 梯度大小：梯度大小反映了目标函数变化的快慢程度。
如果梯度大小较小，则说明目标函数变化缓慢，需要更多次迭代才能达到最优解，从而降低了收敛速度。
4. 目标函数的形状：目标函数的形状对于算法收敛速度也有影响。
如果目标函数呈现出光滑的凸面形状，则算法容易收敛；如果目标函数呈现出多个局部最优解，或者存在较大的峡谷，则算法可能会陷入局部最优解，从而降低了收敛速度。
三、常见的提高算法收敛速度的方法1. 加快学习率：通过增加学习率可以加快参数更新的速度，从而提高收敛速度。
但是需要注意学习率过大会导致震荡现象和发散现象，因此需要根据具体情况合理设置学习率。
2. 优化初始值：通过合理设置初始值可以提高算法的收敛速度。
一般来说，初始值应该尽可能接近最优解，但是也不能过于接近，否则容易陷入局部最优解。
3. 使用自适应学习率：自适应学习率可以根据当前迭代次数和梯度大小等信息动态调整学习率大小，从而避免了手动设置学习率带来的问题，并且能够有效提高收敛速度。
4. 选择更合适的目标函数：选择更合适的目标函数可以避免算法陷入局部最优解，从而提高收敛速度。
例如，使用带有正则项的目标函数可以避免过拟合问题，从而提高收敛速度。
5. 采用更快的算法：选择更快的算法可以大大提高收敛速度。
算法的收敛性和收敛速度的定义式
5.2.1 函数的方向导数和梯度
例题2 一般二元二次函数的矩阵式为
1 T f ( X ) X AX + B T X + C 2
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，其中
X x1 x2
a11 a12 A a21 a22
f ( X ( 2 ) ) 0 2 + 2 2 2
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单位梯度的向量为：
S
(1)
f ( X (1) ) 1 (1) f ( X ) 2 2
2 2 / 2 2 2 / 2
S (2)
f ( X ( k ) ) S cos f ( X ( k ) ), S
S cos 2 1 + cos 2 2 + + cos 2 n 1
f ( X
(k )
f ( X ) f ( X ) f ( X ) ) + + + x x x 1 2 n
f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
从图中可以看出： 当方向S与点X( k)的梯度相垂直时，函数在该 点沿S的方向导数等于零，即
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f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
T
S 0
这说明，与梯度成锐角的方向是函数值上升 的方向，而与梯度成钝角的方向则是函数值下降 的方向。
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