模拟退火算法收敛性
基于模拟退火技术的QDPSO算法
第３３卷
１．３３ 第ｌ５期
Ｎｏ．１ｓ 计算机工程
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ２００７年８月
Ａｕｇｕｓｔ ２００７
・人工智能Ｓｔｉ，ｑＪｔ０技术・ 文章－号一１００ｏ＿．３４２８（２ｏ０７）１５＿＿ｏ２０９＿＿０２ 文献标识码一Ａ 中圈分类号一ＴＰ１８
基于模拟退火技术的ＱＤＰＳＯ算法
朱小六 ，熊伟雨２徐保国
（１．江南大学通信与控制工程学院，无锡２１４１２２；２．江南大学控制科学与工程研究中心，无锡２１４１２２）
擅耍：提出了一种基于模拟退火技术的量子空间模型粒子群优化（ＱＤＰｓ０）改进算法，利用模拟退火算法（ｓＡ）的搜索能力克服ＱＤＰＳＯ算 法在寻优过程中早熟的缺点，通过标准测试函数进行性能测试，验证了算法的收敛性和快速性，并和标准ＰＳＯ及ＱＤＰＳＯ进行了比较。仿
真结果表明，该算法具有更好的稳定性和收敛性，是一种良好的全局优化方法。 关悯：优化算法；模拟退火；粒子群算法
ＱＤＰＳＯ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ ＴｅｃｈｎｉｑＵｅ
ＺＨＵ Ｘｉａｏ．１ｉｕｌ，ＸＩＯＮＧ Ｗｅｉ．１ｉ２，ＸＵ Ｂａｏ．ｇｕｏ２
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈｅｍ Ｙａｎｇｔｚｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｘｉ ２１４１２２
２．Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ ｏｆＣｏｎｔｒｏｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈｅｍ Ｙａｎｇｔｚｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｘｉ ２１４１２２）
［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｑｕａｎｔｕｍ ｄｅｌｔａ－ｐｏｔｅｎｔｉａｌ－ｗｅｌｌ－ｍｏｄｅｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ（ＱＤＰＳＯ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ
地球物理反演模型的优化方法比较研究
地球物理反演模型的优化方法比较研究
地球物理反演是一种利用地球物理数据来推导地下结构和特性的方法。它在地震勘探、地热能勘查、矿产资源勘查以及环境地球物理等领域广泛应用。地球物理反演模型的优化方法比较研究是为了找到最优的反演模型及其参数化表示方法，以提高反演成像的准确性。
在地球物理反演中，通常会使用不同的优化方法来寻找最优模型。以下将介绍常见的几种优化方法以及它们的优缺点。
1. 非线性最小二乘法（Nonlinear least squares method）：
非线性最小二乘法是最常用的地球物理反演优化方法之一。它将地球物理观测数据与模拟数据之间的差异最小化，通过调整模型参数来寻找最优解。该方法具有较高的可靠性和准确性，但是计算量大，收敛速度慢，对初值敏感。
2. 遗传算法（Genetic algorithm）：
遗传算法是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。它通过定义适应度函数、选择、交叉和变异等操作，不断迭代生成新的模型解，并逐渐优化适应度函数的值。遗传算法具有全局搜索能力，能够在复杂的反演问题中找到较好的解，但计算复杂度较高。
3. 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）：
模拟退火算法源于固体退火原理，通过模拟退火的过程来搜索全局最优解。它以一定的概率接受劣质解，并通过降低温度来控制搜索过程，逐渐趋向全局最优解。模拟退火算法具有较好的全局搜索能力和收敛性，但计算量会随问题规模增大而增加。
4. 全局直接优化方法（Global direct optimization method）： 全局直接优化方法是一种通过定义多个目标函数，同时优化多个参数的方法。它综合考虑了多个目标函数之间的相关性，通过寻找一个平衡点来达到最优化目标。全局直接优化方法具有较强的鲁棒性，能够得到更好的全局最优解。
5. 约束反演方法（Constrained inversion method）：
模拟退火算法
模拟退⽕算法
模拟退⽕（SA）
物理过程由以下三个部分组成
1.加温过程 问题的初始解
2.等温过程 对应算法的Metropolis抽样的过程
3.冷却过程 控制参数的下降
默认的模拟退⽕是⼀个求最⼩值的过程，其中Metropolis准则是SA算法收敛于全局最优解的关键所在，Metropolis准则以⼀定的概率接受恶化解，这样就使算法跳离局部最优的
陷进
1.模拟退⽕算法求解⼀元函数最值问题
使⽤simulannealbnd - Simulated annealing algorithm⼯具箱
求y=sin(10*pi*x)./x;在[1,2]的最值
下图是⽤画图法求出最值的
x=1:0.01:2;
y=sin(10*pi*x)./x;
figure
hold on
plot(x,y,'linewidth',1.5);
ylim([-1.5,1.5]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y=sin(10*\pi*x)/x');
[maxVal,maxIndex]=max(y);
plot(x(maxIndex),maxVal,'r*');
text(x(maxIndex),maxVal,{['x:' num2str(x(maxIndex))],['y:' num2str(maxVal)]});
[minVal,minIndex]=min(y);
plot(x(minIndex),minVal,'ro');
text(x(minIndex),minVal,{['x:' num2str(x(minIndex))],['y:' num2str(minVal)]});
hold off;
⽤模拟退⽕⼯具箱来找最值
求最⼩值
function fitness=fitnessfun(x)
fitness=sin(10*pi*x)./x;
end
求最⼤值
function fitness=fitnessfun(x)
fitness=-sin(10*pi*x)./x;
遗传算法与模拟退火算法比较
一、遗传算法与模拟退火算法比较
分析模拟退火算法的基本原理可以看出，模拟退火算法是通过温度的不断下降渐进产生出最优解的过程，是一个列马尔科夫链序列，在一定温度下不断重复Metropolis过程，目标函数值满足Boltzmann概率分布。在温度下降足够慢的条件下，Boltzmann分布收敛于全局最小状态的均匀分布，从而保证模拟退火算法以概率为1收敛到全局最优。另外，不难看出，模拟退火算法还存在计算结构简单、通用性好以及鲁棒性强等优点。但是，模拟退火算法存在如下缺陷：
1. 尽管温度参数下降缓慢时理论上可以保证算法以概率为1地收敛到最优值，但是需要的时间过长加之误差积累与时间长度的限制，难以保证计算结果为最优；
2.如果降温过程加快，很可能得不到全局最优解，因此，温度的控制是一个需要解决的问题；
3.在每一种温度下什么时候系统达到平衡状态，即需要多少次Metropolis过程不易把握，从而影响模拟退火算法的最终结果。
与模拟退火算法相比较，遗传算法具有如下典型特征：
这两种算法的相同点是都采用进化控制优化的过程。主要不同点是模拟退火是采用单个个体进行进化，遗传算法是采用种群进行进化。模拟退火一般新解优于当前解才接受新解，并且还需要通过温度参数进行选择，并通过变异操作产生新个体。而遗传算法新解是通过选择操作进行选择个体，并通过交叉和变异产生新个体。具体说来，遗传算法具有如下特点：
（1）与自然界相似，遗传算法对求解问题的本身一无所知，
对搜索空间没有任何要求（如函数可导、光滑性、连通性等），只以决策编码变量作为运算对象并对算法所产生的染色体进行评价，可用于求解无数值概念或很难有数值概念的优化问题，应用范围广泛；
（2） 搜索过程不直接作用到变量上，直接对参数集进行编码操作，操作对象可以是集合、序列、矩阵、树、图、链和表等；
（3）搜索过程是一组解迭代到另一组解，采用同时处理群体中多个个体的方法，因此，算法具有并行特性； （4）遗传算法利用概率转移规则，可以在一个具有不确定性的空间寻优，与一般的随机性优化方法相比，它不是从一点出发按照一条固定路线寻优，而是在整个可行解空间同时搜索， 可以有效避免陷入局部极值点，具有全局最优特性；
基于多重网格的模拟退火算法
第２５卷第４期 ２０１３年ｌ２月 湖南文理学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ＿０１．２５ ＮＯ．４ Ｄｅｃ．２０１３
ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７２—６１４６．２０１３．０４．００２
基于多重网格的模拟退火算法
陶庆云
（湖南文理学院数学与计算科学学院，湖南常德，４１５０００）
摘要：为了提高模拟退火算法的收敛速度，提出了一种基于多重网格的模拟退火算法（ＳＡＭ），用于求解高
维函数优化问题，并分析了其收敛性．１３个著名的测试函数对ＳＡＭ算法进行数值实验，结果表明ＳＡＭ算法
具有良好的搜索能力和收敛速度．
关键词：模拟退火算法；多重网格法；函数优化问题
中图分类号：Ｏ ２４１．８ 文章编号：１６７２—６１４６（２０１３）０４—０００８—０４
Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ
ＴＡＯ Ｑｉｎｇ—ｙｕｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｄｅ ４ １ ５０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｎ ｔｏ ｂｅ ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ
ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ，ａ ｎｏｖｅｌ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｐｒｏｖｅｎ．Ｔｈｅ
模拟退火算法原理
模拟退火算法原理
模拟退火算法是一种启发式优化算法，通过模拟退火的过程来搜索问题的解空间。该算法的基本原理来自于固体退火过程中的微观行为，通过慢慢降低温度来使得固体达到低能态的状态。
在模拟退火算法中，首先需要定义一个目标函数来评估解的质量。然后，从解空间中随机生成一个初始解作为当前最优解，并设置初始温度。接下来的迭代过程中，通过对当前解进行随机扰动和评估，同时根据一定的概率接受劣解，从而避免陷入局部最优解。这个概率与温度息息相关，温度降低时，接受劣解的概率也降低。当温度降到足够低时，模拟退火算法将停止并返回最优解。
具体地，模拟退火算法的迭代过程中，会不断地改变当前解，形成一条解的搜索路径。根据Metropolis准则，如果新解的质量优于当前解，则直接接受新解；如果新解质量差于当前解，则以一定的概率接受新解。这个概率根据新解质量的差距和当前温度计算得出。温度越高，接受劣解的概率越高；温度越低，接受劣解的概率越低。随着迭代的进行，温度逐渐下降，接受劣解的概率减小，最终得到一个接近最优解的解。
模拟退火算法的关键点之一是如何设置降温的规则。常见的降温策略包括指数降温、线性降温和对数降温等。这些策略都可以根据问题的特性进行选择。另外，模拟退火算法还需要合适的初始温度和终止条件来保证算法的效果和收敛性。
总之，模拟退火算法通过模拟退火的过程，通过逐渐降低温度来搜索问题的解空间。它可以在解空间中进行随机搜索，并以一定的概率接受劣解，从而避免陷入局部最优解。通过合适的降温策略和终止条件，模拟退火算法能够找到一个接近最优解的解。
基于MPI的模拟退火算法的实现
第２７卷第９期 ２０１１年９月 贵州师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖｏ１．２７．Ｎｏ．９ Ｓｅｐ．２０１１
基于ＭＰＩ的模拟退火算法的实现
黄黎明
（贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳５５００１８）
摘要：根据模拟退化算法具有并行性的特点，设计并实现了并行的模拟退火算法，同时以给出不同的初始 温度，进行结果的模拟，体现出模拟退火算法的一个特征：初温越大，计算所花费的时间越大。 关键词：ＭＰＩ；模拟退火算法；研究 中图分类号：ＴＰ３０１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７７９８（２０１１）０９—００２５—０４
ＭＰＩ—－ｂａｓｅｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ
ＨＵＡＮＧ Ｌｉ—ｍｉｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ，５５００１８ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌｉｓｍ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｄｅｓｉｇｎｓ ａｎｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｉｎｉｔｉａｌ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｌｌｅｃｔｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆａ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ：ｔｈｅｈｉｇｈｅｒｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｉｓ，ｔｈｅｍｏｒｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｓｐｅｎｔ ｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＭＰＩ；ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｓｔｕｄｙ
模拟退火算法原理及改进
作者简介：李香平（１９７８￣），男，湖北监利人，中国地质大学计算机学院硕士研究生，研究方向为科学研究与可视化；张红阳（１９８２￣），男，湖北咸宁人，中国地质大学计算机学院硕士研究生，研究方向为数据挖掘与数据仓库。模拟退火算法原理及改进
李香平，张红阳（中国地质大学计算机学院，湖北武汉４３００７４）摘要：模拟退火算法是一种强大的随机搜索算法，能应用于许多前提信息很少的问题，能渐进地收敛于最优值。对ＳＡ算法进行了介绍，论述了ＳＡ算法的原理并对算法进行了改进，展示了计算实验的结果。关键词：模拟退火；全局优化中图分类号：ＴＰ３１２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８００（２００８）０４－００４７－０２
０引言近年来，传统的单一算法越来越不适应大规模非线性规划问题。它们要求目标函数是可微的和收敛的。ＳＡ能很好地弥补它们的缺陷。从用于统计力学的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法上受到启发，ＳＡ算法在１９８３被Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ提出来。对比传统局部搜索算法，ＳＡ在搜索时会在搜索空间上下移动而不依赖初始条件，擅长解决多维问题。此外，它能处理任意程度的非线性、不连续和随机的问题。能处理任意边界和约束的评估函数。因此，它能轻易处理有脊背和高地的函数。只要初温高、退火表适当，它就能得到全局最优。ＳＡ成功应用于组合优化、神经网络、图像处理和代码设计。１模拟退火算法原理组合优化问题是在给定的约束条件下，求目标函数的最值的问题。设（Ｓ，ｆ）是组合优化问题的一个实例，ｉｏｐｔ∈Ｓ若对所有ｉ∈Ｓ，都有ｆ（ｉｏｐｔ）≥ｆ（ｉ），则称ｆ（ｉｏｐｔ）≤ｆ（ｉ）为ｍｉｎｆ（ｉ）的最优解。ＳＡ来源于物理热力学原理，综合了固体退火与组合优化之间的类似性。类似固体的复杂系统，先被加热到一个物质粒子能自由移动的很高的温度，当它慢慢冷却时，它的能量减少。如果“冷却”过程足够慢，系统将忽略局部稳定构造，到达能量最低状态，即基态。在模拟的每一步中，新解的产生按照Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ法则，一个新的状态从现有的状态中产生，这个法则能以一定的概率接受能量上升（即产生劣解）的新状态，而能量下降是优化的总目的。法则如下所示：ｐ（ｘ＝＞ｙ）＝１，ｆ$%ｙ≤ｆ$%ｘｅｘｐ－ｆ$%ｘｆ$%ｙ$%，ｏｔｈｅｒｗｉｓ&ｅｆ是系统能量，ｔ是温度。ＳＡ的一般框架：Ｇｅｎｅｒａｔｅｄｉｎｉｔｉａｌｓｔａｔｅａｔｒａｎｄｏｍ；Ｇｅｎｅｒａｔｅｄｉｎｉｔｉａｌｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ；ＲＥＰＥＡＴＲＥＰＥＡＴｙ＝ｇｅｎｅｒａｔｅ（，）；ＩＦａｃｃｅｐｔ（，ｙ，）ＴＨＥＮ＝ｙＵＮＴＩＬ＇ｉｎｎｅｒｌｏｏｐｓｔｏｐｃｒｉｔｅｒｉｏｎ＇ｓａｔｉｓｆｉｅｄ为了提高ＳＡ的性能，我们应该仔细处理控制参数的协调。（１）初始温度的选择。初始温度太高会花费高昂的计算时间，太低会拒绝劣解的接受，会丢失ＳＡ全局优化的优点。本文提出了一个初始温度的公式：ｔ０＝’ｆ＋ｌｎｘ－１’ｆ＋是函数增量的平均值，χ是初始的接受概率。（２）温度降低策略。温度降低越快，陷入局部的概率就越大。然而，温度降低太慢会导致算法速度慢得不能接受。本文采用了一种快速的非线性降低法：ｔｋ＝ｔ０１＋ｋｋ＝１，２，３，……（３）适当的邻域结构。在退火期间，步长太小导致算法在探索相位空间效率低，太大新解总被拒绝。在持续优化时，新的等价值均一地按间距分布在以ｘｉ的坐标为中心的邻域中，沿轴的间距的一半被看作步长向量ξ。当点落在ｆ的定义域内时，就随机产生新解。（４）终止标准。内循环是单一温度下在各种条件下Ｍａｒｃｏｖ链的一种渐进接近全局最优的模拟实现，即循环Ｍａｒｃｏｖ链长次数结束。外循环取某个温度ｔ作为算法终止标准，或者是迭代若软件导刊ＳｏｆｔｗａｒｅＧｕｉｄｅ第７卷第４期２００８年４月Ｖｏｌ．７Ｎｏ．４Ａｐｒ．２００８２００８年软件导刊
模拟退火算法参数设置
- 1 - 模拟退火算法参数设置
模拟退火算法是一种全局优化方法，其性能取决于参数设置。本文介绍了模拟退火算法的基本原理，分析了参数设置对算法性能的影响，并提出了一些常用的参数设置方法和优化策略。
关键词：模拟退火算法；参数设置；优化策略
引言
模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种全局优化方法，由Metropolis等人于1953年提出。与传统的优化算法相比，模拟退火算法不需要求解函数的导数，也不需要对函数进行连续可导的限制，因此适用于各种类型的优化问题。模拟退火算法的基本思想是模拟固体物质的退火过程，通过不断降温使系统达到一个最低能量状态，从而得到全局最优解。
模拟退火算法的性能取决于参数设置，包括初始温度、降温速度、停止温度、邻域搜索策略等。本文将从这些方面分析模拟退火算法的参数设置，并提出一些常用的优化策略。
1. 模拟退火算法的基本原理
模拟退火算法的基本流程如下：
（1）初始化：随机生成一个初始解x0，设其为当前最优解xbest。
（2）选择邻域：根据邻域搜索策略，在当前解x上选择一个邻居解x'。
（3）计算接受概率：计算接受概率p，判断是否接受邻居解x'。
（4）更新解：如果接受邻居解x'，则更新当前解为x'；否则保 - 2 - 留当前解。
（5）降温：根据降温策略，降低温度T。
（6）停止条件：如果满足停止条件，则结束算法；否则返回步骤（2）。
模拟退火算法的关键在于接受概率的计算。接受概率p的计算公式如下：
p=exp(-ΔE/T)
其中，ΔE表示邻居解x'与当前解x的能量差，T表示当前温度。当ΔE<0时，即邻居解更优时，接受概率为1；当ΔE>0时，接受概率为exp(-ΔE/T)，随着温度的降低，接受概率逐渐变小。
2. 参数设置对算法性能的影响
模拟退火算法 2
一. 爬山算法 ( Hill Climbing )
介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。
图1
二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想
爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。 模拟退火算法描述：
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。
根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。