有理数运算讲义
第二章有理数及其运算第一讲有理数(教案)
-突破方法：通过具体案例，强调运算顺序的重要性，并引导学生用括号明确运算顺序。
-实际应用题的解决：难点在于如何将实际问题抽象成有理数运算问题，以及如何列式和计算。
-突破方法：提供多样化的实际应用题，引导学生逐步学会提取信息、建立数学模型并解决问题。
2.培养学生运用有理数进行逻辑推理，提高逻辑思维能力，增强数学抽象素养。
3.培养学生熟练掌握有理数的运算，提高运算速度和准确性，强化数学运算素养。
4.引导学生通过解决实际问题，培养数据分析素养，提高解决问题的能力。
5.激发学生主动探究有理数性质和运算规律的意识，培养数学探究素养，增强创新精神。
6.培养学生合作交流、分享学习心得的习惯，提高数学交流素养，增进团队合作意识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解有理数的基本概念。有理数是可以表示为两个整数比的数，如分数、整数。它是数学运算的基础，广泛应用于各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了有理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的分类和运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示有理数运算的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
有理数运算法则(讲义)(含答案)
有理数运算法则（讲义）一、知识点睛1. 有理数加法法则：___________________________________．2. 有理数减法法则：___________________________________．3. 有理数乘法法则：两个有理数相乘，______________________________________________；几个有理数相乘，因数都不为零时，________________________________________________________________________________________________________________________________________________；有一个因数为零时，________________________________．4. ___________________________的两个有理数互为倒数．5. 有理数除法法则：__________________________________．二、精讲精练1. ①(-3.5)+(-6.1)=_________，(-10)+ (-1)=_________； ②=++-)213()213(_______，(-8) +3=____________； ③[2+(-3)]+ (-8)=_________；④2+[(-3)+(-8)]=_________；⑤41+(-28)+28+69=__________；⑥9-(-5)=_____+_____=__________；⑦(-3)-1=______+_______=___________；⑧(-72)-(-37)-(-22)-17=____+_____+_____+______=______+_____=_____； ⑨314()+555--=_____+_____+_____ =______+_____=_____，27-18+(-7)-32=____+_____+_____+_____=______+_____=_____； ⑩(8)+(+3)(2)---=_________．2. 下列计算正确的是（ ）A ．-5-(-3)=-8B ．+5-(-4)=1C ．-5-|-5|=0D ．+5-(+6)=-13. 计算：（1）(-41)+(+28)-59- (-72)（2）151(2)0.5(1)266-+---（3）1-2+3-4+5-6+…+99-100（4）)5141()4131()3121()211(-+-+-+-4. ①133(-)⨯(-)=___________，2534(-)⨯(-)=___________； ②8125.(-)⨯=___________，2534⨯(-)=___________； ③(-4)×5×(-0.25)=_______，35(2)56(-)⨯(-)⨯-=________； ④2416401373(-)⨯(-)⨯⨯=_____________； ⑤(-6)÷18=_____×_____=_____；⑥(12-)÷(-3)=_____×_____=_____； ⑦5÷(15-)=_____×_____=_____；⑧0÷(-0.12)=_________；⑨(-378)÷(-7)÷(-9)=_____×_____×_____=_____；⑩11210012(-)÷(-)÷(-)=_____×_____×_____=_____．5.在有理数2，3，-4，-5，6中，任取两个数字相乘，所得积的最大值是（）A．24 B．20 C．18 D．306.计算：（1）6÷(-2)×(13-) （2）12.7÷(819-)×0（3）4÷(-5)×(15-) （4）)25.0()43()32(42-÷-+-⨯（5）14 6(2)8()23 -÷-⨯-÷-7.计算：（1）111(24)(112)346-⨯+-（2）⎪⎭⎫⎝⎛-+-127659521()36-⨯（3）377488⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）1112()612÷-（5）()()()3.2289 3.7729399⨯-+-⨯+-⨯-（6）435107(1)(2)(15)07159494..⨯+⨯-+⨯-⨯8. 某超市出售的三种品牌的洗衣液袋上分别标有净重为(800±2)g ，(800±3)g ，(800±5)g 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）A ．10gB ．8gC ．7gD ．5g9. 有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ）A ．+2B ．-3C ．+3D ．+410. 已知A 地海拔7米，B 地海拔20米，C 地海拔-15米．（1）若把A地的高度记为0米，则B地和C地的高度各记为多少米？（2）若把B地的高度记为0米，则A地和C地的高度各记为多少米？11.下表为国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：（1）北京6月11日23时时，巴黎时间是多少？（2）北京6月11日23时时，悉尼时间是多少？（3）小莹的爸爸于6月11日23时从北京乘飞机，经过16小时的航行到达纽约，到达纽约时北京时间是多少？纽约时间是多少？12.墨尔本与北京的时差是+3小时（即同一时刻墨尔本时间比北京时间早3小时），班机从墨尔本飞到北京需用12小时，若乘坐从墨尔本8：00（当地时间）起飞的航班，到达北京机场时，当地时间是（）A．15：00 B．17：00 C．20：00 D．23：0013.某水果冷藏室在一个星期内共储存五次香蕉，每次储存数分别是6吨，3.5吨，4吨，5吨和2.5吨．同时在这一周内该冷藏室又分别将香蕉运往开封15吨，洛阳10吨，信阳12吨．请问该冷藏室在一周内是储存香蕉还是从冷藏室中运出香蕉？14. 一水利勘察队在江上勘察，第一天沿江向上游走215千米， 第二天又向上游走315千米，第三天向下游走324千米，第四天向下游走了215千米．这时勘察队在出发地的上游还是下游？距离出发点多少千米？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1.两数相加，同号合并，异号抵消2.减去一个数等于加上这个数的相反数3.同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；积的符号由负因数的个数决定，当负因数为奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正，并把绝对值相乘；积为零4.乘积为15.除以一个数等于乘这个数的倒数二、精讲精练1.①-9.6，-11②0，-5③-9④-9⑤110⑥9，5，14⑦(-3)，(-1)，-4⑧(-72)，37，22，(-17)，(-89)，59，-30⑨35-，15，45-，75-，15，65-；27，(-18)，(-7)，(-32)，20，(-50)，-30 ⑩32. D3.（1）0（2）-1（3）-50（4）544.①1，5 6②-10，5 6 -③5，-1④0⑤-6，118，13-⑥1()2-，1()3-，16⑦5，-5，-25⑧0⑨(-378)，1()7-，1()9-，-6 ⑩(-12)，(-12)，1()100-，3625- 5. B6. （1）1（2）0（3）425（4）-25（5）1527. （1）-10（2）-7（3）17（4）144（5）-99（6）-43.68. A9. A10. （1）B 地13米，C 地-22米（2）A 地-13米，C 地-35米11. （1）巴黎的时间是6月11日16时（2）悉尼的时间为6月12日凌晨1时（3）到达纽约时北京时间为6月12日15时，纽约时间为 6月12日2时12. B13. 冷藏室在一周内是从冷藏室运出香蕉，运出16吨．14. 勘察队在出发地的上游，距离出发点32千米．。
《有理数的运算》课件
CHAPTER 04
有理数运算的应用
在日常生活中的应用
购物计算
在购物时，我们需要计算找零、 折扣等，有理数运算可以帮助我
们快速准确地完成这些计算。
金融计算
VS
详细描述
交换律是指加法或乘法中的数可以任意交 换位置而不改变结果，结合律则是指加法 或乘法中的数可以任意组合成组而不改变 结果。这些运算律在有理数的混合运算中 非常重要，可以帮助简化计算过程。
乘方和开方的定义及运算规则
总结词
乘方和开方是有理数混合运算中的重要概念 ，需要掌握其定义和运算规则。
详细描述
CHAPTER 03
有理数的混合运算
顺序与符号
总结词
运算顺序和符号的确定是有理数混合 运算中的重要环节。
详细描述
在进行有理数的混合运算时，应遵循 先乘除后加减的顺序，同时要特别注 意符号的处理。在运算过程中，应先 确定每个数的符号，再根据运算法则 进行计算。
运算的交换律和结合律
总结词
交换律和结合律是有理数混合运算中的 基本运算律。
有理数加法运算的基本法则
详细描述
同号数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值；任何数与0相加，仍得这个数本身。
减法运算
总结词
有理数减法运算的基本法则
详细描述
有理数的减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
几何图形
在解决几何图形问题时， 有理数运算可以帮助我们 计算面积、周长等几何量 。
有理数的运算讲义
有理数的运算一、有理数基本加、减混合运算 有理数加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③ 一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ① 确定和的符号； ② 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：① 两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律)② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 有理数加法的运算技巧：① 分数与小数均有时，应先化为统一形式. ② 带分数可分为整数与分数两部分参与运算. ③ 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④ 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤ 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥ 符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+- 有理数减法的运算步骤：① 把减号变为加号（改变运算符号） ② 把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③ 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：① 把算式中的减法转化为加法； ② 省略加号与括号； ③ 利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：()(3)(0.15)9(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】 计算：5116(2.39)(1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)(1.57)6767-+-+++-+-+-+-++【例2】 计算：()()()()3133514--++---； 计算：31212 1.753463--+【例3】 计算：413 4.5727⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 计算：212(738)(78.36)(53)(13.64)(43)2323+-+--+---【巩固】 若0a >，0b <，则a b - 0 若0a <，0b >，则a b - 0【巩固】 若0a <，0b <，则()a b -- 0； 若0a <，0b <，且||||a b <，则a b - 0. 【例4】 (第14届希望杯)有一串数：2003-，1999-，1995-，1991-，…，按一定的规律排列，那么这串数中前 个数的和最小．【例5】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0bb a，，的形式，则20042001a b +=【例6】 给出一连串连续整数：203202...20032004--，，，，，这串连续整数共有 个；它们的和是 【例7】 1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数【巩固】 若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是( )A ．a b c d +++一定是正数．B ．d c a b +--可能是负数．C ．d c b a ---一定是正数．D ．c d b a ---一定是正数．【例8】 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A . 28ºCB . 29ºC C . 30ºCD . 31ºC【例9】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8， +0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．二、有理数基本乘法、除法 Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 有理数乘法运算律：① 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =(乘法交换律)② 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =(乘法结合律)③ 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. ()a b c ab ac +=+(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广：① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.② 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③ 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例10】 ()()()345826-⨯--⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 计算：111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【例11】 计算：4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦计算：1111136()23469⨯+---.【例12】 积11111111...111324359810099101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值的整数部分是【例13】 设()2n n ≥个正整数123...n a a a a ，，，，，任意改变他们的顺序后，记作123...n b b b b ，，，，，若 ()()()()112233...n n P a b a b a b a b =----，则（ ） A ．P 一定是奇数 B ．P 一定是偶数C ．当n 是奇数时，P 是偶数D ．当n 是偶数时，P 是奇数【例14】 若a ，b ，c ，d 是互不相等的整数，且9abcd =则a b c d +++的值为( )A ．0B ．4C ．8D ．无法确定．【巩固】 如果4个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n p q +++的值是多少？【例15】 如果a b c ，，均为正数，且()()()152162170a b c b a c c a b +=+=+=，，，那么abc 的值等于 【例16】 若19980a b +=，则ab 是（ ）A . 正数B . 非正数C . 负数D . 非负数【巩固】 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正. 【巩固】 如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数【巩固】 a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A ．0a >，b 、c 同号B ．0b >，a 、c 异号C ．0c >，a 、b 异号D ．a 、b 、c 同号【巩固】 若a b c ，，三个数互不相等，则在a b b c c ab c c a a b------，，中，正数一定有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例17】 计算：111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算：()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：11111()()234560-+-÷-； 计算：5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-.【例18】 用“＞”或“＜”填空⑴ 如果0ab c >，0ac <那么b 0 ； ⑵ 如果0a b >，0bc <那么ac 0 . (3) 如果0a b <，0bc<，试确定ac 的符号.【例19】 观察下面的式子：224224;31313434;222241414545;3333515156564444⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=，，，，⑴ 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？⑵ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【例20】已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于它相反数的2倍.求3x abcdx a bcd++-的值.【例21】计算：1111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)246810357911+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-三、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
有理数的运算法则-讲义版
有理数的运算法则•加法的定义加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量和起来，变成一个数、量的过程。
表达加法的符号为加号(+)。
进行加法时以加号将各项连接起来.把和放在等号(=)之后.•减法的定义:减去一个数等于加上这个数的相反数*.表达减法的符号为减号(-).进行减法时,以减号将各项连接起来,把差放在等号(=)之后.•乘法的定义两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。
表达乘法的符号为乘号(×).进行乘法时,以乘号将各项连接起来,把积放在等号(=)之后.•除法的定义除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(零不能作除数) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零。
表达除法的符号为除号(÷).进行除法时,以除号将各项连接起来,把商放在等号(=)之后. •整数的除法计算法则：1）从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；3）每次除后余下的数必须比除数小。
分数：分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积做分子,分母不变分数乘分数,用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母,能约分的要约分分数除以一个数,等于乘这个数的倒数。
•运算之间的关系•加法加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)•减法：减法有交换律吗？减法有结合律吗？a-b-c=a-(b+c) a-b-c=(a-b)-c这不是减法的结合律，减法没有结合律，这是减法的性质。
•乘法：乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律:a×b×c=(a×b)×c=a×(b ×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c•除法：除法有“交换律”“结合律”“分配律”吗？a÷b÷c=a÷(b×c) a÷b×c=a(b÷c) a÷(b×c)＝a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c a÷b×c=a×c÷b相反数1. 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称。
《有理数》有理数及其运算PPT课件
分数集合：{－0.314，25%，22，－4 1，0. 3，2 3，…}；
7
3
5
非正整数集合：{ －2， 0， …}.
知3－讲
导引：要严格按照各类数的概念进行填写，非负有 理数包含正有理数和0；非正整数包含负整 数和0.
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0， 不要误认为是除负有理数以外的任何数；
知2－讲
解：(1)沿顺时针方向转了 12圈记作－12圈； (2)－0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g; (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米 可能有150 g的误差，即每袋大米的净含量最多 是10 kg＋150 g，最少是10 kg－150 g.
（来自教材）
知2－练
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知识点 2 具有相反意义的量
知2－导
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
知2－导
“加分与扣分” “上涨量与下 跌量” “零上温度与零下温度”等 都是具有相 反意义的量.为了表 示具有相反意义的量,我们可把 其中一个量规定为正的,用正数 来表示,而把与这个量意义相反 的量规定为负的,用负数来表示. 例如,把上涨3.3%记为＋3.3%, 那么下跌0.6%就记为－0.6%.
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分
第一队
＋6
第二队
－2
知识点 1 正数和负数
知1－讲
1.定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上 符号“－”(负)的数叫做负数．
七年级有理数的运算培优讲义
小巨人七年级数学培优班讲义学生: 教师: 赵常巨日期: 2017.9.13 家长签名：课题有理数的运算教学目标1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；4、能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数．重点、难点重点：加减乘除法运算法则乘方法则难点：1、符号问题2、快速准确。
教学内容温故知新1、有理数的分类正有理数整数有理数零有理数负有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，（|a|≥0）。
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
6、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。
只要有一个数为零，积就为零。
有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
初一有理数的加减乘除运算讲义
★五、分离相加★六、同分母加1.平方得本身的数是____________2.立方得本身的数是____________3.平方与绝对值相等的数是__________4、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；5、如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ；6.当a ＝ 时，3+3（a+1）2的值最小这个值是 7．当a ＝ 时，9－2（a －2）2的值最大这个值是8、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32 与 －23 B 、－23 与 (－2)3 C 、－32 与 (－3)2 D 、(－3×2)2与－3×229、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ）10、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数11、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等D 、没有任何关系12、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数13、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭⎫⎝⎛-343 ，=-433 ； 14、如果44a a -=，那么a 是 ；15、()()()()=----20022001433221 ；★★★★能力培养1、若a 与b 互为倒数，那么2a 与2b 是否互为倒数？3a 与3b 是否互为倒数？2、若a 与b 互为相反数，那么2a 与2b 是否互为相反数？3a 与3b 是否互为相反数？3、观察下列等式，2311=,233321=+,23336321=++,23333104321=+++…想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系?猜一猜可以引出什么规律,并把这种规律用等式写出来4、199********+++++= s ，求s 的值（提示利用2S ）5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如 图所示，求代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值。
第10课有理数的混合运算(学生版)七年级数学上册讲义(浙教版)
第10课有理数的混合运算目标导航学习目标1.掌握有理数混合运算的法则，会进行简单的有理数混合运算.2.会灵活运用运算律简化运算.3.会利用有理数的混合运算解决简单实际问题.知识精讲知识点01 有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．能力拓展考点01 有理数的混合运算【典例1】计算（1）﹣165+265﹣78﹣22+65；（2）；（3）；（4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22．【即学即练1】1．用你喜欢的方法计算下面各题：（1）0.25×3.86×40；（2）4÷÷4；（3）49×；（4）；（5）．2．计算：（1）；（2）．分层提分题组A 基础过关练1．下列算式计算结果为正数的是（）A．2+（﹣3）B．2﹣（﹣3）C．2×（﹣3）D．2÷（﹣3）2．下列运算正确的是（）A．0+（﹣2）＝2 B．﹣1﹣2＝﹣1 C ．×（﹣）＝﹣1 D．﹣12÷（﹣4）＝3 3．下列运算中，正确的是（）A．﹣3+（﹣9）＝﹣6 B．﹣5﹣（﹣3）＝﹣8C ．D ．4．下列正确的有（）A．（﹣8）+（﹣15）＝7 B．（﹣3）÷（﹣6）＝2C．2﹣2×（﹣8）＝0 D．|﹣6|+7＝135．下列计算正确的是（）A．﹣8﹣5＝﹣3 B．8÷（﹣）＝36﹣48＝﹣12C．﹣24＝﹣16 D．（﹣3）2÷3×＝96．在等式“（﹣4）□（﹣2）＝2”中，“□”中的运算符号是（）A．+ B．﹣C．×D．÷7．计算下列各题：（1）2+（﹣1）＝；（2）3﹣10＝；（3）（﹣2）×3＝；（4）12÷（﹣3）＝；（5）＝；（6）1÷5×＝．8．下列算式中，①﹣（﹣2）2＝4，②﹣5÷×5＝﹣5，③，④（﹣3）2×（﹣）＝3，⑤﹣3﹣6＝﹣9．计算错误的是．（填序号）9．计算：32﹣（﹣2）3＝．10．计算：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9．11．计算：（1）﹣7﹣（﹣10）+4；（2）（﹣+）×（﹣24）；（3）18﹣6÷（﹣2）；（4）8÷（﹣2）2+（﹣）×4．题组B 能力提升练12．下列运算中正确的是（）A．﹣+＝﹣（+）＝﹣1 B．﹣7﹣2×5＝﹣9×5＝﹣45C．3÷×＝3÷1＝3 D．﹣（﹣3）3＝2713．计算22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2的结果是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣214．计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣1015．代数式55+55+55+55+55化简的结果是（）A．52B．55C．56D．5+5516．一种金属棒，当温度是20℃时，长为5厘米，温度每升高或降低1℃，它的长度就随之伸长或缩短0.0005厘米，则温度为10℃时金属棒的长度为（）A．5.005厘米B．5厘米C．4.995厘米D．4.895厘米17．计算﹣32﹣[﹣5﹣0.2÷×（﹣2）2]＝．18．计算（﹣）4+（﹣）3+（﹣）2+（﹣）＝．19．认真看下列各题的计算过程，其中正确的是（填序号）．①÷3×＝÷（3×）＝÷（3×）＝÷4＝；②﹣35×[﹣（﹣1）]＝﹣35×﹣35×＝﹣61；③24÷（﹣﹣）＝24÷﹣24÷﹣24÷＝24×3﹣24×8﹣24×6＝﹣264；④﹣32×22+（﹣3）2÷（﹣1）4＝﹣9×4+9÷1＝﹣27．20．计算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）；（3）；（4）．21．计算：（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|；（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]．题组C 培优拔尖练22．关于有理数的运算，下列说法正确的个数是（）（1）0是最小的整数；（2）两数相加，和不小于每一个加数；（3）减去一个数等于加上这个数的相反数；（4）0除以任何数，都得0；（5）任何数的绝对值都大于0．A．4个B．3个C．2个D．1个23．若a＝﹣（﹣2）2，b＝﹣（﹣3）3，c＝﹣（﹣4）2，则﹣[a﹣（b﹣c）]的值为（）A．﹣39 B．7 C．15 D．4724．计算（﹣1）2003+（﹣1）2003÷|﹣1|+（﹣1）2000的结果为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．225．（﹣2）2019+（﹣2）2020的结果是（）A．﹣22018B．22018C．﹣22019D．2201926．定义一种新运算：1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，……计算：＝．27．计算：（1）（﹣3）2×[﹣+（﹣）]；（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．28．计算：（1）﹣；（2）．。
有理数的乘除乘方及混合运算讲义
有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。
（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。
积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。
（4）乘法交换律_________________________________________。
乘法结合律_________________________________________。
乘法对加法的分配律_________________________________。
【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。
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有理数运算讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积． 个 个 个 个
2.气象部门测定发现：高度每增加1 km ，气温约下降5 ℃．现在地面气温是15 ℃，那么4 km 高空的气温是（ ）
℃ ℃ C.－5 ℃ D.－15 ℃
3.在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ） D.无数个
4.若规定“!”是一种数学运算符号，且
则!
98!100的值为（ ） A.49
50 ! 900 ! 5、一个数是 -10，另一个数比-10的相反数小2，则这个数是（ ）
A ．10
B ．-2
C ．-10
D ．8
6、质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度的记为正数，短于规定长度
的记为负数，检查结果如下：第一个为豪米，第二个为–毫米，第三个为–毫米，第四个为毫米，则质量最差的零件是（ ）
A 、第一个
B 、第二个
C 、第三个
D 、第四个
7.若规定，则的值为 .
8.测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（g ）如下表．检验时，通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球，是 号．
号码
1 2 3 4 5 误差（g ）
9.某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得－1分，不选得零分，王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 .
10.某年级举办足球循环赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得－1分，某班比赛结果是胜3场平2场输4场，则该班得 分． 11计算： （1）；
(2)2
11；
12．（6分）某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实
行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如
下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期一二三四五六日
增减－5+7－3+4+10－9－25
（1）本周三生产了多少辆摩托车
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆
13．（6分）为节约用水，某市对居民用水规定如下：大户（家庭人口4
人及4人以上者）每月用水15 m3以内的，小户（家庭人口3人及3人以
下者）每月用水10 m3以内的，按每立方米收取元的水费；超过上述用量
的，超过部分每立方米水费加倍收取．某用户5口人，本月实际用水25
m3，则这户本月应交水费多少元
14．（6分）李强靠勤工俭学的收入维持上大学费用，表中是李强某一周
的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）：
星期一二三四五六日
收入+15+180+160+25+24
支出-10 -14 -13 -8 -10 -14 -15
（1）到这个周末，李强有多少节余
（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有多少节余
（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有多少收入才
能维持正常开支
课后作业家长监督。