第三章 统计案例 章末专题整合
人教版数学高二人教A版选修2-3第三章《统计案例》章末小结
知识点一 线性回归方程 求线性回归方程的基本步骤：(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．(2)计算(3)代入公式求出y ^＝b ^x ＋a ^中参数b ^，a ^的值． (4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计．在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：(1)画出表中数据的散点图； (2)求y 对x 的回归方程；(3)若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村的患癌症的人数.砷超标的倍数x 3 4 5.5 4.2 5.8 6 3.5 患癌症人数y15202824354434解析：(1)散点图如图所示：(2)观察散点图，可知x 、y 成线性相关关系． 计算得＝327，＝2007，根据求b ^公式代入数据计算得 b ^≈6.065，a ^＝2007－6.065×327≈0. 846.所以患癌症人数y 对水源中砷超标的倍数x 的回归直线方程为y ^＝6.065x ＋0.846.(3)根据上面求得的回归直线方程，当水源中砷超标的倍数为7时，y ＝6.065×7＋0.846＝43.301. 即该村患癌症的人数约为43人． 知识点二 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出两个变量的散点图，然后利用常见的函数模型去拟合样本点，对于用什么类型的函数去拟合该组数据，拟合的效果如何，常用方法有残差分析、求相关指数R 2.一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：零件数x /个 102030405060708090100加工时间y /min627275818595103108112127且知x 与y 具有线性相关关系，试求出线性回归方程并说明拟合效果的好坏． 解析：设回归模型为y ^＝a ^＋b ^x ，y ^i 61.833 68.533 75.233 81.933 88.633 y i －y ^i0.1673.467－0.233－0.933－3.633y i－y－－30－20－17－11－7y^i95.333102.033108.733115.433122.133y i－y^i－0.3330.967－0.733－3.433 4.867y i－y－311162035知识点三独立性检验独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表所示：月收入/百元[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75) 频数51015105 5赞成人数481252 1根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并问：是否有99%的把握认为以月收入5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异？月收入不低于5 500元的人数月收入低于5 500元的人数合计赞成a＝c＝不赞成b＝d＝合计解析：2×2列联表如下：月收入不低于5 500元的人数月收入低于5 500元的人数合计赞成a＝3c＝2932不赞成b＝7d＝1118合计104050由公式得K2的观测值为k＝50×（3×11－7×29）2（3＋7）（29＋11）（3＋29）（7＋11）≈6.27＜6.635.所以没有99%的把握认为以月收入5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．一、选择题1．下列关系中：①吸烟有害健康；②粮食产量与施肥量；③名师出高徒；④乌鸦叫，没好兆．不具有相关关系的是(D)A．①B．②C．③D．④2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(D)A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右3．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)、(11.3，2)、(11.8，3)、(12.5，4)、(13，5)；变量U与V 相对应的一组数据为(10，5)、(11.3，4)、(11.8，3)、(12.5，2)、(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则(C )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1解析：画散点图，由散点图可知X 与Y 是正相关，则相关系数r 1>0，U 与V 是负相关，相关系数r 2<0，故选C.4．(2014·泰安一模)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老人，其结果如下表：由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝500×（40×270－30×160）2200×300×70×430≈9.967.附表：P (K 2≥ k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，可得到的结论是(C)A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关” 解析：由数据知，选项C 正确． 能力提升5．(2014·重庆卷)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(A )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将x ＝3，y ＝3.5分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选A.6．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(A )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x ≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.7．如果K 2的观测值8.654，可以认为“X 与Y 无关”的可信度为(B ) A ．99.5% B ．0.5% C ．99% D ．1%解析：∵K 2＝8.654≥k ＝7.879， ∴P (K 2≥7.879)＝0.005＝0.5%. 8．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为(A) A ．y ＝3·2x －1 B ．y ＝log 2x C ．y ＝3x D ．y ＝x 2解析：分别将x ＝1，2，3，代入求值，结果最接近y 的函数是y ＝3·2x －1. 故选A.9．已知一个回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1，5，7，13，19}，则y ＝________． 解析：＝9，∴＝1.5× 9＋45＝58.5.答案：58.510．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下数据：吃零食 不吃零食 合计 男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 合计325789根据上述数据分析，我们得出K 2的观测值k ＝________． 解析：K 2的观测值k ＝89×（24×26－31×8）255×34×32×57≈3.689.答案：3.68911．下表为收集到的一组数据：x 1 3 5 7 9 y48111720已知变量x 、y 呈线性相关关系，则二者对应的回归直线方程为________________________________________________________________________．12．(2014·韶关一模)设某大学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，给出下列结论：①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. 其中，正确结论的序号是________． 解析：利用有关概念可知，①②③正确． 答案：①②③13．已知x 、y 之间的一组数据：(1)分别计算：x －，y －，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4，x 21＋x 22＋x 23＋x 24； (2)求出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^. 解析：(1)x －＝0＋1＋2＋34＝1.5，y －＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x －y －x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2；a ^＝y －－b ^x －＝4－2×1.5＝1， 所以回归方程为y ^＝2x ＋1.14．在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据(人数)：试判断数学成绩与物理成绩之间是否相关，判断出错误的概率有多大． 解析：由公式得K 2的观测值为 k ＝135×（62×22－28×23）290×45×85×50≈4.066.因为4.066＞3.841，所以有95%的把握认为数学成绩与物理成绩相关，判断出错的概率只有5%. 15．为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果(疱疹面积单位：mm 2)．表1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3解析：70 mm 2于70 mm 2 注射药物A a ＝70 b ＝30 100 注射药物B c ＝35 d ＝65 100 总计10595n ＝200由列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝200×（70×65－35×30）2100×100×105×95≈24.561>10.828.因此，有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”． 16．(2014·沈阳市质检)为了研究“教学方式” 对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2× 2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” .甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计下面临界值表供参考：打印版高中数学⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） 解析：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学” 的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10个，“抽到至少有一个87分的同学” 所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝7个，所以P ＝710. (2)K 2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4>5.024， 因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。
2020高中数学 第3章 统计案例章末小结与测评教学案 苏教版选修2-3
第3章统计案例一、独立性检验1．独立性检验的思想及方法独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量X的含义，可以通过概率来评价假设不合理程度．2．独立性检验的一般步骤(1)提出假设H0；(2)根据样本数据列2×2列联表，计算χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）；(3)比较χ2与临界值的大小并作出判断．二、回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．建立回归模型的基本步骤：(1)确定两个变量；(2)画出散点图；(3)进行相关系数检验；(4)确定线性回归方程类型，求出回归方程．建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于非线性回归模型的建立．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列有关线性回归的说法①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．其中错误的是________． 解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程． 答案：④2．下表是x 与y ________.解析：∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，∴样本点的中心为(1.5，4)，而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5，4)．答案：(1.5，4) 3．对两个变量y 和x 进行线性相关性检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0，则变量y 和x 具有线性相关关系的是________．(填序号)解析：判断变量y 与x 是否具有线性相关关系时，观察值组数n 不能太小．若y 与x 具有线性相关性，则相关系数|r |≥0.75，故②④错．答案：①③4．由线性回归直线方程y ∧＝4.75x ＋157，当x ＝28时，y ∧为________． 解析：将x 的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290. 答案：2905．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了10周中每周加班工作时间y (小时)与签发保险单数目x 的数据如下表所示：已知用最小二乘法估计求出的线性回归方程的斜率为0.003 585，则线性回归方程为________________________________________________________________________．解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧过样本中心点(x －，y －)，故将x －，y －求出代入即可．答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表，则喜不喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为________．解析：假设H 0：喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少没有关系，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝50×（18×15－9×8）227×23×26×24≈5.06，对照临界值表，当假设成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系．答案：97.5%7．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是________．(填序号) ①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系； ③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．解析：由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同．由其意义知，③正确．答案：③8. 如图，有5组数据对(x ，y )，去掉哪组数据后剩下的4组数据的线性相关程度最大________．解析：由散点图可知，除D 之外的其余各点近似地在某条直线附近，而D 点则偏离这一直线．故应去掉D . 答案：D9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.又回归方程y ∧＝－2x ＋a ∧过点(10，40)，故a ∧＝60，所以当x ＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68.答案：6810．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的2×2列联表：解析：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝85（140－480）217×68×45×40≈4.722>3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关． 答案：有11．变量x ，y 具有线性相关关系，当x 的取值分别为8，12，14和16时，通过观测知y 的值分别为5，8，9和11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过________．解析：因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值属于区间(14，16)．答案：1512．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由某散点图可知，用水量y y ∧＝－0.7x ＋a ∧，则该厂6月份的用水量约为________．解析：∵x ＝2.5，y ＝3.5，b ∧＝－0.7，∴a ∧＝3.5＋0.7×2.5＝5.25. ∴当x ＝6时，y ∧＝－0.7×6＋5.25＝1.05. 答案：1.05百吨13．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：每条回归直线都过样本的中心(x ，y )． 答案：l 1与l 2有公共点(x ，y )14．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则________．(填序号)①r 2＜r 1＜0；②0＜r 2＜r 1；③r 2＜0＜r 1；④r 2＝r 1.解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.答案：③二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．解：由表中数据画出散点图，如图所示．由散点图可知热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．16．(本小题满分14分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a ，15－a 均为大于5的整数，则取何值时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要有90%的把握认为x 与y 之间有关系，则χ2≥2.706，而 χ2＝65×[a （30＋a ）－（20－a ）（15－a ）]220×45×15×50＝65×（65a －300）220×45×15×50＝13×（13a －60）260×90.由χ2≥2.706，得a ≥7.19或a ≤2.04.又a ＞5，且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8，9. 故a 为8或9时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系．17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：解：根据列联表中的数据，得到 χ2＝189×（54×63－40×32）294×95×86×103＝10.76.因为10.76>7.879，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．18．(本小题满分16分)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高约为多少？解：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如表：则x －＝173＋170＋1763＝173，y －＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.19．(本小题满分16分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)列联表如下：因为χ2＝100×（30×25－20×25）250×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．20．(本小题满分16分)某运动员训练次数与运动成绩之间数据关系如下：(1)作出散点图； (2)求出回归方程；(3)计算相关系数，并利用其检验两变量的相关关系的显著性； (4)试预测该运动员训练47次和55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)计算得x ＝39.25，y ＝40.875，b ∧≈1.0415，a ∧≈－0.004，所求回归方程为y ∧＝1.0415 x －0.004.(3)计算得∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8i ＝1y 2i ＝13 731，r＝∑8i＝1x i y i－8x－y－∑8i＝1x2i－8x2∑8i＝1y2i－8y2＝345.2512 656－8×39.252×13 731－8×40 8752≈345.25347.79≈0.993，查表得r0.05＝0.707，r>r0.05，由此可得出，训练次数与运动成绩有较强的线性相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归方程y＝1.041 5x－0.004作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
高中数学第3章统计案例章末高效整合课件
解析： (1)作出散点图如图所示，从散点图可以看出，这 两个变量具有线性相关关系．
(2)列表计算
x
y
63 65
67 78
45 52
Байду номын сангаас
88 82
81 92
71 89
52 73
99 98
58 56
76 75
700 760
x2 3 969 4 489 2 025 7 744 6 561 5 041 2 704 9 801 3 364 5 776 51 474
3．回归直线方程 y＝bx＋a 过样本点中心( x ， y )．
4．在线性回归模型中，随机误差用y预报真实值y的误 差．它是一个不可预测的变量，但可以通过这个随机变量的数 字特征来刻画它的一些总体特征，均值是反映随机变量取值平 均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数 字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差来衡量随机 误差的大小．
解析： (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似
直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2012
－4
－2 0 2
4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
由预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2，
b＝－4×－21＋42－＋222×＋2－2＋114＋ 2 2×19＋4×29
2．相关系数
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
i＝1
i＝1
n
xiyi－n x ·y
i＝1
＝
n
xi2－n x 2·
高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结 新人教A版选修2-3
月收入 [15,25)
频数
5
赞成人数 4
[25,35) 10 8
[35,45) 15 8
[45,55) 10 5
[55,65) 5 2
[65,75) 5 1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于 55的人群称为“非高收人族”．
(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，有多大的把握 认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
(3)若学生王明亮入学成绩为 80 分，代入上面线性回归直 线方程^y＝22.41＋0.76556x，可求得^y≈84(分)．
答：王明亮同学高一期末数学成绩预测值为 84 分．
[点评] 本题为求回归直线方程中的最常见问题，应注意 作图要准确．
独立性检验
1．判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形 图作粗略判断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进 行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论．
[解析] 将问题中的数据写成2×2列联表如下表：
使用 不使用 总计
患病 5 18 23
不患病 100 400 500
总计 105 418 523
将上述数据代入公式 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d中，计 算可得 k≈0.04145，而 0.04145<2.706，所以没有充分的证据表 明该药品对防治 A 疾病有效．
∑i＝1
yi－^y2 ， yi－ y 2
R2 的值越大，模型的拟合效果越好．
2．建立回归模型的一般步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是 预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们 之间的关系(如是否存在线性关系)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性 关系．则选用线性回归方程^y＝b^ x＋a^)．
2019_2019学年高中数学第3章统计案例章末高效整合课件北师大版选修2_3201903030192
数学 D 选修2-3
第三章 统计案例
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(2)设所求的线性回归方程为 y＝bx＋a，那么，由上表可得
10
xiyi－10 x y
i＝1
b＝
10
＝55 398505－001－0×105×5×55921.7≈0.668，
xi2－10 x 2
i＝1
a＝ y －b x ＝91.7－0.668×55≈54.96， 所以所求的线性回归方程为 y＝0.668x＋54.96.
i＝1
i＝1
b＝
＝
，a＝ y －b x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
说明：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运 算．
数学 D 选修2-3
第三章 统计案例
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
解析： (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似
直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
x2 3 969 4 489 2 025 7 744 6 561 5 041 2 704 9 801 3 364 5 776 51 474
y2 4 225 6 084 2 704 6 724 8 464 7 921 5 329 9 604 3 136 5 625 59 816
热点考点例析
阶段质量评估
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
10
xiyi－10 x y
i＝1
r＝
10
10
x2i －10 x 2y2i －10Leabharlann y 2i＝1i＝1
第三章统计案例小结
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
解 假设“对这一问题的看法与性别无关”，由列联表中的数
据，可以得到：
K2 的观测值 k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
＝1
000×198×109－217×4762 415×585×674×326
≈125.161>10.828， 又 P(K2≥10.828)≈0.001，
章末复习课
例 1 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费 的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下表：
零件数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 y/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127
(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关； (2)若线性相关，求线性回归方程； (3)求出相关指数； (4)作出残差图； (5)进行残差分析； (6)试制订加工 200 个零件的用时规定．
章末复习课
三、 两种重要图形
1．散点图 散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下： 一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条 状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系； 二是判断样本中是否存在异常． 2．残差图 残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：
一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明 模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
所以可以制订 189 min 加工 200 个零件的规定．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
小结 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行 相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数 据，从而建立较好的回归方程，并用该方程对变量值进行分 析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此 时可通过残差分析或利用相关指数 R2 来检验模型的拟合效 果，从而得到最佳模型．
201x-201x学年高中数学 第三章 统计案例章末优化总结 新人教A版选修2-3
4
4
[解析] (1) x ＝12.5， y ＝8.25， xiyi＝438， x2i ＝660.
1．某商场经营一批进价是 30 元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单 价 x(x 取整数)元与日销售量 y 件之间有如下关系
x 35 40 45 50 y 56 41 28 11 (1)y 与 x 是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程；(方 程的斜率保留一个有效数字) (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式，并预测 当销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．
(2)依题意有 P＝(－3x＋161.5)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3x－2561.52＋25112.52－4 845. ∴当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426. 即预测当销售单价为 42 元时，才能获得最大日销售利润．
2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.
x 3 45 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出表中数据的散点图； (2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程^y＝^bx＋^a； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根据(2)求出的线性回 归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
高中数学第三章统计案例章末整合课件a选修23a高二选修23数学课件
(3)令 x＝5，则^y＝16＋3.6＝19.6， 故估计 2015 年该城市人口总数为 19.6(十万)．
第八页，共三十页。
解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图．根据已知数据画出散点图． (2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观 感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法 求回归系数，然后写出回归方程． (3)回归分析．画残差图或计算 R2，进行残差分析． (4)实际应用．依据求得的回归方程解决问题．
第十一页，共三十页。
[解] (1)散点图如图所示：
第十二页，共三十页。
(2)由表中数据得 x ＝3.5， y ＝3.5，
4
4
(xi－ x )(yi－ y )＝3.5， (xi－ x )2＝5，
i＝1
i＝1
由公式计算得b^＝0.7，a^＝ y －b^ x ＝1.05，所以所求线性回归 方程为^y＝0.7x＋1.05.
第十五页，共三十页。
某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查，并 用茎叶图表示 30 人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指 数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食 为肉类为主．)
第十六页，共三十页。
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属 30 人的饮食习惯．
(2)2×2 列联表如表所示：
主食蔬菜 主食肉类 总计
50 岁下
4
8
12
50 岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
第十八页，共三十页。
(3)随机变量 K2 的观测值 k＝123×0×188×－2102×8120＝ 1230××1182×0× 201×2010＝10＞6.635， 故在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“其亲属的饮 食习惯与年龄有关”．
高中数学 第三章 统计案例章末归纳提升课件 北师大版选修23
针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否 喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人 数的12，男生喜欢韩剧的人1)若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男 生至少有多少人；
(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则 男生至多有多少人．
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 钟) (1)y 与 x 是否具有线性相关关系？ (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求出线性回归方程．
第八页，共28页。
【解】 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
所以回归直线方程为 y＝0.464 6x＋35.97.
(3)x＝73 时，y＝69.9，所以父亲身高为 73 英寸时，儿子
的身高约为 69.9 英寸．
第七页，共28页。
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费 的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下： 零件数 x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 y(分
第二十八页，共28页。
(2)设所求的线性回归方程为 y＝bx＋a，那么，由上表可
10
∑xiyi－10 得：b＝i＝110
∑x2i －10
x x
y
2
＝55
398505－001－0×105×5×55921.7≈0.668，
i＝1
a＝ y －b x ＝91.7－0.668×55＝54.96.
所以所求的线性回归方程为 y＝0.668x＋54.96.
熔化时间 t 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 含碳量(百分比) 9.73 7.46 6.04 4.35 2.74 2.06
2020学年高中数学第3章统计案例章末整合提升(三)课件新人教A版选修2_3
知识网络
答案 ①残差分析 ②线性回归方程 ③2×2列联 表 ④等高条形图 ⑤K2统计量
专题归纳
题型一 线性回归分析
典例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与
年份的关系如表所示
年份201x/年 人口数y/十万
012 3 4 5 7 8 11 19
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性 回归方程^y ＝^b x＋^a ； (3)据此估计 2015 年该城市人口总数． 【自ห้องสมุดไป่ตู้解答】 (1)散点图如图：
答案 A
4．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系， 随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)：
月收入 月收入2 000 总计
2 000元以下 元及以上
高中文化以上
10
高中文化及以 20
下
总计
30
45
55
30
50
75
105
由上表中数据计算得 K2 的观测值 k＝105×5（5×105×0×303－0×457×5 20）2≈6.109，请估计在 犯错误的概率不超过________的情况下认为文化程度 与月收入有关系． 解析 由于6.109>5.024，所以在犯错误的概率不超 过0.025的前提下认为文化程度与月收入有关系． 答案 0.025
答案 (1)采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系 (2)采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系
题型三 独立性检验
典例3 调查某桑场采桑员的辅助工患桑毛虫皮炎病
的情况，结果如下表：
采桑 不采桑 总计
患者人数 18
12
30
健康人数 5
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第三章
统计案例
专题二
独立性检验
独立性检验问题的基本步骤为:(1)找相关数据,作列联表;(2)
求统计量K2;(3)判断可能性,注意与临界值作比较,得出与事
件有关的确信度． 例2 在对人们饮食习惯的一次调查中 ,共调查了124人,其
中六十岁以上的 70 人 ,六十岁以下的 54 人 ,六十岁以上的人
(2)根据列联表 ,可得 K2 的观测值 124×43×33－27×21 2 k＝ ≈6.201>5.024. 70× 54×64×60 故在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“人的饮食 习惯与年龄有关”．
栏目 导引
第三章
统计案例
章末专题整合
第三章
统计案例
知识体系构建
栏目 导引
第三章
统计案例
专题归纳整合
专题一 线性回归分析
^ ^ ^ ^ ^ (1)回归直线 y ＝ a ＋ b x 中的斜率 b 和截距 a 是通过最小二 乘法及回归直线过样本点中心( x , y )来确定的． ^ ^ (2)残差分析 ,残差为 e i＝ yi－ y i.
栏目 导引
第三章
统计案例
【解】 (1)散点图如图所示:从图中可以看出这些点大致 分布在一条直线附近,因此两个变量具有线性相关关系． ^ ^ ^ 设回归直线方程为 y ＝ b x＋ a ,由题意知 x ＝ 42.5, y ＝ 34, 则求得
4
^ b＝
i ＝1
xi－ x yi－ y xi－ x 2
中有 43人的饮食以蔬菜为主 , 另外 27 人则以肉类为主 , 六十 岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为
主.
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表; (2)判断人的饮食习惯是否与年龄有关．
栏目 导引
第三章
统计案例
【解】
(1)2×2列联表如下: 主食蔬菜 主食肉类 21 33 六十岁以下 43 27 六十岁以上 64 60 合计 合计 54 70 124
i ＝1
yi－ y i 2
n
n
^
(3)相关指数 R2＝ 1－
,R2 的值越大 ,说明残差
i ＝1
yi－ y 2
平方和越小 ,也就是说模型的拟合效果越好．
栏目 导引
第三章
统计案例
例1 某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场
试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y
4
i ＝1
栏目 导引
第三章
统计案例
－ 370 ＝ ≈－3. 125 ^ ^ a ＝ y － b x ＝ 34－ (－3)× 42.5＝161.5. ^ ∴ y ＝－3x＋ 161.5. (2)依题意有 P＝ (－ 3x＋161.5)(x－ 30) ＝－3x2＋251.5x－ 4 845 251.5 2 251.52 ＝－3(x－ )＋ － 4 845. 6 12 251.5 ∴当 x＝ ≈ 42 时 ,P 有最大值． 6 即预测销售单价约为 42 元时 ,能获得最大日销售利润．
台之间有如下对应数据: 单价x/元 日销量y/台 35 56 40 41 45 28 50 11
(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果
有,求出线性回归方程;(方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设售单价x为多少元时,才能获得 最大日销售利润？