3.1.1空间向量及其运算-新课标人教A版+选修2-11
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人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算2.pptx
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等.
问题 1: C 向上 如图:已知 OA=6 米,
B AB=6 米,BC=3 米,
正北
O 正东 A
? 那么 OC=
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
(a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律 rr rr ab ba 加法结合律: rr r r rr (a b) c a (b c)
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等.
问题 1: C 向上 如图:已知 OA=6 米,
B AB=6 米,BC=3 米,
正北
O 正东 A
? 那么 OC=
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
(a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律 rr rr ab ba 加法结合律: rr r r rr (a b) c a (b c)
人教A版高中数学选修2-1-3.1.1 空间向量及加减运算- 课件(共25张PPT)
C
向 上
B
正
O 正 A北
东
问题1:以上三个位移是同一个平面内的向量吗?
问题2:如何刻画小米老师行驶的位移?
学习目标及思维脉络
学习目标
思维脉络
1.了解空间向量的概念,掌握 空间向量的几何表示与字母 空间向量及其加减运算
表示方法.
空间向量及相关概念
2.理解空间向量的相关概念.
加减运算的定义
3.掌握空间向量的加减运算 加减运算 运算律
uuur uuur uuur uuur (2)AB CB AD AD
喀什市第二十八中学
自主练习
1.如图所示，在平行六面体ABCCD－A1B1C1D1中，
������������＝a， ������������＝b，������������1＝c，则������1������等于( )
A．a＋b－c
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
喀什市第二十八中学
提出问题
小米老师下班回家,先从学校 大门口骑自行车向东行驶600m, 再向北行驶800m,最后乘电梯上 升15m到5楼的住处.在这个过程 中，小米老师从学校大门口回到 住处所发生的总位移就是三个位 移的合成(如图所示)。
走进教材
1．空间向量的概念及表示
定义 长度
在空间，把具有 大小 和方向 的量叫做空间向量
向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表示
空间向量用 有向线段 表示
表示法 代数表示
有向线段的起点是A，终点是B， 向量可记作a，也可记作������������，
走进教材
长度为0 模为1
相同
2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算
类型二 空间向量的加减运算
【典例】1.空间任意四个点A,B,C,D,则
uuur BA
uuur CB
uuur CD
等于(
uuur A.DB
)
uuur B.AD
uuur C.DA
uuur D.AC
2. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1
的交点,连接AM,CM,则
【类题·通】 向量加减运算三策略
(1)熟记策略 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形 法则进行化简.
(2)相互转化 在化简过程中,遇到减法时,可灵活应用相反向量转化 成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以相 互转化.
(3)活用结论
化简中常用的化简形式为
uuur AB
uuur BC
才有
uuur AB
uuur AD
uuur AC.
综上可知,正确命题为①②.
答案:①②
2.由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知,向Bu量uBuur1
,
uuuur CC1,
DuuDuur与1
向量 AuuAuu方r1 向相同,长度相等,故与向量 相AuuAu等ur1 的向
量有3个.
答案:3
【内化·悟】 1.零向量的模与方向是如何规定的? 提示:模为0,方向是任意的. 2.如何判断两个向量相等? 提示:方向相同且大小相等.
【思考】 (1)空间向量的定义及表示方法,同平面向量的定义及 表示方法有区别吗? 提示:空间向量与平面向量没有本质区别,定义及表示 方法都一样.
(2)空间向量是否就是空间中的一条有向线段? 提示:有向线段可表示向量,但向量不是有向线段,向量 的起点和终点不确定.
人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】
表示如图．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-1 空间向量及其加减运算
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究二空间向量的加法与减法运算 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为向量 ������������1 的共有( )
①������������ + ������������ + ������������1 ;②������������1 + ������1 ������1 + ������1 ������1 ;③������������ − ������1 ������ + ������1 ������1 ;④
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课Hale Waihona Puke 探究案解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可 能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,������������1 与������������1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,������������ 与������������的模不一定相等, 方向也不一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1 的模一定相等的向量是 ������1 ������, ������������1 , ������1 ������, ������������1 , ������1 ������ ,一共有 5 个.
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做1 下列命题中正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析：单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案：C
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算
C
A
B
A
B
结
三起个点不共相面同向的量三的个和不，共等面于以向这量三之个和向，量等为于
论 以 邻边这的三平个行向六量面为体棱的的体对平角行线六所面表体示的的以向公量。共起
点为始点的对角线所表示的向量。
1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求
满足下列各式的x的值。
D1
(1) AB1 A1D1 C1C x AC A1
错
b
(2)若空间向量a 、b 、c
满足
a
b,b
c
,则
O
a Ac
对
(3)两个空间向量模相等，则这两个向量相等. 错
(4)空间中任a意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面
内的两个向量. 对
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一
结 论
平面内的两个向量。凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面 向量中有关结论仍适用于它们。
加法运算 减法运算
空间向量的运算法则
平面向量
空间向量
三角形法则或平 行四边形法则
三角形法则或平行 四边形法则
三角形法则
三角形法则
加法运算
平行四边形法则
a+b b
O
a
共起点，对角线
加法运算
b a
三角形法则
a+b
O
首尾相接，首尾连
减法运算
三角形法则
a-b
b
O
a
共起点，指被减
（1）求三个、四个，乃至更多个空间向量的和，如何解决？
表达式。
D1
C1
(5) AB AD AA1 ＝AC1
A1
B1
人教A版数学选修2-1 3.1.1空间向量的线性运算教材
概念辨析
1 判断正误： （1）零向量没有方向； （2）单位向量都相等； （3）两相等向量若起点相同，则终点也相同；
（4）若向量a, b同向，且 | a || b |，则a b 。
2、如图：已知平行六面 体ABCD A'B 'C 'D ',
口答下列问题
（1 )与 AB 相等的向量是____
(2) 与BC 相反的向量是____
–基线：有向线段所在的 直线
–基线：有向线段所在的 直线
–模（长度）：有向线段 的长度，向量的大小， 记作 | a |
–特殊向量：0, e –特殊关系：平行(记作
：a ∥ b)；相等，相反
–模（长度）：有向线段 的长度，向量的大小，
记作 | a | –特殊向量：0, e
–特殊关系：平行(记作
：a ∥ b)；相等，相反
3.1.1 空间向量的线性运算
彰武高中数学组 张天宇
创设情境
O
A
B
O
A
B
感受空间向量！
C
平面向量
空间向量
• 平面向量概念
• 空间向量概念
–定义：平面内具有大小 和方向的量
–定义：空间中具有大小 和方向的量
–表示：字母表示(a, AB )或用有向线段表示
–表示：字母表示(a, AB
)或用有向线段表示
b a
向量加法的平行四边形法则
a
b
a
向量减法的三角形法则
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
空间向量及表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算
例1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点
也相同；
②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD·A1B1C1D1中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m ＝p.
其中不正确的命题的个数是( )
A．1
B．2
方法感悟
1．利用三角形法则进行加法运算时，注意“首 尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点 指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意 “共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点． 三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中,
把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限 个向量的和向量． 2．平行四边形法则一般用来进行向量的加法运 算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向 量恰为两邻边表示向量的和与差．
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D
B
M
G C
C
问题 1:
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a
(a) ()a 其中、是实数。
课堂互动讲练
考点突破
空间向量的基本概念
只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向 量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点 和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要 条件．
2020_2021学年高中数学3.1.1_3.1.2空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课件人教A版选修2_1
(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量； (3)试写出与向量A→B相等的所有向量．
状元随笔 空间向量的概念应与平面向量的相关概念类比学习， 可以看成是由平面到空间的拓展．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 AA→′，A′ →A，BB→′，B′ →B，C→C′，C→′C，DD→′，D′ →D都是单位向量， 而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．
跟踪训练 2 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M 是 BB1 的 中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)C→B＋B→A1； (2)A→C＋C→B＋12A→A1. (3)A→A1－A→C－C→B.
状元随笔
解析：(1)C→B＋B→A1＝C→A1. (2)因为 M 是 BB1 的中点，所以B→M＝12B→B1.
状元随笔 对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共 面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或 异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向 相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向 量都是共面向量．
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量 有AD→′，D→′A，A′→D，D→A′，BC→′，C→′B，B′→C，C→B′.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身)有A′→B′，D→C，D′→C′.
类型二 空间向量的加法、减法运算
例 2 (1)已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，则下列四式 中：
图形叙述
空间向量减法运算的三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述
状元随笔 空间向量的概念应与平面向量的相关概念类比学习， 可以看成是由平面到空间的拓展．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 AA→′，A′ →A，BB→′，B′ →B，C→C′，C→′C，DD→′，D′ →D都是单位向量， 而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．
跟踪训练 2 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M 是 BB1 的 中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)C→B＋B→A1； (2)A→C＋C→B＋12A→A1. (3)A→A1－A→C－C→B.
状元随笔
解析：(1)C→B＋B→A1＝C→A1. (2)因为 M 是 BB1 的中点，所以B→M＝12B→B1.
状元随笔 对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共 面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或 异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向 相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向 量都是共面向量．
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量 有AD→′，D→′A，A′→D，D→A′，BC→′，C→′B，B′→C，C→B′.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身)有A′→B′，D→C，D′→C′.
类型二 空间向量的加法、减法运算
例 2 (1)已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，则下列四式 中：
图形叙述
空间向量减法运算的三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算1
高中数学课件
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
问题 1:
F3
F2
F1
如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每 个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱=︱F2︱=︱F3︱=200kg。 这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
1、定义在：空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
……
（2）空间任意两个向量是否都可以转化 为平面向量？为什么？
已知空间两个任意向量、a b,作 OA a,
由O、B Ab、. B、三点确定一个平面
向量表达式(如图)
D1
C1
(1) AB BC (2) AB CC1
(3) AA1 C1B1 DC
A1
B1
(4) AB AD AA1 (5)DA DC DD1
D
C
(6)BA BC BB1
A
B
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
D
2
思考：
● N (3)若点G是BCD的重心，
B
M
且AG x AB y AC z AC. C 求x, y, z的值.
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
问题 1:
F3
F2
F1
如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每 个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱=︱F2︱=︱F3︱=200kg。 这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
1、定义在：空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
……
（2）空间任意两个向量是否都可以转化 为平面向量？为什么？
已知空间两个任意向量、a b,作 OA a,
由O、B Ab、. B、三点确定一个平面
向量表达式(如图)
D1
C1
(1) AB BC (2) AB CC1
(3) AA1 C1B1 DC
A1
B1
(4) AB AD AA1 (5)DA DC DD1
D
C
(6)BA BC BB1
A
B
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
D
2
思考：
● N (3)若点G是BCD的重心，
B
M
且AG x AB y AC z AC. C 求x, y, z的值.
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
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B
b
O
A
a
所以凡是涉及空间中任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍然适用. 其确定的平面是否唯一
空间向量的加减法 a b
O
C
+
A
b
B
a
OB OA AB CA OA OC
思考：
空间向量是否满足加法交换律和结合律？ 交换律 结合律
O
ab ba ab c a bc
问题 1:
C
竖直 向上
Hale Waihona Puke B正北如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
O
正东
A
?
问题 2: F2 已知F1=10N,F2=15N， F3=15N
F3
F1 这三个力两两之间 的夹角都为90度,
它们的合力的大小 为多少N?
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
复习回顾：
一、平面向量相关概念 1、定义；表示方法；模. 2、零向量；单位向量；相反向量； 相等向量；平行向量（共线向量）.
二、平面向量的加法、减法运 算
b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
加法交换律：a b
ba
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B
起点
终点
c a b
A
3.零向量、单位向量、相反向量、相等向量
思考：
空间任意两个向量通过平移一定共面？
加法结合律：( a b) c
a bc
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
C
O
a
A C
a
A
b b
+
c c
b
B
c
B
三个不共面向量和与这三个向量的关系
平移这三个向量,使其具有同一起点.以这三个 向量的长为棱作一平行六面体,则这平行六面体 中与这三个向量具有相同起点的那条对角线所对 应的向量就是这三个向量之和.