【2021】第7章 第5节 空间向量的运算及应用 Word版含答案
空间向量的运算及其应用(含答案)
空间向量的运算及应用知识梳理数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23方法归纳1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．[练一练]1．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1) D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) 解析：选A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直．2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 答案：90°3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M 10,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1A M ＝11,,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，DN ＝10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN |1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.答案：90°空间向量在立体几何中的应用角度一 利用空间向量证明平行或垂直如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点． (1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ，∴BM ∥平面D 1AC . (2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0， ∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C . [解题通法]利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直：(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．（3）设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.角度二 异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．例1．在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510解析：选A建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 11,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， B (0，－1,0)，D 111,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1AF ＝1,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1BD ＝11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD | 1AF ||1BD |＝3010. 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，M 11,,12⎛⎫⎪⎝⎭，C (0,1,0)，N 11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴AM ＝10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，CN ＝11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.设直线AM 与CN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝25. 答案：25[解题通法]1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．3．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.角度三 直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.例．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解析：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，P A ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC ，n ⊥AM可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33答案：33[解题通法]利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．(3)求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． [针对训练](2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1. 角度四 求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．例：1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ ＝(1，－1,0)，所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . (2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP ＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CB ＝0，n ·BP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP ＝0，m ·PQ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，x 1－y 1＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155，故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. [解题通法]利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．(3)利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 针对练习(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD ＝(－23，2,0)，∴BD ·AP ＝0，BD ·AC ＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·BP ＝0.由(1)知，BP ＝(－23，0,3)， ∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12，∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.。
空间向量的应用(附答案)
空间向量的应用一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=12．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，空间四边形OABC 中，=a ，=b ，=c ，点M 在OA 上，且OM=MA ，N 为BC 中点，则等于（ ）A ．﹣a+b+ c B ．a ﹣b+ cC ．a+b ﹣ cD ．a+b ﹣ c4．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x+y+z，则（x ，y ，z ）为（ ） A ．（，，） B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）5．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量、、、是（ ）A ． 有相同起点的向量B ． 等长的向量C ． 共面向量D ． 不共面向量6．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．D．8．（2004•黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．9．（2007•湖北）设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）10．（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC 的距离为（）A．1B．C．D．211．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A．B．1C．D．12．在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是（）A．7B．8C．9D．1013．一个n棱锥的所有侧面与底面所成二面角都为30°，若此棱锥的底面积为S，则它的侧面积为（）A．B．C．D．14．正四棱锥的底面边长等于2，侧面与底面成60°的二面角，此四棱锥体积为（）A．9B．12 C．15 D．1815．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D ﹣ABC的外接球的体积的最小值是（）A．B．C．D．与α的值有关的数16．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（）A．1B．2C．3D．417．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°18．如图，直线l是平面α的斜线，AB⊥α，B为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°19．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．20．如图，∠C=90°，AC=BC，M，N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B 为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2007•安徽）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=_________（用a，b，c表示）22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N，设，，，则向量=_________（用表示）23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ，则λ=_________．24．已知点M在平面ABC内，对空间任意一点O，有2A=X M﹣B+4C，则x=_________．25．A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_________26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=_________．三．解答题（共4小题）27．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．28．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．29．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．30．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．2012年10月胡金朋的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=1考点： 棱柱的结构特征；空间向量的加减法。
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案.docx
空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共血向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的处标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算1、向量的几何运算（1）向量的数量积:已知向量〜匸，贝U |〜| | r | 〜f 叫做f f 的数量积，记作一］，即〜工| 1 | Hi 十工a.b | 幺 | • |・cos <a,b > a.b a ・b a ・b =|纠・|纠・ccs <a,b空间向量数量积的性质:①乳汨W|cos<N@>；f f ② 丄bo /・D = 0.③ 问“怎（2）向量共线定理：向量万（&工0）与方共线，当且仅当有唯一一个实数2,使b=Aa ・2、向量的坐标运算（］）若4（兀1，乃，习），直（兀2丿2，?2）,则=（兀2 一兀1‘尹2 一乃‘习一习）一个向暈在肓 •角处标系小的朋标等于表示这个向量的有向线段的终点的处标减去起点的处标。
°）十若纟=（鬥卫2，他）乜=（$』2，鸟）'」、"：+ 了=（两+$卫2+玄,色±劣a-b-（两一对卫2 —玄，他一鸟） Aa =（兄知兄勺，兄色）（久e R ） a ・b = + a 2b 2 +a 现 a H b V 》a 】--JI 对,a? —=丸鸟（久 w 氏）a 丄b O + a 2b 2 + a 曲=0 | a |= +拧 +_ ab _丨引•丨纠侷+勺? +宓2 J 辭+鸟2 +鸟2a 禹 + a 2b 2 + （3）夹角公式:二、空间向量在立体几何中的应用2.利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明・3 •利用空间向量证明垂直问题f f f f对于垂直问题，一般是利用“丄b^a-b=O 进行证明；4. 利用空间向量求角度（1） 线线角的求法： _ _设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为s 、b,则直线AB 耳CD 所成的角为 打“代 山恳丨（线线角的范围［0： 90°］） wTC COS —=F -- =F —Ml I 纠（2） 线面角的求法：- 是直线'的方向向量，则直线/与平面°所成的角为 .|殛.；| arc sin 二=——亠\AB\-\n\5. 利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设n =（x,y, z ）,利川n 与平面内的两个不共线的向a, b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取 其一组解，即得到平面°的一个法向量（如图）。
空间向量及其运算(解析版)
第1讲 空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4. 掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示. 2.几个常见的向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ； 分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1 空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2 空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3 共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4 空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D. 0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】 解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定； 假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A. ；B. ；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面； C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面； 对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是( ) A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0A C A B A A -=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++=，221113AC A B =，∴22111()3()AC A B =，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110A C AB =，故B 正确； 1ACD ∆是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA =，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键． 由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量． 【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7. （池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有； 若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】 解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误； 若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t = ．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC =++，且P ，A ，B ，C 四点共面，∴31148t ++=18t ∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为 ．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得：0PA BC =．由E 是棱AB 中点，可得1()2PE PA PB =+，代入PE BC ，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥， 可得：0PA BC =．E 是棱AB 中点，∴1()2PE PA PB =+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC =+=+=⨯⨯⨯︒=-． 故答案为：1-．10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量 化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又， 所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． （2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解：111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=． B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ=，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a <，b >，再由平方关系求出sin a <，b >的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >， 故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，22121()||||x y y b a b +>=-， 即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗2222212222211)y y x y y +=++22121221)||x y y x y x y +-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
1.1、空间向量及其运算(解析版)
1.1、空间向量及其运算考点一、空间向量的概念理解1、下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同答案：D 解析：A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.2、下列说法中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量AB 和CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C ．在空间中，任意两个单位向量都相等D ．零向量与任意向量平行答案：D解析：A 项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A 错误；B 项：若非零向量AB 和CD 是共线向量，则AB 和CD 平行或者重合，故A 、B 、C 、D 四点不一定在同一条直线上，B 错误；C 项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C 错误；D 项：零向量与任意向量平行，D 正确，故选：D.3、(多选)下列命题中为假命题的是（ ）A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案：BCD解析：对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．故选：BCD4、下列说法中正确的是（ ）A ．若a b =，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a b =C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=答案：B解析：对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A 错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B 正确.对于C,减法结合律指的是()()a b c a b c --=--,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C 错误.对于D 满足AB AD AC +=的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D 错误.综上可知,正确的为B 故选:B5、给出下列命题： ①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ①空间任意两个单位向量必相等；①对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =；①在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中假．命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D 解析：对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误；对于①，单位向量的方向不一定相同，故①错误；对于①，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故①错误；对于①，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同 则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故①错误.故选：D.6、下列命题中，假命题是（ ）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案：D解析：A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.7、下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；①若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>； ①若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；①AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.①错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.①正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.①错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合. 故选：C8、在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；①若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；①若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；①已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++．其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A解析：平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故①错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故①错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故①错．故选:A ．考点二、共线共面问题1、设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案：－8解析：121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=- 又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩， 解得8k =-.故答案为：－82、在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =--B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=答案：C解析：对于A 选项，由于11111--=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以,,,M A B C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++=得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面.故选：C3、,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ①111234OD OA OB OC =++； ①111OD OA OB OC 235=++； ①111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______答案：①解析：对于①111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①①①不满足共面定理的条件.故答案为：①4、设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．答案：1解析：因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-，故1x y z ++=.故答案为：15、对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面解析：因为623OP OA OB OC =++，所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-，即23AP PB PC =+，根据共面向量基本定理，可得AP ，PB ，PC 共面，所以，P ，A ，B ，C 四点共面．故选：B ．6、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．111333OM OA OB OC =++ C ．1123OM OA OB OC =++D ．2OM OA OB OC =--答案：B 解析：若111333OM OA OB OC =++， 故可得1111110333333OM OA OM OB OM OC -+-+-= 即1110333AM BM CM ++=， 则AM BM CM =--，故AM AM AB AM AC =-+-+ 整理得1133AM AB AC =+ 又因为,AB AC 共面，故可得,,AM AM AM 共面，而其它选项不符合，即可得,,,A B C M 四点共面.故选：B.7、已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ） A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断答案：B解析：由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.8、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.答案：证明见解析.解析：设1,,AB a AD b AA c ===，①112A E ED =，123A F FC =， ①11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ①123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ①1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ①25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 9、已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任意一点，若1()3OP OA OB OC =++，试判断向量PA ，PB ，PC 是否共面，并判断点P 是否在平面ABC 内． 答案：见解析解析：因为3OA OB OC OP ++=，所以()()OA OP OP OB OP OC BP CP -=-+-=+，即PA BP CP PB PC =+=--，所以向量PA ，PB ，PC 共面.因为PA ，PB ，PC 有共同的起点P ，且A ，B ，C 三点不共线，所以P ，A ，B ，C 共面，即点P 在平面ABC 内.10、已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内.答案：（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内.解析：（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，①()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--，故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.考点三 空间向量的线性运算1、如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则（ ）A ．0EF GH PQ →→→→++=B ．0EF GH PQ →→→→--=C ．0EF GH PQ →→→→+-=D ．0EF GH PQ →→→→-+=答案：A解析：由题图观察，,,EF GH PQ →→→平移后可以首尾相接，故有0EF GH PQ →→→→++=.故选：A.2、如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 答案：A解析：11BM BB B M =+，12c BD =+，()12c BA BC =++，1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.3、如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC +； （2）AB AD AA '++；（3）12AB AD CC '++； （4）()13AB AD AA '++． 答案：（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；解析：（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示； （4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；4、如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '-； （2）AA AB BC '++；（3）AB AD B D ''-+； （4）AB CF +．答案：（1）AD '；（2）AC '；（3）0；（4）AE解析：（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+=；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''=；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''=；（4）AB CF AB BE AE +=+=.5、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +； （2）111AB BC C C++； （3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-． 答案：（1）11AB BA AA +=；（2）1111AB BC C C AC ++=；（3）AM BM CB AC --=；（4）1102AA AB AM +-=． 解析：（1）11AB BA AA +=． （2）111111111AB BC C C A B BC C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．6、已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：（1）AB BC CD →→→++；（2）1()2AB BD BC →→→++； （3）1()2AG AB AC →→→-+． 答案：（1）AD →；（2）→AG ；（3）MG →.解析：(1)如图所示，AB BC CD AC CD AD →→→→→→++=+=.(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH .因为M ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以MG ＝BH ，MG ①BH ，所以BMGH 为平行四边形， 所以1()2BD BC BH BM BG →→→→→+=+=， 从而1()2AB BD BC AB BG AG →→→→→→++=+=. (3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ，连接SM ，AM ，MN ，则易证得ASMN 为平行四边形， 所以1()2AB AC AS AN AM →→→→→+=+=， 所以1()2AG AB AC AG AG MG →→→→→→-+=-=. 7、如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：（1）AB ＋BC ＋CD ；（2）AB ＋GD ＋EC ．答案：（1）AD （2）AF .解析：（1）AB ＋BC ＋CD AD =（2）因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．所以,BE EC EF GD ==所以AB ＋GD ＋AB EF BE AF EC =++=8、如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．答案：（1）,,AD A D B C ''''；（2）,,,DA CB C B D A ''''；（3）,,,,D C CD A B BA FE ''''解析：（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C ''''；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A ''''；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE ''''.考点四 、数量积1、如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（ ）A ．1B C D ．3 答案：C解析：11AC AB BC CC =++， 2222211111()222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC ∴=++=+++⋅+⋅+⋅， 因此有：21111112cos602cos602cos606AC AB BC BC CC AB CC ︒︒︒=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，所以1AC 的长.故选：C ．2、已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定 答案：B解析：如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.3、在底面是正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BB =， 113A AD A AB π∠=∠=，则1A C =（ ）AB C D ．2 答案：A 解析：因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是正方形，1AB =，12BB =，113A AD A AB π∠=∠=， 则111111111AC AC C C A D A B A A=+=++， 所以()211111111111AC A D A B A A A D A B A A =++=++ 222111111111111111222A D A B A A A D A B A D A A A B A A =+++⋅+⋅+⋅111111111111cos 2cos 2cos A D A B A D A A AA D A B A A AA π=+∠+∠===. 故选：A. 4、如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF BA ⋅=___________.答案：14解析：设,,AB a AC b AD c ===，则1a b c ===且两两夹角为60︒所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ()11222c a EF BD AD AB -==-= ，BA AB a =-=-所以()()211224EF BA c a a c a a -⋅=-⋅-=⋅=-故答案为：145、已知球O 内切于正四面体A BCD -，且正四面体的棱长为线段MN 是球O 的一条动直径（M ，N 是直径的两端点），点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点，则PM PN ⋅的最大值是__． 答案：8解析：由正四面体棱长为1，由题意，M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON +=，1OM ON ⋅=-，则()()()222011PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+-=-，当点P 在正四面体顶点时，2PO 最大，且最大值为9，则21PO -的最大值为8，故答案为：8．6、若平面向量,a b 为单位向量，12a b ⋅=， 空间向量c 满足||23c =，2a c ⋅=，3b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值为___________．答案：3解析：()2222221212121222c t a t b c c t a t b t a t b t t a b --=-⋅++++⋅ 221212121246t t t t t t =--+++2221243882433t t t -⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即21283c t a t b --≥，当且仅当2182,33t t ==取等号即12c t a t b --的最小值为=故答案为：37、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中14,2,4,AB AD AA ===1160,BAA DAA AB AD ∠∠==⊥，E 为1CC 的中点，则AE =___________.答案：6解析：设1,,,AB a AD b AA c →→→→→→===因为0,8,4,a b a c b c →→→→→→⋅=⋅=⋅= 所以2222211||24AE a b c a b c →→→→→→→⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭236,a b a c b c →→→→→→+⋅+⋅+⋅= 解得 6.AE →=故答案为：68、如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．答案：解析：由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=，||229CD ∴=故答案为9、如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝所成的二面角为120︒，测得从C D 、到库底与水坝的交线的距离分别为30DA =米、40CB =米，AB =距_______米.答案：70解析：由题意，,DA AB CB AB ⊥⊥，DC DA AB BC =++，2222222DC DA AB BC DA AB DA BC BC AB ∴=+++⋅+⋅+⋅，30DA =米，40CB =米，AB =120︒，290012001600023040cos 6049000DC ∴=++++⨯⨯=+⨯，||70DC ∴=米.故答案为：70.10、已知P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任意一点，则AP AC ⋅的最大值为______. 答案：2解析：由题意画出图形，如图所示，因为||||cos ,AP AC AP AC AP AC ⋅=⋅<>，且||cos ,AP AP AC ⋅<>是向量AP 在AC 上的投影， 所以当P 在棱C 1C 上时，投影最大，所以AP AC ⋅的最大值为22||(12AC ==. 故答案为：211、已知四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，则BC AG ⋅=_______. 答案：14解析：因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点， 所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：14. 12、如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅； （2）AB '的长； （3）AC '的长．答案：（1）10；（2（3解析：（1）1cos6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯=； （2）AB AA A B ''''=+， ()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+=，61AB '=，即AB '（3）AC AC CC AB AD AA '''=+=++， ()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 85AC '∴=AC '.13、如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅； （5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．答案：（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 解析：四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角， 又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.14、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB ＝AD ＝A A '＝1，①A 'AD ＝①A 'AB ＝①BAD ＝60°，求：（1）A C '的长；（2）B D 的长.答案：（1；（2.解析：（1）22222()222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC '''''=++=+++⋅+⋅+⋅ ＝1＋1＋1＋2×1×1×12＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝6.①A C '＝AC '＝.（2）22222()222BD BA BC BB BA BC BB BA BC BC BB BA BB '''''=++=+++⋅+⋅+⋅) ＝1＋1＋1＋2×1×1×(－12)＋2×1×1×12＋2×1×1×(－12)＝2.①BD '。
高等代数空间向量习题答案
高等代数空间向量习题答案高等代数空间向量习题答案在高等代数学习中，空间向量是一个重要的概念。
它是指在三维空间中的一个有方向和大小的量。
空间向量的运算和性质是我们学习的重点之一。
在学习过程中，我们经常会遇到一些习题，需要通过运算和推理来求解。
下面我将给出一些高等代数空间向量习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求两个向量的和与差设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a + b和a - b的结果。
解答：a +b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)a -b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)2. 求两个向量的数量积设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a · b的结果。
解答：a ·b = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 323. 求两个向量的向量积设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a × b的结果。
解答：a ×b = (2 × 6 - 3 × 5, 3 × 4 - 1 × 6, 1 × 5 - 2 × 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)4. 求两个向量之间的夹角设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a和b之间的夹角。
解答：首先计算a · b和|a| × |b|的值：a ·b = 32|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √77然后利用向量的数量积公式计算夹角θ：cosθ = (a ·b) / (|a| × |b|)θ = arccos[(a · b) / (|a| × |b|)]= arccos(32 / (√14 × √77))通过计算，可以得到夹角θ的近似值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节空间向量的运算及应用
[考点要求] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
(对应学生用书第130页
)
1．空间向量的有关概念
名称定义
空间向量在空间中，具有大小和方向的量
相等向量方向相同且模相等的向量
相反向量方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量平行于同一个平面的向量
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
- 1 -
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.空间位置关系的向量表示
- 1 -
- 1 -
l 1⊥l 2
n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m
l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m
α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β
n ⊥m ⇔n ·m ＝0
[常用结论]
1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线．
2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，
n·b ＝0.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )
(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
1．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6。