武科大2003年专升本高等数学题

专生本《高等数学》试题（A ）
一、单项选择题（4分×6＝24分）
1．函数x
x x y -+=0
)1(的定义域为（ ）
A ．{}0>x x ；
B ．{}0<x x ；
C ．{}10-≠<x x x 且；
D ．{}10≠>x x x 且．
2．若b x x ax x =+---→1
3
lim
21，则常数b a ,的值为（ ） A ．1,0-==b a ； B ．3,1-==b a ； C ．3,1=-=b a ； D ．5,2-==b a ；
3．已知212)(x x
x f -='，则=-dx x df )
1(2（ ）
A ．2-；
B ．x x 2-；
C ．211x --；
D ．212
x
-
4．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ ）
A ．[]1,0；
B ．[]1,1-；
C ．[]2,2-；
D ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-54,53．
5．),(z x y y =由方程)sin(y x yz +=确定，则x
y
∂∂是（ ）
A ．z y x )cos(+；
B ．)cos(1y x z +-；
C ．)cos()cos(1y x z y x +-++；
D ．)
cos()cos(y x z y x +-+．
6．下列等式正确的有（ ）
A ．)())((x f dx x f dx d b a =⎰；
B ．)()())((a f x f dx x f dx d x
a -=⎰；
C ．)())((x f dx x f dx d b x -=⎰；
D ．)())((22
x f dx x f dx d x a
=⎰．
二、填空题（4分×6＝24分）
1．设⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<=011sin 00sin 1
)(x x x x a x x
x x f ，要使)(x f 在R 上连续，则=a ．
2．设1)
()
()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则a x =是)(x f 的一个极 点． 3．dx x x x x ⎰-++2
2
24)cos 1sin (π
π= ． 4．一平面与已知平面0232=++-z y x 平行，且在x 轴上的截距为2-，则此平面的方程是 ．
5．设xy z sin =，则=dz ．
6．二重积分
⎰⎰≤+4
22),(y x dxdy y x f 在极坐标下的二次积分是 ．
三、计算下列各题（9分×7＝63分）
1．x
x
x x x -∞→+12)1
2(lim ； 2．设x y arccos =，求dy ；
3．⎰-dx x
x x 21arcsin ； 4．设x y x z arctan 2
=，求
y x z ∂∂∂2； 5．设⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥++=-020121)(2
x e x x x x f x ，求⎰--51
)1(dx x f ；
6．dx e dy y
x
y ⎰⎰1
10
； 7．
dv e z y x z
⎰⎰⎰≤++1
222
四、应用题（15分×1＝15分）
在第一卦限内，作球面1222=++z y x 的切平面，使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小，求切点的坐标．
五、改错题（10分×1＝10分）
设)(x ϕ在a x =处连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．
解： ∵)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+='， ∴)()(a a f ϕ='． 请你指出上述解法的错误之处，并写出的正确解法．
六、证明题（7分×2＝14分）
1．若),(y x f 在{}
222),(R y x y x D ≤+=上连续，则)0,0(),(1
lim 20f d y x f R
D
R πσ=⎰⎰>-．
2．设)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且⎰=1
3
2)0()(3f dx x f ，试证在()1,0存在
一点c ，使得0)(='c f ．。