整除1
六年级数学数的整除1(新编201910)
你能填吗？
1、在非零自然数中，最小的素数是（ ），素数中唯一的偶 数是（ ），既是合数，又是奇数的最小一位数是（ ），合数 中最小的一位数是（ ），既不是素数又不是合数的数是（ ）。
2、能被2、3、5整除的最小的三位数是（ ）。
3、10以内的所有素数的和是（ ）。
你说对不对？为什么？
1、非零自然数中，不是只有素数和合数。 2、最小的素数是全部偶数的最大公约数。 3、所有的偶数都是合数。 4、因为a÷b=8，所以a一定是b的倍数。 5、把153分解质因数是：153=3×51 6、非零自然数中，不是奇数就是偶数。
猜一猜，老师会提出什么问题？
1、2、5、8、11 4、16、27、28、32 2、11、13、21、23 100、19、36、9、4 7、14、21、25、49
老师的手机号码是11位数字，每一位数字依次是：
1、既不是素数也不是合数的数； 2、最小的奇数与最小的素数的和； 3、最小的素数与最小的合数的积； 4、最小的两个不同素数的和； 5、最大约数与最小倍数都是 7 的数； 6、最小的奇数与最小的偶数的和； 7、既是素数，又是偶数的数； 8、最小的素数与最小的偶数的积； 9、最小的奇数与最小的合数的和； 10、最大的一位数与最小的奇数的差； 11、所有能被3整除的数的最大公约数。
脑筋急转弯，按要求找数:
1、在0、1、7.5、20、58中不是整数的。 2、在1、4、8、9、17、563中是偶数的。 3、在11、21、51不能同时被2、3、5整除的。 5、在25、39、42、160、555中能同时被2、5整除的。
义务教育六年制小学数学第十二册
数的整除复习
说说下面的数学概念: 约数、倍数、奇数、偶数、素数、合数
挑选以下一个或几个数学概念说一句话:
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
数的整除(1)
第一讲数的整除(1)【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。
【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3（C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3【解】B2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3（C）23，34，45（D） 2，4，6【解】D3、下列说法正确的是……………………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
【解】（1）不正确。
零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。
应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。
6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【解】a可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
【解】设相邻的三个奇数分别为1n（n为大于1的正整数），根据题意-nn,1+,建立方程306nn，求得方程的解102=-nn，这三个自然数为101，102，+1=1++103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。
数的整除一
数的整除一一、整除得概念：a÷b=c，整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫a能被b整数，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
二、例题（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数。
例1；24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数。
（2）如果数a、b都是c的倍数，那么（a+b）与（a－b）也是c的倍数。
例2：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30－24）也是6的倍数。
（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数。
例3：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数。
（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数。
例4：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数。
（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b，那么a就是b的倍数。
例5：60含有因数15，那么60就是15的倍数。
三、例题（1）4（或25）的倍数的特征：如果一个自然数的末两位是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。
例1：58372的末两位是72，72是4的倍数，那么58372就是4的倍数。
57325得末两位是25，25是25的倍数，那么58325就是25的倍数。
（2）8（或125）的倍数的特征：如果一个自然数的末三位是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。
例2：58272的末三位是272，272是8的倍数，那么58272就是8的倍数。
58375的末三位是375，375是125的倍数，那么58375就是125的倍数。
（3）7（或11，13）的倍数的特征如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）是7（或11，13）的倍数，那么这个数就是7（或11，13）的倍数。
例3：1059282是否是7的倍数？把1059282分为1059和282两个数。
1整除特性
整除整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除的一些性质为：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1 在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2 把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3 希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．例4 三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数．分析：要使这四个数的平均数是一个整数，说明这四个数的和必是4的倍数．因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，这时2063+997=3060必能被4整除．解：因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，且2063+997必能被4整除，。
六年级数学数的整除1(2019年12月整理)
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分配方案后会计部主管会计根据经股东大会批准的利润分配方案进行账务处理 五、单据及报告 利润分配方案 利润分配表 会计档案管理制度( P4-Z1-J4-5 ) 1． 会计档案的范围 会计档案的范围一般指会计凭、会计帐簿、会计报表以及其他会计核算资料等四个部分。 ( 1 ) 会计凭 会 计凭是记录经济业务，明确经济责任的书面明。它包括自制原始凭、外来原始凭、原始凭汇总表、记帐凭、银行存款（借款）对帐单、银行存款余额调节表等。- ( 2 ) 会计帐簿 会计帐簿是一定格式、相互联结的帐页组成，以会计凭为依据，全面、连续、系统地记各项经济业务的簿籍 。它包括按科目设置的总分类帐、各类明细分类帐、现金日记帐、银行存款日记帐以及辅助簿等。- ( 3 ) 会计报表 会计报表是反映公式会计财务状况和经营成果的总结性书面文件，主要有主要财务指标快报，月、季度会计报表、年度会计报表，包括资产负债表、损益表、财务情况说 明书等。- ( 4 ) 其他会计核算资料 其他会计核算资料属于经济业务范畴，与会计核算、会计监督紧密相关的，由会计部负责办理的有关数据资料。如：经济合同、财务数据统计资料、财务清查汇总资料、核定资金定额的数据资料、会计档案移交清册、会计档案保管清册、会计档案销 毁册等。存贮在计算机存储器和网络上的会计数据、程序文件及其他会计核算资料均应视同会计档案一并管理。- 2．会计档案的装订 会计档案的装订主要包括会计凭、会计帐簿、会计报表及其他文字的装订。 （1）会计凭的装订。一般每月装订一次，装订好的凭按年分月妥善保管归档 。 （2）会计帐簿的装订。各种会计帐簿年度结帐后，应按时整理立卷。 （3）会计报表的装订。会计报表编制完成及时报送后，留存的报表按月装订成册谨防丢失。 3．会计档案的保管 （1）会计档案的移交手续。会计部在将会计档案移交公式档案部门时，应按下列程序进行： A、 开列清册，填写交接清单； B、在帐簿使用日期栏填写移交日期； C、交接人员按移交清册和交接清单项目核查无误后签章。 （2）会计档案的借阅。 A、会计档案为公式提供利用，原则上不得借出，有特殊需要须经公式领导批准。 B、外部借阅会计档案时，应持有单位正式介绍信，经 总经理或财务总监批准后，方可办理借阅手续；公式内部人员借阅会计档案时，应经会计部部长批准后，办理借阅手续。借阅人应认真填写档案代阅登记簿，将借阅人姓名、单位、日期、数量、内容、归期等情况登记清楚。- C、借出的会计档案，会计档案管理人员要按期如数收回，并 办理注销借阅手续。 ( 3 )会计档案的保管期限。各种会计档案的保管期限，按其特点可分为永久性和定期性两类。凡是在立档单位会计核算中形成的，记述和反映会计核算的，对工作总结、查考和研究经济活动具有长远利用价值的会计档案，应永久保存。定期保管期限分别为3年、5年 、10年、15年、20年、25年6种。会计档案的保管期限，从会计年度终了后的第一天算起，如：2001年度终了日为12月31日，保管期限按2002年元月1日开始计算。- 为了全面反映会计档案情况，立档部门应设置“会计档案备查表”（见下表）及时记载会计档案的保存数，借阅数和归档数 ，做到中心有数、不出差错。- 会计档案备查表 单位盖章： 总计数凭档案帐簿档案会计报表档案其他会计资料档案 年初数本年增加数本年减少数本年年终数借阅档案情况复制档案情况归还档案情况 自用外调填报单位负责人： 填表人： 4．会计档案的销毁 （1）会计档案保管期满需 要销毁时，由档案部门提出销毁意见，会同有关部门共同鉴定、严格审查，编造会计档案销毁清册。- （2）会计档案要销毁时，报财务总监批准后销毁。 （3）会计档案保管期满，但其中未了结的债权债务的原始凭，应单独抽出，另行立卷，由档案部门保管到结清债权债务时为止；（ 4）销毁档案前，应按会计档案销毁清册所列的项目逐一清查核对；销毁会计档案时应由档案部门和会计部共同派员监销；会计档案销毁后经办人在“销毁清册”上签章，注明“已销毁”字样和销毁日期，以示负责，同时将监销情况写出面报告一式两份，一份报财务总监，一份入档案 备查。会计档案销毁审批表和会计档案销毁清册的参考格式见下表：- 会计档案销毁审批表 销毁会计档案意见帐簿卷（册）数凭卷（册）数备 注 鉴定单位领导小组负责人（签名）年 月 日 主 管 负 责 人 批 示 （签名）年 月 日 监 销 人 （签名）年 月 日 会计档案销毁清册 顺 序号类别案卷号案卷题名起止日期页数保管期限已保管期限备注 会计工作交接的内部控制制度( P4-Z1-J4-6 ) 1．交接前的准备工作 会计人员工作调动或者因故离职，必须将本人所经管的会计工作全部移交接替人员。没有办清交接手续的不得调动或离职。会计人员办理移交必须作好以 下准备工作：- ?已经受理的经济业务尚未填制会计凭的应当填制完毕。 ?尚未登记帐目应当登记完毕，结出余额，并在最后一笔余额后加盖经办人员印章。 ?整理应该移交的务项资料，对未了事项和遗留问题要定出书面说明材料。 ?编制移交清册，列明移交凭、帐簿、会计报表、公章 、现金、有价券、支票、文件、其他会计资料和物品等内容；实行会计电算化的单位，从事该项工作的移交人员应在移交清册上列明人软件及密码、会计软件数据盘、磁带等内容。- ?会计部部长、主管会计移交时，应将会计工作、重大收支问题和会计人员的情况等向接替人员介绍清楚 。 2． 交接的基本程序 （1）移交点收 移交人员离职前必须将本人经管的会计工作，在规定的期限内，全部向接管人员移交清楚。接替人员应认真按照移交清册逐项点收。具体要求是：- ?现金要根据会计帐簿记录余额进行当面点交，不得短缺 ，接替人员发现不一致或“白条顶库”现 象时，移交人员在规定期限内负责查清处理。- ?有价券的数量要与会计帐簿记录一致，有价券面额与发行价不一致时，按照会计帐簿余额交接。 ?会计凭、帐簿、报表和其他会计资料必须完整无缺，不得遗漏。如有短缺，必须查明原因，并在移交清册上注明，由移交人负责。- ?银行存 款帐户要与银行对帐单核对一致，如有未达帐项，应编制银行存款余额调节相符；各种帐产物资和债权债务的明细帐户余额要与总帐有关帐户余额核对相符；对重要实物要实地盘点，对余额较大的往来帐户要与往来单位、个人核对。- ?公章、收据、空白支票、、科目印章以及其他物品 等必须交按清楚。 ?交接双方在计算机上对有关数据进行实际操作，确认有关数字正确无误后，方可交接。 （2）专人监督 会计人员在办理交接手续时，必须有人监交，以起督促、公正作用。对监交的具体要求是： ?一般会计人员办理交接手续，由会计部部长或主管会计负责监交； ? 主管会计办理交接手续，由会计部部长负责监交； ?会计部部长办理交接手续，由财务总监（或财务总监指派内部审计人员）负责监交。 （3）交接后的有关事宜 ?会计工作交接完毕后，交接双方和监交人要在移交清册上签名盖章，，并在移交清册上注明：单位名称，交接日期，交接双 方和监交人的职务、姓名，移交清册页数及需要说明的问题和意见等。- ?接管人员应继续使用移交前的帐簿，不得擅自另立帐簿，经保会计记录后衔接，内容完整。 ?移交清册填制一式三份，交接双方各持一份，存档一份。 3． 会计工作临时交接 会计人员临时离职或者因其他原因暂 时不能工作的，都要办理临时交按手续。 ?临时离职或因病不能工作需要接替或工理的，会计部部长必须指定专人接替或者代理，并办理会计工作交接手续。 ?临时离职或困病不能工作的会计人员恢复工作时，应当与接替或代理人员办理交接手续。 ?移交人员因病或其他特殊原因不能亲 自办理移交手续的，经财务总监批准，可由移交人代办交接，但委托人应当对所移交的会计凭、会计帐簿、会计报表和其他有关资料的合法性、真实性承担法律责任。- 4．移交后的责任 移交人员对移交的会计凭、会计帐簿、会计报表和其他会计资料的合法性、真实性承担
B整数与整除1
学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题整数与整除教学目标 1.掌握整数、整除、因数、自然数等概念2.理解整除的定义，掌握整除的两种表示方法3.掌握能被2、5整除数的特征，理解奇偶数的意义教学内容1.零和正整数统称为自然数2.正整数、零、负整数统称为整数正整数整数自然数零负整数3.整数a 除以整除b ,如果除得的商是整除而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a除数、被除数都是整数整除的条件被除数除以除数，商是整数而且余数为零4.整数a 能被b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫做a 的因数5.能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数【例题1】把下列各数填在适当的圈内：100、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数自然数整数【解析】正整数:100、2005、9；自然数100、0、2005、9；整数：100、-6、0、2005、9；【检测1】把下列各数填在适当的圈内：13、﹣5、0、0.6、22、﹣16、86、﹣3.45.【解析】正整数:13、22、86；负整数：-5、-16；自然数：13、0、22、86；整数：13、0、22、86、-5、-16【例题2】有多少个整数呢?又有多少个自然数呢?是否存在最小的自然数?是否有最大的自然数呢?是否有最小的整数?是否存在最大的整数?是否存在最小的正整数?【解析】无数个；无数个；0；没有；没有；没有；1【检测2】判断题(1)一个整数，不是正整数就是负整数；()(2)非负整数是自然数；()(3)最小的自然数是1．（）(4)最小的整数是0．（）【解析】(1)×；(2)√；(3)×；(4)×．【例题3】正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a．【解析】符合条件的正整数为1、2、3、4、6、9、12、18、36.【检测3】能整除12的数有哪些？【解析】能整除12的数有6个：l，2，3，4，6，12【检测4】在算式①9.6÷3，②2÷5，③12÷3，④8÷4，⑤3÷2，⑥5÷2.5中，是除尽是整除。
数的整除整理1
第一章数的整除1,数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。
再例如：判断13574是否是11的倍数？⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题同类练习1、四位数3AA1能被9整除，求A。
2、从0，1，4，7，9中选四个数字，可组成若干个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，问第十个数是多少？3、六位数234x67能被3整除，求x的值。
4、六位数A4273B能被72整除，求A与B的值。
六年级数学下册数的整除1课件人教版
除尽 整除
能除尽的不一定都能整除， 但能整除的一定能除尽。
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的 倍数， b就叫做a的约数。（或a 的约数）
因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是约数（×）
约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6 的约数（×）
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除。
能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
两个数具有约倍关系,最大公约数 就是较小的数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数。
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积。
约数和倍数必须以整除为前提
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数．
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数．
最少有3个约数
数论一
数论（一）一：整除1、（1）如果一个数的个位上的数能被2或5整除，那么这个数能被2或5整除.（2）如果一个数末两位能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除.（3）如果一个数末三位能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除.（4）如果一个数各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除.（5）如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，也能被他们的乘积整除。
2、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。
3、（1）如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7,11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除，否则就不能。
（2）熟记131171001⨯⨯=（3）100010001,1001,10101⨯=⨯=⨯=abcd cd abcdabcdab abc abcabc ab ababab二：质数与合数1、质数：约数只有1和它本身。
合数：至少有3个约数。
2、（1）1既不是质数也不是合数（2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；3是最小的奇质数；4是最小的合数。
3、判断质数与合数的方法（1）100以内25个质数：（2）“N 法”：找出大于N 且最接近N 的平方数2k ，用小于k 的所有质数去除N,如果这些质数都不能整除N ，那么N 是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N ，那么N 就是合数。
4、分解质因数例一：在□里填上适当的数字，使五位数字5872□能被2整除，这样的五位数有多少个？练习：1、在□里填上适当的数字，使四位数字139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、六位数字16249□能被4整除，这样的六位数有哪几个？例二：在□里填上适当的数字，使六位数字69547□能被4或25整除。
练习：1、在□里填上适当的数字，使五位数字31□26能被3或9整除。
2、□2020□能被8,9整除，这个数是多少？例三：在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能的大。
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当b 2时, a b c.由a 2b 2 (a 3 b 3 1) 2a 3 1 a 3 b 3 1,
2 b 2a 3 a 3 b 3 1 a 2b 2 a .又由a 2 (b 3 1) 2 4 b b3 1 a 2 . 4 当b 5时, 式子右边大于左边, 矛盾, 所以无解;
整除的判别方法主要有7大类． 1．定义法．证 b a a bq，有三种方式． （ 1）假设a qb r，然后证明 r 0. （2）具体找出q, 满足a bq. （3）论证q的存在．
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例（ 1. 2011年第八届中国东南地区数学奥林匹克）已知a、b、c 为两两互质的正整数,且a 2 (b3 c3 ) , b2 (a3 c3 ) , c 2 (a3 b3 ), 求a、b、c的值.
证 : 因为10 2 5,因此只须证明三个数中至少有一个同时能
性质：如果一个整数的末位能被 2或５整除,那么这个 被2、整除 5 . 数就能被 a 3b ab3 2 或５整除． ab a2 b2 ab a b a b
b3c bc3 bc b2 c2 bc b c b c . c3 a ca3 ca c2 a2 ca c a c a 显然, a 3b ab3， b3 c bc3， c3 a ca3都是偶数,都能被2整除.
15
是整数.故命题成立 .
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7.无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法.其步骤为:假设方 程有解,并设x为最小的解.从x推出一个更小的解y.从而与X的 最小性相矛盾.所以,方程无解.
*例7.(2007年IMO试题)设a, b为正整数已知 . 4ab 1 | 4a 1 .
解:由题设可得到：a 2 (a 3 b 3 c 3 ), b 2 (a 3 b 3 c 3), c 2 (a 3 b 3 c 3), 又因为a、b、c两两互质,所以a 2b 2c 2 (a 3 b 3 c 3 ).不妨设a b c,
2 2 b c 3 3 3 3 2 2 2 所以3a a b c a b c a 3 4 4 b c 18 3 3 3 2 3 又2b b c a 2b b 4 9 c 当c 2 b 1, 与b c矛盾.所以c 1.显然（1,1,1）是一组解.
2 2 2 2 2 4 2 2
则 4b 1 4b 4ab 16b 4a 1 0 mod 4ab 1 . 因此， 4ab 1 | 4b 1 .
2 2
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下面证明坏对不存在. 用反证法.假设存在一个坏对,取使得2a b取得最小值的坏对。 如果a b,由性质1知存在坏对 a , c 满足c b使得 2a c 2a b, 矛盾。 如果b a,由性质2知 b, a 也是“坏对”，这时也有 2b a 2a b, 矛盾。 这说明坏对不存在，故a b.
3 n 2 n 1 n n 1 n 2 20 n 1 n n 1 15n 因为（n 2） n 1 n n 1 n 2 是五个连续的整数之积一定是5！ 的倍数, 当然是15的倍数, 有 n 1 n n 1 是三个连续的整数之积， 一定是315 ！ 的倍数, 也是6的倍数, 那么20 n 1 n n 1 必是15的倍数. 而第三部分15n显然是15的倍数. 综合上所述得n(3n 4 5n 2 7)是15的倍数.即f 1 (3n5 5n3 7 n)
而n(3n 4 5n 2 7) n(3n 4 3n 2 8n 2 8 15)
n[3n 2 (n 2 1) 8(n 2 1) 15] n(n 1)(n 1)(3n 2 8) 15n (n 1)n(n 1)(3n 2 12 20) 15n
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6、利用二项式（组合数）定理
例6 : 求证 : 对于任意的整数n, f 1 n5 1 n3 7 n都是整数. 5 3 15
n ( n1 1)( n 2).....(n k 1) 性质： C 是整数值, 从而可进一步推出 K个 分析 :把 f 化成 与一个整式的乘积的形式 , 再把这个整式通过 k!
2 2
4a 2 1 c a.
由构造知 4ac 1 | 4a 1 , 则 a, c 也是坏对.
2
① ①得
2
1=1 4ab mod 4ab对，则 b, a 也是坏对. 性质2的证明：注意到1 4ab mod 4ab 1
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练习4(2006年北方数学奥林匹克邀请赛）设p是大于 2的质数， p 数列an 满足nan1 n 1 an .求证：当 a1 5时,16 | a81 . 2
4
an 1 an p 4 1 解：有条件得 .则有 n 1 n 16 n n 1 an p 4 an -1 a1 p 4 p4 , n 16n n 1 16 n 1 1 16 1 即an na1 n 1 p 4 16 当a1 5时，a81 81 5 5 p 4 5 81 p 4 .
15 连续整数的乘积, 一定能被K！整除 拆项的方法配成能15的倍数形式,由性质（5）知 : 五个连续的 整数之积一定是5 ！的倍数, 也是15的倍数；三个连续的整数 之积, 一定是3 ！ ,15的倍数, 也是6的倍数由此可以得证 . .
k n
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证明：f
5 1 3 7 n 1 (3n5 5n3 7 n) 1 n(3n 4 5n 2 7) 1 n n 5 3 15 15 15
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7 ab a b a b ab .
6
性质： b 2 C a b a 2
k 2n k
2 2
7
n k
. k 1, 2 , n
2
根据题设要求(1)(2)知， 7 | a b ab , 即73 | a 2 b 2 ab.
2
令a b ab 7 , 即 a b - ab 343, 即a b 19,
当b 4和3时, 结合a 2 | b3 c 3 , 解得a不是整数, 当b 2时, a 3.所以满足条件正整数为: (1,1,1), (12,3), (1,3, 2), (2,1,3), (2,3,1), (3, 2,1), (3,1, 2).
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例2.设a, b, c是三个互不相等的正整数,求证a 3b ab 3 , b 3c bc 3 , c3a ca 3三个数中至少有一个能被10整除.
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因此，欲证16|a81 , 只须证16| p 4 81 . 因为，p 4 81 p 2 9 p 3 p 3 , 而p是大于2的质数， 所以，p 2 9、p 3、p 3都是偶数，且p用4除余数为1或3，即 p 4k 1或p 4k 3. 当p 4k 1时，4| p 3 ; 当p 4k 3时， 4| p 3 ; 因此， 16| p 4 81 .故16|a81
2 2 3
则ab =192 -343.故可令a =18,b =1即合要求.
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4.余数分类法．
例4. p 5是素数, 且2 p 1也是素数, 证明4 p 1必是合数.
证 : p 5是素数, 则3 F p, 故p 3k 1或3k 2. 当p 3k 1时, 2 p 1 6k 3 3 2k 1 是合数, 与2 p 1是素数矛盾, 故p 3k 1或p 3k 2. 当p 3k 2时, 4 p 1 12k 9 3 4k 1 是合数, 问题得证.
2
1
2
4ab 1
,则
2 2
r r 1 r 4ab 1 4a 1 1 mod 4a . 因此，存在某个正整数c使得r 4ac 1.
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4a 由a b, 有4ac 1
2
1
2
4ab 1
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若a, b, c中至少有一个能被5整除, 则结论成立 若a, b, c中没有一个能被5整除, 则a 2 , b 2 , c 2的尾数为1, 4, 6, 9, 从中任取三个数其两两之差必有一个为0或 5. 故a 2 b 2 , b 2 c 2 , c 2 a 2中至少有一个能被5整除, 从而 a 3b ab 3，b 3c bc 3，c 3a ca中至少有一能被5整除. 故a 3b ab 3，b 3c bc 3，c 3a ca三个数中至少有一个 能被10整除.
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3.分解法.
例（第 3. 25届IMO试题)求一对整数满足(1)ab a b 不能被 7整除； （2） a b - a7 - b7能被77 整除.
7
5 5 3 3 2 2 解 : a b - a7 - b7 7 ab a b 3 ab a b 5 a b a b n