(1)数的整除 (5)
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
数的整除(5)
数的整除练习（五）1、一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？2、55个苹果分给甲乙丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。
问：三人各得多少苹果？3、有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和橘子，重量分别为8、9、16、20、22和27千克。
当天只买出一筐橘子，在剩下的五筐中香蕉的重量是橘子的重量的2倍。
问：这天水果店进了多少千克香蕉？4、有一个两位数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
5、有一个自然数，，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
6、两个数的和是836，其中一个数的末尾是0，当把这个0抹去时就与另一个数相等。
这两个数各是多少？7、三个连续自然数的最小公倍数是168，求这三个数。
8、甲、乙、丙、丁四人绕城墙长跑，他们跑一圈分别需要1分钟、1分10秒、1分20秒和1分30秒。
问：三人同时从起点出发，多少分钟后他们又在起点相会？9、甲、乙两人同时从A点背相出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？10、学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆。
后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动。
问：现在彩旗的间隔是多少米？11、大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一地点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长50厘米，爸爸每步长75厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。
问：这个花圃的周长是多少米？12、78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1—18报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问：至少有多少个小朋友报过数字1，有没有同时报过5和10？13、有一篮子鸡蛋，按每四个一堆分多一个，按每五个一堆分也多一个，按每六个一堆分还是多一个，这篮鸡蛋至少有多少个？14、一个圆的周长共60厘米，从圆周的某一点开始，沿着圆周每隔16厘米取一点，直到与原点重合为止。
五年级数的整除
数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。
2021年上海市六年级数学期末复习-第1章《数的整除》易错题型解析(学生版)
沪教版六年级上册第1章《数的整除》易错题型解析模块一：整数和整除的意义例题1.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【变式1】能整除18的数有________________．【变式2】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3÷=，则n一定能整除m；m n（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18例题2.下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【变式1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．例题3.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【变式1】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（3）20163÷；（2）127（5）246÷；（8）8.82÷．÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53模块二：素数、合数与分解素因数例题4.将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【变式1】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯⨯⨯=⨯B．1802259C．336=22347=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯D．362233例题5.下列说法中正确的个数有（）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．例题6.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？模块三：公因数和最大公因数例题7.下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【变式1】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？模块四：公倍数与最小公倍数例题8.某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【变式1】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【变式2】三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？例题9.甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【变式1】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
数的整除(一)——4、8、9整除的数课后作业含解析
数的整除（一）4、8、9整除的数的特征习题解析数的整除（一）课后作业：1．判断下面这些数的整除性。
51330 7864 62615 3675 8180 1685 5732 9804 12875 8307(1)能被2整除的数有______________________________(2)能被3整除的数有______________________________(3)能被4整除的数有______________________________(4)能被5整除的数有______________________________(5)能被8整除的数有______________________________(6)能被9整除的数有______________________________2．6395736能被2、3、4、6、8、9中的那些整除？能否被2整除：____________________________________能否被3整除：____________________________________能否被4整除：____________________________________能否被6整除：____________________________________能否被8整除：____________________________________能否被9整除：____________________________________3．个位数是4，且能被9整除的三位数共有几个？4．由2、3、4、5这四个数字写成没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？5．五位数54a7b是2、3、5的倍数，那这个五位数的百位上a和个位上的b各是多少？6．在1——200这些数中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有（）个。
沪教版(上海)六年级第一学期数的整除(整除、因数与倍数、质数与合数) 同步练习
模块一：整数与整除1.自然数：零和正整数统称为自然数2.整数：正整数，零，负整数，统称为整数3•整除：如果整数a除以整数b,商是整数且余数为0,则称a能被b整除，或b能整除a,记作b|a,其中a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
如果a被b除所得的余数不为0,则I」称a不能被b整除，或b不整除a。
4.数的整除特征（1）一个整数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除；（2）一个整数的十位和个位数组成的数，能被4整除，那么这个数能被4整除（3）一个整数的个位上是0、5中的某个数，这个整数能被5整除；（4）一个整数各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个整数也能被3或9整除；【真题训练】31、在数0、3.4、29、-12、5中，整数有（）•A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.2、如果三个连续偶数之和是36，那么它们中最小的数是.3、若a是最小的自然数，b为最小的正整数，c是没有倒数的有理数，则a+b+c二4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A、25和50；B、42和3；C、10和4；D、9和1.5.5、在21和3中，能整除.6、下列算式中表示整除的算式是（）A、2.8一0.4二7；B、24-7=3……3；C、8-16=0.5；D、2-2=1.7、身边的数学：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，96315是投诉电话，119是火警电话，在这些电话号码中，能同时被2和5整除的是（填电话号码）.8、一个两位数既是奇数又是合数，它能同时被3和5整除，这个数最大的是．9、用2、8、5、0四个数字中任选不同的数字，能被5整除的最大四位数是.10、30以内的正整数中，有一些数是3的倍数，但既不是2的倍数也不是5的倍数（如9）这些数的和是.11、阅读理解题：（1）1=（）21+3=（）21+3+5=（）21+3+5+7=（）21+3+5+7+9=（）21+3+5+7+9+11=（）2⑵由此你能推断出n个从1开始的连续奇数之和等于多少吗？1+3+5+7++（2n-1）2=（）2n个连续奇数⑶任意选n个连续奇数，例如27，29，31，-，185共80个奇数，求它们的和.模块二：质数、合数与分解质因数1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.（要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.）2.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.【真题训练】1、最小的素数是．2、最小的合数和最小的自然数组成的两位数是.3、在数23、32、47、65、71、78、51、91中，素数有个．4、下列各组数中，互素的一组是（）A、12和9；B、13和26；C、58和87；D、8和15.5、分解素因数：102二•6、写出15的所有因数：．7、一个数既是9的因数又是9的倍数，这个数是.8、下列说法中正确的是（）.A、素数一定是奇数；B、互素的两个数一定是素数；C、素数的因数一定有2个；D、两个合数一定不互素.9、下列说法正确的是（）.A、偶数都是合数，奇数都是素数B、自然数都可以写出几个素数的积的形式C、两个数的最小公倍数一定能被这两个数的最大公因数整除D、M能整除19，那么M是19的倍数模块三：因数和倍数1.整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）2.求最大公约数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231二3x7x11,252=2x32x7,所以（231,252）=3x7=21;②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.21812例如：3|96，所以（12,18）=2x3=6;323.求最小公倍数的方法：①分解质因数法②短除法△补充：两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数【真题训练】1、已知A=6x8，那么6和8是A的（）A、素因数；B、合数；C、倍数；D、因数.2、甲数二2x2x3x5，乙数二2x3x3，他们的最大公因数是•3、已知M二2x3x5,N=2x2x3，则M和N的最小公倍数是.4、下列六个说法中，正确有（）①1是所有正整数的因数；②最小的素数是1；③两个素数的积是合数；1两个奇数之和是偶数；⑤一个数a的倒数是一；a⑥如果整数m能整除n，那么它们的最小公倍数是n.A、2个；B、3个；C、4个；D、5个.5、用短除法求30和42的最大公因数和最小公倍数.6、有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖，若把它截成边长是整数且面积都相等的正方形，恰无剩余，至少能截块.7、某学校同学参加“中国梦.我的梦”体操表演，要求除了领操的2人外，其余同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队伍变换，这个学校至少有多少人参加“中国梦.我的梦”体操表演？8、在创建全国文明城区的活动中，老师带领学生去参加志愿者服务，男生和女生分别有24人和36人.老师将同学们进行分组，要求每组的人数相同且每组中的男生人数也相同，问最多能分成几组？此时每组多少学生？9、我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a,我们把小于a的正的因数叫做a的真因数。
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数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y
解：x,y 都是0到9的整数, ∵75y 能被9整除, ∴y=6.
∵328＋92x ＝567, ∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X
解：∵五位数能被12整除, 必然同时能被3和4整除,
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时, x=2, 5, 8
当末两位X 4能被4整除时, X ＝0, 4, 8
∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4, 不能被11整除, 只调整末位数仍不行
调整末两位数为30, 41, 52, 63, 均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】
1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除, 那么a=_______________
2若四位数a
12X能被11整除, 那么X＝__________-
3若五位数34
35m能被25整除
4当m=_________时, 5
9610能被7整除
5当n=__________时, n
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7能被4整除的最大四位数是____________, 能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125, ②756, ③1011, ④2457, ⑤7855, ⑥8104, ⑦9152, ⑧70972中, 能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9从1到100这100个自然数中, 能同时被2和3整除的共_____个,
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1, 2, 3, 4, 5这五个自然数, 任意调换位置而组成的五位数中, 不能被3整除的数共有几个？为什么？
1234能被15整除, 试求A的值。
11己知五位数A
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中, 各位数码是0或1, 并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿参考答案
1.④22×32×7×3 ⑤3×7×13×37 ⑥23×32×11×13
2. 0, 3, 6, 9
3. 0
4. 2, 7
5. 3
6. 10010, 9990
7. 9996, 9992
8. 6：B 8：F, G 9：B, D 11：G, H
9. 16；27
10.没有一个, ∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数, 与数字的位置无关
11.仿例2, a＝5
12.10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.11111111100。