1、数的整除
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
数的整除特征(一)教案
数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
数论1—数的整除
第一讲——数的整除基本概念自然数：像“0、1、2、3、4、……”这样的数叫做自然数。
整数：像“—1、—2、0、1、2……”这样的数叫做整数。
除尽：两个数的商不是无限小数。
比如5÷2=2.5整除：两个数的商是整数。
除尽和整除不一样一、整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作b┾a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
注：因数和倍数只在非零自然数范围内研究。
零是任何数的倍数。
二、数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
三、数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
1.数的整除性
数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。
既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。
5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
1.数的整除
目录1.等差数列2.数的整除(一)3.数的整除(二)4.质数与合数5.奇数与偶数6.长方体和正方体的认识7.长方体和正方体的表面枳8.长方体和正方体的体积9.分数的意义和性质10.期中考试11.分数的加、减法12.分数加、减法应用题13.最大公因数和最小公倍数14.最大公因数和最小公倍数的应用15.最简分数的个数及其和16.分数大小的比较17.分、小数的互化18.分数串19.排列与组合20.期末考试2015年(春季)yanghoupei编第 1 讲等差数列知识要点:1.等差数列:如果一个数列从第二项开始,每一项与它前面一项的差都相等,就叫做等差数列;第一个数叫首项,最后一个数叫末项,这个相等的差叫公差,数的个数叫项。
2. 总和=(首项+末项)×项数÷ 2 项数=(末项-首项)÷公差＋1首项=末项－公差×(项数-1) 末项=首项＋公差×(项数-1)公差=(末项-首项)÷(项数-1)例1.求下面各数列的总和:(1) 1+2+3+……+35+36 (2) 21+22+23+……+49+50(3)计算:3+8+13+18+23+……+2003+2008例2．求数列4、10、16、22、……前50个数的和。
例3．一个等差数列从小到大共100项,末项是2003,公差是3,求这个等差数列的总和。
例4．一堆木料有18层,最上一层是1根,往下每一层都比上一层多1根,这堆木料共有多少根?例5．某学生看一本故事书,第一天看了8页,以后每天都比前一天多看3页,刚好7天看完,这本故事书共有多少页?练习题:1.计算下面各题:(1)1+2+3+……+99 (2)31+32+33+……+77+78(3) 3+8+13+18+……+198+2032.求数列1、5、9、13、17、21……前50个数的和。
3.一个等差数列从小到大共30项,已知末项是124,公差是4,求总和。
数的整除(一)
数的整除特性（一）【知识要点】在自然数范围内，如果数a除以数b商是整数没有余数，我们就说数a能被数b整除。
如果数a能被数b整除，那么数a叫做数b的倍数，数b叫做数a的约数。
能被2整除数的特征，个位是02468的数能被2整除。
能被5整除数的特征，个位是0或5的数能被5整除。
能被3（或9）整除数的特征，个位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除数的特征，一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除数的特征，一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
如果要判断Ａ能否被Ｂ整除（Ｂ的数值较大），我们可以把Ｂ分解为Ｃ×Ｄ（Ｂ＝Ｃ×Ｄ），Ａ如果能被Ｃ整除，也能被Ｄ整除，那么Ａ能被Ｂ整除。
【典型例题】例1、四位数7A2B能被2.3.5整除，这个四位数是多少？练1、．一个五位数６Ａ５８Ｂ，既能被３整除，有含有因数５，同时又是２的倍数，这样的五位数有哪几个？例2、有一个三位数8A7能被9整除，这个数是多少？练2. 有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数？这个四位数是多少？例3.把2000个苹果平均分成四堆（或25堆），能否正好分完？例4.一个五位数865□□能分别被3，4，5，整除，这样的五位数中最小的一个是多少？练4、在568后补上三个数字，组成一个六为数，使它分别能被3，4，5，整除，且使该数尽可能小？练4、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3.4.5.整除，且使这个数值尽可能的小。
例5、.一个三位数５Ａ６，它能同时被４和９整除，这个三位数是多少？例6、在97538（）（）的（）中填上什么数字，就能被１５整除？填上什么数字就能被４５整除？练6、87654321AB这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是几？【课堂练习】1.按要求填空。
在1278，4632，5468，119375，37625，93648，87615，1548764中，能被9整除的数有（），能被4整除的数有（），能被25整除的数有（），能被8整除的数有（），能被125整除的数有（）。
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数的整除
一、数的整除
1．内容要目
数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。
2．基本要求
（1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。
（2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。
3．重点和难点
重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点是求两个正整数的最小公倍数。
一．知识梳理
1．数的整除
整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，那么称a能被b整除，b能整除a
2．因数和倍数
在正整数范围内，如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b 就叫做a的因数。
一个正整数的因数是有限的，其中最小的一个因数是1，最大的一个因数是它本身
3．能被2、5整除的正整数的特征
个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；个位数字是0或5的数都能被5整除，个位数字是0的数能同时被2和5整除
4．奇数和偶数
能被2整除的整数为偶数，不能被2整除的整数为奇数
5．素数和合数
一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）；
一个正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数1既不是素数也不是合数
正整数按照含因数的个数分类，可以分为素数、合数和1
6．分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，
叫做分解素因数
7．公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的因数。
8．两个数互素
若两个数的公因数只有1，则称这两个数互素；1和任何数都互素
9．公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数
三．例题选讲
1．填空
（1）在5和25中，能被整除，是的倍数，是的因数
（2）在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588这十个数中，能被2整除的数是
能被5整除的数是
能同时被2和5整除的数是
（3）最小的自然数是，最大的负偶数是，最小的正奇数
是，
（4）三个连续奇数的和是87，这三个连续奇数分别是
（5）最小的素数是，最小的合数是，既不是素数也不是合数，20以内的所有素数是
（6）素数是奇数，奇数是素数，（填“一定”，“不一定”，“一定不”）
2．用短除法把下列各数分解素因数
（1）48 （2）180 （3）245
3．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数
（1）20和30 （2）48和72 （3）18、45和120
4．已知甲、乙、丙三个数的和等于235，甲数比乙数大80，丙数比甲数小90，求这三个数的最大公因数和最小公倍数
5．已知A=2×3×m，B=2×3×7×m，那么当m等于多少时，A、B两数的最大公因数是30？
四．作业
必做题：
1．选择题
（1）下列算式中，表示整除的算式是（）
A．2÷0.4=5 B.15÷5=3 C.7÷2=3……1 D.0.06÷0.3=0.2（2）下列说法正确的是（）
A．没有最小的素数B．两个奇数的和是奇数，偶数的和是偶数C．能同时被2、5整除的数的末尾是0 D．9和12的最大公因数是9 （3）下列说法正确的是（）
A．奇数不可能被2整除B．2是最小的合数C．6的因数是2、3 D．1、2、3组成的三位数能被3整除也能被9整除
（4）下列说法不正确的是（）
A．1既不是素数，也不是合数B．0和正整数为自然数
C．30是能同时能被2、3、5整除的最小两位数
D．48是6和8的最小公倍数
2．分解素因数：30
3．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数
（1）14和15 （2）28和7 （3）12、18和30
选做题：《基本要求》P5B组
反思：
学生对于知识的淡忘比较严重，课堂复习时，效果不是很好.要加强知识的巩固练习。