北师大版九年级数学下册第一章直角三角形基础性测试卷及答案

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北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)单元测试卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)测试卷含答案)

第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。

精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试卷(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt ABC 中，90,5,2C AB AC ∠=︒==，则cos A 的值是（）A B ．25C D ．522、已知锐角α满足tan （α+10°）=1，则锐角用α的度数为（） A ．20°B ．35°C ．45°D ．50°3、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（）A B ．3 C ．43D 4、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（）乙A ．＞B ．＜C ．＝D ．无法确定5、如图，在小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．45D ．346、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（） A ．sin a c B =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan ac B=D ．sin c a A =⋅7、如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则tanB 等于（）A ．512B ．125C ．513D ．12138、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（）A ．B ．50米C ．D 9、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A ．54B ．35C ．34D ．4510、图①是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则tan BOC ∠的值为（）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．1sin α第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，小明家附近有一观光塔CD ，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A 处时，塔顶D 的仰角为37°，他往前再走5米到达点B （点A ，B ，C 在同一直线上），塔顶D 的仰角为53°，则观光塔CD 的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈34，tan53°≈43）2、如图，是拦水坝的横断面，堤高BC 为6米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为_______米．3、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，若DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为__．4、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC ==BC B ∠=______．5、如图，直线y =+b 与y 轴交于点A ，与双曲线y kx=在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝________，前25个等边三角形的周长之和为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）2、为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．3、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．5、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解．【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得2 cos5ACAAB==，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义．2、B【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；【详解】∵tan（α+10°）=1，且tan451︒=，∴1045α+︒=︒，∴35α=︒；故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．3、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．4、C【分析】如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积．【详解】解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的面积等于乙的面积．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键． 5、A 【分析】观察题目易知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，求出斜边AB ，根据余弦的定义即可求出cos A ．【详解】解：由题知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，∴AB cos A ＝35AC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键． 6、B 【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．8、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=．解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．9、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．10、A【分析】在Rt OAB 中，sin AB OB α=，可得OB 的长度，在Rt OBC 中，tan BC BOC OB ∠=，代入即可得出答案．【详解】解：∵1AB BC ==，在Rt OAB 中，sin AB OB α=， ∴1sin OB α=，在Rt OBC 中，1tan sin 1sin BC BOC OB αα∠===.故选：A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.二、填空题1、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A =37°，∠DBC =53°，∠D =90°，AB =5，在Rt△CBD 中，tan∠DBC =CD BC ， ∴BC =tan 53CD ≈34CD ，在Rt△CAD 中，tan∠A =CD AC ，即354CD CD +=tan37°≈34 ∴解得：CD =607≈8.6，答：观光塔CD 的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 2、【分析】由斜面坡度为1:2有12BC AC =，解得AC =12，再由勾股定理求得AB 即可．【详解】∵斜面坡度为1:2 ∴12BC AC = ∴212AC BC ==∵ACB △是直角三角形，故有AB====故答案为：【点睛】本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．3【分析】由已知的DE AB ⊥，根据垂直的性质得到90AED ∠=︒，即三角形ADE 为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到60DE sin AD︒=，将AD 的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE ．【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90AED ∠=︒，在Rt ADE 中，60BAD ∠=︒，2AD =， ∴60DE sin AD︒=，则·602DE AD sin =︒==题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．4、30°【分析】根据正切定义，先求出tan B ，再求出B 的度数即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC =，BC∴ tanAC B BC = 30B ∴∠=︒ ，故答案为：30【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键．5、设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．首先证明∠ADO ＝60°，可得AB＝2BE ，AC ＝2CF ，由直线y =+b 与双曲线y k x =在第一象限交于点B 、C 两点，可得+b kx=，整理得，2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=k ，即EB •FC k ，由此构建方程求出k 即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．【详解】设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．∵y =+b ，∴当y ＝0时，x =b ，即点D ，0），当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =．∵在Rt△AOD 中，tan∠ADO OA OD == ∴∠ADO ＝60°．∵直线y =+b 与双曲线y k x=在第三象限交于B 、C 两点，∴+bkx =，整理得，2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2，即EB•FC=k，∵EBAB=cos60°12=，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=＝16，解得：k＝由题意可以假设D1（m，，∴m2∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n），∵（4+n＝解得n＝2，∴E1E2＝4，即第二个三角形的周长为12，设D3（a），由题意（a＝解得a ＝…，∴第四个三角形的周长为∴前25个等边三角形的周长之和+=60，故答案为60．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三、解答题1、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒，∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+= 速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．2、（1）15 m（2）2y AB y x=- 【分析】（1）设AB a ，则BE =，根据GEF GBA ∽，列出比例式即可得出关于a 的方程，解方程求解即可，（2）根据,CD AB EF AB ∥∥可得,ECD EBA GEF GBA ∽∽，进而得出比例式，代入已知量，将等式变形即可求得AB ．（1）设AB a ，由∠DEC ＝30°，CD BG ⊥在Rt ABE △中，tan AB BE AEB ==∠ EG ＝4，4BG BE EG ∴=+=+EF BG ⊥AB EF ∴∥∴GEF GBA ∽EF EG AB BG∴=即2a =解得815a =+≈∴旗杆AB 的高度为15m ；（2）,CD AB EF AB ∥∥∴,ECD EBA GEF GBA ∽∽,CD CE EF EG AB BE AB BG∴== CE 的长为x ，EG 的长为y ，2CD EF ==22,x y AB BE AB BE y∴==+ 2AB x BE ⋅∴= 22y ABx AB y ∴=+ 整理得：2y AB y x =- 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，勾股定理，根据题意找到相似三角形是解题的关键．3、（1）A （16，0），B （-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【分析】（1）解一元二次方程x 2﹣15x ﹣16＝0，对称点A （16，0），根据直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，求出与y 轴交点C 为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ，求出OB =3312944OC =⨯=即可；（2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，利用勾股定理求出AC20=，BC，根据三角函数求出tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==，求出12054CD =⨯=，利用三角函数求出DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，再利用勾股定理求出点D （-3，8）即可；（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，先证四边形COAP 1为矩形，求出点P 1（16，12），再证△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，可得∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA =∠CAB ，可证△CAP 2∽△ACB ，先求三角函数值cos∠CAO =164205CO AC ==，再利用三角函数值cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，求出225CP =，得出点P 2（25,12）作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，先证△CP 3A ≌△COA （SAS ）再证△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===，求得4510033CA CP ==即可．【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=，解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，与y轴交点C为（0，12），∴tan∠OAC=123=164，∠OCA+∠OAC=90°，∵AC⊥BC，∴∠BCO+∠OCA=90°，∴∠BCO=∠OAC，∴tan∠BCO= tan∠OAC=3=4 OBOC，∴OB=33129 44OC=⨯=，∴点B（-9，0）；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，在Rt△AOC中，AC20=，在Rt△BOC中，∵tan∠CAD＝1204 CD CDAC==，∴12054CD=⨯=，∵sin∠BCO=93155 OBBC==，∴DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，∴CE4=，OE=OC-EC=12-4=8，∴点D（-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB，∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12，∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得22223224x y x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°，∴△CAP 4∽△ACB ，∵∠BAC +∠HAP 4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ，∴∠HAP 4=∠P 3AP 4，∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ，在△P 4P 3A 和△P 4HA 中，34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===， ∴4510033CA CP ==， ∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=-=．2【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）见解析；（21【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知， BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD ，∴BD AD =，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===．【点睛】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图第12题图第13题图第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)．答：乙船每小时航行203海里.。

2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

新版北师大初中数学九年级(下册)第一章直角三角形的边角关系练习题【含答案】

北师大版初中数学九（下）第一章直角三角形的边角关系分节练习(带答案)第1节锐角三角函数1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tan A ＝125，求AC . ★ 1.1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝54，BC ＝20，求△ABC 的周长和面积. ★ 1.2、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？2、【综合Ⅰ】在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求sin B ，cos B ，tan B . ★2.1【综合Ⅰ】已知∠A 是锐角，cos A ＝53，求sin A 和tan A . 2.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是中线，BC ＝8，CD ＝5，求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD .2.3【综合Ⅰ】如图，点P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（4，3），则sin α和cos α的值分别是（）A. 34，35B. 54，53C. 53，54D. 34，432.4、【综合Ⅲ】如右图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝8，BD ＝4，求tan A 的值. ☆第2、3节 30°，45°，60°角的三角函数值 & 三角函数的计算3、【基础题】计算：（1）sin 30°＋cos 45°；（2）2sin 60°＋2cos 60°－tan 45°.3.1、【综合Ⅱ】化简2)130(tan - ＝（） A. 331- B. 13- C. 133- D. 13-3.2、【综合Ⅱ】 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形4、【基础题】用计算器求下列锐角的三角函数值（结果保留4个有效数字）（1）sin 72°；（2）cos 36.43°；（3）tan 38° 24＇25＂.4.1、【基础题】如左下图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥AB 长12 m ，在C 处看桥两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60°，求B 、C 间的距离（结果精确到1 m ）.4.2、【基础题】如右图，AB ＝20 m ，∠CAB ＝50°，∠DAB ＝56°，求避雷针CD 的长度（结果精确到0.01 m ）5、【基础题】根据下列条件利用计算器求∠A 的度数（用度、分、秒表示）.（1）cos A ＝0.6753；（2）sin A ＝0.4553；（3）tan A ＝87.545.1、【基础题】一梯子斜靠在墙上，已知梯长4 m ，梯子位于地面上的一端离墙2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角.第4节解直角三角形6、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. ★（1）5＝a ，25＝c ；（2）34＝c ，∠A ＝60°第5节三角函数的应用7、【综合Ⅱ】如左下图，小李想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进50 m至B 处，测得仰角是60°，那么该塔有多高？（小李的身高忽略不计，结果精确到1 m ） ★7.1、【综合Ⅱ】如右上图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30º，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60º，则物体AB 的高度为（） ★B.10米7.2【综合Ⅱ】（2012年陕西数学中考20题）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向（点A B C 、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，cos 650.4226tan 65 2.1445︒≈︒≈，）8、【综合Ⅱ】如左下图，大楼AD 高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC （结果精确到0.01 m ）.8.1【基础题】如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α，在A 处测得D 点的仰角为β. 已知甲、乙两建筑物之间的距离BC 为m . 请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.2，则AB的长是_________. ☆9、【综合Ⅲ】如左下图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝39.1、【综合Ⅲ】如右上图，在四边形ABCD中，AD＝30 m，DC＝50 m，CB＝20 m，AB＝50 m，∠A＝60°，m）∠C＝60°，求此四边形ABCD的面积（结果精确到0.01 210、【综合Ⅰ】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. 求（1）A、C两港之间的距离（结果精确到0.1 km）；（2）确定C港在A港的什么方向.10.1、【综合Ⅲ】如图，一艘船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B此时在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离（结果保留根号）.第6节利用三角函数测高11、【综合Ⅱ】如图，∠MCE＝α，∠MDE＝β，AC＝BD＝a，AB＝b，那么物体MN的高度如何表示？九（下）第一章直角三角形的边角关系分节练习答案1、【答案】 AC ＝536 1.1、【答案】周长60，面积150. 1.2、【答案】相等 2、【答案】 sin B ＝54，cos B ＝53，tan B ＝34. 2.1【答案】 sin A ＝54，tan A ＝34. 2.2、【答案】 sin ∠ACD ＝54，cos ∠ACD ＝53，tan ∠ACD ＝34. 2.3【答案】选C 2.4、【答案】 tan A ＝22 3、【答案】（1）221＋；（2）0. 3.1、【答案】选A 3.2、【答案】选D 4、【答案】（1）sin 72°≈0.9511；（2）cos 36.43°≈0.8046；（3）tan 38° 24＇25＂≈0.79284.1、【答案】 BC ＝34≈7（m ） 4.2、【答案】 CD ≈5.82 m5、【答案】（1）∠A ≈47° 31＇21＂；（2）∠A ≈27° 5＇3＂；（3）∠A ≈89° 20＇44＂.5.1【答案】梯子与地面所成的锐角是51° 19＇4＂6、【答案】（1）5＝b ，∠A ＝∠B ＝45°；（2）∠B ＝30°，6＝a ，32＝b .7、【答案】 CD ≈43 m 7.1、【答案】选A 7.2【答案】 207米8、【答案】用方程来解，设AC ＝x ，则DE ＝x ，可列方程 tan 60°·x －tan 30°·x ＝30，解得x ＝153≈25.98， BC ＝153×tan 60°＝45.008.1【答案】 CD ＝BC ·tan α＝m ·tan α， AB ＝m ·（tan α－tan β）. 9、【答案】 33＋9.1【答案】四边形ABCD 的面积是1082.53 2m 10、【答案】（1）14.1 km ；（2）北偏东15°方向. 10.1、【答案】11、【答案】 MN ＝a b ＋－αββαtan tan tan tan。

难点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C=90º，那么cot A等于（）A．ACBCB．ACABC．BCACD．BCAB2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A．512B．125C．513D．12134、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米5、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为13BC =m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．C ．9mD ．6、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（）A B C ．23 D 7、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 是AC 边上的高，则下列选项中不能表示tan A 的是（）A ．BC AB B ．BD ADC ．CD BD D ．AB AC8、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（）A B ．1 C D ．29、在正方形网格中，△ABC 在网格中的位置如图，则sin B 的值为（）A B C D ．1210、如图，AB 是河堤横断面的迎水坡，堤高AC BC ＝1，则斜坡AB 的坡度为()A B C ．30° D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、比较大小：tan 46°_____cos 46°．2、已知α，β都是锐角，且满足1sin 02α-，则βα-=______．3、计算：cos 245°＋tan30°·sin60°－sin 245°＝________．4、计算"2sss60°sss60°−“ √2“sss45°sss60°”5、在ABC 中，75B ∠=︒，tan A =C ∠的度数是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”, 它建于 1996 年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物, 该记录一直保持到 2017年, 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图, 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．数据收集：这幢高楼共 12 层, 每层高约 2.8 米, 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 58, 塔底 B 处的俯角为 22.问题解决：求奉贤电视发射塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）．参考数据：sin220.37,cos220.93≈≈, tan220.40,sin580.85≈≈, cos580.53,tan58 1.60≈≈．根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．2、如图, 某种路灯灯柱 BC 垂直于地面, 与灯杆 AB 相连. 已知直线 AB 与直线 BC 的夹角是 76. 在地面点 D 处测得点 A 的仰角是 53, 点 B 仰角是 45, 点 A 与点 D 之间的距离为3.5 米．求：（1）点 A 到地面的距离；（2）AB 的长度．（精确到 0.1 米）（参考数据: sin530.8,cos530.6,sin760.97,cos760.24≈≈≈≈）3(02cos454π-︒+-．4、如图，上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛C 在北偏东60︒和北偏东45︒方向上，已知小岛C 周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．5、（1）计算：(2sin60︒ ；（2）先化简，再求值：()222211121a a a a a a +-÷++--+，其中a 满足2340a a --=．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴cot A=AC BC，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．4、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF ＝x ， ∵tan65°＝OF DF， ∴OF ＝x tan65°，∴BF ＝3+x ， ∵tan35°＝OF BF， ∴OF ＝（3+x ）tan35°，∴2.1x ＝0.7（3+x ），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15+1.5＝4.65，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．5、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果．【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．6、B【分析】先利用勾股定理求出BC 的长，然后再求tanA 的值．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，AB=3，AC ＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．7、D【分析】根据题意可推出△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tan A 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD 是AC 边上的高，∴△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，又∵∠A +∠C =90°，∠C +∠DBC =90°，∴∠A =∠DBC ，在Rt △ABC 中，tan A =BC AB，故A 选项不符合题意；在Rt △ABD 中，tan A =BD AD，故B 选项不符合题意；在Rt △BDC 中，tan A =tan∠DBC =CD BD ，故D 选项不符合题意；选项D 表示的是sin C ，故D 选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．8、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．9、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB=，进而得到最终答案．【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：AB =sinAD B AB ∴=== 故选：A ．【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB 的坡度为：AC BC，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠ACB ＝90°，则斜坡AB 的坡度为：AC BC == 故选：A ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．二、填空题1、＞【分析】根据tan 46°＞tan 45°=1＞cos 46°即可比较．【详解】∵46°＞45°∴tan 46°＞tan 45°=1∵1＞cos 46°∴tan 46°＞cos 46°．故答案为：＞．【点睛】此题主要考查三角函数值的大小比较，解题的关键是熟知三角函数的性质．2、15°【分析】根据非负数的性质得出1sin tan 12αβ==，，由特殊角的三角函数值求得α，β，计算即可求解．【详解】解：∵1sin 02α-=，∴1sin0tan102αβ-=-=，，∴1sin tan12αβ==，，∴=30α，=45β，∴βα-=45°－30°＝15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3、12【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：22cos45+tan30sin60sin45︒︒︒-︒=2212= .故答案为12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4、5 2【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．【详解】解：2sin60tan6045cos60︒︒︒︒122=132=-52=，故答案为：52．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．5、45°度【分析】由条件根据∠A的正切值求得∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．【详解】解：∵在△ABC中，tanA∴∠A=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查特殊角的正切值以及三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题1、168米【分析】作CE ⊥AB 于E ，则在Rt △BCE 中由正切关系可求得CE 的长，再在Rt △ACE 中，由正切关系可求得AE 的长，从而可求得AB 的长，即电视发射塔的高．【详解】由题意CD =12×2.8=33.6(米)作CE ⊥AB 于E ，如图所示则∠CEA =∠CEB =90°∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD∴∠CDB =∠DBE =∠CEB =90°∴四边形CDBE 是矩形∴BE =CD =33.6米∵∠ECB =22°，∠ACE =58°在Rt △BCE 中，33.684tan 220.40BE CE ===︒（米）在Rt △ACE 中，tan58=84 1.60=134.4AE CE =︒⨯(米)∴AB =AE +BE =134.4+33.6= 168(米)即电视发射塔的高度为168米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，关键是理解题中的仰角、俯角的含义，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形来解决．2、（1）2.8米；（2）AB 的长度为0.6米【分析】（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，用三角函数即可得；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，根据90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，证明四边形AFCH 是矩形，则AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，根据三角形内角和定理得45DBC BDC ∠=∠=︒，即BC DC x ==，根据三角函数得DF =2.1米，( 2.1)FC AH x ==-米，在Rt AHB 中，根据三角函数得tan 4.04ABH ∠≈，则 4.04AH BH ≈，即可得 2.66x ≈，则0.14BH ≈，根据三角函数即可得0.6AB ≈米．【详解】解：（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，sin53 3.50.8 2.8AF AD =︒=⨯≈（米），即点A 到地面的距离为2.8米；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，在四边形AFCH 中，90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AFCH 是矩形，∴AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，∵45DBC ∠=︒，90BCD ∠=︒，∴180180459045BDC DCB BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴45DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC x ==（米），∴cos 3.50.6 2.1DF AD ADF =∠=⨯=（米），∴( 2.1)FC AH x ==-米，∵在Rt AHB 中，sin 0.97tan 4.04cos 0.24AH ABF ABH BH ABF ∠∠==≈≈∠， ∴ 4.04AH BH ≈，∴ 2.1 4.04(2.8)x x -≈⨯-2.111.312 4.04x x -≈-5.0413.412x ≈ 2.66x ≈，∴ 2.8 2.660.14BH =-≈（米）， ∵cos cos 760.24BH ABH AB∠=∠︒=≈， ∴0.140.6cos 760.240.24BH BH AB ≈≈≈≈∠︒（米）．【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．3【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．【详解】(02cos454π-︒+-124=-14=3．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．4、有触礁的危险，见解析【分析】从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，设CE 的长为x 海里，根据锐角三角函数的概念求出x 的值，比较即可．【详解】解：有触礁的危险．理由：从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，根据题意可得：AB =20海里，∠CAE =30°，∠CBE =45°，设CE 的长为x 海里，在Rt △CBE 中：∵∠CBE =45°，∴BE =CE =x 海里，∴AE =AB +BE =（20+x ）海里，在Rt △CAE 中：∵∠CAE =30°，∴tan 30°=20x x =+解得：x ，＜30，∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．5、（1）0，（2）31a a +-，73【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再根据二次根式运算法则计算即可；（2）先运用分式运算法则进行化简，再解方程代入求值即可．【详解】解：（1）(2sin 60︒=2=-=0（2）22221(1)121a a a a a a +-÷++--+ =22(1)1(1)(1)11(1)a a a a a a ++-⨯+-+- =2111a a a ++-- =31a a +- 解2340a a --=方程得，11a =-，24a =，当11a =-时，分式无意义，把24a =代入，原式=437413+=- 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和二次根式运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用相关法则进行计算，熟记三角函数值．。

北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系第一章达标测试卷(有答案)

北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系第一章达标测试卷（有答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．cos 30°的值为( ) A.12 B.32 C.22 D.332．如图，Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，那么BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．45(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 等于( )A.53B.23C.253D.524．假定3tan (α＋10°)＝1，那么锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．cos θ＝0.253 4，那么锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD ＝b ，那么以下求旗杆CD 长的式子中正确的选项是( )A．CD＝b sin 33°＋a B．CD＝b cos 33°＋aC．CD＝b tan 33°＋a D．CD＝btan 33°＋a(第6题) (第7题) 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么∠ABC的正切值是()A．2 B.255 C.55 D.128．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，那么BC等于()A．2 B. 6 C．2 2 D．1＋ 39．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼行进60 m到C点，又测得仰角为45°，那么该高楼的高度大约为()A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m(第9题) (第10题) 10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钓上的状况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 3 m，那么鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．α为等腰直角三角形的一个锐角，那么tan α＝________．12．假定正比例函数y ＝k x 的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，那么k ＝________． 13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝________.14．某梯子与空中所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以平安地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m 的梯子，那么运用这个梯子最高可以平安爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子，当他沿山坡行进50 m 时，他又看见一个标注海拔70 m 的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标区分是(0，23)，(2，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，那么顶点B 的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶局部AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5m ，此时太阳光线与空中的夹角是52°，那么AB 的长约为__________ (结果准确到0.1 m ．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，运动时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离空中0.3 m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，那么在A ′位置，踏板与空中的距离约为________m (sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果准确到0.01 m )．19．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n m i l e 的速度沿南偏西50°方向匀速飞行，1 h 后抵达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，那么灯塔C 与码头B 的距离约是________n m i l e(结果准确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，衔接BE ，那么tan E ＝________.三、解答题(21题8分，26题12分，其他每题10分，共60分)21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 019)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12； (2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－〔tan 60°－2〕2. 22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边区分为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．(第23题)24．为树立〝宜居宜业宜游〞山水园林城市，正在对某城市河段停止区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西南方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保管根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速飞行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．假定该渔船的速度为30 n m i l e/h，在此飞行进程中，该渔船从B处末尾飞行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段蜿蜒的高架路途，线段AB表示高架路途旁的一排居民楼．点A到MN的距离为15 m，BA的延伸线与MN 相交于点D，且∠BDN＝30°.假定汽车在高架路途下行驶时，周围39 m以内会遭到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.假设汽车沿着从M到N的方向在MN下行驶，当汽车抵达点P处时，噪音末尾影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架路途旁装置隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么关于这一排居民楼，高架路途旁装置的隔音板至少需求多少米长？(结果准确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题)答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与空中的夹角是52°，且太阳光线是平行的，∴tan 52°＝AB BE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直空中于点C ，延伸OA 交空中于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形，∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)．又AB ＝0.3 m ，∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m. 19．2420．23 点拨：延伸CA 到F 使AF ＝AE ，衔接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .依据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2.22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，那么b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k .∴sin B ＝b c ＝2k 13k＝21313， cos B ＝a c ＝3k 13k＝31313， tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB .∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，那么CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD ＝2.∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝〔4x 〕2＋〔2x 〕2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)依据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°， ∴∠CAD ＝45°.∴∠ACD ＝∠CAD .∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m.25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mi l e.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠P AC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠P AC ＝CP AP ＝33.∴CP ＝33x n mi l e. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠P AB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x n mi l e.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mi l e)，∴33x ＋x ＝15.解得x ＝15〔3－3〕2.∴PB ＝15〔3－3〕2n mi l e. ∴飞行时间为15〔3－3〕2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处末尾飞行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，衔接P A .(第26题) 由得AP ＝39 m ，在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H 的距离为36 m.(2)由题意，隔音板位置应从P 到Q ，在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝1533＝153(m)；在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架路途旁装置的隔音板至少需求89 m 长．。

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第一章直角三角形基础性测试卷
班级姓名学号成绩
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值
是（）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
2．在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，13
AC AB =，则cos A 等于（）
A ．3
B ．13
C ．
D ．4
3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕
着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D '处，那么
tan BAD '∠等于（）
A ．1
B
C
D ．4．如图.一个小球由地面沿着坡度i =1∶2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（）
A ．5m
B ．
C ．
D ．103
m 5．如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是30°.若观察
所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m ，当时的水位是＋
3m ，则观察所A 和船只B 的水平距离BC 是（）
A ．50 m
B ．350 m
C ．53 m
D ．353m
6．如图，两条宽度均为40 m 的国际公路相交成α角，那么这两条
公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）
A ．
α
sin 1600（m 2） B ．αcos 1600（m 2） C ．1600sin α（m 2） D ．1600cos α（m 2） 7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植
草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草
皮至少需要（）
A ．450a 元
B ．225a 元
C ．150a 元
D ．300a 元
8．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（）
A ．甲的最高
B ．乙的最高
C ．丙的最高
D ．一样高
（第5
题图）
（第6题图）（第7题图）
二、填空题（每小题3分，满分21分）
1．在ABC ∆中，90C ∠= 若tan B =2，1a =，则b =．
2．在Rt ABC ∆中，3BC =，AC =90C ∠= ，则A ∠=．
3．在ABC ∆中，90C ∠= ，tan 2A =，则sin cos A A += ．
4．在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，4sin 5
A =，20BC =，则ABC ∆的面积为． 5．如图所示，在高2 m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m ．
6．如图所示，从位于O 处的某哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600 m 的A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间，快艇到达哨所东南方向的B 处，则A ，B 的距离为m ．
7．如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为．
三、解答题（满分55分）
1．在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠= ，10AC =，D 是AC 上一点，若
1tan 5
DBC ∠=，求AD 的长．（9分）
2．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45 ，如果梯子的底端O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60 ，求此保管室的宽度AB 的长．（10分）
3．如图，在ABC ∆中，15AB =，BC =14，84ABC S ∆=．求t a n C ∠的值。

（12分）
4．一人由山底爬到山顶，他先爬了29 的山坡200米，接着又爬了43 的山坡
100米，到达山顶，求从山底到山顶的高度。

（精确到1m ）（12分）
5．如图，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同进施工，从AC 上的点B 取∠ABD ＝135°，BD ＝1200米，∠BDE ＝45°，那么开挖点E 离D 多远（精确到0.1米）正好能使A 、C 、E 成一条直线？（12分）
第一章直角三角形的边角关系基础性测试卷答案
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．C 8．B
二、填空题（每小题3分，满分21分）．
1.2
2.60
3.5
4.150 5．
322+ 6．300（31+） 7．32h 三、解答题（满分55分）
1.8AD =
2.)5
12AB =米 3.
12tan 5C ∠= 4.165米 5．开挖点E 离D 应为848.4米。