高考数学一轮复习 2-3函数的奇偶性与周期性 理
函数的奇偶性与周期性-专项训练-2025届高三数学一轮复习(含解析)
2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【A级 基础巩固】一、单选题1．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝2x B．y＝xC．y＝|x| D．y＝－x2＋12．设函数f(x)＝x－2x＋2，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(－1)＝－2，则f(2 025)＝( )A．2 B．0C．－2 D．－44．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )A．3 B．5C．6 D．75．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)6．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则m＝( ) A．2 B．4C．±2 D．±47．已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( )A.(12，＋∞)B.(－∞，12)C.(－∞，12)∪(34，＋∞)D.(0，12)∪(34，＋∞)8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )A．0 B．－1C．－2 D．2二、多选题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x10．已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－711.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，则下列说法正确的是( )A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的图象关于点(2,0)对称D．f(x)在(－5,5)内至少有5个零点12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )A．f(2 021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)三、填空题13．已知函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，则a的值等于_________.14．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_________.15．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_________.16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝__________.17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(12)＝0，则f(x)>0的解集为__________________.【B级 能力提升】1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )B．f(x)是周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数3．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x的取值范围是( )A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )A．－3 B．－2C．0 D．15．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________.6．函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．参考答案【A级 基础巩固】1．[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B 选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.2．[解析] 化简函数f(x)＝1－4x＋2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．由题意得，f(x)＝1－4x＋2.对A，f(x－2)－1＝－4x是奇函数；对B，f(x－2)＋1＝2－4x，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C，f(x＋2)－1＝－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数；对D，f(x＋2)＋1＝2－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数．故选A.3．[解析] 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4．[解析] 函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－1x＋3＋sinx＋x3＋1x＋3＝－sin x－x3－1x＋sin x＋x3＋1x＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.5．[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析] 因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋1＋4x2)为奇函数，即ln[－mx＋1＋4·(－x)2]＝－ln(mx＋1＋4x2)，解得m＝±2.故选C.7．[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>34或a<12，故选C.8．[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.二、多选题9．[解析] 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．10．[解析] 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.11.[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)＝sin(3π2x)，满足f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝sin[3π2(x＋2)]＝sin (3π2x＋3π)＝－sin(3π2x)＝－f(x)，而f(x)＝sin(3π2x)的最小正周期为43，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)内f(x)至少有－4，－2,0,2,4这5个零点，故D正确．故选BCD.12．[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．三、填空题13．[解析] 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x －2－x lg a＋2－x－2x lg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴lg a＝1，∴a＝10.14．[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.15．[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.16．[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．[解析] 由已知可构造y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为(－12，0)∪(12，＋∞).【B级 能力提升】1．[解析] 因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．[解析] 因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.3．[解析] 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得Error!或Error!或x＝0.解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.4．[解析] 因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.5．[解析] 解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－(a2－2)＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.6．[解析] (1)若函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，则f(－x)＝－ax＋bx2＋1＝－f(x)＝－ax＋bx2＋1解得b＝0，又∵f(12)＝25.∴12a(12)2＋1＝25，解得a＝1，故f(x)＝xx2＋1.(2)证明：任取区间(－1,1)上的两个实数m，n，且m<n，则f(m)－f(n)＝mm2＋1－nn2＋1＝(m－n)(1－mn)(m2＋1)(n2＋1).∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，∴f(m)－f(n)<0，即f(m)<f(n)．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．7．[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.。
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 函数的奇偶性、周期性与对称性
f ( x ＋ T )＝ f (做周期函数.非零
常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数 f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫
做 f ( x )的⑩
注意
最小
正周期.
并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
1
f(x)＝ ＋｜x｜
4. 已知函数 f ( x )为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f ( x )＝ x ( x －1)，则当 x ＞0时，
f ( x )＝ x ( x ＋1)
.
5. 已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝ x 2－4
x ，则当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝
x 2－12 x ＋32
.
[解析] 设 x ∈[4，6)，则 x －4∈[0，2)，则 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x
＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函数 f ( x )的周期为2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以当 x
a ｜；
(2)若函数 f ( x )的图象既关于点( a ，0)对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的周
期为2｜ b － a ｜；
(3)若函数 f ( x )的图象既关于直线 x ＝ a 对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的
周期为4｜ b － a ｜.
二、基础题练习
，那么
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
2015届高考数学一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性
2015届高考数学一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化一、选择题1．(文)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2x C ．y ＝cos2x D ．y ＝1|x |－1[答案] C[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R |x ≠±1}不是R ，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．(文)若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋f (3)，∵f (x )是奇函数，且f (3)＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝12.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2013·湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法． ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，所以g (1)＝3.故选B. 4．(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2[答案] D[解析] 由f (x ＋α)＝f (x ＋3α)得f (x )＝f (x ＋2α)， ∴f (x )周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2.(理)(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] D[解析] 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.∵f (x )在[－1,0]上为减函数，f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D. 5．(2013·宁夏育才中学模拟)若奇函数f (x )在R 上是增函数，且a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )－f (b )>0 B ．f (a )＋f (b )<0 C ．f (a )＋f (b )>0 D ．f (a )－f (b )<0[答案] C[解析] 由a ＋b >0得a >－b ，因为f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a )>f (－b )，即f (a )>－f (b )，故选C.6．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[0,6]上零点的个数有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个[答案] B[解析] 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则有f (0)＝f (1)＝0，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以函数y ＝f (x )在区间[0,6]上有f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，所以有7个．二、填空题7．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )>0.或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0.观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x ＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x ＋a )＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.9．(2013·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②④[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两极为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.三、解答题10．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)解：对任意x 1、x 2∈[－3,3]，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.∴f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.能力拓展提升一、选择题11．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)[答案] B[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12．(文)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2[答案] C[解析] 由已知：g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )、f (x )分别为R 上的奇、偶函数，∴－g (x )＝f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期T ＝4，∴f (2014)＝f (2)＝g (－1)＝－g (1)＝－2，故选C.(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2015)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2015)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，13．(文)(2012·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] C[解析] f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得，x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得，x 无解； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得，x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.(理)(2013·芜湖一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P (x ，y )满足x 24＋y2＝1，若函数y ＝f (x )的值域是(－1,1)，则f (x )一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．单调函数D ．幂函数[答案] A[解析] 设P (x ，y )在函数图象上，则由条件知P ′(－x ，－y )也在函数图象上，所以f (－x )＝－f (x )，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2(x －14)2＋78x>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应填②④.15．(2013·吉林质检)已知函数f (x )满足下面关系： (1)f (x ＋π2)＝f (x －π2)；(2)当x ∈(0，π]时，f (x )＝－cos x . 给出下列命题： ①函数f (x )是周期函数； ②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于y 轴对称； ④方程f (x )＝lg|x |解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)． [答案] ①④[解析] 由f (x ＋π2)＝f (x －π2)，可得f (x ＋π)＝f (x )，即可得函数f (x )是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f (0)＝f (π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f (x )不是奇函数，即命题②不正确；由f (－π3)＝f (2π3)＝－cos 2π3＝12≠f (π3)＝－12，可得函数f (x )不是偶函数，其函数图象不关于y 轴对称，即命题③不正确；函数f (x )与函数y ＝lg|x |在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f (x )＝lg|x |有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.三、解答题16．(文)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由；(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，当－3<x <－2时，求f (x )的解析式． [解析] (1)假设函数f (x )＝x 属于集合M ，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立，即x ＋T ＝Tx 成立．令x ＝0，得T ＝0，与题目矛盾．故f (x )∉M .(2)f (x )∈M ，且T ＝2，则对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )． 设－3<x <－2，则1<x ＋4<2. 又f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，且当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，故当－3<x <－2时，f (x )＝14[x ＋4＋ln(x ＋4)]．(理)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内， 令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.考纲要求结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义． 补充说明1．牢记：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；奇函数若在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；奇偶函数单调性，图象对称性．2．把握四个考向：奇偶性判断；由奇偶性求参数值；求周期；函数性质的综合应用． 3．突破三个难点综合利用奇偶性、周期性求函数值；抽象函数性质讨论；函数不等式求解． 备选习题1．(2013·济南模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110[答案] B[解析] 由f (x ＋6)＝f (x )知该函数为周期函数， 所以f (107.5)＝(6×18－12)＝f (－12)＝－1f (52)＝－1f (－52)＝－1－10＝110.2．(2013·东北三省四市联考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (4)＝4，则f (2012)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16[答案] B[解析] 由y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称可知，y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即为奇函数．令x ＝－3可知，f (3)＋f (－3)＝2f (3)，进而f (－3)＝f (3)，又f (－3)＝－f (3)，可知f (3)＝0，所以f (6＋x )＋f (x )＝0，可知f (x )是一个周期为12的周期函数，所以f (2012)＝f (168×12－4)＝f (－4)＝－f (4)＝－4，故选B.3．(2013·福州质检)已知函数f (x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)[答案] C[解析] ∵函数f (x ＋1)是定义在R 上的奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即得函数f (x )的对称中心为(1,0)，又由对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0恒成立，可得函数为R 上的减函数，由此可得不等式f (x )<0的解为x >1，则由f (1－x )<0可得1－x >1，解得x <0，即不等式f (1－x )<0的解集为(－∞，0)，故应选C.4．(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T 2B ．0 C.T 2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T 2)＝0，∴f (－T2)＝0.5．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c [答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.。
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对 称中心是( ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数 y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到， 故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).
周期性求f(1)+f(2)+…+f(2 012).
(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),
列方程
组求解.
【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12) =…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
(2)因为f(x)的周期为2,所以
即
又因为
所以
∴3a+2b=-2
①,
又因为f(-1)=f(1),所以
即b=-2a ②,
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性 新人教A版
2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114C ．1D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)函数f (x )(x ∈R )是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2014)的值为( ) A ．a B ．－a C ．0 D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T2B ．0 C.T2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T 2)＝0，∴f (－T2)＝0.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )[答案] C[解析] 函数f (x )＝ln(x ＋1)的图象由f (x )＝ln x 的图象向左平移1个单位得到，选取x >0的部分，然后作关于y 轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－f x ，则f (2013)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．－3－ 3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－f x ＋3＝1－－1f x ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.f (2013)＝f (335×6＋3)＝f (3)，而f (3)＝f (0＋3)＝－1f 0＝－12－3＝－2－ 3.6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( ) A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)， ∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)(2011·湖南文)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.[答案] 6[解析] 由g (x )＝f (x )＋9知g (－2)＝f (－2)＋9＝3， ∴f (－2)＝－6，而由于f (x )是奇函数， 所以f (2)＝－f (－2)＝－(－6)＝6.8．(文)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R )是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝0. ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.[点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg a ＋2x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]2π3[解析] ∵f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝sin(3x ＋φ)＋3cos(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴k ＝1时，φ＝2π3.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－12，∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14 x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2. (2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤0，22－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227.能力拓展提升11.(文)(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．(理)(2012·东北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝－f (x )，且当x ∈[0,1]时有f (x )＝－x 2＋1，当x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2，f (x )＝0在[－1,5]上有5个根x i (i ＝1,2,3,4,5)，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] D[解析] ∵f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∵x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2＋1， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 2＋1， 即x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1， 又x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2， ∴x ∈[－2，－1)时，f (x )＝－x －2，∴x ∈[2,3)时，f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－2＝2－x .从而可知在[－1,5]上有f (－1)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0，f (3)＝0，f (5)＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝10，故选D.12．(2012·河南洛阳统考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，∴当x∈(－∞，0)时，f (x )＝－lg(－x )，且f (0)＝0，∴f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－lg －x >0，解得x >1或－1<x <0.13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．若函数f (x )＝a －e x1＋aex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x＋af (x )＋f (－x )＝a －e xa ＋e x ＋1＋ae x ae x －11＋ae x e x＋a ＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae x e x＋a ＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； ∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )， ∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x . 由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log ax 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)， ∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x)D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.3．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与f (x )的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x <0，f －x ， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D.4．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x x ⊕2－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B[解析] f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.5．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是 定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1 ＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.
• 解析 当x＜0时，则－x＞0， • ∴f(－x)＝(－x)(1－x)．
• 又f(x)为奇函数， ∴f(x)＝x(1－x)． • 答案 x(1－x)
•( )
• A．－2 B．2 C．－98 D．98 • 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， • ∴f(x)是以4为周期的周期函数， • ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
• 又f(x)为奇函数， • ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， • 即f(2 015)＝－2. .
• －[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；
• |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，
• |f(x)g(x)|是偶函数，D错．
• 答案 C
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4) ＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015) 等于
.
基考课础点堂诊突总断破结
考点一 函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xlg(x＋ x2＋1)；
(2)f(x)＝(1－x) 11－＋xx；
(3)f(x)＝－ x2＋x2＋ 2x－2x＋ 1 1x＜x＞ 0；0，
(4)f(x)＝|x＋43－|－x23.
.
基考课础点堂诊突总断破结
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 解析 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝ －f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝ － f(x)g(x) ＝ － [f(x)·g(x)] ， f(x)g(x) 是 奇 函 数 ， A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)， |f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－ f(x)|g(x)|＝
• (×)
• (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝
.
f(x)关于直线x＝a对称． 基考课础点堂诊突总断破结
2．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是
()
A．y＝2x－21x
B．y＝x3sin x
C．y＝2cos x＋1
D．y＝x2＋2x
解析 易知 y＝2x－21x是奇函数，y＝x3sin x 和 y＝2cos x＋1
是偶函数，y＝x2＋2x 是非奇非偶函数，故选 A.
答案 A
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x) 的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是 偶函数，则下列结论中正确的是 •( )
• A．f(x)g(x)是偶函数 • B．|f(x)|g(x)是奇函数 • C．f(x)|g(x)|是奇函数 • D．|f(x)g(x)|是奇函数
解 (1)∵ x2＋1＞|x|≥0， ∴函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 又 f(－x)＝(－x)lg(－x＋ －x2＋1) ＝－xlg( x2＋1－x) ＝xlg( x2＋1＋x)＝f(x)． 即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)当且仅当11＋ －xx≥0 时函数有意义， ∴－1≤x＜1， 由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数．
如果对于函数f(x)的定
偶函数
义域内任意f(－一x)个＝fx(x，)
都有
，那
么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定 义域内任意f(－一x)＝个－xf，(x)
奇函数 都有
，
那么函数f(x)是. 奇基考课函础点堂诊突总断破结
图象特点
关于 y轴 对 称
原点
关于 对 称
• 2．奇(偶)函数的性质
• (1)奇函数在关于原点对称的区相间同上的单 调性 ，偶函数在关于原点相反对称的区间上 的单调性 (填“相同”、“相反”)．
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶 性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究 函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正 周期的含义，会判断、应用简单函数的周 期性．
.
基考课础点堂诊突总断破结
知识梳理
• 1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
.
基考课础点堂诊突总断破结
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． (4)∵4|x－＋x32|≥≠03， ⇒－2≤x≤2 且 x≠0， ∴函数的定义域关于原点对称．
∴f(x)＝x＋43－－x23＝ 4－x x2，
又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函.数．
基考课础点堂诊突总断破结
• 规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个 必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是 函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以 首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具 有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可 以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x) ＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函 数))是否成立．
• (2)在公共定义域内
• ①两个奇函数的和奇函函数数是
奇函偶函数数的积函数是
．
，两个
• ② 两 个 偶 函 数 的 和 偶函函数数 、 积 函 数
是
．
奇函数
• ③一个奇函数，一个偶函数的积函数
是
．
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 3．周期性
• (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存 在一个非零常数T，使得当x取定义域内f(x的) 任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函 数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周 期．
• 存在(2一)最个最小小正周期：如果在周期函数f(x)的 所有周期中
•
的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．
.
基考课础点堂诊突总断破结
• 诊断自测
• 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
• (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． • (×)
• (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图 象一定过原点．