灰色系统预测模型GM

灰色系统预测模型GM重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。

1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。

1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。

1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。

目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。

国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。

灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

2灰色系统的基本原理2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。

系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。

灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。

“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。

2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。

“差异”是信息，凡信息必有差异。

公理2：解的非唯一性原理。

信息不完全，不明确地解是非唯一的。

公理3：最少信息原理。

灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。

公理4：认知根据原理。

信息是认知的根据。

公理5：新信息优先原理。

新信息对认知的作用大于老信息。

公理6：灰性不灭原理。

“信息不完全”是绝对的。

2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。

以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

灰色关联分析灰色统计 灰色聚类3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。

这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。

3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。

考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(X X X X ，其数据见下表：将上表数据作图得上图表明原始数据)0(X 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。

如果将原始数据作累加生成，记第K 个累加生成为)()1(K X ,并且1)1()1()0()1(==X X321)2()1()2()0()0()1(=+=+=X X X5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(=++=++=X X X X5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(=+++=+++=X X X X X得到数据如下表所示上图表明生成数列X 是单调递增数列。

3.2灰色系统预测模型建立 1. 数列预测GM （1，1）模型灰色系统理论的微分方程成为Gm 模型，G 表示gray （灰色），m 表示model （模型），Gm （1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。

Gm （1，1）建模过程和机理如下：记原始数据序列)0(X 为非负序列其中，n k k x ,,2,1,0)()0( =≥ 其相应的生成数据序列为)1(X其中，n k i x k x k i ,,2,1,)()(1)0()1( ==∑=)1(Z 为)1(X 的紧邻均值生成序列{})(,),2(),1()1()1()1()1(n z z z Z =其中，n k k x k x k Z ,2,1),1(5.0)(5.0)()1()1()1(=-+=称b k az k x =+)()()1()0(为Gm(1,1)模型，其中a ，b 是需要通过建模求解的参数，若T =),(b a a 为参数列，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)()3()2()0()0()0(n x x x Y ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(z z z z B则求微分方程b k az k x =+)()()1()0(的最小二乘估计系数列，满足Y B B B aT T 1)(ˆ-= 称b ax dtdx =+)1()1(为灰微分方程，b k az k x =+)()()1()0(的白化方程，也叫影子方程。

如上所述，则有1.白化方程b ax dtdx =+)1()1(的解或称时间响应函数为 abe a b x t xat +-=-))0(()(ˆ)1()1( 2.Gm(1,1)灰微分方程b k az k x =+)()()1()0(的时间响应序列为n k abe a b x k xak ,,2,1,))0(()1(ˆ)1()1( =+-=+- ()()()()()()()()(){}n x x x x X 00000,...,3,2,1=()()()()()()()()(){}n x x x x X 11111,..,.3,2,1=3.取)1()0()0()1(x x =，则n k abe a b x k xak ,,2,1,))1(()1(ˆ)0()1( =+-=+- 4.还原值n k k x k x k x,,2,1),(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0( =-+=+ 2. 系统综合预测GM （1，N ）模型P1344灰色系统模型的检验定义1. 设原始序列{})(,),2(),1()0()0()0()0(n x x x X =相应的模型模拟序列为{})(ˆ,),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(n x x x X= 残差序列{})(),2(),1()0(n εεεε ={})(ˆ)(,),2(ˆ)2(),1(ˆ)1()0()0()0()0()0()0(n x n x x x xx ---= 相对误差序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∆)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(n x n x x εεε{}nk 1∆=1.对于k ＜n,称)()()0(k x k k ε=∆为k 点模拟相对误差，称)()()0(n x n n ε=∆为滤波相对误差，称∑=∆=∆nk k n 11为平均模拟相对误差；2.称∆-1为平均相对精度，n ∆-1为滤波精度；3.给定α，当α<∆，且α<∆n 成立时，称模型为残差合格模型。

定义2设)0(X 为原始序列，)0(ˆX 为相应的模拟误差序列，ε为)0(X 与)0(ˆX的绝对关联度，若对于给定的00,0εεε>>，则称模型为关联合格模型。

定义3设)0(X 为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟误差序列，)0(ε为残差序列。

∑==n k k x n x 1)0()(1为)0(X 的均值， 21)0(21))((1x k x n s n k -=∑=为)0(x 的方差，∑==nk k n 1)(1εε为残差均值，∑=-=n k k n s 1222))((1εε为残差方差，1.称12s sc =为均方差比值；对于给定的00>c ，当0c c <时，称模型为均方差比合格模型。

2.称()16745.0)(s k p p <-=εε为小误差概率，对于给定的00>p ,当0p p >时，称模型为小误差概率合格模型。

精度检验等级参照表一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

5应用举例例 1 设原始序列{})5(),4(),3(),2(),1()0()0()0()0()0()0(x x x x x X =()679.3,390.3,337.3,278.3,874.2=建立Gm(1,1)模型，并进行检验。

解：1）对)0(X 作1-AGO ，得[D 为)0(X 的一次累加生成算子，记为1-AGO ，A cumulated Generating Operator]{})5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(x x x x x X =()558.16,579.12,489.9,152.6,874.2=2)对)1(X 作紧邻均值生成，令)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k Z {})5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(z z z z z Z =()718.14,84.11,820.7,513.4,874.2=于是，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1718.14184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(z z z z B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2()0()0()0()0(x x x x Y⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=T 1718.14184.111820.71513.41111718.14184.11820.7513.4B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4235.38235.38221.423 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--T832371.11665542.0165542.0017318.04235.38235.38221.423)(11B B⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=221.423235.38235.384969.2301221.423235.38235.384235.384221.42312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡==T -T 679.3390.3337.3278.31111718.14184.11820.7513.4832371.11665542.0165542.0017318.0)(ˆ1Y B B B a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=679.3390.3337.3278.3604076.10019051.0537833.0085280.1089344.0028143.0030115.0087386.0 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=065318.3037156.03）确定模型065318.3037156.0)1()1(=-x dtdx 及时间响应式abe a b x k xak +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( 4986.823728.85037156.0-=k e 4)求)1(X 的模拟值{})5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(),1(ˆˆ)1()1()1()1()1()1(x x x xx X = =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538) 5)还原出)0(X 的模拟值，由)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x-+=+ 得 {})5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0()0()0(x x x x x X= =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128） 6）误差检验残差平方和[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙==T )5()4()3()2()5()4()3()2(εεεεεεεεεεs []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--∙--=0662.00911.00171.00462.00662.00911.00171.00462.0 =0.0151085 平均相对误差%)80.1%69.2%51.0%41.1(414151+++=∆=∆∑=k k=1.0625%计算X 与Xˆ的灰色关联度 ))1()5((21)1()((42x x x k x S k -+-=∑= =)874.2679.3(21)874.2390.3()874.2337.3()874.2278.3(-+-+-+-0.40250.5160.4630.404+++==1.7855)1(ˆ)5(ˆ(21)1(ˆ)(ˆ(ˆ42x x x k x Sk -+-=∑= )874.26128.3(21)874.24811.3()874.23541.3()874.22318.3(-+-+-+-=3694.06071.04801.03578.0+++==1.8144[][]∑=---+---=-42))1(ˆ)5(ˆ())1()5((21))1(ˆ)(ˆ())1()((ˆk x x x x x k x x k x S S)4025.03694.0(21)516.06071.0()463.04801.0()404.03578.0(-+-+-+-=01655.0091.00171.00462.0-++-==0.0453564525.45999.404535.08144.17855.118144.17855.11ˆˆ1ˆ1=+++++=-+++++=S S SS S S ε=0.9902＞0.90精度为一级，可以用4986.823728.85)1(ˆ037156.0)1(-=+k e k x )(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x-+=+预测。