凑微分法解不定积分个人用讲义
一、凑微分法
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
ln | sec x tan x | C.
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
1
定理 :
设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
e
x2
sin x dx , dx , x
不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
§3-3 凑微分积分法共7页word资料
§3-3 凑微分积分法求原函数100(23)d +⎰x x 时，若用分项积分法，就得先把100)32(+x 按二项式公式展开成101项之和，然后逐项求积分.这显然是太麻烦了.假若用下面的做法，就会非常简单.100(23)d x x +⎰1001(23)d(23)2x x =++⎰101101)32(2021)32(101121+=+⋅=x x 1d d(23)2x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦[把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]一般地，1111()d (0,1)()d()()1ax b x a ax b ax b ax b a a μμμμμ++≠≠-=++=++⎰⎰1d d()x ax b a ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦[把()ax b +看成x 套用积分公式(2)] 例4x =121(23)d(23)2x x -++⎰32)32(22121+=+⋅=x x . [把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]例5 11sin(23)d sin(23)d(23)cos(23)22x x x x x +=++=-+⎰⎰[把(23)x +看成x 套用积分公式⑸]下面两例，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.例6 x ⎰=(恒等变换)1(2d 2x x ⎡+⎣⎰(再分项积分) 13(222x x x =+-⎰312213(23)d (23)d 22x x x x =+-+⎰⎰ 312213(23)d(23)(23)d(23)44x x x x =++-++⎰⎰532211(23)(23)102x x =+-+ (凑微分) (凑微分) (套用积分公式)请你认真看上面的演算，然后合上书再做一遍.例7 211111sin d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =-=-=-⎰⎰⎰,211111cos d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =+=+=+⎰⎰⎰.（请注意．．．，这是固定的积分方法，都用倍角公式） 凑微分积分法用的是积分规则[][][()]()()()d ()d ()()u u x f u x u x x f u u F u F u x ='=========⎰⎰查表它对应于微分法中的链式规则(也是上述积分规则的证明)：[][]()d ()()d ()()()d ()()d u u x F u x F u u x f u u x x f u x u x x ='''===第 113 页你从下面的例题中，可以进一步体会到凑微分积分法的含义.其中的中间变量)(x u u =是记在脑子里，不需要写出来.例8 23232(23)311ed e d(23)e 22x u x x x x x =++++=+=====⎰⎰，(23)1111d d(23)ln 23232232u x x x x x x =+=+=====+++⎰⎰，1)x x x ==-(1)arcsin(1)u x x =-====-，(212)21111d d(1)arctan522(1)22u x x x x x x x =++=+====++++⎰⎰， 22222111e d e (2)d e d()e 222x x x x x x x x x ===⎰⎰⎰(把2x 看作u 套用公式)， 111tan d sin d d(cos )d(cos )ln cos cos cos cos x x x x x x x xx x ==-=-=-⎰⎰⎰⎰，11cot d cos d d(sin )ln sin sin sin x x x x x x x x===⎰⎰⎰. 下面几个例题，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.例9()11111d d ln |5|ln |3|(3)(5)2532x x x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪----⎝⎭⎰⎰35ln 21--=x x . （裂项，恒等变换）例1015353d d ln |5|ln |3|(3)(5)25322x x x x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪----⎝⎭⎰⎰.（裂项，恒等变换） 例112211111d (0)d d ()()2x a x x a xa x a x a a x a x ⎛⎫>==+ ⎪-+-+-⎝⎭⎰⎰⎰（裂项，恒等变换）()1111d()d()ln ln 22a x a x a x a x a a x a x a ⎡⎤=+--=+--⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰1ln .2a x a a x +=-特别(1)a =，有2111d ln 121xx x x+=--⎰. 例12 22(sin )21cos d(sin )d 11sec d d d ln cos cos 1sin 121u x x x u ux x x x xx x u u=+=========---⎰⎰⎰⎰⎰x x xxx x xx x x tan sec ln cos sin 1lncos sin 1ln 21sin 1)sin 1(ln 21sin 1sin 1ln 21222+=+=+=-+=-+=.用类似的方法可得csc d ln csc cot x x x x =-⎰现在，我们在最简原函数表中再添加以下几个公式(用到时可以直接套用积分公式)：⑾2211d ln 2a xx c a a x a x +=+--⎰ 或 2211d ln (0)2x ax c a a x a x a-=+>+-⎰ ⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰⒀cot d ln sin x x x c =+⎰⒁sec d ln sec tan x x x x c =++⎰⒂csc d ln csc cot x x x x c =-+⎰根据提示做习题1.求下面的原函数（根据提示，接着做下去）：⑴1001001d (1)d (1)x x x x -=+=+⎰⎰ ⑵100100(1)1d d (1)(1)x x x x x x +-==++⎰⎰⑶22100100(21)2(1)1d d (1)(1)x x x x x x x x -++-+==--⎰⎰⑷1(32d 2x x x ⎡=-=⎣-⎰⎰用类似的方法做以下两题：⑸x = ⑹x = 答案：⑴ 99)1(991+-x ；⑵ 9998)1(991)1(981+++-x x ； ⑶999897)1(991)1(982)1(971------x x x ；⑷2325)23(21)23(101x x ---； ⑸2123)23(23)23(61x x ---；⑹ 23252325)1(31)1(51)1(31)1(51----+-+x x x x .2.根据提示，查表直接写出答案：第 115 页⑴22222211d d()2x x a x a x a x=+=++⎰⎰⑵33231e d e d()3x x x x x ==⎰⎰⑶21)2x x =+=⎰⑷21)2x x =+=⑸1)x x =+=⑹221sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x +==⎰⎰⑺e d(2e )d 2e 2e x xx xx +==++⎰⎰⑻222111d d 1212x x x x x ⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⑼(0)2x x >===⑽1(0)x x x ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭ 答案：⑴)ln(2122x a +；⑵3e 31x ；⑶221)1(31x x ++；⑷21x +；⑸1ln 2+x ；⑹|tan |ln x ；⑺)e 2ln(x +；⑻312arctan32+x ；⑼x arcsin2；⑽x1arcsin-. 3.求下面的原函数(请你根据提示做下去，一直到求出最后结果)： ⑴1(1)2d d 11x x x x x x+--=-=--⎰⎰⑵1111d d (2)(5)325x x x x x x ⎛⎫=-= ⎪----⎝⎭⎰⎰⑶x x ==⑷()21236x x =±=±⑸()222111d d(2)342(2)x x x x ==++⎰⎰⑹()222111d d(2)342(2)x x x x ==--⎰⎰⑺22211d d(34)34834x x x x x=±=±±±⎰⎰⑻21d 1)23x x x x =+=++⎰⑼?222221(22)21d(23)1d d d 2223232323x x x x x x x x x x x x x x x +-++==-=++++++++⎰⎰⎰⎰[分子上的(22)x +是分母的导数]⑽22211d d(1)322(1)x x x x x =-=+---⎰⎰⑾222221(22)21d(32)1d d d 3223223232x x x x x x x x x x x x x x x --+-==+=+--+--+-+-⎰⎰⎰⎰[分子上的(22)x -是分母的导数]⑿1)x x =-= ⒀12x x ==-答案：⑴x x ---1ln 2；⑵x x --25ln 31；⑶x 23arcsin 31；⑷23231x ±±； ⑸32arctan321x ；⑹xx 2323ln341-+；⑺243ln 81x ±±；⑻21arctan21+x ；⑼-++)32ln(212x x 21arctan 21+x ；⑽)1(2)1(2ln 41---+x x ； ⑾+-+-223ln 21x x )1(2)1(2ln41---+x x ； ⑿21arcsin -x ；⒀1arcsin2x -. 4.求下面的原函数(请你根据提示做下去，一直到求出最后结果)： ⑴2211d d(ln )ln ln x x x xx==⎰⎰⑵1(1e )e d d 1e1e x xxxx x +-==++⎰⎰ 或1e d d 1e e 1xxx x x --==++⎰⎰第 117 页⑶21e d d e e e 1xx x x x x -==++⎰⎰⑷21e d d e e e 1xx x x x x -==--⎰⎰⑸42sec d sec d(tan )x x x x ==⎰⎰⑹2221sin cos d 1cos (2)d 4x x x x x ⎡⎤=-=⎣⎦⎰⎰2322sin cos d sin (1sin )d(sin )x x x x x x =-=⎰⎰3525sincos d (1cos )cos d(cos )x x x x x x =--=⎰⎰（请你总结一下以上三个题的积分方法） ⑺1cos3sin5d (sin8sin 2)d 2x x x x x x =+=⎰⎰1cos3cos5d (cos8cos2)d 2x x x x x x =+=⎰⎰1sin3sin5d (cos8cos2)d 2x x x x x x =--=⎰⎰【点评】求sin cos sin sin d ()cos cos mx nx mx nx x m n mx nx ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎰时，第一步用“积化和差”公式. ⑻()222sin 1d d(cos )2cos cos xx x xx =-=++⎰⎰ ⑼211d d(tan 1)cos(1tan )1tan x x x x x =+=++⎰⎰ ⑽221d(2)1sin 2d sin cos sin cos d sin cos x xx x x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⑾211d d 1cos 2cos 2x x x x ⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎰⎰⑿2111d d 2d tan 1sin 212sin cos 1tan 2tan 2222x x x x x x x x ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+++⎰⎰⎰答案：⑴1ln x -；⑵)e 1ln(x x +-；⑶xe arctan ；⑷x x e 1e 1ln 21-+-；⑸31tan tan 3x x +；⑹)4sin 4(321x x -；x x 53sin 51sin 31-；x x 86cos 81cos 61+-； ⑺x x 2cos 418cos 161--；x x 2sin 418sin 161+；x x 8sin 1612sin 41-；⑻2cos arctan 21x -；⑼x tan 1ln +；⑽x x 2cot 2csc ln -或x tan ln ；⑾2tan x；⑿2tan12x +-.5.设x x f +='1)(ln ，求函数)(x f .提示：令ln u x =. 答案：c x x f x ++=e )(. 6.设一质点沿Ox 轴做直线运动.已知起点2)0(=x ，初速度0)0(=v ，加速度5)(=t a ，求它的运动规律)(t x x =.提示：()5x t =. 答案：2252+=t x .。
一凑微分法
解：
原式
x arctan
x
x 1 x2 dx
例13.
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C. 2
x2e3xdx
x2d (e3x ) x2 e3x 2xe3xdx
33
3
x2 e3x 2 xd ( e3x ) x2 e3x 2x e3x 2 e3xdx
33
Yunnan University
§2. 不定积分的计算
根据代数分项分式定理, 有
F ( x) Q(x)
A1 (x a)
A2 (x a)2
A (x a)
B1 (x b)
B2 (x b)2
B (x b)
C1x D1 x2 px
q
C2 x (x2 px
D2 q)2
L
(
x
C 2
sec tdt ln(tan t 1 a
a2 a2 tan2 t ) C1
ln(x x2 a2 ) C, (C C1 ln a).
例10. 求
dx x 2 a2
解： 1. 令x a sect, dx a sect tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
dx (t)dt
( 将变量x替换为函数(t) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1(x)即得
所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
Yunnan University
§2. 不定积分的计算
例如：1.
sin
x
cos
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
浅析计算不定积分方法之凑微分
浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿—莱布尼茨公式，使用牛顿—莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。
因此，不定积分是连接微分学和积分学的纽带。
由于不定积分方法的灵活性和积分结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱，找不到一个统一的方法进行计算。
不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，这两种方法的核心是“凑微分”。
换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一类换元积分法的解题思路是首先利用dx x g )(凑成微分形式)(x du ，然后换元令)(x u u =使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式求积分，求出积分后再换元。
其中最为关键的一步是凑成微分形式)(x du ，也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有dx x u )(才能凑成微分形式)(x du ，而)(x u 往往不容易看出来，也就无法凑成微分的形式了，这正是凑微分的核心。
由于“凑微分”方式灵活多样，单靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四种方法，以便学生易于掌握。
1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解如：求解不定积分时⎰⎰=)(ln ln ln x xd dx x x ，因为⎰==udu dx xx d 1)(ln ，这里的x u ln =。
2、不能化成几个函数的乘积若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近，若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。
如：求不定积分⎰+dx x x 2cos 4sin 时，C x x d x x d x dx x x +-=+-=+-=+⎰⎰⎰)2cos arctan(21)2cos ()2cos (1121)(cos cos 41cos 4sin 222 3、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解。
不定积分怎么凑微分法
不定积分怎么凑微分法
微分法是求解不定积分的一种方法，是一种重要的数学工具。
它把不定积分（以及定积分）看作导数的反函数，以帮助解决某些学科（物理学、化学、经济学）中相关的复杂问题。
要用微分法求解不定积分，就必须充分了解定积分的基本概念，如积分的定义、应用、性质及转归。
我们需要了解不定积分和分部积分的基本概念，如定义、定应用、分部积分的概念和方法。
如果想要更好的理解不定积分的概念，可以把不定积分的解写成分部积分的形式。
要了解几何形式的不定积分的解法，如实数型函数和多项式函数的解法。
其中，多项式函数可以解析分解成一个个温和的小函数，这样就可以把问题简化成容易解决的形式。
对于实数型函数的解法中，可以用数值解积分的方法，这就是微分法的手段，同时也可以用统计学和概率论的方法来解决。
可以用微分法来求解不定积分，即把不定积分看作导数的反函数，把函数的导数展开到不定积分中，这样就可以用不定积分中的公式来求解。
总之，微分法是求解不定积分非常有效的一种方法，它可以把复杂的问题简化成容易解决的形式，可以用数值解积分的方法，也可以用统计学和概率论的方法来解决，同时可以把函数的导数展开到不定积分中，以求出不定积分的解。
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。
这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。
不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。
2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。
3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。
不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。
不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。
因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。
余绵樟-43不定积分的凑微分法
记住一些常用的凑微分式，如：
dx 1 d(ax b) ； xdx 1 dx2 ；
a
2
exdx d(ex ) ；
1 dx 2d( x ) ； 1 dx d(ln | x |) ；
x
x
sin xdx d(cos x) ；cos xdx d(sin x) .
例求 解设
引例
分析 被积函数
是复合函数，不能直接积分。
我们可以把原积分作下列变形后计算：
令 ，则
于是
令2x u
回代u 2x
【思路】：
凑微分
换元
求积分 回代
由直接验证知，上述计算正确。 定理：
则有
引例的解法可以归纳为：
这种先“凑”微分，再做变量代换 求积的方法，叫做第一类换元积分法， 其关键在第一步的“凑”，因此也称凑 微分法。
第一类换元不定积分法 ———凑微分法
主讲人：余绵樟
易知
，（1） ，（2）
注意：（1）和（2）相同，不定积分 跟字母没有关系。
自然有，
，（3）
（把 看成 即可，同（2））
问题的提出：
那么，
（4）
注意：（3）和（4）的区别。
这就遇到了复合函数的求积问题。
寻根究源：求积与求导是互为逆运 算关系。我们可以用中间变量来进行代 换，用复合函数的求导反过来求不定积 分，这种积分方法称为不定积分的换元 积分法。
，得
[说当明运] 算熟练后，不必将中间变 量写出来，而把“换元”和“回代” 记在脑子里。
如上例：
第一类换元不定积分法
———凑微分法
谢谢观看
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
凑微分法
一，凑微分法原理
回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x)dy/dxdf(x)/dx等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)=df(x)/dx再加以变形可得f′(x)dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。
（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）
为了说明这个式子，我们来看几个例子：
例题一：d(2x+1)=dx
解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)=2d(x)
例题二：d(e^x)=dx
解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)=e^xdx
因为做题目的时候，往往是告诉你们e^xdx要你们求d(e^x)。
我再举一个凑微分法的事例:
例题三：
1
2
dx x
=
-
⎰
解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d后面去。
所以我就想到用d(x-2),根据
凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来，那你们
用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。
具体的实例就不举了，多操作。
下面我要重点说说，讨厌，这个问题
二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌
什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分
我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。
所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。
根据已知的不定积分公式我们可以知道：
1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数
4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数
所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。
最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。
而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。