高二数学测试题及答案
高二数学必修二综合测试题含答案
高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的间隔 是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则 B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－687．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1及CC 1的中点，则直线ED 及D 1F 所成角的大小是（ ）Q PC'B'A'CB AA ．15B ．13 C ．12D9. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 及平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．9010．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 及平面BCD 成60°的角；④AB 及CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（11题） 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ， 且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD （12题）C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积及△BEF 的面积相二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 及圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 及△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求的最大值及最小值；（2）求y x +2的最大值及最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；（2）求AD 及平面ABE 所成角的正弦值（19题）20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）务实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0及圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
高二数学直线测试及答案
（5）直线一、选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分） 1．和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）A ．3x +4y -5=0B ．3x +4y +5=0C ．-3x +4y -5=0D ．-3x +4y +5=02．若直线的斜率k = -5 ：则倾斜角α=（ ） A ．arctan(-5) B ． π-arctan(-5) C ．arctan5D ． π-arctan53．若直线ax +b y +c=0过第一、二、三象限 ：则（ ） A ．a b>0 ： bc>0 B ．a b>0 ： bc<0 C ．a b<0 ： bc>0D ．a b<0 ： bc<04．如图 ：直线l 1的倾斜角a 1=30° ：直线l 1⊥l 2 ：则l 2的斜率为（ ）A ．-33B ． 33C ．-3D ．35．若斜率为-2的直线l 经过点（0 ：8） ：则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．若A （-2 ：3） ：B （3 ：-2） ：C （21：m ）三点在同一直线上 ：则m 的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．- 21D ． 217．两条直线A 1x +B 1y +C 1=0 ： A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是（ ）A ． A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ． A 1 A 2- B 1 B 2=0C ．2121B B A A = -1 D ．2121A A B B =1 8．已知两条直线l 1：y = x ： l 2：ax -y =0 ：其中a 为实数 ：当这两条直线的夹角在（0 ：12）内变动时 ：a 的取值范围是（ ）A ．（0 ：1）B ．(33 ： 3)C ．(33： 1) ∪(1 ： 3)D ．(1 ：3)9．已知直线l 1：y =-2x +3 ：l 2：y ==x -23：则l 1、l 2的夹角是A ．arctan3B ．arctan(-3)C ．π-arctan3D ． π-arctan(-3)10．已知直线l 1：sin θ·x +cos θ·y +m=0 ： l 2：x +cot θ·y +n=0 (θ为锐角 ：m ：n ∈R 且m ≠n)则y xl 2l 1a 2a 1l 1与l 2的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直二、填空题（本题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．已知直线l 的方程是kx -y +2+3k =0(k ∈R) ：则直线l 必经过点 ． 12．若直线的倾斜角为π-arctan21：且过点（1 ：0） ：则直线l 的方程为 ． 13．直线 2x -y -4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转45°所得的直线方程是 ． 14．两条平行线3x +4y -12=0和6x +8y +6=0间的距离是 ． 三、解答题（本大题共6题 ：共76分）15．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21=--=+-y x l y x l ．(12分)16．△ABC 中 ：BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0 ：∠A 的平分线所在直线的方程为y =0 ：若点B 的坐标为（1 ：2） ：求点A 和点C 的坐标．(12分) 17．已知两点A (－1 ：－5) ：B (3 ：－2) ：直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半 ：求直线l 的斜率． (12分)18．在△ABC 中 ：已知顶点A (1 ：1) ：B (3 ：6)且△ABC 的面积等于3 ：求顶点C 的轨迹方程．(12分)19．光线从点A （2 ：3）射出 ：若镜面的位置在直线01:=++y x l 上 ：反射线经过 B （1 ：1） ：求入射光线和反射光线所在直线的方程 ：并求光线从A 到B 所走过的路线长．（14分）20．如图 ：根据指令（γ ：θ）（γ≥0 ：-180°<θ≤180°） ：机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时 ：按逆时针方向旋转θ ：θ为负时 ：按顺时针方向旋转θ） ：再朝其面对的方向沿直线行走距离γ．（1）现机器人在平面直角坐标系的坐标原点 ：且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令 ：使其移动到点（4 ：4）．（2）机器人在完成该指令后 ：发现在点（17 ：0）处有一小球 正向坐标原点作匀速直线滚动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍 ：若忽略机器人原地旋转所需的时间 ：问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果用反三角函数表示）．（14分）y4A B （1 ：2）O xy参考答案一．选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACAA二．填空题（本大题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．（-3 ：2） 12．x +2 y -1=0 13．3 x + y -6=0 14． 3 三、解答题（本大题共6题 ：共76分） 15．(12分)[解析]:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22 022022y x y x y x 得所以 ： l 1与l 2的交点是(2 ：2)． 设经过原点的直线方程为kx y = ：把点(2 ：2)的坐标代入以上方程 ：得1=k ：所以所求直线方程为.x y =（另：求直线交点与求直线方程的综合 ：求解直线方程也可应用两点式:020020--=--x y ：即.x y =）16．(12分)[解析]：由 ⎩⎨⎧==+-0012y y x 得顶点A （-1 ：0）又 ：AB 的斜率1)1(102=---=ABk因为x 轴是∠A 的平分线 ：故AC 的斜率为-1 ：AC 所在直线的方程为y =-( x +1) ①已知BC 上的高所在直线方程为x -2 y +1=0 ：故BC 的斜率为-2 ：BC 所在的直线方程为y -2=-2(x –1)② 联立①②解得顶点C 的坐标为（5 ：-6）． 17．(12分)[解析]：设直线l 的倾斜角α ：则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴σσ即3tan 2α+8tan α－3=0 ： 解得tan α＝31或tan α＝－3． ∵tan2α＝43＞0 ：∴0°＜2α＜90° ： 0°＜α＜45° ： ∴tan α＝31． 因此 ：直线l 的斜率是31 18．(12分)[解析]：设顶点C 的坐标为(x ：y ) ：作CH ⊥AB 于H ：则动点C 属于集合P =｛Ｃ｜321=⋅CH AB ｝ ：∵ｋＡＢ＝251316=--．∴直线AB 的方程是y -1=25(x -1) ：即5x -2y -3=0．∴｜ＣＨ｜＝29325)2(532522--=-+--y x y x329325292129)16()13(22=--⨯⨯∴=-+-=y x AB化简 ：得｜5x -2y -3｜=6 ：即5x -2y -9=0或5x -2y +3=0 ：这就是所求顶点C 的轨迹方程．19．（14分）[解析]：设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x A 'l A A 被' 垂直平分 .34123012322000000⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++++∴y x x y y x 解得)1,1(),3,4(B A --'点 在反射光线所在直线上．∴反射光线的方程为0154414313=+-++=++y x x y 即解方程组⎩⎨⎧=++=+-010154y x y x 得入射点的坐标为)31,32(--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为02453223231331=+-++=++y x x y 即光线从A 到B 所走过的路线长为41)13()14(||22=--+--='B A20．(14分)xy44OPQ[解析]：（1）如图γ=24：θ= 45 ：所下指令为（24 ： 45）（2）设机器最快在点P （x ：0）处截住小球 ：则因为小球速度是机器人速度的2倍 ：所以在相同时间内有22)40()4(217-+-=-x x即73230161232=-==-+x x ，x x或得 因为要求机器人最快地去截住小球 ：即小球滚动距离最短 ：所以x =7 ： 故机器人最快可在点P （7 ：0）处截住小球 ： 又设Q （4 ：4） ：机器人在Q 点旋转的角度为α- 则PQ|5)40()47(222=-+-=1=OQ k ：344740-=--=PQ k（法一）：由1=OQk ⇒∠QOP=45° ：34-=PQ k ⇒∠QPx=34arctan -π34arctan45+=∴ α ： -)34arctan 45(+-= α （法二）： PQOQ PQ OQ k k k k ⋅+-=1tan α71341)34(1-=⋅---=7arctan 180-=∴ α ：)7arctan 180(--=- α 故 ：所给的指令为（5 ：34arctan45--）或（5 ：7arctan 180+- ）。
广州执信中学2024-2025学年高二上学期数学阶段测试卷(一)+答案
执信中学2024-2025学年度第一学期高二年级阶段测试（一）数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回.第一部分 选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面向量m ，n 均为单位向量，若向量m ，n 的夹角为2π，则34m n +=（ ）A ．25B ．7C ．5D 2．在ABC 中，已知6BC =，30A = ，120B °=，则ABC 的面积等于（ ）A ．9B ．18C ．D ．3．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（ ）A ．15B ．13 C ．35D ．454．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3B =，{}2,4,6C =，则()A B C = （ ） A ．{}2,4,6B ．{}1,3,4,5,6C ．{}4,6D ．{}25．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β B ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD ．若αβ⊥，且m αβ= ，点A α∈，直线AB m ⊥，则AB β⊥6．已知1a = ，且()()722a b a b +⋅−=− ，则向量a与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则“10,1a q >>”是“n S 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3，设过点P 与圆2240x y y +−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．19B ．13C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U N MB ．U M NC ．()U M N N ∩∩D ．()()U U M N10．若集合{}|312A x x =−≥，2|01x B x x −=≤ −，则（ ） A ．A B B = B ．R 1(),3A B=−∞−C ．R 1(),13A B=−D ．()(]R 1,11,23A B=−11．已知曲线22:1C mx ny +=，则（ ）A ．若4m n ==，则曲线C 是圆，其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若线C 过点( ，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B −，5(2,1,)8C −是平面内的三点，设平面的法向量(,,)a x y z = ，则::x y z = ．13．已知集合{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，则实数k 的取值范围是 . 14．“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()0,x f x 处的切线与()g x 在()()0,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.(1)求证：//EF 平面11ADD A ； (2)求点A 到平面CEF 的距离.16．已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =−=∈a b R , 设函数()?f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π上的最大值和最小值.17．如图，在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=°，45A ∠=°，4AB =，10BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若BCD △的面积为BC ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin C A B A B =++． (1)求角C ；(2)记ABC 的面积为S ，△ABC 的周长为T ，若2c =，求ST的取值范围． 19．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e 、2e分别是x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标，假设1232OP e e =+ .(1)计算||OP的大小；(2)是否存在实数n ，使得OP与向量(1,)b n = 垂直，若存在，求出n 的值，若不存在请说明理由．答 案1．C【分析】先由向量m ，n 的夹角为2π，得到0m n •= ，进而可计算出34m n + 的结果.【详解】因为向量m ，n 的夹角为2π，所以0m n •= ，又m ，n 均为单位向量，所以345m n + .2．C【分析】根据题意分别求出AC 和角C ，再分析求解即可.【详解】根据正弦定理得：sin sin BC ACA B =，所以sin sin BC B AC A×==，因为18030C B A °=−−= ，所以1sin 2ABC S CA CB C =×××=△3．A【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算． 【详解】因为tan 2α=，所以22222222sin cos 2sin cos sin cos 111sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2tan 12215ααααααααααααααα++−=====++++×+． 4．C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3B =，{}2,4,6C =， 所以{}1,4,5,6A B = ，所以(){}4,6A B C = . 5．C【解析】根据线面、面面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，若αβ⊥，m α⊥，存在m β⊂的情况，A 错误； 对于B ，若//m α，n ⊂α，存在,m n 异面的情况，B 错误；对于C ，若//n α，//n β，则在,αβ内分别存在直线,l l ′与n 平行，由线面平行的性质可知：////l m l ′，//m n ∴，C 正确；对于D ，若A m ∈，则存在直线AB 不垂直于平面β，D 错误. 6．A【分析】由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．【详解】因为()()722a b a b +⋅−=−，所以22722a a b b +⋅−=− . 因为1a =32a b ⋅= ，cos ,a b a b a b ⋅<>==a与b 的夹角为π6.7．A【分析】由10n n n S S a −−=>可判断充分性；取111,2a q ==可判断必要性. 【详解】在等比数列{}n a 中，10,1a q >>，则110n n a a q −=⋅>， 当2n ≥时，10n n n S S a −−=>，所以n S 单调递增，故充分性成立； 当n S 单调递增时，111,2a q ==时，11121211212n n n S⋅−==− −单调递增，但是推不出10,1a q >>，故必要性不成立. 8．C【分析】先求出两圆的圆心和半径，设设过点P 的直线与圆22(2)3x y +−=切于点,A B ，与圆22(2)4x y +−=切于点,M N ，连接,,,,PC AC BC MC NC ，由过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3，可求出PC =Rt PCM 中可求出sin MPC ∠，cos MPC ∠，再利用正弦的二倍角公式可求得结果.【详解】由22410x y y +−+=，得22(2)3x y +−=，则圆心(0,2)C，半径1r = 由2240x y y +−=，得22(2)4x y +−=，则圆心(0,2)C ，半径22r =， 设过点P 的直线与圆22(2)3x y +−=切于点,A B ，与圆22(2)4x y +−=切于点,M N ， 连接,,,,PC AC BC MC NC ，则,,,AC AP BC PB CM PM CN PN ⊥⊥⊥⊥，因为过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3， 所以π3APB ∠=，则π6APC BPC ∠=∠=，所以122PCAC r ===在Rt PCM 中，PC =，2MC =所以sin MC MPC PC ∠==cos MP MPC PC ∠=== 因为2MPN MPC ∠=∠，所以()sin sin 22sin cos 2MPN MPC MPC MPC ∠=∠=∠⋅∠即sin α=9．AC【分析】根据Venn 图，结合集合运算的概念即可得出答案. 【详解】A 选项：U M=+①② ，则U N M = ② ，故A 正确； B 选项：U N=+④① ，则U M N = ④ ，故B 错； C 选项：()U M N N ∩∩=② ，故C 正确； D 选项：()()U U M N = ① ，故D 错. 10．AD【分析】解不等式求出A ，B ，再进行集合交并补运算逐一验证四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】由312x −≥可得312x −≥或312x −≤−，解得：1x ≥或13x ≤−，所以1|3A x x=≤−或xx ≥1}； 由201x x −≤−可得()()21010x x x −−≤ −≠，解得：12x <≤，所以{}12|Bx x =<≤；对于A ：因为1|3A x x=≤− 或xx ≥1}，{}12|B x x =<≤，所以A BB = ，故选项A 正确；对于B ：由{}12|Bx x =<≤可得{R |1B x x =≤ 或xx >2}， 又因为1|3A x x=≤−或xx ≥1}，所以{}()R 1(),12,3A B =−∞−∪∪+∞ ，故选项B 不正确； 对于C ：因为1|3A x x=≤−或xx ≥1}，{}12|B x x =<≤， 所以1|3A B A x x ∪==≤−或xx ≥1}，所以R 1(),13A B=− ，故选项C 不正确；对于D ：因为1|3A x x =≤− 或xx ≥1}，所以R 1|13A x x=−<< ， 因为{}12|Bx x =<≤，所以()(]R 1,11,23A B=−，故选项D 正确； 11．BC【分析】对于A ，曲线C 可化为221x y n+=，表示圆，可求半径，判断A; 对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=，11 0m n<<可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点(， ，代入曲线C ：221mx ny +=，求得曲线方程， 判断C; 对于D ，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=12=，故A 错误； 对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n +=表示的是椭圆，而11 0m n<<， 所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(， ，代入曲线C ：221mx ny +=， 有2311512133m n m m n n +==⇒ +==−，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线， 故D 错误，12．2：3：（-4）【详解】试题分析：由19550,2,,1,1,,2,1,888A B C−− 得771,3,,2,1,44AB AC =−−=−−−因为为平面的法向量，则有0,0AB a AC a ⋅=⋅= ，即()()71,3,,,04{72,1,,,04x y z x y z−−⋅=−−−⋅=由向量的数量积的运算法则有7304{7204x y z x y z −−=−−−=解得31,42y z x z =−=− 所以()234::::2:3:4444z z z x y z=−−=−故正确答案为()2:3:4−13．{}2k k <【分析】根据空集的定义，要使集合{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，则211k k −<+，解之即可求解.【详解】∵{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，∴211k k −<+， 解得2k <，因此实数k 的取值范围是{}2k k <. 故答案为：{|2}k k <.14【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈= −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x =当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=， 所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =0cos x故答案为:15．(1)证明见解析 (2)1【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据及点到面的距离公式运算求解． 【详解】（1）如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D −中,1//BB 1DD 且11BB DD =， 所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .（2）如图建立空间直角坐标系D xyz −，因为长方体中12A AAD ==,CD =则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F ，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF= ，. 设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z = ，则0,0,m CE m CF ⋅= ⋅=即11111020x z x += =， 令11x =，则1y =11z =，可得m =.AF = ，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅=.16．(Ⅰ)22T ππ==(Ⅱ)max ()1f x =min 1()2f x =− 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.【详解】()f x a b =⋅ 1cos cos 22x x x −12cos 22x x − πsin(2)6x − （Ⅰ）()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）[0,]2x π∈ ，52[,]666x πππ∴−∈−，1sin(2)[,1]62x π∴−∈− 故当2=62x ππ−即3x π=时，max ()1f x = 当2=66x ππ−−即0x =时，min 1()2f x =−17．(2)10【分析】（1）先利用正弦定理求出sin ADB ∠，再结合结合同角的三角函数关系即可求解； （2）先结合（1）及三角形面积公式求出DC ，再根据余弦定理即可求解．【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，即104sin45sin ADB =∠ ，解得sin ADB ∠ 又090ADB <∠< ，所以cos ADB ∠（2）结合（1）可得()cos cos 90sin BDC ADB ADB ∠∠∠=−= ，则sin BDC ∠又1sin 2BCD S DB DC BDC ∠=⋅⋅ ，即1102DC =××DC = 则由余弦定理得2222cos 100BC BD DC BD DC BDC =+−⋅⋅∠=，又0BC >，所以10BC =．18．(1)2π3C =；(2)(0,1. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再由余弦定理求解作答. （2）根据已知结合三角形面积公式求出S T的函数关系，再利用均值不等式求解作答. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及222sin sin sin sin sin C A B A B =++，得222c a b ab =++， 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +−==−，0πC <<， 所以2π3C =． （2）由（1）知，224a b ab ++=，即()24a b ab +−=，于是())21sin 422222ab C a b S ab a b T a b a b a b +−====+−++++++，因为22a b ab + ≤，即有()2242a b a b + +−≤ ，解得a b +≤当且仅当a b =时取等号，又a b c +>，因此2a b <+≤，有(0,1S T ∈，所以S T 的取值范围为(0,1.19．(1)||OP = (2)存在，87n =− 【分析】（1）根据题意结合平面向量的数量积及模长运算求解；（2）根据题意可得12b e ne =+ ，结合垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：121212111,cos 601122e e e e e e ==⋅=°=××= ，故||OP === （2）存在， 由（1）可得：121212111,cos 601122e e e e e e ==⋅=°=××= 若向量(1,)b n = ，即12b e ne =+ ，∵OP 与向量(1,)b n = 垂直，则()()()()22211121221307323322322242b OP e ne e e e n e e ne n n n ⋅=+⋅+=++=++⋅+=×=++ ， 解得87n =−.。
高二数学__导数、定积分测试题(含答案)
高二数学 导数、定积分测试题一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23- C ．13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J11设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是12．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)13．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________。
高二数学测试题(含答案)
高二数学测试题（含答案）一.选择题1.设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于（ ）A.{1，2}B. {3，4}C.{1}D. {-2，-1，0，1，2} 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A.x x f sin )(= B.1)(+-=x x f C.()x x a a x f -+=21)( D.xxx f +-=22ln)( 3.若函数123)(+-=a ax x f 在区间[1,1]-上无零点,则函数)43)(51()(3+--=x x a x g 的递减区间是（ ）()A (2,2)- ()B (1,1)- ()C (,1)-∞- ()D ),1()1,(∞+⋃--∞•••4.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，c b a +--21213，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A 、平面B 、直线C 、圆D 、线段5.下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.A 、2B 、3C 、4D 、5 二．填空题1.命题“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是： ．2.与曲线1492422=+y x 共焦点并且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 .3.右面的程序框图输出的结果是4.已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 。
高二数学测试题含答案
高二数学测试题2014-3-9一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.) 1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是三角函数，所以tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ）(A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理形式不正确3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ） （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点P 的轨迹是 A.双曲线B.双曲线左支C. 双曲线右支D. 一条射线5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．dx x f ca ⎰)( B ．|)(|dx x f ca⎰C ．dx x f dx x f c bba⎰⎰+)()( D ．dx x f dx x f bacb⎰⎰-)()(6 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.7.已知斜率为1的直线与曲线1xy x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ）( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2⎫⎛ ⎪⎝⎭8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 （ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A B C D．10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2-11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 （ ）（A ）12 （B ） 22 （C ）13（D ）3312．已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，)2,1(),1,0(∈∈βα,则12--a b 的取值范围是( ） A )1,41( B )1,21( C )41,21(-D )21,21(- 二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13. 用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n ΛΛ时,从“k 到1+k ”左边需增加的代数式是______________________14．已知1623++++=x a ax x x f )()(有极大值和极小值，则a 的取值范围为15. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线的方程为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.19. (本小题满分14分)在数列{}n a 中，113a =，且123(21)n n a a a a n a n++++=-L *()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20.（本小题12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.21. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.22. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题(含解析)
辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知a ，b 为两条直线，，为两个平面，且满足，，，αβa α⊂b β⊂l αβ= ，则“与异面”是“直线与l 相交”的（ ）//a l a b b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）22113x y k k +=--k A ．B ．1k <13k <<C ．D ．或3k >1k <3k >3．两平行直线与之间的距离为（）320mx y --=4670x y --=A ．B ．C ．D ．4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作22221x y a b +=0a b >>AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a99a100a101a5．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则A 240x y +-=B 22(1)1x y ++=(1,0)C 的最小值为（ ）2AB BC +A ．B ．C ．D ．6．在四棱锥中，平面，二面角的大小为P ABCD -PA ⊥,ABCD AB BC ⊥P CD A --，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ 45,2AD CD ︒+=P A B C D ,,,,O O ）A ．B ．C ．D ．3π8π37．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）C ()()222229xy xy +=-A ．曲线的图象不关于原点对称C B ．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C C ．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为y kx =C k (],1-∞-D ．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C O 8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一A B PA PBλ=0λ>1λ≠P 个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，AB 21AB λλ⋅-故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，1111ABCD A B C D -P 2PA PB=则点的轨迹长度为（ ）P A ．B ．C ．D ．2π4π34π3(2π二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法命题正确的是（ ）A ．已知，，则在上的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b 110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量为，则()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ //l αC ．已知三棱锥，点P 为平面ABC 上的一点，且O ABC -，则()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R12m n -=D ．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底p mx ny kz =++,,x y z p 下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则{},,x y z (,,)m n k p {,,}a b c (1,2,3)在基底下的坐标为p {,,}a b a b c -+13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知，是双曲线E ：的左、右焦点，过作倾斜角为1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>1F 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是6πM P 1MP MF =（ ）A ．B．的离心率等于123F PF π∠=E C ．双曲线渐近线的方程为D ．的内切圆半径是y =12PF F 1c ⎛ ⎝11．在直三棱柱中，，，M 是的中点，N111ABC A B C -12AA AB BC ===π2ABC ∠=AB 是的中点，点P 在线段上，点Q 是线段上靠近M 的三等分点，R 是线段11A C 1B NCM 的中点，若面，则（ ）．1AC PR ∥1B CMA ．B ．P 为的中点1PR B Q∥1B N C ．三棱锥的体积为D ．三棱锥的外接球表面积为1P B CM -23P ABC -748π81三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆：与圆：交于A ，B 两点，当变1C 2216x y +=2C 22160x y kx y m ++++-=k化时，的最小值为．ABm =13．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把4AB BD ==沿DE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线ADE V PDE ⊥PD 与BC 所成角的余弦值为 ．14．倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲l 2222:1(0)3x y C m m m -=>1F 线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则,A B AB C 2F 直线的斜率为.l四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，111ABC A B C -1AA 5AB =，点分别为的中点.13,4AA AC BC ===,P D 1,AB C B(1)求证：；BC PD ⊥(2)求点到平面的距离C 1PBC 16．已知圆.22:4O x y +=(1)直线截圆的弦长为的值.430x y a -+=O a(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点O x y ,A B Q 的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.Q O 17．如图，四棱锥中，P ABCD -，，，平面平面，且4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB ⋂PCD l =平面，平面平面.//l ABCD PAD ⊥ABCD(1)求四棱锥的体积；P ABCD -(2)设Q 为上一点，若，求二面角的大小.PC QA QB =Q AB C --18．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．M C x P (1)求椭圆的方程；C (2)点是椭圆C 上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；R M MPR 24MR(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，P C D E D E N FP 直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．NE MF Q T DF TQ 19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以O xyz -(,,)u a b c =()0000,,P x y z l 为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为u0P l ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式000(0)x x y y z z abc a b c ---==≠αu 0P α方程表示为.()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为l 112x z-==1α，求直线与平面所成角的正弦值；y +-50z +=l 1α(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点2α2320x y z ++-=(1,2,1)P 到平面的距离;P 2α(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S 求几何体的体积；S （ii ）若集合，记集合中所有点构成的{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N 几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.T T答案1．【正确答案】C【详解】当“与异面”，若直线与l 不相交，由于，则，a b b ,b l β⊂//b l 又，则，这与和异矛盾，故直线与l 相交，//a l //a b a b b 故“与异面”是“直线与l 相交”的充分条件；a b b 当“直线与l 相交”，若与不异面，则与平行或相交，b a b a b 若与平行，又，则，这与直线和l 相交相矛盾；a b //a l //l b b 若与相交，设，则且，得，a b a b A = A α∈A β∈A l ∈即A 为直线的公共点，这与 相矛盾；,a l //a l 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l 相交”的必要条件；a b a b b 所以“与异面”是“直线与l 相交”的充分必要条件.a b b 故选：C.2．【正确答案】B【详解】若方程表示双曲线，22113x y k k +=--则，得.()()130k k --<13k <<故选：B3．【正确答案】C【详解】由题意知，所以，32467m --=≠--2m =则化为，4670x y --=72302x y --=所以两平行直线与之间的距离为23x y --20=4670x y --=d ==故选：C ．4．【正确答案】D【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P ⋯99Py ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a +=故所求的值为．101a 故选：D ．5．【正确答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的()()011,0,,D x B x y 2BC BD=D 坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得2AB BC+()2AB BD +AB BD+解.【详解】设，不妨令，()()011,0,,D x B xy 2BC BD=则=整理得，()2221103134x y x ++=-+110484x x x ++又，所以，()22113133x y ++=2011044810x x x x ---=则，解得，()()001212410x x x +--=012x =-所以存在定点，使得，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭2BC BD=要使最小，即最小，2AB BC+()2AB BD +则，B ，D 三点共线，且DA 垂直于直线时取得最小值，如图所示，A 240xy +-=所以的最小值为．2AB BC+故选C.【关键点拨】设，令，将所求转化为求的最小值，()()011,0,,D x B x y 2BC BD=AB BD+是解决本题的关键.6．【正确答案】C【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，A B C D 180ADC ABC ∠+∠=︒AB BC ⊥所以，即，故是四边形外接圆的直径，90ADC ∠=︒AD CD ⊥AC ABCD由平面，，，平面，则，PA ⊥ABCD BC CD AC ⊂ABCD PA BC ⊥，，PA CD ⊥PA AC ⊥由，，平面，则平面，平面，则，PA AB A = PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥由，，平面，则平面，平面，则PA AD A= PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PA ⊂PAD ，CD PA ⊥故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外PBC △PCD △PCA V PC PC P ABCD -接球球心，且为二面角的平面角，故，PDA ∠P CD A --45PDA ∠=︒因为，，45PDA ∠=︒2AD CD +=令且，则，，AD x =02x <<PA x =2CD x =-故，AC ==所以外接球半径，11222PC R ====当时，的表面积的最小值为．23x =min R O 284ππ3⨯=故选：C7．【正确答案】D【详解】对于A ，结合曲线：，将代入，C ()()222229x y x y +=-(),x y --方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A 错误；C 对于B ，令，则，解得，0y =()2229x x=3x =±令，则，解得，1x =±()()222191y y +=-21y =令，则，解得，2x =±()()222494y y +=-22y =<故曲线经过的整点只能是，B 错误；C ()()()0,0,3,0,3,0-对于C ，直线与曲线：必有公共点，y kx =C ()()222229x y x y +=-()0,0因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，y kx =C ()()222229x y xy y kx⎧+=-⎪⎨=⎪⎩()0,0即只有一个解为，即时，无解，()()24222191x k x k +=-0x =0x ≠()()24222191x k x k +=-故，即实数的取值范围为，C 错误，210k -≤k (][),11,-∞-+∞ 对于D ，由，可得，时取等号，()()222229xy x y +=-()22222299x y x y x y -+=≤+0y =则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D 正确，CO 3=≤d 故选：D8．【正确答案】C【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O 位置及半径，P 在空间内轨迹为以O 为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，ABCD 11ABB A 11BCC B 求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B 为原点以AB 为x 轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，(),0O a r ，2222,2,32123PA PA PB r AB PB=∴=∴=⋅=⨯=- 设圆O 与AB 交于M ,由阿氏圆性质知，2AM MBλ==，||2||2,||2||42BM BO a AM BM a =-=-∴==- ，422633,1,(1,0)a a a a O ∴-+-=-=∴=∴P 在空间内轨迹为以O 为球心半径为2的球，若P 在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M ，R ，所以P 在四边11ABB A 1AB BB ，形内的轨迹为，11ABB A MR在中2,1,RO BO == Rt O RB △，，60ROB ∠= π22π33MR∴⨯==当P 在面内部的轨迹长为，∴11ABB A 2π3同理，当P 在面内部的轨迹长为，ABCD 2π3当P 在面时,如图③所示，11BCCB 面，平面截球所得小OB ⊥11BCC B 11BCC B 圆是以B 为圆心，以BP 为半径的圆，截面圆与分别交于，且1BB BC ，R Q ，BP ===P 在正方形内的轨迹为，∴11BCC BRQ ，∴π2RQ=综上：P 的轨迹长度为.224πππ333+=故选C.9．【正确答案】CD【分析】根据投影向量公式计算判断A ，应用向量共线判断B ，判断四点共面判断C ，根据基底运算判断 D.【详解】对于A ，由于，，则在的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b ，故A 错误；()()0010,0,10,0,111a b b b b ⋅+-⎛⎫⋅=-= ⎪⨯⎝⎭对于B ，因为直线l 的方向向量为，平面的法向量为，所以()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以或，B 错误；·220e n =-+=//l αl α⊂对于C ，因为P 为平面ABC 上的一点，所以四点共面，,,,P A B C 则由空间向量共面定理以及可得，()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R，所以，C 正确；112m n +-=12m n -=对于D ，在单位正交基底下的坐标为，即，p {,,}a b c ()1,2,323a b c p +=+ 所以在基底下满足：p{},,a b a b c-+ ，()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc -+++=++-+23a b c =++ 故，，，可得，，，1x y +=2y x -=3z =12x =-32y =3z =则在基底下的坐标为，故D 正确.p {,,}a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭故选CD.10．【正确答案】ACD 【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，,M O 1PF 12F F 12PF F 2PF MO ∥2PF x ⊥A 选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A 正确；1PF 6π123F PF π∠=B 选项中，直角中，，，，12PF F 122F F c =2PF =1PF =所以，得：，故B 不正确；122PF PF a -====ce aC 选项中，由，即，即，即222c a b =+223c a =2223a b a +=ba =所以双曲线的渐近线方程为：，故C 正确；by x a =±=D 选项中，的周长为，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有12PF F (2c +，得：，故D 正确(22cr c +=1r c ⎛= ⎝故选：ACD.11．【正确答案】ACD【详解】对于选项AB ，连接并延长交于S ，连接，BQ CA NS由平面几何知识可得：S 是的中点，且N ，R ，S 三点共线，是重心，CA Q ABC V 因为面，平面，平面平面，所以，PR ∥1B CM PR ⊂1B NSB 1B NSB 11B CM B Q =1PR B Q ∥作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，1//SK B Q 1B N K 1//B N BS 1B KSQ ，111133B K SQ BS B N===又由平面几何知识知是中点，因此是中点，R NS P NK 从而，即P 为上靠近N 的三等分点，所以A 正确，1111212233NP NK B N B N ==⨯=1B N B 错误；对于选项C ，，因此是平行四边形，所以与互相平分，123B P BQ BS ==1B PQB BP 1B Q 从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥P B 1B CM1P B CM -的体积，1B B CM-而，所以C 正确；11112212323B B CM B BCM V V --==⨯⨯⨯⨯=对于选项D ，∵的外心是S ，由得平面，ABC V 1//NS CC NS ⊥ABC ∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，P ABC -NS设三棱锥的外接球球心为O ，半径为R ，，P ABC -OS h =则，22222222R OA SA SO hh ==+=+=+，()222222238249R OP NP ON h h h ==+=+-=-+∴，解得：，，2238249h h h +=-+59h =22518728181R =+=球表面积为，所以D 正确．27484ππ81S R ==故选：ACD ．12．【正确答案】2±【详解】与相减，2216x y +=22160x y kx y m ++++-=可得两圆的公共弦所在线的方程为：，kx y m ++由圆：可得，圆的半径为4， 1C 2216x y +=()10,0C圆心到AB 直线的距离为1C d =，AB =211k +≥所以时等号成立，≥0k =又因为的最小值为|AB |所以，解得.=2m =±故答案为.2±13．【正确答案】/340.75【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD 与BC 所成的角，//BC AD PDA ∠连接PA ，易知，，4PD AD ==2PE AE ==因为平面平面，菱形中，，PDE BCDE DE =ABCD AB BD =即是正三角形，为中点，则，所以，又，ABD E AB AE DE ⊥PE DE ⊥BE DE ⊥所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，PEB ∠PDE BCDE 因为平面平面，PDE ⊥BCDE 所以，，所以，90PEB ∠= 90PEA ∠=PE AE ⊥所以中，PA ==PDA由余弦定理得，2223cos 24PD AD PAPDA PD AD+-∠===⋅所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为．34故答案为.3414．【正确答案【详解】设中点为，两渐近线可写成，设，AB M 2203x y -=()()1122,A x y B x y 则，且1212(,)22x x y y M ++221122220303x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①-②可得，()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+整理得，，即(*)，121212122321y y y y x x x x +-⋅=+-13OM AB k k ⋅=如图，在中，，则,12Rt F MF △1211||||||2OM F F OF ==212MOF MF O ∠=∠故，即，121212tan tan tan 21tan MF O MOF MF O MF O ∠∠=∠=-∠221ABOM ABk k k =-将此式代入（*）得，解得依题意，，则.2221,13AB AB k k =-21,7AB k =0AB k>AB k =故答案为15．【正确答案】(1)证明见解析；【详解】（1）由，得，则，即5,3,4AB AC BC ===222AB AC BC =+90ACB ∠=︒，BC AC ⊥由平面，平面，则，1AA ⊥ABC ⊂BC ABC 1AA BC ⊥而，平面，于是平面，连接，1AA AC A = 1,AA AC ⊂11ACC A ⊥BC 11ACC A 1AC 又平面，则，由点分别为的中点，得，1AC ⊂11ACC A 1BC AC ⊥,P D 1,AB C B 1//AC PD 所以.BC PD ⊥（2）连接，交于点E ，连接BE ，过点C 作，F为垂足，1AC 1AC CF BE ⊥由，侧棱垂直于底面，得且，13AA AC ==1AA 1CE AC ⊥CE =又，，平面CBE ，则平面CBE ，1CB AC ⊥CB CE C = ,CB CE ⊂1AC ⊥又平面CBE ，则，又，，平面，CF ⊂1CF AC ⊥CF BE ⊥1BE AC E = 1,BE AC ⊂1ABC 因此平面，即CF 为点C 到平面的距离，CF ⊥1BC A 1PBC 由平面，平面，得，⊥BC 11ACC A CE ⊂11ACC A BC CE ⊥BE ==所以点C 到平面的距离．1PBC BC CECF BE⋅===16．【正确答案】(1)5a =±(2)有，公共弦长为【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得O 430x y a -+=5a d =2245a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；5a =±（2），设，(2,0),(0,2)A B (,)Q x y 2222(2)2(2)x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦化简得：，即，224840x y x y ++-+=22(2)(4)16x y ++-=所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，Q ()2,4E 圆心距，，两圆相交，OE ==4224-<<+所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，220x y -+=圆心到公共弦的距离为.()0,0==17．【正确答案】(1)6；(2).45︒【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，//l ABCD l ⊂PAB PAB ⋂ABCD AB =所以，同理得，所以，//l AB //l CD //AB CD 因为，，，所以，4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒120BCD ∠=︒所以且30DBCBDC ∠=∠=︒BD ===所以且，30DBA ∠=︒2AD ===底面梯形的高为，ABCD sin sin 30h BD ABD =∠==所以底面梯形的面积ABCD 1(24)2S =⨯+=在中，，，PAD △4PA =2AD=PD =所以，所以，222PA AD PD =+PD AD ⊥因为平面平面，平面平面，，平面PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂，PAD 所以平面，PD ⊥ABCD 所以四棱锥的体积.P ABCD -11633V S PD =⋅=⨯=（2）因为，，所以即，2AD =BD =4AB =222AB AD BD =+BD AD ⊥所以，，两两垂直，可以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系DB AD DP ，D xyz -则，，，，，()0,0,0D A (2,0,0)()0,B C (−1,3,0)(0,0,P 所以，，，(1,CP =()3,CA =()CB =设，(,,)CQ CP λλ==所以，，()3,,QA CA CQ λ=-=--()1,QB CB CQ λ=-=-- 因为，所以，QA QB =222222(331213)(1)(112)()λλλλλλ-++=+--++解得，因此，，12λ=12QB ⎛=⎝5,2QA ⎛= ⎝ 设为平面的法向量，则，m =(x,y,z )PAQ QB m QA m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩则，102502QB m x y QA m x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩取，则，即，1y=x =2z =m =因为平面，所以平面的法向量为，PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则，Q AB C --θcos 所以由图二面角的大小为.Q AB C --45︒18．【正确答案】(1)22198x y +=(2)83y x =(3)2【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥2c 则，1c =将代入中，得，x c =2222:1(0)x y C a b a b +=>>2b y a =±则，结合，283b a =2221a b c -==从而，，29a =28b =椭圆C 方程为；∴22198x y +=（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，M C 0故设，与椭圆联立，:l x my n =+22198x y +=得，由椭圆与直线只有一个交点，()22289168720m y mny n +++-=令，即①，0∆=22890m n -+=又过，则②，:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭813m n =+联立①②可得，则，即得点为．39m n =-⎧⎨=⎩:39l x y =+-P ()9,0设原点，由，，O (0,0)1891223OPM S =⨯⨯= 24MPRS = 故，2MPR OPM S S = 从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，R l O l 2R l O 又在椭圆上，从而，关于对称，R M R O 故直线方程为MR 83y x =（3）设，，，则，()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=()()11229,9,x y x y λ--=-则①，212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩又由，()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得②，1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-结合①②可得，，254x λλ-+=又，，，，()9,0P F (1,0)()5,0N ()22,E x y 则直线的方程为，NE ()22055y y x x -=--轴，直线与交于，MF x ⊥NE MF Q 则，故，1Q x =221245Q y y y y x λ==-=-故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=D 故线段的最大值为.TQ 219．【正确答案】(1)(3)（i ）16；（ii ）2π3【详解】（1）因为直线的标准式方程为，l 112x z-==所以直线的方向向量为，l ()1,2u =又平面的点法式方程可表示为，1αy +-50z +=所以平面的法向量为，1α11)n =-所以，111cos ,u n u n u n ⋅===所以直线与平面所成角的正弦值为l 1α（2）因为平面的点法式方程可表示为，2α2320x y z ++-=所以平面的法向量为，2α(2,3,1)n =设点是平面上一点，则，()000,,Q x y z 2α000232x y z ++=不妨令，则，即点是平面上一点，00x y ==02z =(0,0,2)Q 2α所以，()1,2,1PQ =--所以点到平面的距离P 2α||||PQ n d n ⋅==（3）（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面 ，2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩然后得到几何体为S 因为集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x yz =+≤≤M S 所以几何体为底面为边长为的长方体，S 2所以的体积为.S 2216⨯=（ii ）由（i ）可知，的图像是一个完全对称(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时，0,0,0x y z >>>得，{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，2,2x y y z +=+=所以两个平面的法向量分别为，()()231,1,0,0,1,1n n == 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.232312n n n n -=- 2π3。
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高二数学测试题及答案新博士教导高二数学摸底试卷姓名：得分：第Ⅰ卷（挑选题，共50分）一、挑选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，惟独一项是符合题目要求的.1．若y x C C C 117117+=，则y x ,的值分离是（）A ．6,12==y xB ．7,11==y xC ．6,11==y xD ．7,12==y x2．已知直线α平面⊥m ，直线β平面?n ，给出下列四个命题：①若βα//，则n m ⊥；②若βα⊥，则n m //；③若n m //，则βα⊥；④若n m ⊥，则βα//.其中正确的命题有（）A ．③④B ．①③C ．②④D ．①②3．5个人排成一排，若A 、B 、C 三人左右挨次一定（不一定相邻），那么不同排法有（）A ．55AB ．3333A A ?C ．3355A AD ．33A4．某校高三年级进行一次演讲赛共有10位学生参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采纳抽签的方式确定他们的演讲挨次，则一班有3位学生恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位学生没有被排在一起的概率为（）A ．110B ．120C ．140D ．11205．一颗骰子的六个面上分离标有数字1、2、3、4、5、6，若以延续掷两次骰子分离得到的点数m 、n 作为P 点坐标，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为（）A ．91B ．92C ．31D ．946．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中举行不放回摸球． A 1表示第一次摸得白球，A 2表示其次次摸得白球，则A 1与A 2是（）A ．互斥大事B ．自立大事C ．对立大事D ．不自立大事7．从6种小麦品种中选出4种，分离种植在不同土质的4块土地上举行实验，已知1号、2 号小麦品种不能在实验田甲这块地上种植，则不同的种植办法有（）A ．144种B ．180种C ．240种D ．300种8．在（312xx -）8的绽开式中常数项是（）A ．－28B ．－7C ．7D ．289．甲、乙两人自立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是 P 2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）A ．P 1+P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－ P 1) (1－ P 2)10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙再取1个是红球的概率为（）A ．245B ．415C ．825D ．625第Ⅱ卷（非挑选题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
将正确答案填在题中横线上11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参与竞赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名支配在其次，四位置，那么不同的出场支配共有__________________种（用数字作答）．12．已知斜三棱柱ABC A B C -111中，侧面BB C C 11的面积为S ，侧棱AA 1与侧面BB C C 11的距离为d ，则斜三棱柱ABC A B C -111的体积V=______________．13．已知一个容易多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F －V= ．14．已知92-x x a 的绽开式中，3x 的系数为49，则常数a 的值为__________________．三、解答题：本大题共6小题，满分76分．15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中举行.赛前，巴西队、士耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．16．（本题满分12分）如图，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分离是AB 、PC 的中点，（1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥AB ；（3）若平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为θ，试确定θ的值，使得直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线．17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （互相自立）．（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但遗忘了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）假如5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？19．（本题满分12分）已知n x )31(+的绽开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求绽开式中二项式系数的最大的项及系数最大项.20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB AA ==341，，M 为AA 1 的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求：（1）该三棱柱的侧面绽开图的对角线长；（2）PC 和NC 的长；（3）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.高二数学测试题参考答案一、挑选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．252 12．dS 21 13． 4 14．4三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) 解一：记大事A 为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则大事A 的对立大事;A 为“中国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有C 84种办法，即基本领件总数为C 84，其中中国队与巴西队被分在两个小组有C C 2163种可能，∴==P A C C C ()21638447按照对立大事的概率加法公式∴=-=-=P A P A ()()114737解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为37.答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为37.16．(12分) 证实：（1）取PD 中点E ，衔接NE 、AE ，则四边形MNEA 是平行四边形，所以MN//AE ，所以MN//平面PAD（2）衔接AC 、BD 交于O ，衔接OM 、ON ，由于ON//PA ，所以ON ⊥平面ABCD ，由于OM ⊥AB ，由三垂线定理知，MN ⊥AB ；（3）∵PA ⊥面AC ，AD 是PD 在面AC 内的射影，CD ⊥AD ∴CD ⊥PD ∴∠PDA 是二面角P-CD-B的平面角θ.当θ=45°时，AE ⊥P D ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥面PCD ∵MN ∥AE ∴MN ⊥面PCD ，∵PC ?面PCD ，∴MN ⊥PC ，又由（2）知MN ⊥AB ，∴MN 是AB 与PC 的公垂线. 17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立大事，每个人不上网的概率也为0.5，在6个人需上网的条件下，r 个人同时上网这个大事（记为A r ）的概率为：P(Ar)=)501(50C 66..r r r -??-=50C 66.r ?=641C 6r 式中r =0,1,2,…,6 第（1）问的解法一应用上述记号，至少3人同时上网即为大事A 3+A 4+A 5+A 6，由于A 3、A 4、A 5、A6为彼此互斥大事，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A 3+A 4+A 5+A 6)= P(A 3)+P(A 4)+P(A 5)+P(A 6)=641(C C C C 66564636+++)=641(20+15+6+1)=3221解法二“至少3人同时上网”的对立大事是“至多2人同时上网”，即大事A 0+A 1+A 2，由于A 0，A 1，A 2是彼此互斥的大事，所以至少3人同时上网的概率为P=1－P （A 0+A 1+A 2）=1－[P(A 0)+P(A 1)+P(A 2)]=1－641(C C C 261606++)=1－641(1+6+15)=3221 第（2）问的解法：记“至少r 个人同时上网”为大事B r ，则B r 的概率P(B r )随r 的增强而减少，依题意是求满足P(B r )0.3 由于至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果．（1）第三次打开房门的结果有A 44种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)=A A 5544=51．（2）三次内打开房门的结果有3A 44种，因此所求概率P(A)=A A 35544=53．（3）解法一因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33·A 22种，从而三次内打开的结果有A 55—A 33·A 22种，所求概率P(A)=A A A 552233-A 55?=109．解法二三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有A A C 33121312A 种；三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种，因此，三次内找开的结果有A A C 33121312A +A 23A 33，所求概率P(A)=A C 55332333121312A A A A A +=109． 19．（14分）解：末三项的二项式系数分离为：C n n 2-，C n n2-，C n n ，由题设得：C n n 2-+C n n 1-+C nn =121 即C n 2+C n 1+C n 0=121,∴n 2+n －240=0 ∴n=15 (n=－16) (n=－16舍去) 当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分离为C 71537x 7与C81538x 8∵绽开式通项T r+1= Cr 15(3x)r= Cr 153r · x r 设T r+1项系数最大，则有C r153r ≥C r 115-3r －1C r153r≥C r 115+3r+1 解得11≤r ≤12,∴绽开式中系数最大的项为T 12= C1115311x 11，T 13= C1215312x 1220．(14分) 解：（1）正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面绽开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为949722+=（2）如图1，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1点P 1 的位置，连结MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线. 设PC=x ，则P 1C=x在Rt MAP ?1中，由勾股定理得：()322922++=x解得：x =2 ∴==PC PC 12 ΘNC MAP C P A==1125∴=NC 45（3）如图2，衔接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线. 作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH 由三垂线定理得：CH PP ⊥1∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 在Rt PHC ?中，Θ∠=∠=?PCH PCP 12601∴==CH PC 121 在Rt NCH ?中，tan ∠NHC 故平面NMP 与平面ABC。