2-拉姆齐模型
拉姆齐模型
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）
一、问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响
c c gol
d 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分
析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定
1．完全竞争市场结构
2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）
3．家庭和个人完全同质
4．忽略资本的折旧
5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
三、厂商行为。
拉姆齐模型
拉姆齐模型拉姆齐模型是一种用于分析企业资本结构和债务重组的理论模型。
拉姆齐模型以名字命名，是由经济学家弗兰克·拉姆齐（Frank P. Ramsey）在20世纪30年代提出的。
该模型用于探讨企业在决定自己的资本结构时所面临的权衡问题，帮助企业制定最佳的债务比例。
背景资本结构是指企业所采用的资本来源和组织方式。
一般来说，企业可以通过两种方式筹集资金：通过债务融资和通过股权融资。
债务融资指的是企业通过发行债券或贷款等方式借入资金，而股权融资则是通过发行股票或吸引投资者购买股权来筹集资金。
企业的资本结构选择对其经营和财务状况有着重要的影响。
合理的资本结构可以降低企业的融资成本、提高税务效益，并平衡利益相关者之间的关系。
这就引出了拉姆齐模型。
模型解释拉姆齐模型首先假设企业的资本结构通过对债务与股权的选择进行优化来实现最大化价值的目标。
在这个模型中，企业的价值受到利润、税收、资本结构和风险等多个因素的影响。
模型中最基本的假设是，企业的资本结构会影响其成本和价值。
企业选择债务的比例是为了最大化净利润，同时平衡税务和金融风险。
根据拉姆齐模型的理论，债务的选择可以通过计算企业的债务税盾等参数来进行。
债务税盾是指企业由于债务利息的抵扣而减少应纳税额的优势。
在拉姆齐模型中，债务税盾会对企业的价值产生积极的影响，因为它减少了企业的纳税额，提高了净现金流。
此外，模型还考虑了资本结构对企业风险的影响。
债务融资可以增加企业财务风险，因为债务必须偿还，而股权融资则可以减少财务风险，因为股票的回报没有偿还压力。
因此，企业需要权衡风险与税盾所带来的优势，以确定最佳的资本结构。
实践应用拉姆齐模型的应用可以帮助企业确定最佳的资本结构，以实现最大化的价值。
通过分析债务税盾和风险影响，企业可以选择适合自己的债务比例，从而降低融资成本，改善财务状况。
在实际应用中，企业可以通过以下步骤使用拉姆齐模型：1.确定企业的利润和税务情况。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
拉姆齐模型1-2
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
2-拉姆齐模型
七、修正的黄金资本存量
定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模
型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增
长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的
家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而
是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更
重视现期消费，而不是未来消费。
图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：
c(gold)
c*
c0
c0
t
t
s较大的提高
s较小的提高
思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。
九、基本结论
1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结 论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于 后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基 础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资 本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生 化了。
六、平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为： 因此模型中的各个变量的长期变动如下：
变量
含义
平衡增长速度
K
资本存量
n+g
绝 对
简答什么是拉姆齐模型
简答什么是拉姆齐模型
简单来说，拉姆齐模型与索罗模型不同，拉姆齐模型是研究在任何情况下，国民产出有多少应该分配给消费从而产生当前的效用，又有多少国民产出应该分配给储蓄并进而投资以提高未来的产出和消费，从而产生未来的效用。
与新古典增长模型或者说索罗模型不同，因为在新古典增长模型中，储蓄率是被假定为一个外生参数，并没有说明其是如何决定的。
对此，拉姆齐模型引入了消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，从而将储蓄这个参数内生化了。
拉姆齐模型的基本假定主要是：
1）市场是完全竞争的；
2）家庭是不断延续的；
3）家庭和个人是完全同质的；
4）忽略了资本折旧；
5）不考虑政府行为。
拉姆齐模型研究的结论可归结为以下几点：
第一，拉姆齐模型并没有改变新古典增长模型关于经济平衡增长路径的基本结论。
第二，在对应于拉姆齐模型中的参数稳态下，新古典增长模型可以看作是拉姆齐模型的一个特例。
第三，拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为
的微观基础出发决定稳态的消费和储蓄，从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，所以消费和储蓄是同时决定的。
在这个过程中，储蓄的决定被内生化了。
第四，拉姆齐模型避免了新古典增长模型中的无效的过度资本积累。
第五，拉姆齐模型中的任意初始状态不一定会收敛到稳态，会存在发散的情况，而新古典增长模型则不会。
01--高级宏观：拉姆齐模型
复旦大学博士生宏观经济学讲义
第一章 拉姆齐模型
效劳动单位人均消费，ke (t)
=
k (t ) A(t)
为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程
可变为：
.
k e (t) = f (ke (t)) − ce (t) − (n + δ + g)ke (t) 代表性行为人的最大化问题
∫ max ∞ e− tU (c(t))dt
.
a t = wt + rat − ct − nat 5
2－3
2．非蓬齐对策条件（意义）
lim t − (rv−n)dv [a e ∫ t 0
]
≥
0
t→∞
2－4
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 rt − n ，因此总债
∫ 务的增长速度不能超过 rt 。我们定义 rt = 1 t rvdv ，因此 2－4 又可被写为
ke**
ke
第二节 市场分散解
注意，第一节和第二节在使用符号上的区别
第一节
第二节
有效变量 技术增长率
ce (t) , ke (t) g
^
^
c(t) , k(t)
γ
时间
c(t) , k(t)
ct , kt
请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。
1．效用函数
拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定
那么 e−ρtU (c(t)) = e−ρt
c(t )1−θ 1−θ
= e−ρt
(ce (t)egt )1−θ 1−θ
= e−(ρ −(1−θ )g )tU (ce (t))
(1.4)
拉姆齐定价模型
公用事业大都是自然垄断的行业，其定价受到政府主管机关的管制。
公用事业的定价与补贴机制是公用事业良性发展问题的核心。
由于公用事业的边际成本递减，边际成本定价法会导致企业的亏损，而平均成本定价法则会导致社会福利的净损失。
拉姆塞定价实际上是一种价格歧视，但它与获得垄断利润最大化为目的的第三级价格歧视不同，其价格的差别是以回收成本为目的，因此是一种管制上容许的价格歧视。
在盈亏平衡约束下,次优的定价方法是实现消费者剩余的最大化。
引用拉姆塞定价模型，令公用事业企业对n个不同市场（用户群）的需求逆函数：pi=p(qi)第i市场上的消费者剩余为:St=pi（qi）dqi−pi(qi)∗qiqi引入拉格朗日乘数⋋：π=pi qi dqi−pi qi∗qi−⋋(pi qi∗q−c(qi)nt−1)qi0经计算得：pi−mcpi ∗ε=⋋+1⋋整合有：p1−mc1p1p2−mc2p2=ε2式中:pi表示第I 时段的价格水平；mci表示第I 时段的边际成本；qi表示第I 个时段的客流量；εi表示pi对应的价格弹性。
图4-4 拉姆塞定价模型图示客流时间分布不均衡有3种情况，季节性或短期性客流不均衡（如旅游的旺淡季）；全日客流不均衡（不同线路工作日和双休日的客流变化）；不同时段客流不均衡（随人们的生活节奏和出行特点而变化）。
由于第1种情况规律性差，变化随机性大（如城市主办某一项重大活动），所以轨道交通余能利用的分时段票价主要针对后两种情况。
客流的空间分布不均衡也有3种情况:各条线路客流的不均衡，由于城市经济功能区、生活功能区与生态功能区的布局之间关系的差异而形成；上下行方向客流不均衡；各个车站乘降人数不均衡（与车站周边土地开发强度有关）。
而拉姆塞模型的含义为：需求弹性越小的市场，定价可以超出其边际成本的比例就越大，即越是在高峰时间，地铁票价越可以涨价可以凭此在最大化乘客满意度的情况下，根据弹性大小适当调整，设定最为适当的价格。
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2-拉姆齐模型第3章无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响c*c golds低 s gold s高 sc 动态无效区 cc golds上升 s下降t那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：租让资本，获取利息租用资本，支付利息雇佣劳动，支付工资购买产品，进行消费提供劳动，赚取工资厂商家庭相互拥有销售产品，获得利润三、厂商行为沿用新古典生产函数根据欧拉定理，其中，资本的边际产品为：（真实利率）有效劳动的边际产品为：（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L，以速率n增长，；家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人；每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：其中，C(t)为每个家庭成员的消费，为即期效用函数，为贴现率（越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
注意：表示将第t期的消费的效用按照贴现到第0期，即，。
即期效用函数的形式为：，，该函数具有以下三个特点：（1）边际效用弹性不变，为。
定义边际效用弹性。
（2）跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。
【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：由消费者均衡条件得：代入得，其中，（边际替代率）图解：C2MRSC1可见，是射线比率的变化率，是切线斜率的变化率。
令时间1趋近于2，得到瞬时弹性（常数相对风险回避系数）根据有：，，则例如：一个两期的效用函数为，可以证明（思考：为什么？）。
常数替代弹性意味着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。
但决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。
（3）边际效用为正；当<1时，边际效用随C增加而增加，当>1时，边际效用随C增加而减少。
（4）是为保证效用不发散（受到约束）。
3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H]代入即期效用函数得：再代入家庭效用函数，得：其中，，（收敛条件）4．家庭的跨期预算约束家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。
定义，因此在0期投资的1单位产品在t期产生单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。
为现值因子。
当r不变为时，则R=t。
（思考：如果r是变动的，平均r怎样表示？）家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为：类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有：C(t)= A(t)c(t)K(0)= k(0)A(0)L(0)/H代入得：再考虑有效劳动的增长，，代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：5．横截面条件利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。
已知，故将积分改写成为极限形式，有：定义第v期的家庭资本持有量的总和为：右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。
整理有：代入极限形式的预算约束得：，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。
由于因此，6．家庭的最优化问题根据前面的推导已知a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：b．跨期预算约束：（均从有效劳动的人均情况来考虑）因此可以构造拉格朗日函数：求解最优的c(t)使最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为：两边取对数得：两边再对 t求导数，有：因此，这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。
对欧拉方程的理解：已知，C(t)=c(t)A(t)则因此，当时，>0；当时，<0；越小，C的变化率越大。
（思考：为什么？）此外，欧拉方程还说明了与之间的关系与区别（思考：是怎样的关系和含义？）五、稳态均衡1．k的动态学（k的微分方程）与索洛模型一样，k的稳态的条件是实际投资等于持平投资。
实际投资为，持平投资为（n+g）k（没有考虑折旧）。
因此，（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）当时，根据黄金律规则，当时，c最大，c随着k的增加先增加后下降。
再考虑非稳态的情况，当c超过使时的水平时，；当c低于使时的水平时，。
（思考：为什么？）图示：ck2．c的动态学（c的微分方程）将代入欧拉方程，得：当=0时，再考虑非稳态的情况，当k>k*时，，则<0;当k0。
图示：c =0>0 <0k* k3. k和c的动态学（k和c的微分方程组和横截面条件共同构成）（1）综合上两图，有以下相位图：c =0k* k gold k（2）图中【证明】，，而收敛条件，故 <，因此。
（3）鞍点路径（或稳定臂）c =0Ek* k根据相位图描绘在(c, k)空间上从初始值(c0, k0)的动态调整轨迹，然后在动态轨迹中排除会使最终资本存量为负和超过资本黄金存量的轨迹，得到鞍点路径（或稳定臂）。
因为：（1）最终资本存量必须为正；（2）超过资本黄金存量会使发散（思考：为什么？），即家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭效用最大化的目标不一致。
因此，鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。
对于任意k0，c0必须等于鞍点路径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点E。
六、平衡增长路径均衡点E(c*,k*)的解为：因此模型中的各个变量的长期变动如下：变量含义平衡增长速度备注证明绝对量K资本存量n+g k=K/ALL劳动力nA知识或技术gAL有效劳动n+gY总产出n+g F(cK,cAL)=cF(K,AL) C总消费n+g C=ALc相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0k=k*K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/AL Y/L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=c*C/L人均消费gK/Y资本产出比0s储蓄率0s=(y-c)/y结论：将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路径的描述。
因此，索洛模型关于经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为常数的假定。
即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根源。
七、修正的黄金资本存量定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
< p=""> 定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。
< p="">图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：c(gold) c*c0 c0t ts较大的提高 s较小的提高八、比较静态和动态转移：贴现率的变动贴现率变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。
比较静态：由c的稳态条件可知，当贴现率下降时，k*提高，因此=0线右移，导致c和k*都增加。
图示：c =0E E’k* k*’(k(gold)) k动态转移：k连续变化，而c瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新均衡点E’。
思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。
九、基本结论1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，因此c和k是同时决定的。
在这样的过程中，储蓄的决定被内生化了。
4．拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。
5．拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。
作业：（对比较静态的扩展）考虑当其他外生参数、和上升时，由和共同决定的拉姆齐模型中的稳态均衡会发生怎样的变化？</c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。
<></k(gold)。
<>。